山东省2014届理科一轮复习试题选编12：正余弦定理的问题

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编12：正余弦定理的问题一、选择题 1 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知ABC ∆中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若ABC ∆的面积为S,且()222,tan S a b c C =+-则等于（ ）A ．34 B ．43 C ．43-D ．34-【答案】C 由()222S a b c =+-得22222S a b ab c =++-,即22212sin 22ab C a b ab c ⨯=++-,所以222sin 2ab C ab a b c -=+-,又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab C C ab ab +--===-,所以s i n c o s 12C C +=,即22cos sin cos 222C C C =,所以tan 22C =,即222tan2242tan 1231tan2C C C ⨯===---,选C ．2 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为 （ ）A ．518 B ．34CD ．78【答案】D【解析】设底边长为x ,则两腰长为2x ,则顶角的余弦值222(2)(2)7cos 2228x x x x x θ+-==⨯⨯.选 D ．3 ．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）在ABC ∆中,角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且4524==B c ，,面积2=S ,则b 等于 （ ）A ．2113 B ．5 C ．41 D ．25【答案】B 【解析】因为4524==B c ，,又面积11sin 222S ac B =⨯=⨯=,解得1a =,由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-,所以21322252b =+-⨯=,所以5b =,选 B ．4 ．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）在AABC 中,若sinA =2 sinBcosC,222sin sin sin A B C =+,则△ABC 的形状是 （ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】D 5 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）已知∆ABC 中,a 、b 、c 分别为A,B,C的对边, a=4,b=30∠=A ,则∠B 等于（ ）A ．30B ．30 或150C ．60D ．60 或120【答案】D 【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=.即sin 1sin 2b A B a ===所以60B = 或120 ,选D ．6 ．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ,若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列则B = （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π【答案】C 【解析】因为cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列,所以cos cos 2cos a C c A b B+=,根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,即sin()2sin cos A C B B +=,即sin 2sin cos B B B =,所以1cos 2B =,即3B π=,选C ．7 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a ,b ,c ,若22245b c b c +=+-且222a b c bc =+-,则△ABC 的面积为（ ）AB．2 C．2D【答案】B 8 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）由下列条件解ABC ∆,其中有两解的是（ ）A ．︒===80,45,20C A b oB ． 60,28,30===B c aC ． 45,16,14===A c aD ． 120,15,12===A c a【答案】C 【解析】在C 中,sin 16C A ==且sin C A a c <<,所以有两解.选 C ． 9 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）在△ABC 中,内角A ．B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且222222c a b ab =++,则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】A 【解析】由222222c a b ab=++得,22212a b c ab+-=-,所以222112cos 0224aba b c C ab ab -+-===-<,所以090180C << ,即三角形为钝角三角形,选 （ ）A ．10．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）△ABC 的内角A 、B ．C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin Ca sin C =b sin B ．则B ∠=（ ）A ．6π B ．4π C．3π D ．34π 【答案】C11．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）在,2ABC AB ∆∠=中,A=60,且ABC∆,则BC 的长为 （ ）AB ．3CD ．7【答案】A11sin 60222S AB AC AC =⨯⋅=⨯= ,所以1AC =,所以2222c o s03B C A B A C A A C =+-⋅ ,,所以BC =,选A ．二、填空题 12．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D,测得015,30BCD BDC ∠=∠=,CD=30,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60.则塔高AB=__________.【答案】【解析】因为015,30BCD BDC ∠=∠= ,所以135CBD ∠=,在三角形BCD 中,根据正弦定理可知s i n s i n C D B C C B D B D C =,即030sin135sin 30BC=,解得1BC =,在直角ABC ∆中,tan 60ABBC==所以AB === 13．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）在ABC ∆中,角A,B,C 新对的边分别为a,b,c,若cos cos sin a B b A c C +=,222b c a +-=,则角B=________.【答案】60由222b c a +-=得222cos 2b c a A bc +-===,所以30A = .由正弦定理得sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=,即sin()sin sin sin A B C C C +==,解得sin 1C =,所以90C = ,所以60B = .14．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））已知三角形的一边长为4,所对角为60°,则另两边长之积的最大值等于.【答案】16【解析】设另两边为,a b ,则由余弦定理可知22242cos 60a b ab =+- ,即2216a b ab =+-,又22162a b ab ab ab ab =+-≥-=,所以16ab ≤,当且仅当4a b ==时取等号,所以最大值为16. 15．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）在ABC ∆中,sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列,则B 的取值范围是_____________【答案】(0,]3π【解析】因为sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列,所以2sin sin sin A C B =,即2ac b =,所以22222221cos 2222a c b a c ac a c B ac ac ac +-+-+===-,所以221211cos 22222a c ac B ac ac +=-≥-=,所以03B π<≤,即B 的取值范围是(0,]3π.16．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）2009年北京庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为米,则旗杆的高度为______米.【答案】30 【解析】设旗杆的高度为x 米,如图,可知001806015105ABC ∠=--= ,0301545CAB ∠=+= ,所以1801054530ACB ∠=--= ,根据正弦定理可知sin 45sin 30BC AB=,即BC =,所以sin 60x BC == ,所以30x ==米.17．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c,若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于____. 【答案】23π18．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）在△ABC 中,角A,B,C 的对边为a,b,c,若45a b B ===︒,则角A=_______.【答案】60或120【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=,即2==,所以sin A =,因为a b >,所以45A > ,所以60A = 或120A =. 19．（2010年高考（山东理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=2,sinB+cosB=2,则角A 的大小为______________.【答案】答案:6π解析:由sin cos B B +=1+2sinBcosB=2,即sin21B =,因为0B π<<,所以45B =︒,又因为2,a b ==,所以在ABC ∆中,由正弦定理得:2sin sin 45A =︒,解得1sin 2A =,又a b <,所以45AB <<︒,所以30A =︒.命题意图:本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了同学们解决三角形问题的能力,属于中档题.三、解答题 20．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知角,sin 3sin .3A B C π==(1)求tan C 的值;(2)若a =求△ABC 的面积.【答案】21．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = (I)求角C 的大小;(II)cos()4A B π-+的最大值,并求取得最大值时角,A B 的大小【答案】 22．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）在△ABC 中,三个内角分别为A,B,C,已知4π=A ,54cos =B . (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D 为AB 的中点,求CD 的长.【答案】【解析】(1)因为54cos =B ,且),0(π∈B ,=-=B B 2cos 1sin 53,则)cos(cos B A C --=π+=-=B B cos 43cos )43cos(ππB sin 43sin π10253225422-=⨯+⨯-=.(2)由(1)可得=∠-=∠ACB ACB 2cos 1sin 1027)102(12=--=.由正弦定理得ACB ABA BC ∠=sin sin ,即10272210AB =,解得AB=14. 因为在△BCD 中,721==AB BD ,⋅⋅-+=BD BC BD BC CD 222237541072107cos 22=⨯⨯⨯-+=B ,所以37=CD .23．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）已知2()cos2f x x x ωω=-的图象上两相邻对称轴间的距离为()2ωπ＞0. (Ⅰ)求()f x 的单调减区间;(Ⅱ)在△ABC 中,,,a b c 分别是角A,B,C 的对边,若1(),3,2f A c ==△ABC 的面积是求a 的值.【答案】解:由已知,函数()f x 周期为π.∵21cos ()cos22xx f x x x ωωωω+=-+=-+11cos 22x x ωω=-- 1sin(62x ω=--π),∴2=2ω=ππ, ∴1()sin(2)62f x x =--π.(Ⅰ)由3222,262k x k +-+πππ≤≤ππ 得25222,33k x k ++ππ≤≤ππ∴5()36k x k k ++∈z ππ≤≤ππ∴()f x 的单调减区间是5[,]()36k k k ++∈z ππππ.(Ⅱ)由1(),2f A =得11sin(2)622A --=π,sin(2)16A -=π.∵0＜＜πA ,∴112666A --ππ＜＜π,∴262A -=ππ,3A =π.由1sin 2ABC S bc A == 3,c =得4b =,∴22212cos 169243132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,故a =24．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）已知,A B 是ABC ∆的两个内角,向量,sin )22A B A Ba +-= ,且||a =(1)证明:tan tan A B 为定值; (2)若,26A AB π==,求边BC 上的高AD 的长度.【答案】25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知)1,sin 32cos 2(x x +=,),(cos y x -=,且m n ⊥.(1)将y 表示为x 的函数)(x f ,并求)(x f 的单调增区间;(2)已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长,若()32A f =,且2=a ,4b c +=,求ABC ∆的面积.【答案】解:(1)由m n ⊥ 得0=⋅n m ,22cos cos 0x x x y ∴+-=即x x x y cos sin 32cos 22+=1)62sin(212sin 32cos ++=++=πx x x∴222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,∴,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,即增区间为[,],36k k k Z ππππ-++∈(2)因为3)2(=A f ,所以2sin()136A π++=,sin()16A π+=,∴Z k k A ∈+=+,226πππ因为π<<A 0,所以3π=A由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,即224b c bc =+- ∴24()3b c bc =+-,因为4b c +=,所以4bc =∴1sin 2ABC S bc A ==26．（2013山东高考数学（理））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =.(Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin B ==,由正弦定理得sin sin 3a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=.27．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））ABC ∆中,B ∠是锐角,2BC AB ==，,已知函数2()2cos f x BC BA x =++ .(Ⅰ)若(2)14f B =,求AC 边的长; (Ⅱ)若()12f B π+=,求tan B 的值.【答案】解:(Ⅰ)2()2cos243222cos f x BC BA B B x =++=++⨯+()72cos f x B x =++(2)72cos 214f B B B =++=整理得:24cos 90B B +-=cos B =或cos B =舍)∴2222cos 431AC BC BA BC BA B =+-⋅=+-= ∴1AC =(Ⅱ)()72sin 12f B B B π+=+-=整理得:sin 3B B -=将上式平方得:22sin cos 12cos 9B B B B -+=9=,同除2cos B9=整理得:28tan 30B B +-=∴tan B =,∵B ∠是锐角, ∴tan B = 28．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）ABC ∆中,内角A 、B 、C 成等差数列,其对边c b a ，，满足ac b 322=,求A.【答案】解:由C B A 、、成等差数列可得C A B +=2,而π=++C B A ,故33ππ=⇒=B B ,且A C -=32π而由ac b 322=与正弦定理可得C A B sin sin 3sin 22=A A sin )32sin(33sin 22-=⨯⇒ππ所以可得⇒=+⇒-=⨯1sin sin cos 3sin )sin 32cos cos 32(sin 34322A A A A A A ππ 21)62sin(122cos 12sin 23=-⇒=-+πA A A , 由67626320ππππ<-<-⇒<<A A , 故662ππ=-A 或6562ππ=-A ,于是可得到6π=A 或2π=A29．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数2()cossin (0,0)2222x x x f x ωϕωϕωϕπωϕ+++=+><<.其图象的两个相邻对称中心的距离为2π,且过点(,1)3π.(I) 函数()f x 的达式;(Ⅱ)在△ABC 中.a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,a =,ABC S ∆=,角C 为锐角.且满7()2126C f π-=,求c 的值.【答案】解:(Ⅰ)[]1())1cos()2f x x x w j w j =++-+π1sin()62x w j =+-+Q 两个相邻对称中心的距离为π2,则πT =,2ππ,>0,=2||w w w \=\Q , 又()f x 过点π(,1)3,2ππ1π1sin 1,sin 36222j j 骣骣鼢珑\-++=+=鼢珑鼢珑桫桫即,1cos 2j \=, πππ10,,()sin(2)2362f x x j j <<\=\=++Q(Ⅱ)πππ117sin sin 21266226C f C C 骣骣鼢珑-=-++=+=鼢珑鼢珑桫桫, 2sin 3C \=,π0,cos 2C C <<\=Q ,又112sin 223ABC a S ab C b D ===?,6b \=,由余弦定理得2222cos 21c a b ab C =+-=,c \=30．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知向量m=）（3,cos 22x ,n=）（x 2sin ,1,函数()f x =m ∙n.(1)求函数()f x 的对称中心;(2)在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,且1,3)(==c C f ,32=ab ,且b a >,求b a ,的值.【答案】解:(1)22()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =⋅=⋅=+ ,cos 2122sin(2)16x x x π=++=++令ππk x =+62得,122ππ-=k x )(Z k ∈,∴函数()f x 的对称中心为)1122(，ππ-k (2)31)62sin(2)(=++=πC C f ,1)62sin(=+∴πC ,C 是三角形内角,∴262ππ=+C 即:.6π=C232cos 222=-+=∴ab c a b C 即:722=+b a 将32=ab 代入可得:71222=+aa ,解之得:32=a 或4,23或=∴a ,32或=∴b 3,2,==∴>b a b a31．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,已知bc a c b 23)(3222+=+. (Ⅰ)若C B cos 2sin =,求C tan 的大小;(Ⅱ)若2=a ,ABC ∆的面积22=S ,且c b >,求c b ,.【答案】32．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知向量a =(cos ,sin x x ωω),b =(cos x ω,3cos x ω),其中(02ω<<).函数21)(-⋅=x f ,其图象的一条对称轴为6x π=.(I)求函数()f x 的表达式及单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,S 为其面积,若()2A f =1,b=l,S △ABC 求a 的值.【答案】由余弦定理得22241241cos6013a =+-⨯⨯︒=, 故a = 33．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A b B c C B +=+(I)求角C;(II)cos 4A B π⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值. 【答案】34．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知向量2,1),(cos ,cos ).444x x x m n == 记()f x m n =⋅ .(Ⅰ)若3()2f α=,求2cos()3πα-的值;(Ⅱ)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足(2)cos cos a c B b C -=,若1()2f A =,试判断△ABC 的形状.【答案】解:211()cos cos cos 4442222x x x x x f x =+=++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭ (I) 由已知32f ()α=得13sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,于是24,3k k παπ=+∈Z ,∴ 22241333cos()cos k πππαπ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭ (Ⅱ) 根据正弦定理知:()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵1()2f A =∴11sin 2622263A A πππ⎛⎫++=⇒+=⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或π 而203A π<<,所以3A π=,因此∆ABC 为等边三角形35．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,己知cos 2cos 2.cos A C c a B b--=(I)求sin sin CA的值; (II)若cosB=1,2,4b =求△ABC 的面积S.【答案】36．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB A CB cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. (Ⅰ)证明:a c b 2=+;(Ⅱ)若c b =,设θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==,求四边形OACB 面积的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由题意知:243ππω=,解得:32ω=,ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴ a c b A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴(Ⅱ)因为2b c a b c +==，,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=++⋅435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈ ，,2--333πππθ∴∈(，),当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为2+37．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）在三角形ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,(2,cos ),(,cos ),//m b c C n a A m n =-= 且.(1)求角A 的大小;(2) 若4a =,三角形ABC 的面积为S ,求S 的最大值.【答案】解:(1)由//m n,得(2)cos cos 0b c A a C --=, ∴(2sin sin )cos sin cos 0,2sin cos sin cos sin cos sin()sin()sin B C A A C B A C A A C A C B Bπ--==+=+=-=在三角形ABC 中,sin 0B >,因此1cos ,23A A π==故(2)∵3A π=,∴2222cos a b c bc A =+-,即2216b c bc =+-,∴22162()b c bc bc bc bc b c =+-≥-==当且仅当时取等号,∴11sin 1622S bc A =≤⨯= 38．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）在△ABC 中,已知A=4π,cos B =.(I)求cosC 的值; (Ⅱ)若为AB 的中点,求CD 的长.【答案】解:(Ⅰ)552cos =B 且(0,180)B ∈ ,∴55cos 1sin 2=-=B B )43cos()cos(cos B B A C -=--=ππ1010552255222sin 43sin cos 43cos-=⋅+⋅-=+=B B ππ (Ⅱ)由(Ⅰ)可得10103)1010(1cos 1sin 22=--=-=C C由正弦定理得sin sin =BCABA C,即101032252AB =,解得6=AB在∆BCD 中,55252323)52(222⨯⨯⨯-+=CD 5=,所以5=CD 39．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为c b a ,,,,A B 为锐角且B A <,sin A =, 3sin 25B =.(Ⅰ)求角C 的值;(Ⅱ)若1b c +=,求c b a ,,的值.【答案】解:(Ⅰ)∵A 为锐角,sinA =∴cos A ==∵B A <,sin A =<,∴45B <∵3sin 25B =,∴4cos 25B ==∴cosB ==sin B =cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+==∴135C =(Ⅱ)由正弦定理sin sin sin a b ck A B C===∴b c k +=+,解得k =∴1,a b c ===40．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且满足cos 2A =AB AC=3.(1) 求△ABC 的面积; (2) 若c =1,求a 、sin B 的值.【答案】解:(1) cos A =2×2-1=35, 而||||AB AC AB AC = cos A =35bc =3,∴bc =5又A ∈(0,π),∴sin A =45, ∴S=12bc sin A =12×5×45=2(2) ∵bc =5,而c =1,∴b =5∴222a b c =+-2bc cos A =20,a=又sin sin a b A B =,∴sinB=sin b A a == 41．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边为c b a ,,已知4102sin=C . (Ⅰ)求C cos 的值; (Ⅱ)若ABC ∆的面积为4153,且C B A 222sin 1613sin sin =+,求c b a ,,的值. 【答案】解:(Ⅰ)41451)410(212sin 21cos 22-=-=⨯-=-=C C (Ⅱ)∵C B A 222sin 1613sin sin =+,由正弦定理可得:2221613c b a =+由(Ⅰ)可知415cos 1sin ,0,41cos 2=-=∴<<-=C C C C π. 4153sin 21==∆C ab ABC S , 得ab=6由余弦定理C ab b a c cos 2222-+= 可得3161322+=c c 4,0,162=∴>=c c c由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+322361322b a b a ab b a 或得, 42．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013济南市一模)已知)1,sin 32cos 2(x x m +=,),(cos y x n -=,且m n ⊥. (1)将y 表示为x 的函数)(x f ,并求)(x f 的单调增区间;(2)已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长,若()32A f =,且2=a ,4b c +=,求ABC ∆的面积.【答案】【解析】(1)由m n ⊥得0=⋅n m ,22cos cos 0x x x y ∴+-=即x x x y cos sin 32cos 22+=1)62sin(212sin 32cos ++=++=πx x x∴222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,∴,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,即增区间为[,],36k k k Z ππππ-++∈(2)因为3)2(=A f ,所以2sin()136A π++=,sin()16A π+=,∴Z k k A ∈+=+,226πππ因为π<<A 0,所以3π=A由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,即224b c bc =+- ∴24()3b c bc =+-,因为4b c +=,所以4bc =∴1sin 2ABC S bc A ==43．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知(2cos ,1)a x x =+ ,(,cos )b y x =,且//a b .(I)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期;(II)记()f x 的最大值为M ,a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应的边长,若(),2Af M =且2a =,求bc 的最大值.【答案】解:(I)由//a b 得22cos cos 0x x y +-= 2'即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x π=+=+=++所以()2sin(2)16f x x π=++ , 4'又222T πππω===所以函数()f x 的最小正周期为.π 6' (II)由(I)易得3M = 7'于是由()3,2A f M ==即2sin()13sin()166A A ππ++=⇒+=,因为A 为三角形的内角,故3A π=9'由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2242b c bc bc bc bc =+-≥-= 11' 解得4bc ≤于是当且仅当2b c ==时,bc 的最大值为4. 12'44．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）如图,角A 为钝角,且sinA=35,点P,Q 分别是在角A的两边上不同于点A 的动点.(1)若5,AP PQ ==求AQ 的长; (2)若∠APQ=α,∠AQP=β,且12cos 13α=,求sin(2)αβ+的值.【答案】45．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）设ABC ∆的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且sin cos b A B =.(1)求角B 的大小;(2)若3,sin 2sin b C A ==,求,a c 的值.【答案】【解析】(1) sin cos b A B =,由正弦定理得sin sin cos B A A B =即得tan B =3B π∴=(2)sin 2sin C A = ,由正弦定理得2c a =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,229422cos3a a a a π=+-⋅,解得a =2c a ∴== 稿源:konglei 46．（2011年高考（山东理））在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知c o s 2c o s 2c o s A C c aB b --=. (1)求sin sin C A的值;(2)若1cos ,24B b ==,求ABC ∆的面积S .【答案】解:(Ⅰ)在ABC ∆中,由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得 cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=, 即sin sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=- 则sin sin sin cos 2sin cos 2cos sin A B A B C B C B +=+sin()2sin()A B C B +=+,而A B C π++=,则sin 2sin C A =, 即sin 2sin C A=. 另解1:在ABC ∆中,由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得 cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c+-+-+-+--=-,整理可得2c a =,由正弦定理可得sin 2sin C cA a==.另解2:利用教材习题结论解题,在ABC ∆中有结论cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+. 由cos 2cos 2cos A C c a B b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=- 即cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+,则2c a =,由正弦定理可得sin 2sin C cA a==.(Ⅱ)由2c a =及1cos ,24B b ==可得22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =,2c =,S 11sin 12224ac B ==⨯⨯=,即4S =. 47．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知4A =π,sin()sin()44b Cc B a ---=ππ. (Ⅰ)求B 和C ;(Ⅱ)若a =求△ABC 的面积.【答案】解:(Ⅰ)由sin()sin(),44ππ---=C b c B a 用正弦定理得 sin sin()sin sin()sin .44ππ---=C C B B A∴sin )sin )-=C C C B B B 即sin cos cos sin 1,-=C C B B ∴sin() 1.-=C B∵30,4＜＜π，C B∴33,44π＜＜π--C B∴2π-=C B .又4A =π,∴34π+=C B ,解得5,.88ππ==C B(Ⅱ)由(Ⅰ)5,88ππ==C B ,由正弦定理,得sin 54sin .sin 8a B b A ===π ∴△ABC的面积115sin 4sin sin 2288ππ==⨯C S ab5sin sin 8888==ππππ2.4==π 48．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知函数22x x f (x )cos =. (I)若[22]x ,ππ∈-,求函数f (x )的单调减区间;(Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,若24233f (A ),sin B C,a π-===求△ABC 的面积.【答案】49．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）在∆ABC 中,a,b,c 分别为有A,B,C的对边,向量2(2sin ,2cos 2),(2sin (),1),24π=-=+- B m B B n 且⊥ m n (1)求角B 的大小; (2)若a =,b=1,求c 的值.【答案】解 22sin 2sin ()(2cos 2)242sin (1cos())2cos 22ππ=+--=-+-+ B mgn Bg B Bg B B12sin 10,sin 2=-=∴=B B 因为0π<<B ,所以566ππ=B 或 (2)在∆ABC 中,因为b<a,所以6π=B 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 得2320c c -+=所以1c =或2c =。