11.3.2_多边形的内角和
11.3.2多边形的内角和说课稿
11.3.2多边形的内角和说课稿一、说教材本文为《11.3.2多边形的内角和》，在初中数学课程中具有重要作用和地位。
它是学生在学习了三角形、四边形的内角和的基础上，对多边形内角和概念进行拓展和深化的内容。
本节主要内容包括：多边形内角和的定义、计算公式及其推导过程，通过实际操作和例题分析，让学生更好地理解多边形的内角和性质，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（1）作用与地位：多边形的内角和是几何学中的基础概念，对于培养学生的空间观念和逻辑思维具有重要作用。
它是连接平面几何与立体几何的桥梁，为后续学习多面体的内角和、表面积和体积等内容打下基础。
（2）主要内容：本节课主要围绕多边形的内角和展开，包括以下小节内容：1. 多边形内角和的定义；2. 多边形内角和的计算公式；3. 多边形内角和的推导过程；4. 应用多边形内角和解决实际问题。
二、说教学目标学习本课，学生需要达到以下教学目标：（1）理解多边形内角和的定义，掌握多边形内角和的计算公式；（2）通过实际操作和推导过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；（3）能够运用多边形内角和的性质解决实际问题，提高学生的应用能力；（4）激发学生对几何学的兴趣，培养学生的探究精神。
三、说教学重难点（1）重点：多边形内角和的定义、计算公式及其推导过程。
（2）难点：多边形内角和的推导过程，以及运用多边形内角和解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生理解多边形内角和的定义，突破推导过程的难点，同时注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为解决实际问题打下基础。
四、说教法在教学《11.3.2多边形的内角和》这一课时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高学生的理解和应用能力，同时突出我的教学特色：1. 启发法：- 通过提出问题引导学生思考，例如：“一个三角形的内角和是多少？四边形的内角和又是多少？那么五边形、六边形呢？它们之间是否存在某种规律？”- 利用学生已知的三角形和四边形的内角和知识，启发学生发现多边形内角和的规律。
名校课件11.3.2多边形的内角和与外角和
教学目标
1、了解多边形的内角、外角等概念． 2、掌握多边形的内角和公式与外角和，并会应用它们进 行有关计算．
重点难点
1、多边形的内角和公式与多边形的外角和． 2、多边形的内角和定理的推导．
情景导入
问题1：三角形内角和是多少度？
三角形内角和 180°
问题2：长方形和正方形的内角和是多少度？ 都是360°
＝ 180 °+ 180 °＝ 360 °
解题思路：四边形问题转化为三角形问题来解决．
你还有其它的方法吗？
在四边形内部找一点构造三角形
B C A D 四边形的内角和=4×180°－360°
= 360°
在四边形边上找一点构造三角形
B C A D
四边形的内角和=3×180°－180° = 360°
在四边形外部找一点构造三角形
B C A D
四边形的内角和=3×180°－180° = 360°
探究2：
怎样求多边形内角和的？
构造三角形 怎样构造三角形？从哪儿选取点构造三角形？
总结：n边形内角和公式
A B C
G
n边形内角和等于
F
(n－2) · 180°
E D
学以致用
1、七边形内角和为（900° ） 1440° 2、十边形的内角和是（ ） ; 如果十边形的 144° 各个内角都相等，那么它的一个内角是（ ） 3、多边形内角和为1080°则它是（ 八 ）边形。 4、多边形内角和为1800°则它是（十二 ）边形。
课堂练习
求下列图形中x的值：
1400
120
0
1500
2X 0
x0
(1)
800
11.3.2多边形的内角和(教案)
板书设计
11.3.2多边形的内角和
一、多边形的内角和例1例2
二、多边形的外角和
八年级数学教学设计
课题
11.3.2多边形的内角和
课型
新授
三维
目标
知识
目标
掌握多边形的内角和与外角和公式及推导过程,并能熟练运用公式解决问题。
能力
目标
1、通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
2、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
=（∠BAC+∠B+∠ACB）+（∠CAD+∠D+∠ACD）=180°+180°=360°
若分成2个三角形，则四边形的内角和为：180°×2=360°
活动3
问题1：你知道五边形的内角和是多少度吗？
A E
B
D
C
若分成3个三角形，则四边形的内角和为：180°×3=540°
问题2：你知道n边形的内角和吗？
E4D
5
F3C
6
2
A1B
板书详细解答过程
问题：n边形外角和等于多少度？
n边形外角和等于360°
三、练习巩固，体验收获
活动5
问题：你能运用多边形内角和与外角和公式解决问题吗？
课本P24练习第1、2、3题。
活动6课堂小结：
1、本节中你学习了哪些内容？
2、你有哪些收获和体会？师生共同交流、总结。
四、作业设置：
二、活动探究，探索新知
活动2、
回忆：长方形和正方形的内角和等于多少度？
问题：你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？
11.3.2多边形的内角和教学设计1
《多边形的内角和》教学设计泸州梓橦路赵清春教学内容解析：（1）本节主要内容是引导学生用不同方法探索多边形的内角和的公式，在探索多边形内角和的过程中融合了转化思想、分类思想、和数形结合思想。
所以本节重点在于多边形内角和的探究过程，体验化归思想。
（2）本节课的教学内容属于程序性知识，其特点是知识产生的过程技巧性较强，更侧重于探索发现的过程。
（3）本节核心为探究、归纳出多边形的内角和公式，在这一探究过程中培养学生将上述数学思想运用到解决实际问题中，并训练从多角度考虑问题的思维水平。
教学目标：（1）掌握n边形内角和公式并学会应用。
（2）经历把多边形转化成三角形的过程，体会化归思想。
（3）通过测量、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和的公式，体会从特殊到一般的认识问题的方法，开展学生的推理能力和语言表达能力。
学生学情分析：（1）在这个学段的同学已经掌握了三角形内角和定理，多边形的相关概念，并已经养成了小组合作探究的习惯。
（2）在上节课中，通过对多边形对角线的研究，学生已经具备了本节课达成教学目标需要的认知根底，即把多边形转化为三角形。
（3）因为在本节内容中把多边形转化为三角形的方法有很多种，教师作为学习共同体要参与小组的讨论和探究，并适时引导学生进行分类、归纳。
（4）由于转化方法的具有多样性，对这些方法的归纳、分类整理过程是本节课的难点，为突破难点在教学中先从特殊的四边形入手，求其内角和，再分别求五边形、六边形的内角和，从中寻找求n边形内角和规律。
教学策略分析：（1）本节课教材内容是从四边形的对角线出发，用同一种方法来推导多边形内角和公式。
如果直接按照教材来学习本节课知识，学生不仅难发现课本以外的其他方法，更使学生不能从多角度看问题，能力锻炼缺失，思维开展受到局限。
必须从培养学生思维能力的角度出发，给学生提供展现思维的平台，因此本节课设计了开放式问题，给学生充分思考的空间，让学生的思想真正解放。
（2）考虑到学生认知根底的差异性，为让不同程度的学生都有收获，充分表达新课程“面向全体，让不同的学生在学习上都能得到开展〞的思想，所以采取小组合作探究的学习方式，促进每位学生的个性开展。
11.3.2多边形的内角和教案
教学环节教学过程设计二次备课一、情境导入1. (1)你知道三角形的内角和是多少度吗？【三角形的内角和等于180°】(2)长方形的内角和等于，正方形的内角和等于你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？通过今天的学习我们就能明白其中的一些道理，引出课题．猜想：四边形ABCD的内角和是360°你能用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？二、探究新知：探索四边形的内角和学生叙述对四边形内角和的认识．（如：通过测量相加求内角和，通过画四边形对角线分成两个三角形来计算内角和等）．建议：①对于学生提出的不同方法加以及时肯定；②对于通过“分割转化”来求内角和的方法加以强调，并提出是数学学习中的一种常用方法；③可以启示学生用其他方法证明四边形内角和为360度.小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和结论：四边形的内角和为360°1典例精析例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.ABCD2. 类比求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于1800× . 从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于1800× . 通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？多边形的边数图形 分割出的三 角形个数多边形的内角和4 5 6……………… …… n3探索多边形内角和问题 提出阶梯式问题：结论：多边形内角和等于(n-2)·180°方法总结：多边形的问题转化为三角形的问题来解决例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？1234A BCDEF56已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF 的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．思考，将例2 中六边形换为n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样的结果吗？结论：多边形的外角和等于360°．所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．4.典例精析例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°三、课堂小结四、当堂练习1.判断．(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等．( )2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°4.再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他5.第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_____米．4.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800°B.540 °C.720 °D.810 °5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360°B.540 °C.720 °D.900 °6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和能力提升7.如图求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数。
11.3.2多边形的内角和
B 2
1
A
6 3 D
5
E
4
C
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的 外角和等于多少？
5边形外角和
=5个平角 -5边形内角和
-(5-2) × 180° =5×180° =360 °
B 2 C
1
A 6 5
E 4
结论：五边形的外角和 等于360°
3
D
探究 在 n 边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做n边形的外角和．
探索任意多边形的外角和
多边形 三角形
图形
1 3 2
多边形的外角和
3×180 -(3-2)×180 =360 4×180 -(4-2)×180 =360
o o o o
o
o
o
四边形 五边形 … n边形
1 2 3 4
o
2 3
1 5 4
5×180 -(5-2)×180 =360
……
o o o
o
…
n×180 -(n-2)×180 =360
C B
观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发， 1 对角线，它们将四边形分成_____ 2 个 可以做_____ 三角形，所以四边形的内角和为_____ 。 360°
D C E
F
A
B
A
B
E
C D
2 同理：从五边形从一个顶点出发，可以做_____ 对角线，它们将四边形分成_____ 3 个三角形，所 °× 3 以四边形的内角和为180 _____ 。
… 1 …
1x180° 2x180° 3x180° 4x180° … (n-2)x180°
11.3.2多边形内角和教案
11.3.2多边形的内角和一、学习目标1•知道多边形的内角和与外角和定理；2•使用多边形内角和与外角和定理实行相关的计算.二、重点：多边形的内角和与外角和定理；难点：内角和定理的推导三、自主学习学前准备1.三角形的内角和是多少？____________________________________________ 。
2.正方形、长方形的内角和是多少？_________________________________________3.从n边形的一个顶点出发能够画—条对角线，把n边形分成了 _个三角形;四、合作学习（一）精讲知识点一：多边形的内角和定理探究1:任意画一个四边形，量岀它的4个内角，计算它们的和•再画几个四边形，？量一量、算一算•你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180? °得出这个结论?结论：探究2:从上面的问题，你能想岀五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3, ?请填空：（1）从五边形的一个顶点岀发，能够引______ 条对角线，它们将五边形分为_____ 个三角形，五边形的内角和等于180°X __________ •（2）从六边形的一个顶点岀发，能够引______ 条对角线，它们将六边形分为_______ 个三角形，六边形的内角和等于180°X _____ 探究3:一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：从n边形的一个顶点出发,-能够引（n- 3、条对角线,它们将-n边形分为（n- 2）个三角形,-n边形的内角和等于180°X（n- 2）.（二）精练一1.十二边形的内角和是___________ •2• 一个多边形的内角和等于900 °，求它的边数•（一）精讲知识点二：多边形的外角和边形探究4:如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，？这些外角的和叫做六的外角和.六边形的外角和等于多少？问题：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗? 多边形的外交和等于360°（二）精练二1、七边形的外角和是_________ ;十二边形的外角和是_______________ ;三角形的外角和是_________ ，2、一个多边形的每一个外角都等于36°则这个多边形是 ________ 边形。
11.3.2 多边形的内角和（教学设计课后练习）
11.3.2多边形的内角和班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一、选择题(每小题6分，共30分)1.多边形的外角和等于（）A.180°B.360°C.720°D.（n﹣2）•180°2.已知正多边形的每个内角均为108°，则这个正多边形的边数为（）A.3B.4C.5D.63.如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（）A.4B.5C.6D.74.一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是（）A.8B.12C.16D.185.如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A.140米B.150米C.160米D.240米二、填空题(每小题6分，共30分)6.五边形的内角和为________．7.一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是________．8.如图，将边长相等的一个正方形和一个正五边形叠放在一起，则∠1=________．第8题图第8题图第10题图9.如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为________°．10.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．三、解答题(每小题20分，共40分)11.一个多边形的各个内角与它的某个外角和是1456°，求它的边数和这个外角的度数．12.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？参考答案1.B【解析】根据多边形的外角和定理，可得答案．解：多边形的外角和是360°，故选：B．2.C【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于108°，多边形的内角与外角互为邻补角，∴每个外角是72度，∴多边形中外角的个数是360÷72=5，则多边形的边数是5．故选C．3.C【解析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案．解：设外角为x，则相邻的内角为2x，由题意得，2x+x=180°，解得，x=60°，360÷60°=6，故选：C．4.C【解析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论．解：∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180﹣135=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形，∴这个多边形的周长=2×8=16，故选C．5.B【解析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小华一共走了：15×10=150米．故选B．6.540°【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．解：（5﹣2）•180°=540°．故答案为：540°．7.8【解析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：8．8.18°【解析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．解：正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°=108°，正方形的内角是90°，则∠1=108°﹣90°=18°．故答案为：18°．9.95【解析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=80°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，∴∠BMF=80°，∠FNB=70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°，∴∠D=360°﹣100°﹣70°﹣95°=95°．故答案为：95．10.108【解析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．11.十，16°【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，用1456除以180，商就是n﹣2，余数就是那个外角的度数．解：1456÷180=8‥‥‥16，则n﹣2=8，解得n=10．答：它的边数是十，外角度数为16°．12. ∠1=∠2，理由见解析【解析】先根据四边形的内角和求出∠ADC+∠ABC=180°，再结合角平分线得出∠EBC+∠2=90°，再利用直角三角形的两锐角互余得出，∠1+∠EBC=90°，即可得出结论．解：∠1=∠2，理由：∵∠A=∠C=90°，根据四边形的内角和得，∠ADC+∠ABC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠EBC= ∠ABC，∠2= ∠ADC，∴∠EBC+∠2= ∠ABC+ ∠ADC=90°，∵FG⊥BE，∴∠FGB=90°，∴∠1+∠EBC=90°，∴∠1=∠2。
《11.3.2+多边形的内角和》教学设计教学反思-2023-2024学年数学人教版八年级上册
《多边形的内角和》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解多边形内角和的原理，掌握其计算方法。
2. 学会运用多边形内角和公式解决实际问题。
3. 增强学生观察、思考和解决问题的能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：理解多边形内角和的原理，掌握其计算方法。
2. 教学难点：运用多边形内角和公式解决实际问题的能力。
三、教学准备：1. 准备教学PPT，包含多边形图片、公式示例等。
2. 准备若干不同类型多边形模型，以便学生实践操作。
3. 准备一些与多边形内角和相关的实际问题，以便学生应用所学知识解决。
四、教学过程：本节课的教学对象是八年级的学生，他们在学习本节课之前已经掌握了两条相交直线所成的角、平角的定义，还学习了三角形的内角和定理的探索方法，是进行多边形内角和定理的探索的良好基础。
因此，本节课以学生动手测量、探索、猜想和发现为主线，在教师的引导下进行多边形内角和定理的探索。
1. 复习旧知识，引入新知识教师提问：什么是三角形的内角和？学生回答后，教师指出：在学习三角形内角和定理时，我们采用了观察、测量和归纳的方法。
那么，这种方法是否适用于其他多边形呢？这就是我们本节课要学习的内容。
教师出示不同形状的四边形、五边形实物图，让学生观察并指出它们的内角。
学生回答后，教师提问：是否可以将四边形、五边形拆分成若干个三角形？学生回答后，教师指出：其实四边形可以拆分成两个三角形，五边形可以拆分成三个三角形。
那么，这个拆分的方法是否具有一般性？这就是我们本节课要探索的问题。
2. 探索多边形内角和定理教师引导学生应用量角器测量四边形、五边形各个内角的度数，并求和。
学生通过动手操作，观察、分析数据，发现规律：四边形的内角和为（4-2）*180°=360°，五边形的内角和为（5-2）*180°=540°。
教师提问：是否所有的多边形都可以拆分成若干个三角形呢？学生思考后回答：不能。
11.3.2 多边形的内角和
11.3.2多边形的内角和知识点1多边形的内角和1．如图11－3－6，从多边形的一个顶点出发作它的对角线，结合图形完成下表：图11－3－62.2018·云南一个五边形的内角和是()A．540°B．450°C．360°D．180°3．2018·山东若正多边形的每一个内角均为135°，则这个正多边形的边数是________．4．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的度数．知识点2多边形的外角和5．2018·郴州一个正多边形的每个外角均为60°，那么这个正多边形的内角和是________．6．若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形的对角线共有________条．7．2018·宿迁一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．8．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为()A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或99．如图11－3－7，小亮从点A出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，再前进10 m……这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，一共走了________m.图11－3－710．如图11－3－8所示，根据图中的对话回答问题．图11－3－8(1)王强求的是几边形的内角和？(2)少加的那个内角为多少度？11．(1)如图11－3－9①②，试研究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；(2)如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述(1)中的关系式；(3)用你发现的结论解决下列问题：如图11－3－10，AE，DE分别平分四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA，∠B＋∠C ＝240°，求∠E的度数．图11－3－9图11－3－10教师详解详析1．234n－2360°540°720°(n－2)×180°2．A3．84．解：设∠A＝x°，则∠B＝x°＋20°，∠C＝2x°.根据四边形的内角和为360°，得x＋(x ＋20)＋2x＋60＝360，解得x＝70，所以∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.5．720°6．357．8[解析] 设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝360°×3.解得n＝8.故填8.8．D[解析] 设内角和为1080°的多边形的边数是n，则(n－2)×180°＝1080°，解得n＝8.则原多边形的边数为7或8或9.9．240[解析] 小亮行走的路线是一个正多边形，由外角和为360°，得正多边形的边数＝360°15°＝24.则小亮走的总路程为24×10＝240(m)．10．解：(1)因为1140°÷180°＝613，所以加上王强少加的内角之后，内角和与180°的商应为7.7＋2＝9.所以王强求的是九边形的内角和．(2)少加的那个内角的度数为(9－2)×180°－1140°＝120°.11．解：(1)设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°. ∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)． ∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°， ∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)． ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和． (3)∵∠B ＋∠C ＝240°，∴∠MDA ＋∠NAD ＝240°. ∵AE ，DE 分别平分∠NAD ，∠MDA ， ∴∠ADE ＝12∠MDA ，∠DAE ＝12∠NAD.∴∠ADE ＋∠DAE ＝12(∠MDA ＋∠NAD)＝120°.∴∠E ＝180°－(∠ADE ＋∠DAE)＝60°.。
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这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
边数 三角形个数 内角和 An A1 A6 说明： 从n边形的一个顶点出 发可以引 (n-3)条对角线，这些 对角线把n边形分成 (n-2) 个 三角形,内角和为 (n-2)x180° .
探索多边形的内角和
3 1
1×1800
0
4 2
2×180
5 3
6 4
7 5
… …
想一想
浙江金华兰溪诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
你能算出八卦图的内角和吗？
小明一共转了多少度?
11.3.2多边形及其内角和
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
（都是360°）
其它四边形的内角和是多少？
四边形内角和 A B
D
在探究四边形的内角和时，有的 同学不是用量角器度量、计算得 到，而是 按照如图所示，利用辅 助线将四边形分割成两个三角形 的方法，利用三角形内角和等于 180°，得到四边形内角和等于 360°。你能说明它的合理性吗？ 并且能否启发你借助辅助线找到 解决其他多边形的方法吗？
有什么关系？ 2.五个外角加上它们们分别相邻 的五个内角和是多少？ 3.这五个平角和与五边形的内角 和、外角和有什么关系？
1
B
A
6
5
E
2
C
3
D
4
【例 2】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和 等于多少？ A 五边形外角和
=5个平角 －五边形内角和
A
1800
那么六边形、七边形的内角和呢？
六边形 七边形
4× 180° =7200
5× 180° =9000
学一学
四边形的内角和 （4－2）× 180° = 360°
五边形的内角和 （5－2）× 180°=540°
六边形的内角和（6－2）× 180°=720°
七边形的内角（7－2） ×180°=900°
1、n边形的内角和等于（n－2）×180°. 2、n边形的外角和等于360°. 3、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把 多边形问题转化为三角形问题来解决; 外角问题 转化为内角来解决. 4、方程的数学思想在几何中有重要的作用.
课后思考
1、小明在计算某个多边形的内角和时，由于 粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ， 你能否求得正确结果呢？
图 1
D
A A P D A P
图2
B
C B
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
其 他 方 案
图3
C D
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
C
那么如何求此五边形的内角和呢? 说说你的 探索思路？
3× 180°
=5400
—从一个顶点出发
添两条对角线，目的是把 五边形分割成三个三角形， 再利用三角形的内角和求 得。
探索过程一掠:
三角形 四边形 A D E B B CB C 2× 180° = 3600 C D 3× 180° =5400 五边形 A
2、已知一个多边形每个内角都等108° ， 求这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n 解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补， 那么另一组对角有什么关系？ C 解：如图四边形ABCD中， D
A C 180
因为：
0
A
B
A B C D (4 2) 180 0 360 0
所以 : B D 360 (A C ) 180
0
0
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
如图，将小明问题转化到下图情形，即求五边形 外角和
1.任意一个外角和它相邻的内角
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分 割多边形，得到n边形的内角和公式
An
A5
An
A4
A 1
A5
A4
p
A 1
A2
A3
A2
p
An
A3
An
A1
A2
A5
A4
A3
A 1
A5
A4
A2
A3
p
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢 答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
n
n-2
3×1800 4×1800 5×1800
… (n-2)x180
A8 A7
试一试 找规律
A2 A3 A4 A5
百家争鸣
B C
P
其他方法
如图1，在四边形内任取一点P, 连接PA、PB、PC、PD将四边 形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360°
A
n边形外角和 =n个平角-n边形内角和
－ = n×180 ° (n－2) × 180°
B 2
C
1 n F 4 5
3D
=360 °
E
结论：n边形的外角和等于360°.
每个内角的度数是
n 2 180 n
每个外角的度数是
360 n
随堂练习
1.正五边形 的每一个外角等于___.每一个内角等于 72° 144° 2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个 6 多边 形的边 数是_____
B 2
C
1
－ =5×180° (5－2) × 180°
=360 °
6பைடு நூலகம்
5 E
结论：五边形的外角和等于360°.
3
D
4
思考： 如图，在六边形的每个顶点处各 取一个外角，这些外角的和叫做六边形的 外角和．六边形的外角和等于多少？
A B
2 1 6
F
5
C
3
E D
4
n边形外角和是多少度?
探究 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角 的和叫做n边形的外角和．
3.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则这个 12 多边形的边数是_____ 4.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个 12 多边形的边数是_____
5.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多 180° 0 边形的内角和增加_____, 外角和增加_____.
今天的收获
本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？ 你还有哪些疑问？
2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。 将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到 多边形的内角和将会（ ） A、不变 B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定