反比例函数的应用

反比例函数的应用一、选择题1. （2012福建福州4分）如图，过点C(1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x＋6于A 、B两点，若反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是【 】A ．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 【答案】A 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】∵ 点C(1，2)，BC∥y 轴，AC∥x 轴，∴ 当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5；当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4。

∴ 点A 、B 的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)。

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小。

设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大， 则k ＝x(－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9。

∵ 1≤x≤4，∴ 当x ＝3时，k 值最大，此时交点坐标为(3，3)。

因此，k 的取值范围是2≤k≤9。

故选A 。

2. （2012湖北黄石3分）如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】A. 1(,0)2 B. (1,0) C. 3(,0)2 D. 5(,0)2【答案】D 。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。

【分析】∵把A 11(,y )2，B 2(2,y )分别代入反比例函数1y x =得：y 1=2，y 2=12， ∴A（12 ，2），B （2，12）。

∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP|＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA －PB=AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大。

设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：12=k+b 21=2k+b 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得：k=15b=2-⎧⎪⎨⎪⎩。

∴直线AB 的解析式是5y x 2=-+。

当y=0时，x= 52，即P （52，0）。

故选D 。

3. （2012湖北荆门3分）如图，点A 是反比例函数2y=x（x ＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数3y=x-的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD为【 】A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5 【答案】D 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。

【分析】设A 的纵坐标是a ，则B 的纵坐标也是a ．把y=a 代入2y=x 得，2a=x ，则2x=a，即A 的横坐标是2a ；同理可得：B 的横坐标是：3a-。

∴AB=235=a a a⎛⎫--⎪⎝⎭。

∴S□ABCD=5a×a=5。

故选D。

4. （2012湖北恩施3分）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线3y=x交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为【】A．﹣6 B．﹣9 C．0 D．9【答案】A。

【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线3y=x上的点，∴x1•y1=x2•y2=3。

∵直线y=kx（k＞0）与双曲线3y=x交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6。

故选A。

5. （2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数2y=x的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)则△OAB的面积(用m表示)为【】A.2m12m-B.2m1m-C.()23m1m-D.()23m12m-【答案】B。

【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。

【分析】如图，过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E,设A(ｘA，ｙA)，B (ｘB，ｙB)，C（c¸0）。

∵AB：BC=(m一l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。

又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC ：EC= AC ：BC=m ：1。

又∵AD=ｙA ，BE=ｙB ，DC= c －ｘA ，EC= c －ｘB ， ∴ｙA ：ｙB = m ：1，即ｙA = m ｙB 。

∵直线l 与反比例函数2y=x的图象在第一象限内交于A 、B 两点， ∴A A 2y =x ，B B2y =x 。

∴A B 22m =x x ，A B 1x =x m。

将又由AC ：BC=m ：1得（c －ｘA ）：（c －ｘB ）=m ：1，即()B B 1c x :c x m:1m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得()B x m+1c=m 。

∴()()()BOAB OCB OBC A B A B B B x m+11111S =S S =c y c y c y y my y 2222m∆∆∆-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-=⋅⋅- ()()()()222B B B B x y m 12m 1x y m+1m 11m 12m 2m 2m m----=⋅===。

故选B 。

6. （2012湖南株洲3分）如图，直线x=t （t ＞0）与反比例函数21y=y=x x-，的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为【 】A ．3B ．32tC ．32D ．不能确定 【答案】C 。

【考点】反比例函数系数k 的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】把x=t 分别代入21y=y=x x -，，得21y=y=t t -，，∴B（t ，2t ）、C （t ，1t-）。

∴BC=2t﹣（1t-）=3t。

∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t。

∴△ABC的面积=133t=2t2⋅⋅。

故选C。

7. （2012四川泸州2分）如图，矩形ABCD中，C是AB的中点，反比例函数kyx= (k＞0)在第一象限的图象经过A、C两点，若△OAB面积为6，则k的值为【】A、2B、4C、8D、16 【答案】B。

【考点】反比例函数系数k的几何意义，三角形中位线定理。

【分析】如图，分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，∵点C为AB的中点，∴CE为△AMB的中位线。

∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b。

又∵OM•AM=ON•CN，∴OM=a。

∴△OAB面积=3a•2b÷2=3ab=6。

∴ab=2。

∴k=a•2b=2ab=4。

故选B。

8. （2012辽宁丹东3分）如图，点A是双曲线kyx=在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为【】A.-1B.1C.2D.-2【答案】D 。

【考点】反比例函数系数k 的几何意义，关于原点对称、x 轴、y 轴对称的点的坐标，矩形的判定和性质。

【分析】∵点B 、点C 、点D 分别是点A 关于x 轴、坐标原点、y 轴的对称点，∴四边形ABCD是矩形。

∵四边形ABCD 的面积是8，∴4×|－k|=8，解得|k|=2。

又∵双曲线位于第二、四象限，∴k＜0。

∴k=－2。

故选D 。

9. （2012辽宁铁岭3分）如图，点A 在双曲线4y x =上，点B 在双曲线ky x=（k≠0）上，AB∥x 轴，分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为D 、C ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为【 】A.12B.10C.8D.6 【答案】A 。

【考点】反比例函数系数k 的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，矩形的判定和性质。

【分析】∵双曲线ky x=（k≠0）在第一象限，∴k＞0。

延长线段BA ，交y 轴于点E 。

∵AB∥x 轴，∴AE⊥y 轴。

∴四边形AEOD 是矩形。

∵点A 在双曲线4y x=上，∴AEOD S 矩形=4。

同理OCBE S 矩形 =k 。

∵ABCD OCBE AEOD S S S k 48=-=-=矩形矩形矩形， ∴k=12。

故选A 。

10. （2012山东德州3分）如图，两个反比例函数1y=x 和2y=x-的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形PAB 的面积为【 】A ．3B ．4C ．92D ．5 【答案】C 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。

11. （2012山东临沂3分）如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =>和2(0)ky x x=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是【 】A ．∠POQ 不可能等于90°B ．12PM QM k k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称 D ．△POQ 的面积是()1212k k + 【答案】D 。

【考点】反比例函数综合题，直角三角形的判定，反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义。

【分析】根据反比例函数的性质逐一作出判断：A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故12PMQM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；D ．∵|1k |=PM•MO，|2k |=MQ•MO， ∴△POQ 的面积=12MO•PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO•PM+12MO•MQ=()1212k k +。

故此选项正确。

故选D 。

12. （2012山东威海3分）下列选项中，阴影部分面积最小的是【 】【答案】C 。

【考点】反比例函数的图象和性质。

【分析】根据反比例函数的图象和性质，A ，B ，D 三个图形中阴影部分面积均为2。

而C 图形中阴影部分面积为32。

故选C 。

二、填空题1. （2012广东深圳3分）如图，双曲线ky (k 0)x=>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．【答案】4。

【考点】反比例函数综合题【分析】∵⊙O 在第一象限关于y=x 对称，ky (k 0)x=>也关于y=x 对称，P 点坐标是（1，3），∴Q 点的坐标是（3，1）， ∴S 阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。