数学物理方程复变函数
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法-1.1 复数及点集,复变函数
提示3：
z zz
_
思考题：圆的方程用复数如何表示？
虚数符号i的由来
许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年， 他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号 表示他的成果，即
x
9 4 4
3 9 4 2 4
由于
是负数，所以他认为不可能解这方程。
例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z)
注明：一个复变函数是由一对双元实函数所确定的
–
单值性和多值性 如果一个z对应于一个w，则称w=f(z)为单值函数； 如果一个z对应于多个w，则称w=f(z)为多值函数；
例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z)
w z 是多值函数
复变函数的连续性
复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 1. 两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 3. 两复数的商: z x 2 y 2 i x 2 y 2 . 2 2 2 2 2 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n) 共轭复数 _ z = x + iy → z =_x – iy z = r exp(iφ) → z = r exp(-iφ)
复数的几何含义
点表示
复数和x-y平面上的 点一一对应
数学物理方法第二章复变函数的积分
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
数学中的复变函数及其应用
数学中的复变函数及其应用复变函数理论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象是复数域中的函数，具有广泛应用。
在物理学、工程学、计算机科学等领域中，复变函数被广泛应用，特别是在电磁学、流体力学、信号处理等领域中，有着相当重要的地位。
一、复变函数基础复变函数是以复数为自变量，复数为函数值的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中，u(x,y)和v(x,y)是实函数，并且满足柯西-黎曼方程组：$$\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\\\\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\end{cases}$$柯西-黎曼方程组的解析函数又称为全纯函数，是复变函数理论中的核心概念。
全纯函数在整个复平面上都有解析，这是测量、研究复数在平面中的绝佳工具。
二、复数域中的积分复变函数在复数域中的积分有很多重要性质，如柯西公式和柯西积分定理等。
①柯西公式：设f(z)在曲线C所包围的区域D上解析，则对于D中的任何点P，有$$f(P) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-P} dz$$其中，z是曲线C上的变量。
柯西公式是复变函数中的重要公式，它可以推广到多重积分和各种数学和物理问题中。
②柯西积分定理：设f(z)在区域D内解析，则D内任意两条连接两点A和B的曲线积分相等：$$\int_{\gamma_1} f(z) dz = \int_{\gamma_2} f(z) dz$$其中，$\gamma_1$和$\gamma_2$分别是由A到B的两条可求长曲线。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要概念，它不仅可以应用于计算积分，还可以用于研究物理问题的解析解等方面。
三、复变函数应用复变函数在电磁学、流体力学、信号处理、统计学等领域都有应用。
数学物理方法1-2复变函数的积分
莫雷拉定理
总结词
莫雷拉定理是复变函数中一个关于全 纯函数的积分性质的定理。
详细描述
莫雷拉定理说明，如果全纯函数f(z)在圆盘 |z| < R内有界，那么对于任意实数t，积分 ∫f(z)e^(it)dz在|z| = R的边界上非零。这个 定理在研究全纯函数的性质以及解决一些数 学物理问题时非常有用。
柯西定理
总结词
柯西定理是复变函数中的一个基本定理，它表明如果一个函数在某个区域内的点上满足某种条件，则 该函数在该区域内可积。
详细描述
柯西定理说明，如果函数f(z)在某个区域D内是解析的，并且存在常数C使得对于D内的任意点z，都有 |f(z)|≤C，那么函数f(z)在D内是可积的。这意味着满足一定条件的解析函数在一定区域内具有可积性。
幂级数展开的收敛性
幂级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
幂级数展开的应用
幂级数展开在数学物理中广泛应用于求解微分方程和积分方程。
泰级数展开
泰勒级数展开定义
01
将一个复变函数表示为多项式的无穷级数。
泰勒级数展开的收敛性
02
泰勒级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
泰勒级数展开的应用
个定理在解决一些数学物理问题时非常有用。
柯西不等式
总结词
柯西不等式是复变函数中一个基本的积分不等式，它反映了函数与其共轭函数之间的积分关系。
详细描述
柯西不等式表明，对于任意实数a和b，以及在全平面上的非负函数f和g，有∫f(z)g(z*)dz ≥ |∫f(z)dz * ∫g(z*)dz|， 其中z*是z的共轭复数。这个不等式在处理一些积分问题时非常有用。
积分路径
积分性质
复数函数的积分具有线性性质、可加 性、可交换性等基本性质。
数学物理方法复变函数
数学物理方法复变函数
复变函数是指定义在复平面上的函数。
复数既有实部又有虚部，因此复变函数能够描述空间中的各种复杂形状，如曲线、曲面和复平面上的多重曲线。
数学物理中，复变函数是一个十分重要的数学工具，它广泛地应用于物理学、工程学和数学学科中，尤其是在解决微积分、傅里叶分析、微分方程和复杂积分等方面的问题时非常有用。
复变函数的解析理论在数学物理中有广泛的应用。
一种重要的应用是将一个实函数扩展到一个复函数，使得它的值域更加广泛。
这样的拓扑结构提供了许多新的计算方法和更深刻的数学理解。
同时在物理学中，复变函数非常有用，可以用来描述电路和电子学、声学和光学学科等领域中的一些复杂现象，如震荡、波动和衍射等。
在解决常微分方程和偏微分方程时，复变函数也经常被用来对问题进行求解和化简。
比如在广义函数理论中，复变函数可以揭示微积分和线性代数之间的联系。
它可以使得高维线性空间的求解变得更加简单，并且极大地方便了复杂流体和结构等问题的求解。
总之，复变函数是物理学和工程学领域中不可或缺的数学工具，对于解决各种复杂问题和理解极其复杂的物理现象有着重要的意义。
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学的复变函数
数学的复变函数复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有复数域上更加丰富的性质和特点。
在本文中，我将介绍复变函数的定义、性质和应用。
一、复变函数的定义和表示复变函数是定义在复数域上的函数，即输入和输出均为复数。
一般来说，复变函数可以表示为$f(z)$，其中$z$是复数，$f$是变换规则。
复数$z$可以表示为$z=x+iy$的形式，其中$x$和$y$分别是实数部分和虚数部分。
复变函数的表示形式有多种，最常见的是使用级数展开的形式。
例如，魏尔斯特拉斯级数是一种常见的复变函数表示方法。
它可以表示为$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，其中$a_n$是复数系数，$z_0$是复数常数。
二、复变函数的性质复变函数具有许多有趣且独特的性质，以下是其中的几个重要性质：1. 解析性：复变函数的一个重要性质是解析性（或称全纯性）。
一个函数在其定义域上是解析的，意味着它在该区域内可以进行无限次的复数微分。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即其实部和虚部满足柯西-黎曼条件。
2. 否定性：与实变函数不同，复变函数的性质有时可以由其在定义域内的性质否定。
例如，某些函数可能在无限远处有奇点，或者在某些点上是不连续的。
3. 互补性：复数域上的函数可以分解成实部和虚部的和或差。
这种分解方式可用于简化复变函数的问题，并帮助我们理解函数性质。
三、复变函数的应用复变函数在数学和工程领域中有广泛的应用。
以下是其中一些主要应用领域：1. 数学物理学：复变函数在数学物理学中扮演着重要的角色。
例如，它们用于解决波动方程、电动力学和量子力学中的问题。
复变函数的工具和技术为解这些方程提供了很大的帮助。
2. 等势流理论：在流体力学领域，复变函数的概念广泛应用于等势流理论。
这个理论用于描述在理想流体中以连续形式流动的流线。
3. 统计和概率：复变函数也在统计学和概率论中有应用。
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从几何上看，复数又是此平面上的一个矢量
为矢量长度
为幅角
记 z ei 且 x2 y2
arctg( y / x)
x cos
和 y sin
其它概念
z 又称为模 Argz
主值 (0 Argz 2 ) 复共轭 z x iy ei
复数的运算
z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
z x x u i v
z iy iy
lim u i v
z0 z x x
lim v i u
z0 z y y
可导，要求二者相等 柯西—黎曼方程
u v x y
v u x y
必要条件
必要条件
u v x y
v u x y
可导的充分条件:
f (z) 的
u , u , v , v x y x y
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
小结
复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。 它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则； 它可以看作具有两个独立分量的量来表示（矢量）和计算。
1.2. 复变函数
记 f (z) z E
yz
Ez
0 定义域
x
v
0 值域
f (z)
u
实函数：
定义: 对于实数域中一区域 B 中的每一实数 x ，都有唯一 的一个实数 y 与之对应。则称 y 为 x 的函数。 B为此函数
的定义域，记 y f (x) 。
连续，可微：
C n n 次可微
C 无限可微
几个概念
zz 邻域
z2
x22 y22
x22 y22
2
幂（n整数） zn nein
根
n z n ei /n
逼近 z z0 x x0 , y y0
测地投影和无限远点
N
A’
A
S
如左图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北 极由一条直线相连，直线与球相交于 A’ 。由此，每一有限的复数 投影到 球上一点 。这个投影叫测地投影，这个球叫复数球。
可导：对任何方向的z，极限都存在并唯一。
u(x, y)
u2
u1
r1
r2
0
r1
r2
y
x
y
z z
z
z z'
x 复数
0
x x x
实数
可导：对任何方向的z，极限都存在并唯一。
因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强 的多的条件。
柯西—黎曼方程
z 沿实轴
z 沿虚轴
y 0
x 0
u i v
两族曲线的梯度正交 两族曲线正交
(2)
满足拉普拉斯方程
第一篇 复 变 函 数 论
复变函数 微分和积分 泰勒展开和洛朗展开 留数定理 傅立叶变换 拉普拉斯变换
第一章 复变函数
1.1. 复数
z
y
1
O
1x
代数表示: x ,y 为实数，i 为单位虚数，则
z x iy
为复数
且 x 为其实部，y 为虚部，记
x Re z y Imz i2 1
几何表示
x 轴为实轴，y 轴为虚轴，构成复数平面复数 z 为 此平面上的一点
cos z eiz eiz , 2
sin z eiz eiz 2i
ez ez
cosh z
,
2
ez ez sinh z
2
ln z ln ei ln i
z s seis
连续：
z z0 或：
x y
x0 y0
视 z 为矢量
可以设矢量函数
f (z) f (z0)
u( v(
存在，连续且满足柯西—黎曼方程。
1.4. 解析函数
f (z) 在点 z0 解析，即在这点可导。
为在区域 B 中解析函数，即在区域的点 点解析。
性质
(1) 曲线族 u(x, y) C1 v(x, y) C2 相互正交。
由柯西—黎曼方程
u v u v x x y y
即
u v u v 0 u v x x y y
z0 r
区域 z z0 r
复平面上圆 内点的集合
区域 B 的内点 z 和它的邻域都属于 B， 则 z 为 B 的内点。
外点 z 和它的邻域都不属于 B， 则 z 为 B 的外点。
境界点
不是内点，也不是外点的点。
境界线
全体境界点的集合
区域
内点组成的连通集合
闭区域
区域和境界线的全体
例
多项式 有理分式
x, x,
y) y)
u0 v0
( x0 , ( x0 ,
y0 y0
) . )
z
ix
jy
(z)
i u(x,
y)
jv(
x,
y)
这是平面上的矢量场
1.3. 导数
定义
lim lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
运算规则
df dz
d dz
(1
2)
d1
dz
d 2
dz
,
d dz
(1
2 )
d1
dz
2
1
d 2
dz
,
d dz
( 1 2
)
1'2 12 22
'
,
d
dz
1 dz
,
d
d F ( ) dF d ;
dz
dz dz
d z n nzn1, dz
d ez ez, dz
d sin z cosz, dz
d cosz sin z, dz
d ln z 1 .
dz
z
复函数是一个二元函数（实部和虚部），复数 空间方向有关。
i2 1
加法
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z2 z1 z2
减法
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z2 z1 z2
乘法
z1 z2 (x1 x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
除法
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 1 ei(12 )
根式 指数函数 三角函数
双曲函数 对数函数 幂函数
a0 a1z a2 z 2 an z n a0 a1z a2 z 2 an z n b0 b1z b2 z 2 bm z m
a0 a1z a2 z 2 an z n
ez exiy exeiy ex (cos y i sin y)
比较与实变函数相对应的定义
实函数：
y f (x)
x y=f(x)
y=f(x)
x
y f (x)
定义域、值域
复函数 f (z) u iv
y
z
z
0
yz
z
0 定义域
x
x
v
f (z)
0
v
u
f (z)
0 值域
u
定义 在复平面上一点集 E 中每一点，都有一个或几个复
数 与之对应，称 为 z 的函数，E 为定义域，