高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质

专题二——利用导数研究函数的性质200９-2-24

高考趋势

导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值,这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现,通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间,其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。 考点展示

1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，,则((0))f f = 2 ; 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -２ .

３.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 4５°

4．设曲线2

ax y =在点(1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a 1

5.设R a ∈，若函数ax e y x

+=,R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-

6．已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ,有()0f x ≥，则

(1)

(0)

f f '的最小值为 ２ ． ７.已知函数3

()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -=__３2＿

_

8．过点P （２,８）作曲线3

x y =的切线,则切线方程为＿ １2x-y －１6=0或3ｘ-ｙ+２＝０

样题剖析

例1、设函数32

3()(1)1,32

a f x x x a x a =

-+++其中为实数。 (Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；

(Ⅱ)已知不等式'2

()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

解: (1) '

2

()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '

(1)0f =

即 310,1a a a -++==∴

（2) 方法一:由题设知:2

2

3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2

2

(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立

设 2

2

()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 2

20x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{

|20x x -≤≤

方法二:由题设知:2

2

3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2

2

(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立

于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22

202

x x

x +≤+ 20x -≤≤∴

于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤

点评：函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为０,反过来,函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。

变式1.若f(ｘ)=2

1ln(2)2

x b x -

++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是 1b ≤- 由题意可知'

()02

b f x x x =-+<+,在(1,)x ∈-+∞上恒成立，

即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-,所以1b ≤-,

变式２．已知函数1

1()3

x p f x -=,2

2()23

x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）.则()()12f x f x ≤对所有实

数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）为

（1)由()f x 的定义可知,1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于 ()()12f x f x ≤(对所有实数x )这又等价于1

2

3

23

x p x p --≤,即

12

3log 23

32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立.

(＊）

由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -，

2 B

C

A

y x

1 O 3 4 5 6 1

2

3 4

故（*）等价于12

32p p -≤，即123log 2p p -≤,这就是所求的充分必要条件

变式３.函数3

()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立,则a ＝ 4 .

解：若0x =,则不论a 取何值，()0f x ≥显然成立； 当0x > 即(0,1]x ∈时，3

()310f x ax x =-+≥可化为,2331

a x x ≥- 设()2331g x x x =

-，则()()'

4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫

==

⎪⎝⎭

，从而4a ≥; 当0x < 即[)1,0x ∈-时，3

()310f x ax x =-+≥可化为2331a x x

≤-,()()'

4312x g x x -=0>

()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而4a ≤，综上4a =

例2、如图,等腰梯形ＡＢCD 三边AB,ＢＣ,C Ｄ分别与函数

2

12

-=x y Q ，Ｒ,求梯形ABCD 面积的最小值

解：设Ｐ的坐标)221,(200+-x x P ,)0,24

(0

2

0x x A + )2,21(0x B )2

124(2002

0x x x S ++=利用基本不等式得,最小值为24 变式：设函数()b f x ax x =-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。

（1）求()y f x =的解析式;(2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围

成的三角形面积为定值,并求此定值。

解:（１）方程74120x y --=可化为734y x =

-，当2x =时，12

y =; 又()'

2b f x a x =+,于是12227

44

b a b a ⎧

-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得13a b =⎧⎨=⎩，故()3f x x x =-

（２）设()00,P x y 为曲线上任一点,由'

2

3

1y x =+

知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫

--=+- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

令0x =，得06y x =-

，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭; 令y x =,得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ； 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为

00

16

262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值，此定值为６；

要掌握求函数的极值的一般步骤，利用导数研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以及和、差、乘积和商的导数公式 曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的 切线的几何意义比较明显，解题时,应多结合图形,图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时找出

错误。

自我测试

1. 过原点作曲线y ＝e ｘ

的切线,则切点的坐标为 (1, e ）

２．直线1

2

y x b =

+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b ln21- . 3.已知函数()f x ,x ∈Ｒ满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足/

()10f x -<，则不等式