一种柔性悬索结构的建模与控制
二00六年学报总目次
跃 （ ・１ １ ）
冰 （ ５ １・ ）
一
实 时合 成 孔径雷 达 成像 中 的专用 快速 Ｃ ＴＭ 算法 …… … ……… … 张冠 杰 ，张 涛 ，张欢 阳 ，等 （ １・１ ） １
Ｈ． ６ ２ ４帧 内预 测快 速算 法 …… …… … …… …… ……… …… …… … 宋 彬 ，周宁 兆 ，常 义林 ，等 （ １・ｌ ） ５ ３Ｃ Ｉ 扫描输 入 的分 区校 正 … …… … …… …… ……… …… …… …… … 曾 平 ，谯 婷婷 ，顾 伟松 （ －Ｃ） １・ｌ ） ９ 柔索 动 态找形技 术研 究 … … ……… … ……… … …… …… ……… …… …… …… …… … …… 牛 海军 （ ２ ） １・ ４ ＭＡＮＥＩ ＇ｓ网络 中 的一种 分 布式 同步 预约 多址 接入协 议 ……… …… … 张艳玲 ，孙献 璞 ，李 建 东 （ ２ ） ’ １・ ８
单 载波 频域均 衡 系统 的时 域盲 信道 估计 方法 ……… … ……… … …… …… ……… 李 军 。廖 桂 生 （ ７ ） １・ ５ 基于对 象的特 定域 语 言 陶造方 法 … …… …… ……… …… …… …… …… 胡 圣明 ，李 青 山 ，陈 平 （ ８ ） １・ Ｏ
哼唱检索中一种新的旋律模糊匹配方法 ………………………………… 马志欣，付 少锋 ，周利华 （ ・ ５ １ ８）
一
种 基于 防火墙 的蠕 虫传 播 与控 制模 型 … …… ……… …… …… … 张 运 凯 ，马建峰 ，王方 伟 ，等 （ ３ ） １・ ３
一
种 柔性悬 索结 构 的建模 与控 制 … … ……… …… …… …… …… …… …… … …… 黄
进 ，段 宝岩 （ ３ ） １・ ７
柔性绳索体展开过程数值模拟及实验
对渔 网水动力进行了
收稿日期 : 2008 06 17; 修订日期 : 2008 09 22 基金项目 : 国家级项目 通讯作者 : 赵国伟 E mail : z haoguow ei@ buaa. edu . cn
1430
航
空
学
报
4 f2 m ax L T L T f max ( L T - 1) + 1 2W T
第 30 卷 2009 年
第8期 8月
航 空 学 报 ACT A A ERON A U T ICA ET A ST RO N AU T ICA SIN ICA
Vo l 30 No 8 A ug . 2009
文章编号 : 1000 6893( 2009) 08 1429 06
柔性绳索体展开过程数值模拟及实验
式中 : 为网线应变 , 最大应变为
; f l ( ) 为拉
位于单元中心 , 轴指向为 相邻球单元 1 到球单 元 2 方向 , ! 和 ∀ 通过正交化确定。圆柱形单元受
伸时的张力; f u ( ) 为回复过程的张力。
第8期
赵国伟等 : 柔性绳索体展开过程数值模拟及实验
1431
力情况( 忽略转矩) 如图 3 所示。 [xi [x # i yi yi # z i ] = C[
第 30 卷
m ia = T - F + W ( 1) 式中 : m i 为单元 i 的质量 ; a 为单元加速度 ; T 为 球单元( 或杆单元) 与相邻杆单元( 或球单元) 间的 张力 ; F 为单元运动中所受空气动力 ; W 为单元 自重。
f l( ) = 2W T fu( )= 2W T
3
( 3)
1
动力学模型
柔性机械臂的动力学建模与运动控制方法研究
柔性机械臂的动力学建模与运动控制方法研究柔性机械臂是一种结构具有柔性特点的机械臂，在实际应用中具有广泛的应用前景。
它灵活、轻巧，并能适应不同的环境和任务需求。
然而，由于柔性机械臂的特殊结构和柔性特性，其动力学建模和运动控制方法成为研究的重点之一。
一、柔性机械臂的动力学建模柔性机械臂的动力学建模是研究柔性机械臂运动规律和力学特性的基础。
传统的机械臂动力学建模方法通常基于刚体假设，忽略了柔性结构的影响。
而对于柔性机械臂来说，柔性结构会对机械臂的运动产生显著的影响，因此需要考虑柔性结构的动力学特性。
1.模态分析柔性机械臂的动力学建模中，模态分析是重要的一步。
通过模态分析，可以得到柔性机械臂的振型和频率响应特性，为后续的动力学建模提供基础。
模态分析可以借助实验测试和数值模拟方法进行。
2.拉格朗日方程拉格朗日方程是柔性机械臂动力学建模中常用的一种方法。
通过拉格朗日方程，可以将柔性机械臂的动力学方程转换为一组常微分方程，从而可以得到柔性机械臂的运动规律。
二、柔性机械臂的运动控制方法柔性机械臂的运动控制方法是研究如何控制柔性机械臂的运动轨迹和力的关键。
传统的控制方法通常基于刚体控制理论，无法很好地应用于柔性结构。
因此，针对柔性机械臂的特殊性，需要开发适应性强、鲁棒性好的运动控制方法。
1.自适应控制自适应控制方法适用于处理柔性机械臂的非线性和不确定性问题。
自适应控制通过实时调整控制参数，使控制系统能够适应柔性结构的变化，从而实现更好的运动控制效果。
2.模糊控制模糊控制方法通过建立模糊推理规则，将模糊逻辑应用于控制系统中，从而实现柔性机械臂的运动控制。
模糊控制方法具有较好的鲁棒性和适应性，可以应对柔性机械臂动态特性变化较大的情况。
3.神经网络控制神经网络控制方法基于神经网络的非线性映射能力和自适应学习能力，可以对柔性机械臂进行较为精确的运动控制。
通过训练神经网络，使其能够识别柔性机械臂的动态特性，并实现运动控制目标。
悬索结构——精选推荐
悬索结构一、悬索结构的概念随着生产的发展和人民生活水平的提高，建筑事业也在不断发展。
作为建筑结构中的重要分支——钢筋混凝土结构在各个方面都发展得越来越完善，而具有经济指标低、施工快、便于建筑造型等优点，在国外应用很广的悬索结构，在我国却因实践和理论研究上的不足，均处于相对落后的地位。
土木建筑结构所指的悬索结构，就是指以一系列受拉的索作为主要承重构件，这些索按一定规律组成各种不同形式的体系，并悬挂在相应的支承结构体系边缘构件上的结构。
正是因为索主要承受轴向拉力，所以可以最充分地利用钢材的强度，如果再采用高强度材料时，更可大大减轻结构自重，因而，悬索结构可以较经济地跨越很大的跨度，是目前大跨建筑的主要结构形式之一。
二、悬索结构的特点(一)受力合理、节约材料悬索结构是一种受力比较合理的建筑结构形式，将悬索结构与简支梁两者的受力情况进行对比，就可以看出这种合理性。
如图I所示，简支梁在竖向荷载作用下，上纤维压应力的合力与下纤维拉应力的合力组成了截面的内力矩，合力间的距离即为内力臂，它总在截面高度的范围内，因此要提高梁的承载能力，就意味着要增加梁的高度。
但在悬索结构中，钢索在自重下就自然形成了垂度，由索中拉力与支承水平力间的距离构成的内力臂，总在钢索截面范围以外，增加垂度也就加大了力臂，从而可以有效地减少索中拉力和钢索截面面积。
图1 筒支梁与悬索结构受力的合理性比较上——筒支梁(M=Nh0)；下——1II}素{M=Hf)(二)施工比较方便由于钢索自重很小，屋面构件一般也较轻，因而给施工架设带来了很大的方便。
安装时不需要大型起重设备，施工时不需要脚手架，也不需要模板。
这些都有利于加快施工进度，降低工程造价。
因而，与其它结构形式比较，施工费用相对较低。
(三)便于建筑造型悬索结构由于索网布置灵活，便于建筑造型，能适应多种多样的平面形状和外形轮廓，因而能较自由地满足各种建筑功能和表达形式的要求，使建筑与结构可以得到较完善的结合。
参数不确定漂浮基柔性空间机械臂载体姿态、关节协调运动及柔性振动主动抑制的混合控制方案
基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金项 目 １ ３２ ２ １６２ ４ ， 建 省 自然 科 学 ０７ ０２、０７ ０ ０ 福
基 金 项 目 Ｅ ４ ００ ０ １０ ８
收稿 日期 ：２０ ０ ９—０ ６一ｌ 修 改稿 收 到 Ｅ期 ：０ ９—０ ０ １ ｔ ２０ ９— ３ 第 一 作者 洪 昭 斌 男 ， 士 生 ，９２年 ９月 生 博 １８
１ 漂 浮 基 柔性 空 间机械 臂 系统 动 力学
不失一般 性 ， 虑 做平 面运 动 的 自由 漂浮 柔性 空 考
第 １期 １
洪 昭斌等 ：参数不确定漂浮基柔性空间机械臂载体姿态 、 关节协调运动及柔性振动主动抑制的混合控制方案
一
９ ５
间机械 臂系 统 ， 统 结 构 如 图 １所 示 。设 系统 由 自由 系 漂浮 的载体 。 刚性机 械臂 Ｂ 、 及 柔性 机械 臂 Ｂ 组 成 。
跟踪 进行简单 控制 ； 文献 ［ ］ ９ 将虚 拟刚性 机械 臂和 假设 运动 反解相结 合 ， 计 了柔 性 空 间机 械 臂模 型 的扩 展 设 Ｐ Ｄ控制 ； 献 ［０ 利用计 算力 矩法 对平 面柔性 空 间机 文 １］
制 。最 后 ， 使用 本 文 设计 的混 合 控 制方 案 对 漂 浮基 柔 性空 间机械臂 系统 进 行数 值 仿 真 ， 真 结 果 证 实 了该 仿 控 制方案在 系统具 有不确 定参 数 时仍 能保 证 系统追 踪
系统 参 数 不 确定 情 况 下 ， 够 使 载体 姿 态 及 机 械 臂关 节 角 稳 定 地追 踪 期 望 轨 迹并 对 所 产 生 的 柔性 振 动 进 行 主动 抑 制 。 能 关 键 词 ：漂 浮 基 柔 性 空 间机 械 臂 ； 合 控 制 ； 混 变结 构控 制 ； 性 振 动 控 制 ； 拟 控 制力 ； 确定 参 数 柔 虚 不 中 图分 类 号 ：Ｔ ２ １ Ｐ４ 文 献 标识 码 ：Ａ
钢丝绳在塔式起重机仿真系统中的柔性建模
78 建筑机械 2015.8
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AllH绳定（Rscda¦¦Hdday1dd=ii3g索的T2nsxxYyX）hcy12h由由将ddt任悬·oaȜ1csu式H2sxos（R0（g意链1y0h曲21iscȜ中e,nα,H[oH2sH1dda位线hcsge线，））§¨©。oxhyȜ(rdd(ads置状vdyx(可式式积xeghadxyscda¦CHdday1ddd1内态xH(i2sd得a¦¦可Hddd·¸¹可d2an.sxxYyix分22nscxyYsy2部d下hXx知c§¨©dd知oaȜ1y2xh1§¨©udH)dds公dc2a¦¦dHHȜdddsdx)张，suH1iH02ga1：xyh2xn21sixc)yxYy)0ȜgX,ny021H[oa式yH2hȜ力若,·¸¹ddddadd,dHhȜcsHg20HudyxdH§¨©2coHgxhyxȜ(ddxs的悬0§¨©g2(sad·¸¹a¦¦dsHdxddyy0Ȝdd21Ciddyx(=Ȝi,ndxdgha,2HnsyxHxyxx]Yy水链0CHXdgd1hdx(xygy2hH，·¸¹1da§¨©ddHxȜxyȜ(dd2·¸¹平线duHca2dsddxxy2xcs§¨©即dd20gsgdxy01d21i§¨©x§¨©y)dyxcȜ分呈dd,nC1x),H§¨©H1dHHdHHd·¸¹Hddxdx)yh)Hg2a1量静x§¨©axy为sdxyȜ(·¸¹ddddOc§¨©add21·¸¹dd§¨©yxyxddcHd的平cg固2)x0dyxHxy2·¸¹ogx1CxyxH·¸¹s·¸¹值衡d定]·¸¹dd2hdsd20Hyxc§¨©s[相状值H1§¨©adc=·¸¹dHd)ddH20同态x，xyddyx(（（（yxH·¸¹dxd代，，在2C0a1yx234Odd·¸¹即则特）））入Oyxcxog)gHsOhd ddds[aa=syxg=0x(0CdxOs]C=g0cx2d)s
一种单连杆机械臂柔性关节的滑模变结构控制
一种单连杆机械臂柔性关节的滑模变结构控制安凯;王飞飞【摘要】研究一种带柔性关节的单连杆机械臂的跟踪控制问题,其中体现关节柔性的是连接单连杆机械臂和驱动电机的两个仿腱线弹簧.利用Lagrange方程导出跟踪控制问题的数学模型,引进滑模变结构控制技术,给出Hurwitz多项式的确定以及滑模控制器的设计方法,并讨论Hurwitz多项式的根对控制效果的影响.将滑模控制器的表示式代入跟踪控制问题的数学模型中,得到状态变量的非线性微分方程组,利用Matlab进行仿真,得到了理想的控制输出效果.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2016(039)002【总页数】5页(P4-8)【关键词】单连杆机械臂;柔性关节;最优滑模跟踪控制;多目标规划【作者】安凯;王飞飞【作者单位】山东航天电子技术研究所,山东烟台264003;山东航天电子技术研究所,山东烟台264003【正文语种】中文【中图分类】TN911-34;TP273由于柔性机械臂具有惯量低、能耗低、模态频率低、质量轻、工作效率高和载荷质量比大等特点，已广泛应用于航空航天、精密加工、坐标测量等领域。
然而，柔性机械臂极易产生弹性振动，末端难以精确定位使其控制器的设计面临重大挑战，特别是在路径生成和跟踪的情形。
通常此类非线性系统控制器的设计方法是首先通过反馈线性化将机械臂动力学方程化为线性方程[1⁃5]，然后利用线性系统的技术设计控制器。
但对于柔性机械臂，由于反馈线性化方法在控制器设计过程中不能充分获取非线性系统的动力学特性，因此跟踪误差难以消除。
为了设计控制器使机械臂末端精确到达指定位置或跟踪预定的路径，许多研究者引进了微分几何的方法用于对柔性关节的控制。
Yim[6]，Oh and Lee[7]提出一种基于Backstepping设计的自适应输出反馈控制器，以解决柔性关节参数不确定问题。
Moberg等[8]针对三关节机械臂模型，研究了反馈线性化方法的离散时间实现，对不确定模型的快速跟踪问题进行了仿真。
MIDAS悬索桥建模常见问题(论坛讨论)
最近正在做论文，是一个自锚式悬索桥的实例，用MIDAS6.7.1来建模。
遇到的问题是：1.现在已知成桥时吊杆的索力和主缆的坐标，想要模拟出成桥时的状态，在进行分析。
可是我按照建模助手建出来的模型在进行精确分析时，会出现错误提示，说某个主缆或者吊杆出现不正常拉力，很是郁闷，不知道为什么？2.所以我直接就把成桥时候的线型手动输入了进去，然后就看吊杆拉力是否和图纸上的一致。
可是怎么也是差一些，大约在100KN左右，不知道是为什么。
我没定义节点更新和垂点，因为线性不需要修改了，只要索力能够复合就行。
我在一次成桥施工阶段看了位移，很小，符合要求，就是吊杆索力不对，不知道为什么？希望做过这方面例子的高手不要吝惜，花几分钟的时间告诉小弟如何解决问题，小弟将不胜感激，因为时间比较紧了，所以比较着急还没有解决呢，问题还是吊杆的拉力不对，而且中间的两根特别的大，不知道怎么调整了，郁闷中我也碰到这种情况，后来检查时约束修改后，没有加刚性约束造成的，修改后就可以计算了本人用MIDAS做了一个悬索桥成桥线形分析(选了分析里面的悬索桥分析控制),计算出来的结构出现[错误] 单元数据(号:55)内有错误。
(项目:索的Lu/L(0.5 ~ 1.5))请高手帮忙指教,不知道错在什么地方?谢谢我以前也做过一个悬索桥的计算,过程中好象出过这样的问题,后来修改了边界条件以后就可以了,你出的这个问题我想是定义的索单元出现的承受压力的情况我把截面改后这个问题就过了，具体怎么回事，我也不知道，还请高手指点！Lu/L好像是索的直线长度比上不张拉(unstrainded lenghth)的长度，在建立单元的时候选择索单元，图中就有解释了！此精确分析是为了找到结构的最佳初始平衡状态而反复计算的过程，且结构内力也是反复被更新。
在此过程不能使用弹性支承（Spring Support）。
如果必须要使用弹性支承（Spring Support），则建议使用弹性连接单元。
一种柔性悬臂梁结构的振颤主动控制方法[发明专利]
专利名称：一种柔性悬臂梁结构的振颤主动控制方法专利类型：发明专利
发明人：盛贤君,钟声,杨睿,张凤云
申请号：CN201410093686.3
申请日：20140313
公开号：CN103869702A
公开日：
20140618
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明属于梁结构振颤主动控制领域，涉及一种柔性悬臂梁结构的振颤主动控制方法。
振颤主动控制方法根据大量的仿真实验和参数调整原则，建立模糊控制规则。
采用基于遗传算法的模糊自整定分数阶PID控制器，利用遗传算法对5个参数进行优化处理；采用实数编码方式对分数阶PID控制器初始参数进行编码处理，并确定各参数的取值范围。
本发明采用压电复合纤维材料作为致动器，具有良好的柔顺性和机械加工性能，灵敏度高，可应用于曲面结构。
充分发挥分数阶PID控制的记忆性、准确性与模糊控制的灵活性、鲁棒性等优点，从而获得最佳的控制效果。
申请人：大连理工大学
地址：116024 辽宁省大连市凌工路2号
国籍：CN
代理机构：大连理工大学专利中心
代理人：关慧贞
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MIDAS悬索桥分析说明
关于MIDAS/Civil悬索桥分析的一些功能说明1）建模助手的功能使用简化方法计算获得索的水平张力和主缆的初始形状，利用悬索单元的柔度矩阵重新进行迭代分析。
当获得了所有主缆单元的无应力长之后，则构成由主缆和吊杆组成的索的体系，即，主缆两端、索塔墩底部、吊杆下端均按固接处理。
当将无应力索长赋予悬索单元时，将产生不平衡力引起结构变形，然后通过坐标的变化判断收敛与否，当不收敛时则更新坐标重新计算无应力索长直至收敛，建模助手分析结束。
2）悬索桥分析控制以建模助手生成的主缆坐标、无应力索长、水平张力为基础进行悬索桥整体结构的初始平衡状态分析。
对于地锚式悬索桥，其通过建模助手建立的模型，若小范围地调整加劲梁，对索的无应力长度和主缆坐标影响不是很大，因此一般来说直接采用建模助手的结果即可，当需要做精密的分析时也可采用悬索桥分析控制功能进行第二阶段分析。
而自锚式悬索桥，由于其加劲梁受较大轴力的作用，加劲梁端部和索墩锚固位置会发生较大变化，即主缆体系将发生变化，所以从严格意义来说建模助手获得的索体系和无应力长与实际并不相符。
因此必须对整体结构重新进行精密分析。
其过程如下：将主缆和吊杆的力按静力荷载加载到由索塔墩和加劲梁组成的杆系结构上，计算加劲梁和索塔墩的初始内力，并将其作用在整体结构上。
通过反复计算直至收敛，获得整体结构的初始平衡状态。
（参考技术资料《自锚式悬索桥的计算》）3）对于初始荷载的说明671版本开始，在“荷载/初始荷载”中，分为大位移和小位移两项，其内又分为几何刚度初始荷载、平衡单元节点内力、初始荷载控制数据、初始单元内力共4项内容。
其作用分别如下：大位移/平衡单元节点内力：该功能只适用于施工阶段分析中选择非线性分析的独立模型，并且钩选了“包含平衡单元节点内力”选项时的情形。
进行斜拉桥或悬索桥逆施工阶段分析时，通过计算由张拉力和恒载导致的成桥状态的节点力和构件内力，可以考虑在外力作用下，位移为0的状态。
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其中 ! 为重物的质量， # $ 为第 $ 个索杆单元的质量， ) $ ( 0 $ &’( ! $ ， * $ ( 0 $ $%& ! $ 分别为第 $ 个索杆单元所受 . 1 5 $ "# ）和 0 1$ +# ( 4 5 $ +# ）分别 5$ +! 5 $ +! + ! 0 $ "# ( 4 （! （! 张力 0 $ 的水平分量和垂直分量3 - 为作用到重物上的风力， 4 为阻尼系数, 为第 $ " # 和第 $ + # 个节点处的摩擦力矩， 由于第 2 " # 个节点始终在水平导轨上随小车运动， 如将小车的运动速度作为控制变量， 也就是说第 2 " # 个节点的运动速度由控制器的输出来确定, 假定采用 -./ 控制器， 则控制器的输出为 5 2 "# ( 6（ 5 5 & 09) ， 7 ’# 8 + ’ # ）" 6（ 8 ’# 8 + ’# ）" 6 $ （ ’# 8 + ’# ） 5 2 "# ( ") ， ’ 其中 ’#8 为期望的重物高度， ’# 为重物和节点 # 的实际高度， 6 7 ，6 8 和 6 $ 分别为控制器参数, 这样， 由 2 个索杆单元共可构成 ! 2 个二阶常微分方程组， 采用数值方法联立求解此微分方程组就可得 到各节点在任一时刻的位置， 即系统在控制作用下的响应3 需要说明的是， 如果以施加于小车上的力为控制 器的输出， 系统微分方程的个数将变为 ! 2 " # 3
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西安电子科技大学学报 （ 自然科学版） !"#$%&’) "() )*+*&%) #%*,-$.*/0
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一种柔性悬索结构的建模与控制
黄 ) 进， 段 宝 岩
（ 西安电子科技大学 机电工程学院， 陕西 西安) -’""-’ ） 摘要：针对悬索结构强非线性和大滞后的特点， 提出了一种基于铰接的弹簧阻尼系统柔性悬索的离散 模型， 此模型包含了悬索刚度、 内部阻尼、 重力及风扰等信息, 在此基础上， 建立了由悬索和控制器组成 的悬索控制系统的数学表达式， 并采用四阶 ./012 3/445 方法对风扰作用下的悬索控制系统进行了数值 仿真， 表明此模型和控制方法的有效性, 关键词：悬索结构； 动力学建模； 跟踪控制 中图分类号： 67!-%) ) 文献标识码： 8) ) 文章编号： ’""’$!("" （ !""+ ） "’$""%-$"(
#" 悬索结构的控制与仿真
将图 + 中的悬索用前述的索杆模型离散化! 对每一个节点， 可分别在水平和垂直方向建立运动微分方程：
第 # 期) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 黄) 进等： 一种柔性悬索结构的建模与控制
.& -. " -$ ! " " , . - .’ $ - " ! .&
［ -］ 有关随机风荷的研究 表明： 风非常接近平稳随机过程! 实用上常将风分解为平均风和脉动风， 这样高 ! 度 2 处的风速可表示为 （ . 2，3） $ 4 （ 2）& 4 （ 2，3） * ， （$）
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其中 ! （ 4 2） 表示平均风速； 4 （ 2， 3） 表示脉动风速! 风速记录样本表明， 脉动风速对于平均风速而言几乎是对称分布，
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［ ’］ 钢索悬吊的 !" 4 左右的馈源结构 , 然而， 由于柔性悬索具
有无穷多自由度， 加之易受风载荷等因素的影响， 从而使此
［ ’， !］ 种结构的控制面临着巨大的挑战 ,
考虑图 ’ 所示的一种典型的柔性悬索结构, 重物 / 通 过一悬索悬挂在理想小车的下方0 小车可在外部控制作用 下沿水平轨道以指定的速度滑动， 从而导致重物的垂直高 度发生变化0 要求通过施加适当的控制作用， 在存在随机 风扰的情况下， 使重物能够在一定范围内以不超过 ! 的误 差保持在指定的高度上, 为了能够设计出适用于这类柔性
［ =］ 速为 #9 2 8 &， 脉动风速的均方差为 #; !=> ； 控制器参数
分别为 6 7 ( !" ， 6 8 ( ## ， 6 $ ( "; = 3 仿真计算采用四阶 ?@(7A B@CC* 方法， 步长 ; 3 # 2&, 首先考虑不计风扰和不施加控制作用时， 采用不同 悬索模型， 上述悬索结构在一恒力 （ <" D） 作用下的 响 应, 其中一种悬索模型是上文描述的 1 索杆模型， 而另一
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!" 悬索模型
柔性悬索具有无穷多自由度， 而由其构成的结构具有强非线性和大建立一个精确的、 连续的模型! 为此， 笔者建立
了如图 ) 所示的离散索杆模型， 在此模型中假设柔索是由 ! 个弹性索杆 构成， 它们之间由存在摩擦的铰链相连， 每一个索杆的质量均匀分布到两 个端节点上! 这样， 一个索杆单元可由一个弹簧、 阻尼系统来近似! 当柔索受外部拉力作用后， 其内部产生张力， 反映到每个索杆单元 上， 此张力可表示为* "# $ %# & ’# * ， * # $ ,， +， …， !* ， （+） 其中 % # 为第 # 个索杆单元内的弹性力， 可表示为 % # $ ( ) !* ， （)） 式中 ( 为悬索横截面积， ) 为悬索材料的弹性模量， , * #, 为索 ! $（ * # + * #, ） 杆单元的应变， * # 为受力后第 # 个索杆单元的长度， * #, 为其未受外部拉力 时的长度! 为了真实地描述柔性悬索的特性， 假定每个索杆单元只能承受 拉力， 不承受压力， 也就是说， 应变为负时， 张力为零! ’ # 为第 # 个索杆单元内的阻尼力， 表示为 ’ # $ -（ * ， . . # &+ + . # ） （"）
"
（ ## ）
!" 仿真结果