初中数学教程平方根
新课标人教版初中数学七年级上册《平方根课件》
平方根的加法运算
总结词
理解平方根加法运算的规则和步骤
详细描述
平方根的加法运算是指将两个平方根的数值相加，即 $sqrt{a} + sqrt{b}$。在进行加法运 算时，需要注意根号内的数必须相同，即 $a = b$。如果 $a neq b$，则无法进行加法运 算。
例子
$sqrt{4} + sqrt{4} = 2 + 2 = 4$
03
平方根的应用
平方根在几何学中的应用
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，其中$c$为斜边。
圆的面积计算
圆的面积公式为$S = pi r^2$， 其中$r$为圆的半径。
平方根在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑行业中，经常需要测量长度、 宽度和高度，这些测量结果往往需要 开平方根来计算。
物品重量
在称重时，有时需要将重量转换为质 量，这时就需要用到平方根。
平方根在科学计算中的应用
物理计算
在物理学中，很多公式涉及到平方根运算，例如速度、加速 度、力的计算等。
化学计算
在化学中，物质的量、摩尔质量、气体常数等都需要用到平 方根运算。
04
平方根的近似值求解
平方根的近似值求解方法
牛顿迭代法
平方根的乘法运算
总结词
理解平方根乘法运算的规则和步 骤
详细描述
平方根的乘法运算是指将两个平 方根相乘，即 $sqrt{a} times sqrt{b}$。在进行乘法运算时， 需要注意根号内的数相乘等于被 开方数的乘积，即 $a times b$ 。
例子
$sqrt{4} times sqrt{9} = 2 times 3 = 6$
平方根ppt课件
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
初中数学教案：平方根的计算与应用——掌握开平方的基本方法与应用技巧
初中数学教案：平方根的计算与应用——掌握开平方的基本方法与应用技巧平方根是初中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题、运用数学知识等方面具有广泛的应用。
本教案将着重介绍平方根的计算方法和应用技巧，帮助学生掌握开平方的基本方法，并能灵活运用于实际问题的解决中。
一、平方根的定义与性质1.1 平方根的定义首先，给出平方根的定义：对于非负实数 a，如果存在一个非负实数 x，使得 x 的平方等于 a，那么 x 称为 a 的平方根，记作x = √a。
1.2 平方根的性质平方根具有以下性质：（1）非负实数的平方根仍然是非负实数；（2）平方根可以是一个有理数，也可以是一个无理数；（3）对于两个非负实数 a 和 b，若 a > b，则√a > √b。
二、开平方的基本方法2.1 直接开平方对于一个完全平方数，直接开平方就是将其平方根提取出来。
例如，√25 = 5，√100 = 10。
2.2 近似开平方对于一个非完全平方数，我们需要使用近似开平方的方法来计算。
其中，最常用的方法是不断试探的方法。
例如，要求解的数为 a，我们可以从 1 开始试探 x 的平方等于 a，如果 x 的平方小于 a，则增大 x，如果 x 的平方大于 a，则减小 x，直到找到一个 x，使得 x 的平方与 a 的差值足够小。
2.3 开平方的算法开平方的算法中，最常用且简便的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法的基本思想是：选择一个初始的近似值，并通过不断迭代来逼近精确值。
具体步骤如下：（1）选择初始值 x，通常选择 a 的一个近似值；（2）计算 x 的平方与 a 的差值 delta；（3）将 delta 除以 2x，得到一个新的近似值 x1；（4）重复步骤（2）和（3），直到 x 和 x1 差值足够小。
三、平方根的应用技巧3.1 勾股定理勾股定理是三角形中一条重要的定理，涉及到平方根的运算。
根据勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
初中数学易考知识点平方根的计算方法
初中数学易考知识点平方根的计算方法初中数学易考知识点：平方根的计算方法平方根是数学中的常见概念，它在初中数学中也是一个非常重要的知识点。
在学习平方根的计算方法之前，我们首先需要了解平方根的定义。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的运算。
设a为一个非负实数，若存在一个非负实数x，使得x²=a，则称x为a的平方根。
二、开方运算开方运算是平方根的一种常见运算方式，用符号√表示。
1. 正数的正平方根对于一个正数a，它的正平方根可以通过以下方式计算：- 如果a是一个完全平方数，则√a = a的平方根。
- 如果a不是一个完全平方数，则可以使用近似方法或手算方法计算。
近似方法是通过查表法，找到离a最近的平方数的平方根作为近似值。
2. 零的平方根对于0这个特殊的数，在实数范围内，它的平方根为0。
即√0 = 0。
3. 负数的平方根对于负数a，它的平方根在实数范围内是不存在的。
因为无论取任何非负数的平方根，都不能使平方的结果等于一个负数。
因此，负数的平方根通常用虚数单位i来表示。
三、平方根的计算方法1. 试除法试除法是一种常见且简便的计算平方根的方法。
具体步骤如下：(1) 首先，将待开方的数进行分解，每两个数字一组，由右至左，不足两位的补零。
(2) 找出一个最大的整数d，使得d乘以自己不超过当前的两位数，将d作为商的整数部分。
(3) 将上一步得到的商与商下边的数字相连，作为新的被除数。
(4) 在商下边的数字后面添加一个未用数字作为新的被除数。
(5) 将上一步得到的商与新的被除数相连，作为新的除数。
2. 短除法短除法是试除法的简化版，适用于只有两位数的平方根计算。
具体步骤如下：(1) 将待开方的数分为若干个组，每组两个数字，由右至左依次编号。
(2) 从左向右地找出各组的平方根的个位数，并将它们按顺序排列在一起，即得到平方根的个位数。
(3) 判断待开方数能否再分一组，如果可以，则继续进行下一组的计算。
七年级下册数学平方根
七年级下册数学平方根
七年级下册数学课程中，学生将学习有关平方根的知识。
平方根是一个数学概念，表示一个数的平方等于它本身。
在数学符号中，平方根通常用符号√来表示。
学生将学习以下内容：
1. 平方根的定义：平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。
2. 平方根的计算：学生将学习如何计算一个数的平方根。
这包括使用手算法和计算器来求解平方根。
3. 平方根的性质：学生将了解平方根的一些基本性质，例如平方根的乘法规则、平方根的加法规则等。
在七年级下册数学课程中，平方根是一个重要的数学概念，旨在帮助学生理解数的运算和性质。
通过学习平方根，学生可以更好地理解数学中的概念和应用，并提高解决实际问题的能力。
初中数学人教版 平方根与算术平方根 人教版
0的平方根只有一个，即 0 0
三、平方根与算术平方根的联系与区别
1) 平方根包含算术平方根，算术平方
联
根是平方根中的一个；
系： 2) 平方根和算术平方根都只有非负数才有
3) 0的平方根、算术平方根都是0
1）定义不同： 平方根为 a
区 2）表示方法不同 别： 3）个数不同
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
平方根与算术平方根
一、平方根与算术平方根定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数 就叫做a的平方根；其中 a称为被开方数 正数a 的正平方根是数a 的算术平方根
表示为 a 读作“根号 a” 正数a 的负平方根表示为 a 读作“负根号a”
a 因此，正数a的平方根可记做
二、性质： 一个正数有两个平方根；它们互为相反数；
2. 求使 x1 x1有意义x
的取值范围. 解：要使式子有意义，必须满足：
x 1 0
x
1
0
解得xx
Байду номын сангаас
1 1
所以，x 的取值范围是. x1
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
初中数学的解析平方根的性质与计算方法
初中数学的解析平方根的性质与计算方法解析平方根是数学中一个重要的概念，在初中数学学习中也占有一席之地。
解析平方根具有一些特殊的性质和计算方法，本文将就这些内容进行探讨。
解析平方根的基本概念解析平方根是指对一个非负实数a，找到一个非负实数x，使得x的平方等于a。
用符号表示即为√a，读作“根号a”。
其中，符号√称为根号，被开方的数a称为被开方数，开方后的结果x称为开方根。
解析平方根的性质1. 非负性质：解析平方根的结果必须是非负实数，即√a ≥ 0。
这意味着只有非负实数才有解析平方根。
2. 唯一性质：任意一个非负实数a，解析平方根是唯一的，即对于同一个数a，开方根的结果是确定的。
例如，对于√9，结果只能是3，而不能是-3。
3. 增长性质：对于任意两个非负实数a和b，如果a > b，则√a > √b。
这反映了解析平方根与被开方数大小的关系。
解析平方根的计算方法计算非负实数的解析平方根有多种方法，下面将介绍其中两种常用的计算方法。
1. 因数分解法：如果被开方数a是一个完全平方数，即可以写成两个相同因数的乘积形式，那么解析平方根√a就等于这两个因数的其中一个。
例如，√25 = 5，因为25可以分解成5 * 5。
2. 逼近法：如果被开方数a不是一个完全平方数，可以使用逼近法来计算其近似解析平方根。
具体方法为，先找到一个非负实数x，计算x的平方，如果x的平方与a相差较小，则x可作为a的近似解析平方根。
然后借助迭代计算的方法，逐渐接近真实解析平方根的值。
在解析平方根的计算中，还可以应用一些数学性质和计算规则，如乘法公式、分配律等，以简化计算过程。
总结：解析平方根是数学中的一个重要概念，在初中数学学习中扮演着重要角色。
它具有非负性质、唯一性质和增长性质等基本性质。
在计算解析平方根时，可以运用因数分解法和逼近法等计算方法。
此外，还可以利用数学性质和计算规则来简化计算过程。
熟练掌握解析平方根的性质和计算方法，对于初中数学的学习和解题会有很大帮助。
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3.1 平方根
第1课时
教学目标
【知识与能力】
1.了解平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的平方根.
2.了解开平方的意义，“开平方”与“平方运算”是互逆的关系.
【过程与方法】
1．通过学习平方根，算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。
2．通过情景教学活动，体验解决问题方法，发展形象思维。
【情感态度价值观】
鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。
教学重难点
【教学重点】
理解平方根的意义，会用平方运算求某些非负数的平方根.
【教学难点】
对平方根意义的理解，并会用符号表示.
课前准备
无
教学过程
活动
阶段教学活动设计意图
情景导入一、创设情境，引入课题
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方
形的地垫30块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？
边长是m.
情景问题导入，引
发学生思考，激发
学生的好奇心和
学习的兴趣，为后
文做铺垫。
？
自主学习二、自主学习，探索新知
自学教材相关内容，完成下列练习：
1.如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？
2.算一算：如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：
3.平方根：如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把叫
做的一个平方根，也叫做
因此a的平方根有且只有两个：和，它们互为
算术平方根：把a的叫做a的算术平方根。
4.正数a的平方根记作算术平方根记作负
平方根记作
如：2的平方根记作算术平方根记作负平
方根记作
5.由于（）2=0 所以0的平方根是，0的算术
平方根是
6.（）2=-4 因此没有平方根
引导组织学生自
主学习，让学生自
己发现问题，探究
问题，解决问题，
培养学生的独立
学习的好习惯。
合作探究三、合作交流，应用新知
探究1：下面两种运算有什么不同？（书107）
结论：与互为
探究2：1）分别求出下列各数的平方根：
（1） 36，（2）
25
9
，（3） 1.21.
解：（1）由于62=36，
因此36的平方根是与 .
给学生充足的时
间和空间，通过小
组间的讨论、交
流，释疑解难，提
出共同的问题，使
x2
x
8
-8
4
3
4
3
-
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
121
0.36
-4
即36
±=±6
（2）
（3）
2)分别求下列各数的算术平方根：
（1）100，（2）16
25
，（3） 0.49.
解：（1）由于( )2=100，
因此100=10
（2）
（3）
3）说说下列各式的意义，并求值
49－16981
±
探究3：学生的自主性和合作性得到很好的发展，使他们的情感价值观有一个更深层次的引导与提升。
教学目标得到很好的落实。
同时规范解题格式，帮助理解新知。
当堂检测四、运用新知，解决问题
1.填空
（1）25
±表示25的
（2）25表示25的
（3）若－3是x的一个平方根，那么x的另
一个平方根是
（4）平方根等于它本身的是
（5）算术平方根等于它本身的是
（6）一个正数它的两个平方根分别是3a+2和-8那
么a的值是
2.判断对错
（1）－9的平方根是－3
（2）49的平方根是7
（3）（－2）2的平方根是±2
（4）－1 是 1的平方根
（5）若X2 = 16 则X = 4
这个环节是巩固
本课知识点，通过
设置一组由浅入
深的练习，来检测
学生的掌握情况，
在这部分的设计
中，主要是发挥学
生作为教学主体
的主动性，让学生
感受学习的乐趣
和成功的喜悦。
81
思考：的平方根是多少？
（6）7的平方根是±49 （7）16的算术平方根是4 （8）64=±8
归纳整理本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了
哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？
①知识方面：
②思维方法：
③探究策略：
使所学知识条理
化、系统化；让学
生在交流中共享，
在反思中提升。
拓展延伸六、拓展延伸，能力提升
1.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为( ).
A.-3
B.1
C.-3或1
D.-1
2.若0
)3
(
12=
+
+
-
+y
y
x则 x-y 的值为（）
A．1 B．－1 C．7 D．－7
通过非负条件应
用的综合题目，加
深同学对非负限
制条件的理解和
应用，
板书设计课题
一、平方根，算术平方根例题：例题:
二、性质
学生练习
展思路，显重点。