电路与电子学第二章
电路与电子技术2
E
解上面的六个方程得到 I G 的值
I G 0.126A
我们发现当支路数较多而只求一条支路的 电流时用支路电流法计算，极为繁复。
{end}
例2. 列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。
a I1 R1 US + – c I2 1 R2 2 R4 R3 I3 b I5 I4 + 3U – b=5, n=3
E
再来列三个电压方 程，选图中的三个 回路
对回路abda 对回路acba
I1 a I 2
R1
d· G
·
IG
R2
c ·
R1 I1 RG I G R3 I 3 0
R3
I
R2 I 2 R4 I 4 RG I G 0
对回路dbcd
I 3 ·I 4 b
_
R4
R3 I 3 R4 I 4 E 0
解
数一数 ： b=6, n=4
我们先来列3个结点 电流方程，选a、 b、 c三 d · 个结点 对结点a： 对结点b：
I1 · 2 R1 R2 IG
aI
G
c ·
I1 I 2 I G 0 I3 IG I 4 0
R3
I
· I3 b I 4
_
R4
对结点c： I 2 I 4 I 0
I
·
8V
·
2
· ·
a
b
·
a
2 I 3 4V 2 A I 1 2 1 2
4
3 A 2 1
I
·
·
b
{end}
b
2.4 支路电流法
支路电流法：以各支路电流为
电工与电子第2章备课笔记.
第2章 正弦交流电路本章的基本要求是：1． 了解支路电流法、叠加定理、戴维南定理等内容及其解题方法。
2． 理解支路电流法、叠加定理、戴维南定理的概念，以及电流和电压的性质。
3． 掌握用支路电流法、叠加定理、戴维南定理对电炉待求电流或电压的求解。
4． 了解铁磁性物质的磁化以及磁化曲线、磁滞回线对其性能的影响。
5． 了解磁动势和磁阻的概念、全电流定律和磁路中的欧姆定律。
2.1 正弦交流电的基本概念3.1.1 周期和频率随时间变化的电压和电流称为时变的电压和电流。
如果时变电压和电流的每一个值经过相等的时间后重复出现， 这种时变的电压和电流便是周期性的， 称为周期电压和电流。
以电流为例， 周期电流应该是i (t )=i (t +kT ) (3-1)式中，k 为任意正整数， 单位为秒（s ）。
上式表明， 在时刻t 和时刻(t +kT )的电流值是相等的， 于是我们将T 称为周期， 周期的倒数称为频率， 用符号f 表示， 即(3-2) 频率表示了单位时间内周期波形重复出现的次数。
频率的单位为1/s ， 有时称为赫兹（Hz ）。
Tf 1我国工业和民用电的频率是50 Hz ， 称为标准工业，频率或称工频。
3.1.2 相位和相位差1．相位如果周期电压和周期电流的大小和方向都随时间变化， 且在一个周期内的平均值为零， 则称其为交流电压和交流电流。
随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和正弦电流， 也称正弦量。
正弦电流的数学表达式为i (t )=I m s i n(ωt +φi ) （1） (3-3)式中的三个常数I m 、ω、φi 称为正弦量的三要素。
I m 为正弦电流的振幅， 它是正弦电流在整个变化过程中所能达到的最大值。
ω称为正弦电流i 的角频率， 正弦量随时间变化的核心部分是(ωt +φi )， 它反映了正弦量的变化进程， 称为正弦量的相角或相位，ω就是相角随时间变化的速度， 单位是rad/s ，它是反映正弦量变化快慢的要素， 与正弦量的周期T 和频率f 有如下关系：或φi 称为正弦电流i 的初相角（初相）, 它是正弦量t =0时刻的相位角, 它的大小与计时起点的选择有关。
电路与电子学第二章总结
第二章 电路的暂态分析一、 基本要求1. 理解暂态过程的原因及换路定则；2. 了解经典法分析一阶电路的暂态过程；3. 能确定时间常数、初始值和稳态值三个要素，并了解其意义；4. 熟练应用三要素法求一阶电路的公式；5. 了解微分电路和积分电路。
二、 主要内容一般的讲，电路从一个稳态经过一定的时间到另一个稳态的物理过程称为过渡过程，和稳态相对应，电路的过渡过程称为暂态过程。
由于电路的（开、闭、变动）换路，只要引起储能元件（C 、L ）上能量的变动，就会引起暂态过程。
本章主要分析RC 和RL 一阶线性电路的暂态过程。
只限于直流暂态电路。
1．几个概念换路：换路是指电路的开、断或变动。
一般设t =0时换路。
旧稳态：换路前电路的稳定状态。
t =0-时，是指换路前（旧稳态）的最后瞬间。
新稳态：换路后电路的稳定状态。
过渡过程开始：t =0+时，是指换路后（过渡过程）的最初瞬间。
2． 换路定则由于暂态过程中储能元件的能量不能突变，故有：)0()0()0()0(+-+-==L L C C i i u u — 称换路定则。
换路定则表示换路瞬间，电容上的电压和电感上的电流不能突变，称不可突变量；而其它各量则不受能量的约束是可突变量，如电容上的电流等。
换路定则只适用于换路瞬间，利用它可以确定暂态过程中电容电压、电感电流的初始值。
3．初始值的确定初始值是指+=0t 时各电压、电流的值。
求初始值步骤如下：1) 在-=0t 的电路中，求出)0(-C u 或)0(-L i 不可突变量；由换路定律得出初始值，)0()0()0()0(-+-+==L L C C i i u u2) 在+=0t 的电路中，求其它可突变量的初始值。
注意： 在+=0t 电路中，把初始值)0(+C u 或)0(+L i 当电源处理。
换路前，如果储能元件没有储能，)0(+C u =0，)0(+L i =0，则在+=0t 的电路中，将电容元件短路，电感元件开路。
大学电路与电子学第二章课件
大学电路与电子学第二章
10
2.非独立初始值（非状态变量）
（1）定义：非独立初始条件是指一阶电路
中除uC(0+)和iL(0+)以外，电路中其它响应在
t
=
0+时刻的值都称为非独立初始值。
电路中uC(0+)为独立初
一定的时间来完成。
状态
大学电路与电子学第二章
8
2.1.2 动态电路的初始条件
换路一瞬间记为：t = 0
换路前的一瞬间记为： t = 0−
初换始路条后件的是一指瞬在间换记路为后：一t =瞬0+间一阶电路中响应
值y(0+)——即t = 0+时刻的uC(0+) 、 i(0+)、 uR(0+)
初始条件由初始值确定
常用动态元件：电容元件、电感元件
电阻电路——由电阻元件和电源构
集中电路
成的电路
动态电路——电路中包含有动态元
件，至少一个动态元
件
大学电路与电子学第二章
2
电阻电路用代数方程描述其性能，并计算电
路变量 UR=IR 动态电路用微分方程描述其性能，并计算电
路变量
R1
R2
iC
C
duC dt
R1
R2
+ uS
K
14
2.2 一阶电路的时域分析 主要内容：研究一节电路换路后，电路中电 流、电压随时间而变化的情况，即一节电路的 响应。
电路的激励不同，其响应也不同，一节电路 有零状态响应、零输入响应和全响应三种。
大学电路与电子学第二章
电子电工学 第二章知识点
Ia
a
Ia
a
Ra
Ib Ic
b
Rc Rb
c
Y-等效变换
Rab Ib Ic
b
Rbc
Rca
c
电阻Y形联结
电阻形联结
等效变换的条件：对应端流入或流出的电流(Ia、Ib、Ic)一一相等，对应端间的电 压(Uab、Ubc、Uca)也一一相等。经等效变换后，不影响其它部分的电压和电流。
Rab Rbc Rca Ra Rb Rb Rc Rc Ra Rc Ra Rb Rb Rc Rc Ra Ra Ra Rb Rb Rc Rc Ra Rb
二、 电阻的并联
I
+
I1
U
–
I2 R1 R 2
I
+ –
U
R
1 1 1 (3)等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和； R R1 R2
(4)并联电阻上电流的分配与电阻成反比。 两电阻并联时的分流公式：I R2 I 1 R1 R2 应用：分流、调节电流等。
I2
R1 I R1 R2
2.2 电阻星形与三角形联接的等效变换
齐性定理 只有一个电源作用的线性电路中,各支路的电压或电流和电源成正比。 若 E1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
习题：
已知：E=120V，R1=2Ω，R2=20Ω， R3=2Ω，R4=20Ω，R5=2Ω， R6=20Ω。 求各支路电流。 设
1A I5
E 33 .02V
I5 I5
E 3.63 A E
习题：
–
+ US Uo -
线性无
IS 源网络
已知：US =1V、IS=1A 时， Uo=0V; US =10 V、IS=0A 时，Uo=1V 求：US = 0 V、IS=10A 时， Uo=? (–1V)
1电路与电子学基础
电路与电子学基础
第1章 电路分析导论
1.1 电路 及其模型
1.4 等效变 换
1.2 电路基 本元件
1.3 基尔 霍夫定律
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电路分析导论
本章的学习目的和要求
本章内容是贯穿全课程的重要理论基础，要求在 学习中给予足够的重视。通过对本章学习，要求理 解理想电路元件和电路模型的概念；进一步熟悉电 压、电流、电功率和能量等基本物理量的概念；深 刻理解和掌握参考方向在电路分析中的作用；初步 理解和掌握基尔霍夫定律的内容及其应用；领会电 路等效的概念和掌握电路等效的基本方法。
a
+US1
d
– US2
Vc = – US2
返节目录
电路分析导论
电位的计算应用举例
• 举例1：分别以A、B为参考点计算C和D点的电位及
UCD。
3 C + 10 V – A I 2 D – 5V +
解 以A为参考点时
10 + 5 I= 3+ 2 =3A VC = 3 3 = 9 V VD= 3 2= – 6 V UCD = VC VD = 15 V 以B为参考点时 UCD = VC – VD= 15 V
返节目录
？
B
VC = 10 V
VD = – 5 V
电路分析导论
电位的计算应用举例
• 举例2：下图所示电路，求S打开和闭合时a点电位各为 多少？ 解 S断开时，图中三个电阻为串联
－12V 6kΩ 4kΩ S
I=[12-(-12)] ÷(6+4+20)=0.8mA a
I 20kΩ
＋12V
Va=12-0.8×20=－4V S闭合时，等效电路如下图所示 a
电子工业出版社《电路与电子学》 第二讲
电工与电子技术第二章课后习题参考答案
习题22-1 在题图2-1中，已知112S U V =,28S U V =，12R =Ω,23R =Ω，36R =Ω。
用支路电流法求各支路电流。
Us 2Us题图2-1解： 3,2b n == KCL 方程：123I I I += KVL 方程：11331S I R I R U += 22332S I R I R U += 解得：1235213,,399I A I A I A ==-= 2-2 在题图2-2中，已知110S U V =, 1S I A =，12R =Ω,23R =Ω，用支路电流法计算1I 和2I 。
IsUs题图2解：3,2b n == KCL 方程：12s I I I += KVL 方程：1122S I R I R U += 解得：12712,55I A I A ==2 -3用节点电压法求2-1各支路电流。
解：121212312882623611111133236s S abU U R R U V R R R ++===+=++++ 11126125323s abU U I A R --=== 2222682339S abU U I A R --===- 332613369ab U I A R ===2-4用节点电压法求2-2的电流1I 和2I 。
解：112101627.211115236sS abU I R U V R R ++====++111107.21.42s ab U U I A R --=== 227.2 2.43ab U I A R ===或211 1.41 2.4S I I I A =+=+= 2-5 在题图2-5中，已知110s U V =, 26S U V =, 2S I A =,12R =Ω,23R =Ω，36R =Ω，1S R =Ω，用节点电压法求电流1I 和2I 和3I 。
sR U题图2-5解：设上面的节点为a ，下面的节点为b 则12121231262236111111236s S S abU U I R R U V R R R +-+-===++++11112632S ab U U I A R --=== 2226603S ab U U I A R --===33616ab U I A R === 2-6在题图2-6中，已知10S U V =, 2S I A =，14R =Ω,22R =Ω，38R =Ω。
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解 (1)
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有
(3) 由0+等效电路，计算各初始值。
求初始值的简要步骤如下： (1) 由t＜0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 画出0+等效电路； (3) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。
2.3 一阶电路的零输入响应
例 2.2 – 1 电路如图2.2 - 4(a)所示。在开关闭合前， 电
路已处于稳定。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和
iC(0+)。 解 (1) 求开关闭合前的电容电
压uC(0-)。由于开关闭合前电路已处
于稳定，uC(t)不再变化，duC/dt=0， 故iC=0，电容可看作开路。t=0-时电 路如图(b)所示，由图(b)可得
化率成正比。如果通过电感的电流是直流，则u=0， 电感相
当于短路。 (2) 由于电感上的电压为有限值， 故电感中的电流不能 跃变。
对(2.1 - 9)式两端同时积分，并设i(-∞)=0， 得
（2.1-10）
设t0为初始时刻， (2.1 - 10)式可改写为
设电感上的电压、电流采用关联参考方向，由(2.1-9)式， 得电感元件的吸收功率为
按式(2.4-5)可以得到 电容电流
2.4.2 RL电路的零状态响应 RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相 似。图（2.4-4）所示电路在开关闭合前，电感 电流为零，即iL(0-)=0。当t=0时开关K闭合。 根据KVL,有
由于 图2.4-4 RL充电电路
所以
(2.4-6)
这是一阶常系数非齐次微分方程，其解答为
图（a)
解：换路前开关闭合，电路处于稳定状态，电容 电流为零，电容电压等于200Ω 电阻的电压，由此 得到
时间常数：
写出电容电压的零输入响应
计算电容电流
方法一：
方法二：
2.3.2 RL电路的零输入响应
电感电流原来等于电流Is， 电感中储存一定的磁场能 量，在t=0时开关打开
由KVL得
(2.3-7) 根据换路定律，得初始条件为
时间常数为：
2.4 一阶电路的零状态响应
电路的零状态响应定义为：电路的初始储能为零，仅
由t≥0外加激励所产生的响应。
2.4.1 RC电路的零状态响应
图中所示电路中的电容原来未充电， uC(0-)=0。t=0时开关Ｋ闭合，电压源 US被接入RC电路。
图2.4-1 一阶RC电路的零状态响应
据OL
代入（2.4-1）
求得
因而
(2.4-3)
式中的常数A由初始条件确定。在t=0+时
由此求得
代入式(2.4-3)中得到电容电压的零状态响应为
(2.4-4)
电容电流可以由电容电压求得
(2.4-5)
图2.4-2
RC电路的零状态响应曲线
计算图（2.4-1）可以不用列解微分方程，直接按式 （2.4-4）写出零状态响应。 对于比较复杂一点的电路，可以利用戴维南定理将电路 变换为图(2.4-1)的形式，再按式（2.4-4）写出零状态响应。 零输入响应一般称为放电，零状态响应一般则称为 电容器充电。 与放电过程类似，经过3τ ～5τ 的时间，电容电压接近 电源电压，即认为过程结束。
据KVL
(2.4-1) 常系数线性一阶非齐次方程
其初始条件为
常系数线性一阶非齐次微分方程。其解包括两部分，即 (2.4-2) 式中的u/C(t)是与式（2.4－1）相应的齐次微分方程的 通解，其形式与零输入响应相同，即
式(2.4－2)中的u//C(t)是式(2.4－1)所示非齐次微分方程
的一个特解，应满足非齐次微分方程．对于直流电源激励 的电路，它是一个常数，令
我们把外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生 的电流和电压，称为动态电路的零输入响应。 2.3.1 RC电路的零输入响应 所示电路中的开关原来连接在1端，电 流源IS通过电阻Ro对电容充电，假设在 开关转换以前，电容电压已经达到ISR0。 在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经 充电的电容脱离电流源而与电阻R 联接。
由曲线可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积。令 =RC，由于 具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。 时间常数τ的大小反映了电路过渡过程的进展速度，τ越大， 过渡过程的进展越慢。当t=τ时，
当t=4τ时，
随时间而衰减
t
1 e
2
3
4
5
6
e
2
e
3
e
4
e
5
e
解
(1) 由t＜0时的电路，求iL(0-)。
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律，有
(3) 由0+等效电路，计算各初始值。由图(c)可知
例 2.2-3 电路如图2.2 - 6(a)所示，t=0时开关S由1扳向2， 在t＜0时电路已处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。 图 2.2 – 6 例2.2 - 3用图
(2.3-8)
(2.3-9) (2.3-10) (2.3-11)
令τ=L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常 数。这样，(2.3 - 9) 式可表示为 (2.3-12) 由于零输入响应是由动态元件的初始储能所产生的，随 着时间t的增加，动态元件的初始储能逐渐被电阻R所消耗， 因此，零输入响应总是按指数规律逐渐衰减到零。若零输入 响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
[例2.4-1] 电路如图所示，已知电容电压uC(0-)=0， t=0开关闭合，求t0的电容电压uC(t)和电容电流iC(t)。
解: 在开关闭合瞬间，由换路定律 当电路达到新的稳定状态时
由电容两端得到的等效电阻
电路的时间常数
按式（2.4-4）写出电容电压的零状态响应为
按式（2.4-4）写出电容电压的零状态响应为
图 2.2 – 4 例2.2 - 1用图
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有
(3) 由0+等效电路，计算各电流的初始值。由图(c)可知
例 2.2 电路如图2.2 - 5(a)所示，t=0时开关S由1板向2， 在t＜0时电路处于稳定。求初始值i1(0+)、 i2(0+)和uL(0+)。
图 2.2 – 5 例2.2 - 2用图
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，uC(5 )=0.007U0 ，基本达到稳态值。
只有 工程上认为
时电路才能真正达到稳态， ~ 、
。
电容放电基本结束。
图 2.3 – 2 不同时间常数的uC波形
[例2.3-1] 电路如图（a)所示，换路前电路处于 稳定状态。t=0时刻开关断开，求t >0的电容电压和 电容电流。
（2.1-2）
(1) 任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变 化率成正比。如果电容两端加直流电压， 则i=0， 电容元件 相当于开路。故电容元件有隔断直流的作用。 (2) 在实际电路中， 通过电容的电流i总是为有限值，这意 味着du/dt必须为有限值，也就是说， 电容两端电压u必定是 时间t的连续函数，而不能跃变。这从数学上可以很好地理解， 当函数的导数为有限值时，其函数必定连续。 将式(2.1-2)改写为 对上式从-∞到t进行积分，并设u(-∞)=0，得
对上式从-∞到t进行积分， 得电感元件的储能为
2.1.3 电感、电容的串、并联
图 2.1 – 5 电感串联
根据电感元件VAR的微分形式， 有
电感L1与L2相并联的电路如图2.1 - 6(a)所示，电感L1和
L2的两端为同一电压u。根据电感元件VAR的积分形式有
图 2.1 – 6 电感并联
由KCL，得端口电流
图 2.2 – 3 RLC串联电路
图2.2-3所示RLC串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电 路响应，根据KVL可得
由于
一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描
述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。
2.2.2 电路量的初始值计算
我们把电路发生换路的时刻记为t0，把换路前一瞬间记 为t0-，而把换路后一瞬间记为t0+。当t=t0+时，电容电压uC和 电感电流iL分别为
图 2.3 – 1 一阶RC电路的零输入响应
(2.3-1)
(2.3-2)
(2.3-2)
(2.3-3)
(2.3-4) 令 具有时间量纲,即
(2.3-5) (2.3-Fra bibliotek)ISR0
IS
0.368 ISR0
0.368 IS
RC电路的零输入响应曲线
电路在t＜0时，处于稳定状态，电容上的电压为R0Is。当 电路发生换路后，电容电压由uC(0+)逐渐下降到零，我们把 这一过程称为过渡过程，或称为暂态过程。当t→∞时，过渡 过程结束，电路又处于另一稳定状态。
图 2.1 – 2 例2.1 - 1用图
其波形如图(d)所示。 根据电容储能
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
图 2.1 – 2 例2.1 - 1用图
2.1.2 电感元件
图 2.1 – 3 实际电感器示意图
图 2.1 – 4 线性时不变电感元件
（2.1-9） (1) 任何时刻，电感元件两端的电压与该时刻的电流变
（2.2-4）
若在t=t0处，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压 uC和电感电流iL在该处连续，它们不能跃变。 一般情况下，选择t0=0，则由(2.2 - 4)式得
根据置换定理，在t=t0+ 时，用电压等于u(t0+)的电压