导数在研究函数性质中的应用
3.2导数研究函数性质教案
§3.2导数在研究函数中的应用一、知识梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的________；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的________．(2)若在(a，b)的任意子区间内f′(x)都不恒等于0，f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为____函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，⇔f(x)在(a，b)上为____函数．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的________；(2)将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二、自我检测：1．(2009·广东改编)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间为______________．2.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围为______________．3.设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥43，则p是q的________条件．4.(2010·福州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.探究点一函数的单调性例1已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1(2009·浙江)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．探究点二函数的极值例2若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－4 3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．变式迁移2设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三求闭区间上函数的最值例3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值．。
导数在研究函数中的
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，通过求 导并令导数等于0，可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ，但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$，令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$，进一步分 析导数符号可知，当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) > 0$；当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) < 0$。因 此，$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点，$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点，即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负，可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知，当$x < 0$时，$f''(x) < 0$；
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系，通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况，帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
04
导数在高等数学中的进一步 应用
“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思
用导 数研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 不超 过 三 次 的 多
项式 函数 的单 调 区间． （ ２ ） 通 过 实例 ， 借 助 几 何 直 观探 索并 了解 函 数 的单调 性与 导数 的关 系 ； 通 过初 等 方 法 与 导数 方法 在研究 函数 性 质 过程 中 的 比较 ， 体 会 导数 在 研究 函数性 质 中的一般 性 和有效 性．
若 在 区间 Ｄ上 ｆ （ ｚ） ＜０ ， 则－ 厂 （ ） 在 区间 Ｄ
一
０
—
上 是减 函数．
．
ｒ ｜一
／
１
师： 很好， 你 能 用 函 数单 调 性 的 定 义 给 出证
明吗 ？
图 ２
图 １
老 师先 让 学生 在 草稿 纸 上试 证 ， 然 后 在学 生
的关 系．
对 于 函数 ， （ ｚ） ＝ ＝ ＝ ｌ ｏ ｇ ￣ ｘ， Ｖ ｚ∈ （ ０ ， ＋Ｃ ｘ ３ ） ，
， （ ｚ）一 一 ＜ ０ ・
３ 教 学过 程
３ ． １ 问 题 导 入
问题 １ 作 出下 列 函数 的图象 ：
（ １ ） ｆ （ ｘ） 一ｚ 。 ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） 一ｌ ｏ ｇ ￣ Ｘ ．
生： 图 １中的切线 斜率 为正 ， 图 ２中的切线斜
率为 负． 师： 回顾 导数 的几何 意义 ， 说 明了什 么？
生： 函数 ， （ ） 一ｚ 在 区 间（ 一。 。 ， ＋。 。 ） 上 的 导数 为正 ； 函数 ｆ （ ｘ） －ｌ ｏ ｇ ￣ ｚ在 区间 （ ０ ， ＋ｃ × 。 ） 上
１
（ １ ） ｆ（ ｘ）一ｚ＋ ； （ ２ ） ｆ（ ｘ）一 － ｚ 。 ｅ ．
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
例谈导数在研究函数中的应用
（ 若ｘ ２［ ， ， ３ ｌ Ｅ－ 对 求证： ） ， １ ｘ
Ｉ 睾 ≤
解 （）‘ 函数刷 图象关于原点对称 ＇ 对Ｖ Ｒ 都有／ ＝ｆ ） １ ． 。 ． １ ． ， 卜 － ｘ ｉ ．
‘
．
性质 、 方程 、 不等 式、 数列等 问题 的方法 ， 这类 问题用传统教材无法解决； 此 外， ４还说 明了一点 ： 例 欲用导数 ， 得先构造函数。 小结： 深刻理解导数作为～类特殊函数 ， 其几何意义所在， 熟练掌握利用
点题型 ．下面选解评析几例． 例 １ 已知函数ｆｘ－￣ａ２３ ， ． （ ． 一 ｘ＋ｘ 若 ） ）ｘ － 既有极大值又有极 小值 ， 则实数 ａ 的取值范围是 。
例 ３ 己知数 列 各项 均为正数 ， 为其前 ｎ项和， ． 对Ｖｎｅ 卑， Ⅳ 都有
４ （ ｌ ． ｓ ａ
极小值也是最小值 点， 又
ｔｌ ｌｅ
， 得 ＝ 为 数 争的 易 函
¨ ‘
Ｊ ） 时， 取极小值一 。
’ Ｊ
（） ｎ６ ｃｄ的值 ； １求 、 、、
ห้องสมุดไป่ตู้
＜ ｔ ｚ ｎ
（） ２ 当 ∈ ，， 图象上是否存在两点， 时， 使得过此两点 的切线 互相垂 直 ？试证 明你的结论；
最 值 问题 。
数的增减性等 ； 第三层次是综合考查 ， 包括解决 应用问题 ， 导数内容和传 将 统 内容中有关不等式、 数列和 函数 的单调性等有机 地结合在一起 ， 知识 在“ 网络交汇点 ’ ． 处设计综合题 ， 通过将 新课程 内容和传 统 内容相 结合 ， 强了 加 能力考察力度， 使试题具有更广泛的实际意义 ， 更体现 了导数作为工具分析 和解 决一些 函数性质 问题的方法， 这类 问题用传统教材是无法解决的 这个 新增 内容已成为高中数学的重点 内容与主干知识 ，也是今后 高考 考查的热
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质导数是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们研究函数的性质。
本文将介绍如何利用导数研究函数的极值、范围与曲线形状等方面的性质。
首先，导数可以帮助我们找到函数的极值。
对于一个连续可微的函数而言，其极值点可以通过求导数并令导数等于零来确定。
具体而言，我们先求函数的导函数，然后找到导函数的零点，即求得函数的极值点。
通过求导数的方法，我们可以确定函数的极大值或者极小值，并进一步分析函数在这些点的增减性与凹凸性。
其次，导数也可以帮助我们研究函数的增减性与凹凸性。
如果函数的导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是递减的。
通过求导数，我们可以确定函数在不同区间内的增减情况。
同样地，函数的凹凸性可以通过分析导数的二阶导数来确定。
如果函数的二阶导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是凹的；如果二阶导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是凸的。
再次，导数还可以帮助我们确定函数的范围。
如果函数在一些区间内的导数始终大于零，那么函数在该区间内是上升的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是下降的。
通过分析导数的正负性，我们可以确定函数的增减范围。
另外，函数的最大值和最小值也可以通过求导函数的极值点来确定。
最后，导数还可以帮助我们研究函数的曲线形状。
通过分析导数的零点以及正负性，我们可以确定函数的临界点和拐点。
临界点是函数曲线上的点，在这些点上函数的斜率为零。
拐点是函数曲线上的点，在这些点上函数的曲率发生变化。
通过分析这些点的位置和性质，我们可以了解函数曲线的形状。
综上所述，导数在研究函数的性质方面有着重要的作用。
它可以帮助我们确定函数的极值点、范围、增减性与凹凸性，以及曲线的形状。
在实际应用中，利用导数可以帮助我们优化函数、解决最优化问题等。
因此，对导数的研究是微积分中基础而重要的内容。
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用
导数是数学中一个重要的概念，它是有关函数特性的一种数学工具。
本文将介绍这一概念在研究函数单调性中的应用。
首先，我们需要了解什么是函数单调性。
函数单调性是指函数在给定的区间内是严格单调递增或者严格单调递减的性质。
因此，这一性质被广泛用于数学上的研究以及实际应用中。
而对于如何判断函数的单调性，导数就起着重要的作用。
一般来说，函数在一个给定区间内，若函数在此区间内的导数恒大于或等于零，则可以断定该函数是严格单调递增的；反之，若函数在此区间内的导数恒小于或等于零，则可以断定该函数是严格单调递减的。
此外，当函数在给定区间内的导数恒等于零时，则可以断定该函数在此区间内的单调性不确定。
除此之外，导数还可以作为函数的一种视角，来分析函数的极值问题。
实际上，当函数的导数恒等于零时，就有可能函数拥有极值点；当函数的导数在给定区间内都大于零，则可以断定该函数在此区间内无极值；反之，若函数的导数在给定区间内小于零，则该函数在此区间内有且只有一个极值点。
另外，导数也可以用来衡量函数的变化，包括函数的变化率、函数的变化速度等。
例如，若函数的导数等于零，则函数没有变化，也就是函数没有变化率；若函数的导数大于零，则函数在此区间内是增长函数，函数增长越快，导数越大，即函数变化率越大；反之，若函数的导数小于零，则函数在此区间内是减少函数，函数减小越快，导
数越小，即函数变化率越小。
总之，导数作为函数单调性研究的重要工具，可以帮助我们分析函数性质，衡量函数的变化。
因此，正确理解和掌握导数知识，对分析函数研究以及应用具有重要意义。
利用导数研究函数的性质
（五）利用导数研究函数的性质【知识精讲】导数在研究函数中的应用：1、利用导数求函数()y f x =单调区间的步骤：① 确定()f x 的定义域； ② 求导数'()f x ；③ 令'()0f x >，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递增区间， 令'()0f x <，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递减区间.2、对于含参数的函数()y f x =，若已知此函数在某区间单调递增（或单调递减），则此函数的导函数'()0f x ≥（或'()0f x ≤）在此区间上恒成立.处理恒成立问题，常用图象法或分离参数法，从而可求得参数的取值范围.3、求可导函数 )(x f y =极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'0y =的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f y =在这个根处取得极大值.4、在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：① 函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；．② 求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值③ 将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.【例题选讲】例1.【2014·全国大纲卷（理22）】已知函数3()ln(1)3x f x x x =+-+.讨论()f x 的单调性；例2.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论14a =-时函数()f x 的单调性.例3.【2014·福建卷（理20）】已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.求a 的值及函数()x f 的极值；例4.【2014·四川卷（文21）】已知函数3()12x f x e x =--，求函数()f x 在区间[0,1]上的最值；【练习巩固】1.求函数ln ()x f x x=的单调区间.2.设函数22()(ln )x e f x x x x=++求函数()f x 的单调区间3..【2014·湖南卷（理22）】已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；4.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数238()13f x x x x =+--，其中0a >. (Ⅰ)讨论()f x 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值5.【2014·江西卷（理18）】已知函数. （1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b 的取值范围.。
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导数在研究函数性质中的应用
大峪中学韩玮
2012年《北京卷考试说明》（理科）要求：导数在研究函数中的应用主要有：利用导数研究函数的单调性；函数的极值、最值；利用导数解决某些实际问题，（其中涉及到的多项式函数不超过三次）。
下面举例说明导数在研究以上三方面函数性质中的具体应用。
1、利用导数研究函数的单调性：
（1）函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数在区间
内可导，
①如果恒有，那么函数在区间内单调递增；
②如果恒有，那么函数在区间内单调递减.
值得注意的是，若函数在区间内有（或），但
其中只有有限个点使得，则函数在区间内仍是增函数（或减函数）.
（2）一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快.这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就比较“平缓”.
例1、讨论函数的单调性.
解：的定义域为，求导数得
.
令，得.
①当，即时，的变化情况如下表：
所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
②当，即时，的变化情况如下表：
所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
③当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减.
通过本例，明确讨论函数的单调性的一般步骤：
①确定的定义域（这一步必不可少，单调区间是定义域的子集）；
②计算导数；
③求出方程的根；
④列表考察的符号，进而确定的性（单调区间）（必要时要进行分类讨论）.
2、利用导数研究函数的极值：
（1）设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有
，就说是函数的一个极大值，是极大值点；如果对附
近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值，是极小值点.
（2）需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不
一定是极值点.如在处的导数值为零，但不是函数的极值
点.也就是说可导函数在处的导数是该函数在处取得极值的必要但不充分条件.
（3）函数在区间上的最值：在区间上的最大值（或最
小值）是在区间内的极大值（或极小值）及中的最大者（或
最小者）.
（4）应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性质.
例2、求函数的极值.
解：，令，解得.
列表分析如下：
极大值
所以当时，有极大值；当时，有极小值.
通过本例，明确求函数的极值的一般步骤：
①计算导数；
②求出方程的根；
③列表考察的根左右值的符号：如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.
例3、已知函数．若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
解：．
易研究函数的单调性：递减区间为，；
递增区间为（-1，3）．
因为，，
所以．
因为原函数在上，所以在上单调递增，又由于
在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值．
于是有，解得．
故，因此，
即函数在区间上的最小值为．
通过本例，明确求函数在指定闭区间上最值的基本方法：
①计算导数；
②求出方程的根；
③比较函数值及的大小，其中的最大（小）者就是在闭区间上最大（小）值．
3、利用导数解决某些实际问题，
例4、用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
解决策略：解决实际优化问题的关键在于建立数学模型（目标函数），通过把题目中的主要关系（等量和不等量关系）形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解．
简解：设容器底面长方形宽为，
则长为，依题意，
容器的高为
．
显然，
即的取值范围是．
记容器的容积为，
则．
对此函数求导得：
．
令，解得；令，解得．
所以，当时，取得最大值 1.8，这时容器的长为．
答：容器底面的长为m、宽为m时，容器的容积最大，最大容积为．
以上结合自己的教学实践从研究函数的单调性；函数的极值、最值；解决某些实际问题，三个方面浅谈了导数在研究函数性质中的具体应用。
导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决以上的三类问题。
我个人认为在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤。
在熟练运用导数工具研究函数性质的同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。