2014年秋季八年级数学教材

2014年秋季八年级数学教材第一讲三角形的三线【知识体系】一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．二、三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．- 2 -- 3 -（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．三、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可四、三角形的稳定性- 4 -三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．【例题解析】【例1】填空1、按角分类：可分为三角形、三角形、三角形；按边分类：等腰三角形和不等边三角形；等腰三角形又可分为：三角形和不相等的等腰三角形；2、（1）如图，若，则AD是△ABC的中线；三角形有条中线；三角形的中线将三角形分成相等的两个三角形；（2）如图，若，那么CE是△ABC的角平分线；三角形有条角平分线；（3）如图，则BF是△ABC的BC边上的高；三角形有条高；锐角三角形条高在三角形内部；直角三角形条高在三角形- 5 -- 6 -2题图DCBAEE A CBA CBACABCE E 内部；钝角三角形 条高在三角形内部；3、下列图形中有稳定性的是 A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 平行四边形【例2】对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.【练】下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )(1)CBACBA(2)CBA(3)图8.2.5- 7 -【例3】如图，在ΔABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高。

填空：（1）BE== ； （2）∠BAD== ；（3）∠AFB= =90°； （4）S ΔABC= 。

【练】如图,在⊿ABC 中, ∠1=∠2,G 为AD 中点,延长BG 交AC 于E,F 为AB 上一点,CF ⊥AD 于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ①AD 是⊿ABE 的角平分线( )FE D CBA2121- 8 -_ E DBC_ A DCBA②BE 是⊿ABD 边AD 上的中线( ) ③BE 是⊿ABC 边AC 上的中线( ) ④CH 是⊿ACD 边AD 上的高( )【例4】如图，在△ABC 中，D,E 分别是BC ，AD 的中点，ABC S ∆=42cm ，求ABE S ∆【练】如图，在△ABC 中，D 是AD 的中点，ABD S ∆=42cm ，求ABC S ∆- 9 -BEAD【例5】如图，△ACB 中，∠ACB=90°，∠1=∠B ．（1）试说明CD 是△ABC 的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD 的长．【练】已知AD,CE 为三角形ABC 的两条高，AB=4cm,CE=2cm (1) 求三角形ABC 的面积 (2) 若AD=1.5cm 求BC 的长【例6】如图，在三角形ABC中，AD是BC 边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD 的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？【练】在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞- 10 -AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．【例7】1.以下各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，5cm【练】1.在ABCBC=，则第三边ACAB=，6△中，若8的长度m的取值范围是．2.（2011•河北）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数则这样的三角形个数为（）A、2B、3C、5D、13【练】已知三角形的两边长为2cm和7cm，第三边的长是一个奇数，则第三边的长是cm。

3.已知等腰三角形三边长分别是4,8，X，求X 的值【练】等腰三角形的一边长为5cm，它的另一边短6cm，求三角形的周长【例8】已知a,b.c分别是三角形ABC△的三边长，且b,c满足（b-c）＾2+/c-3/=0，a满足/a-4/=2(1)求ABC△的周长(2)判断ABC△的形状B ． A ． D C【练】已知a,b.c 分别是三角形ABC △的三边长，化简c b a -++c b a +-+c b a --【例10】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是【家庭作业】1、如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是_________．（2）在△AEC中，AE边上的高是_________．（3）在△FEC中，EC边上的高是_________．（4）若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S△AEC=_________cm2，CE=_________cm．2. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，CAC=5cm，求○1△ABC的面积；○2CD的长。

A B3、如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．4、如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC 的长．5、如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．7、如图在△ABC中，CD是高，点E、F、G 分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，∠1=∠2，试判断DG与BC的位置关系？并说明理由．8、三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是________.第二讲: 三角形角度计算【基础回顾】1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于；引申：直角三角形中，两内锐角；几何形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C= ；或∠A+∠B = -∠C；或∠A = -∠C-∠B；2、（1）三角形的与另一条边组成的角叫三角形的外角；（2）三角形的一个外角等于和它的两个内角的和；几何形式：∠A+∠B = ；或∠A = -∠B；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它的内角；几何形式：∠ACD> ；或∠ACD> ；引申：（4）三角形的外角与它相邻的内角；几何形式：∠ACD+∠ACB = ；（5）三角形的外角和（每个顶点取一个外角）等于；3、多边形的对角线条对角线②n边形的内角和为③多边形的外角和为【例题解析】【例1】选择题1、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )4题图E B D AC H A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°3、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( ).A. 90°B. 110°C. 100°D. 120°4、如图，下列说法错误的是( )A 、∠B >∠ACDB 、∠B+∠ACB =180°－∠AC 、∠B+∠ACB <180°D 、∠HEC >∠B8题图150︒50︒3217题图140︒80︒16题图F EA CD5、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ).A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、无法确定6、如图，若∠A=10°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于( )A. 120°B. 115°C.93°D. 105° 7、如图，∠1=______.8、如图，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,9、已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.【例2】1．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．【练】（1）如图，已知：在中，，，BD是的高，求的度数.（2）如图，已知：在中，，，，求的度数.【例3】如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA 的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．【练】如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数【例4】在△ABC 中，点D 在BC 上，且AD=BD=CD ，AE 是BC 边上的高，若沿AE 所在直线折叠，点C 恰好落在点D 处，则∠B 等于多少？【练】如图，已知△ABC 为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线减去∠A ，求∠1+∠2的值21C BA21E D CBA【例5】如图把一张三角形纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 的内部时,探索∠A 、∠1、∠2之间的关系？【练】将△ABC 沿EF 折叠，使点C 落在点C ’处.（1）如图1，试问∠1、∠2与∠C 之间有何关系？为什么？（2）若点C ’在△ABC 的外部，如图2所示，试问∠1、∠2与∠C 之间又有何关系？为什么？1EA CA图4432140?【例6】已知，如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，求∠E 的度数【练】如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度EDCBA【例7】①如图1，求证∠A+∠B=∠C+∠D②如图2，求证∠A+∠B+∠C=∠BDC ③如图3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=____________④如图4，∠F=58°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=____________⑤如图5，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=____________⑥如图6，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G = ；⑦如图7，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ；FED CB A EDCBADCBAODCBA（图1） （图2）（图3） （图4）（图5） （图6）（图7）【例8】已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B= 0 ∠C= 0ABCD E FG AB CD E FFE DC BA【练】等腰三角形两内角的度数之比是1：2，求顶角的度数。