重点高中数学立体几何建系设点专题
高中立体几何知识点及经典题型
高中立体几何知识点及经典题型立体几何是高中数学中的重要部分，它研究了在三维空间内的几何形体。
本文将介绍高中立体几何的主要知识点和经典题型。
知识点以下是高中立体几何的主要知识点：1. 空间几何基础：点、线、面的概念及性质。
2. 参数方程和一般式方程：用参数或方程表示几何体的方法。
3. 立体图形的投影：点、直线、平面在投影中的表现形式。
4. 空间几何中的平行与垂直：直线、平面之间的平行关系及垂直关系。
5. 直线与面的位置关系：直线与平面之间的交点、垂线、倾斜角等概念。
6. 空间角的性质：二面角、棱锥、棱台等形体的角度关系。
7. 空间几何中的直线及曲线：空间中直线与曲线的方程及性质。
8. 空间立体角：球、球台、球扇等形体的角度关系。
9. 空间的切线：曲线在空间中的切线方程及其性质。
10. 空间的幂：圆、球及其他形体的幂的概念和性质。
经典题型以下是高中立体几何的经典题型：1. 求直线与平面的位置关系问题：例如，给定一直线和一个平面，求它们之间的交点、垂直线、倾斜角等。
2. 求空间角的问题：例如，给定两个平面的交线，求二面角的度数。
3. 求直线与曲线的位置关系问题：例如，给定一条直线和一个曲面，求它们之间的位置关系。
4. 求切线和法平面的问题：例如，给定一个曲线和一个点，求曲线在该点处的切线方程及法平面方程。
5. 求空间形体的幂问题：例如，给定一个球和一个平面，求平面关于球的幂及其性质。
以上只是一些经典的立体几何题型，通过解答这些题目，可以加深对立体几何知识的理解和运用。
希望本文对高中立体几何知识点和题型的介绍能够帮助到你。
祝你在学习立体几何时取得好成绩！。
高考数学专题 立体几何中的建系设点问题
Oyxz FEGH IJ O yx z A'C'B B'C D'A 第63炼 立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
新高考 核心考点与题型 立体几何 第5讲 立体几何中的建系设点速算技巧 - 解析
第1讲 立体几何中的建系设点速算技巧考情分析纵观高考的立体几何解答题，一般两问，第一问多证明平行或垂直，第二问多计算二面角，或求证存在性问题；如果通过传统的逻辑推理证明，第一问一般可以解决，但是第二问容易算错，或找点困难，而且很耗时间。
从解题难度与效率看推荐使用向量法来做立体几何。
向量法解决立体几何问题，化空间位置关系为向量坐标运算关系，可有效降低问题的难度。
向量的坐标运算，本质上说点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标及法向量？这是本节要介绍的内容，虽内容简单，务必精熟。
基础知识（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥解题时都是给出几何体（柱体、椎体居多，长方体太简单很少），相当于给出了线面（线线）垂直、平行的关系；情况复杂一点的是给斜棱柱、斜棱锥或者组合体，关键就是确定顶点到底面的投影及高度，或底面相互垂直的线段及长度，再通过平移，即可建系。
高中数学立体几何建系设点专题
2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。
一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，．所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设12AA AC AB ==，求二面角11A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为AC 的中点，设(00)A a ，，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，， 则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===，，，，，，，即1ED BB ⊥．xyz同理1ED AC⊥．因此ED为异面直线1BB与1AC的公垂线．（2）不妨令1a b c===，则1(110)(110)(002)BC AB AA=--=-=，，，，，，，，，100BC AB BC AA==，．即BC⊥AB，BC⊥1AA，又∵1AB AA A=，∴BC⊥面1A AD．又(101)(101)(010)0EC AE ED EC AE=--=-==，，，，，，，，，，0EC ED=，即EC⊥AE，EC⊥ED，又∵AE∩ED＝E，∴EC ⊥面1C AD ．∴1cos2EC BCEC BCEC BC<>==，，即得EC和BC的夹角为60．所以，二面角11A AD C--为60．练2：如图，平面PAC⊥平面ABC，ABC∆是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,E F O分别为PA，PB，AC的中点，16AC=，10PA PC==．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO∆存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．例3．如图，在四棱锥O ABCD-中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABCπ∠=，OA ABCD⊥底面，2OA=，M为OA的中点。
(完整版)立体几何解答题的建系设点问题
立体几何解答题的建系设点问题一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面z z 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即xOy 为轴与底面的交点z 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：,x y （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上,x y （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件,x y （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），+这个过程不能省略。
3、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若，则222AB AC BC +=AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出(),,0x y 0z =坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）()'11,,A x y z ()22,,0A x y 1212,x x y y == 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
高中立体几何基础知识点全集精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：mlα1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高考数学在空间建系时,求点的坐标的另一种方法(利用距离公式和中点公式)
在立体几何空间建系时，求点的坐标，我们运用的往往是构造直角三角形等常见的方法。
但是在有些题目里面，这样子做并不容易。
这个时候可以灵活运用已知的距离和中点，利用空间中两点之间的距离公式以及中点公式，来达到迅速求未知点的坐标的目的。
希望这种方法，不要被忽略了。
下面以一道题为例，进行说明。
例1 （浙江2017,19题）如图，已知四棱锥P-ABCD ，三角形PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，且//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点（1）证明：CE//面PAB（2）求直线CE 与面PBC 所成角的正弦值解析：我们主要看第二问（1）如下图，取F 为AD 中点。
又E 为PD 中点因此EF//AP又因为AF 平行且相等于BC ，故AFBC 是平行四边形，从而CF//AB综上，面EFC//面PAB因此CE//面PAB（2）不妨设CD=CB=1，则PC=AD=2因为CD AD ⊥，易知BFCD 是边长为1的正方形因为三角形PAD 为等腰直角三角形，且F 为中点，故AD PF ⊥又AD BF ⊥故AD ⊥面PBF故在三角形PBF 中做出BF 边上的高h ，则必有h 垂直BF 且垂直于AD ，故垂直于面ABCD 因此将该高作为z 轴，BF 和FD 分别为x 轴和y 轴，建系如下易求点的坐标如下C （1,1,0）B （1,0,0）D （0,1,0）点P 的坐标E 的坐标不太容易求，而且也找不到合适的直角三角形来帮助求解。
但是我们能够很容易的求出来FP=1，PC=2。
因此可以利用这两个距离，列方程组求出P 的坐标。
而E 是P 和D 的中点，再利用中点公式，那么E 的坐标则可求。
如下因为AD=2，F 为中点，因此FP 为AD 的一半，即FP=1而PC=2为已知条件设P （x,0,z ）则由FP=1和PC=2得到()22221114x z x z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩解得122x z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而1(2P - 由P 及D 的坐标，以及E是它们的中点，利用中点坐标公式，得到11(,42E -因此51,42CE ⎛=-- ⎝⎭而3,0,22PB ⎛=- ⎝⎭，(0,1,0)BC =，易求得面PBC的法向量(m =而CE与面PBC所成角的正弦值等于CE与m所成角的余弦的绝对值=8。
讲透重点难点高中数学立体几何
讲透重点难点高中数学立体几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学立体几何是数学中的一个重要分支，涉及内容广泛，包括空间几何体的基本性质、体积表面积的计算、空间几何体之间的关系等等。
在学习立体几何的过程中，往往会遇到一些重点和难点问题，下面就让我们来一一讲解。
一、常见的难点问题1. 空间几何体的基本概念和性质：在学习立体几何时，首先要掌握各种空间几何体的基本概念和性质，如平行六面体、正方体、棱台、棱锥等。
这些几何体的性质涉及到各种角、棱、面的关系，需要认真学习和掌握。
2. 体积和表面积的计算：计算空间几何体的体积和表面积是立体几何中的重要内容。
对于不规则的几何体，如圆柱、圆锥等，更需要动脑筋来计算其体积和表面积。
这就需要学生掌握各种计算公式和方法，如用积分法计算体积、表面积公式的推导等。
3. 空间几何体之间的关系：在解决实际问题时，需要对不同空间几何体之间的关系有深入的了解。
比如正方体、球体、圆柱体等之间的关系，学生需要灵活运用几何知识，才能解决这些问题。
二、针对难点问题的解决方法1. 多做题：在解决立体几何的问题时，多做练习题是非常重要的。
通过大量的练习，可以加深对立体几何问题的理解，掌握解题的方法和技巧。
2. 学会应用数学工具：在解决立体几何问题时，学会应用数学工具是至关重要的。
比如学会运用向量、坐标系等数学工具来解决几何问题。
3. 多请教老师：如果遇到难以理解的问题，不妨多请教老师。
老师会给予指导和帮助，帮助学生解决疑惑。
三、总结高中数学立体几何是一个需要细心、灵活和耐心的学科，在学习过程中往往会遇到一些难点和重点问题。
通过多做题、学会应用数学工具、多请教老师等方法，可以帮助学生更好地掌握立体几何知识，提高解题的能力和水平。
希望同学们在学习立体几何的过程中能够克服困难，取得更好的成绩。
【文章2000字】以上所述，就是关于讲透重点难点高中数学立体几何的文章，希望对同学们有所帮助。
如果有不足之处，还望谅解。
(完整版)立体几何解答题的建系设点问题
立体几何解答题的建系设点问题一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。
3、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考 2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
高中数学讲义微专题63 立体几何中的建系设点问题
微专题63 立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
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重点高中数学立体几何建系设点专题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。
一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，．所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r，，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg ，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==u u u r g nn． 途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设12AA AC AB ==，求二面角11A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为AC 的中点，设(00)A a ，，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，，QM ABDCOPxyzM ABD CO Pxyz则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g ，，，，，，，即1ED BB ⊥．同理1ED AC ⊥． 因此ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线．（2）不妨令1a b c ===，则1(110)(110)(002)BC AB AA =--=-=u u u r u u u r u u u r ，，，，，，，，，100BC AB BC AA ==u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，．即BC ⊥AB ，BC ⊥1AA ，又∵1AB AA A =I ，∴BC ⊥面1A AD ． 又(101)(101)(010)0EC AE ED EC AE =--=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg ，，，，，，，，，，0EC ED =u u u r u u u r g ， 即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又∵AE ∩ED ＝E ，∴EC ⊥面1C AD ．∴1cos 2EC BC EC BC EC BC <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，，即得EC uuu r 和BC uuu r 的夹角为60o．所以，二面角11A AD C --为60o．练2：如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=，OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。
方法1：作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系.方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD ，设交AC 于E ，取OC 中点为F ，以E 为原点，EB 、EC 、EF 所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 练3：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为32的正三角形， 点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ；（Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时， 求二面角A 1—AC —B 的大小余弦值；二、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在xOy 面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。
途径二、过该点和z 轴作xOy 面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。
例4. 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0）A 1（0，0，2a),C 1（-23a,a 2,2a)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有13(,0,0)2MC a =-u u u u r (0,,0)AB a =u u u r ，1(0,02)AA a =u u u r ， ∴10MC AB ⋅=u u u u r u u u r ，110MC AA ⋅=u u u u r u u u r ，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角Θ 13(,,2)22aAC a a =-u u u u r ，(0,,2)2aAM a =u u u u r ，∴2194a AC AM ⋅=u u u u r u u u u r ,而|13||3,||2AC a AM a ==u u u u r u u u u r由cos<1,AC AM u u u u r u u u u r >=1132||||AC AMAC AM ⋅=u u u u r u u u u ru u u ur u u u u r ,∴ <1,AC AM u u u u r u u u u r >=30° ABO C D A1 B 1C 1A B O C D A 1 B 1C 1 xzy A BCA 1B 1C 1MzyxA BCA 1B 1C 1Mzyx解法二：Θ 13(,,2)22aAC a a =-u u u u r ， 平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-r∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>u u u u r r =1112||||AC n AC n ⋅=u u u u r ru u u ur r ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。
（1）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点. （2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．A PEBCDABC D1A1C1B2009-2010学年高三立几建系设点专向练习1. 在正方体A —C 1中，E 、F 分别为D 1C 1与AB 的中点，则A 1B 1与截面A 1ECF 所成的角的正弦值为（ ）A ．sin36 B ．sin 33C ．sin 26D ．都不对解：（向量法）建立以D 为原点，DA,DC,DD 1分别为x,y,z 轴的坐标系，设棱长为1设平面A 1FCE 的法向量n r =（x ，y ，z ）, 则n r ·FC uuu r =0，n r ·CE u u ur =0 ∵FC uuu r =（－1，21，0）， CE u u u r =（0，－21，1）∴1102211022x y x y y z z y ⎧⎧-+==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪-+==⎪⎪⎩⎩,令y=2 , ∴n r =（1，2，1）又∵11A B u u u u r =（0，1，0） ∴cos<n r ,11A B u u u u r >=222226121=++ ∴A 1B 1与平面A 1FCE 成的角的正弦为sin 36答案：A2. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为（ ）A ．22B ．515 C ．46 D ．36 C 方法：建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2，则()()113,1,0,(3,1,2)C AC =-u u u u v、A 0,0,2，平面BB 1C 1C 的一个法向量为(1,0,0)n =v，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为113648AC n AC n⋅==u u u u v v u u u u v v 。