第9章 数学形态学原理(第2讲)

X k ( X k 1 B) A
图 9—12 连接部分提取算法
k 1, 2,3,
9.3.4 凸壳算法（边界）
集合的凸壳 是一个 有用的图 像描述工具。在 此提出一种获 得集合A 凸壳 C(A) 的简单 形态学 算 法。 设 Bi ， i= 1,2,3,4, 代表四 个结构 元素。 这个处理过程由下述公式实现：
8
X 2 (X1 Bk )
k 1
k 等式(9—46)中 是和前面一样的端点检测因子，下 B 一步对边缘进行三次放大处理，集合A作为消减因 子：
X3 (X 2 H) A
左图中为提取凸壳的结构元素（每个结构元素的 原点位于它的中心）。中图给出了要提取凸壳的集 1 合 A，从 X 0 A 开始，重复公式四步后得到的结 果D1右图。
X
1 4
然后令 X 2 A再次利用公式(9—33)得到的 0 结果示于图9—13(d)(注意只用两步就收敛了)。 下两个结果用同样的方法得到。最后，把图9— 13(c),(d),(e)和(f)中的集合求并的结果就为所 求凸壳。每个结构元素对结果的贡献在图9— 13(h)的合成集合中用不同加亮表示。
图 9—15 粗化处理
从图中可以看出，细化的背景为粗化过程形成一个 边界。这个性质在直接使用公式实现粗化过程中不 会出现，这是用背景细化来实现粗化的一个主要原 因。
9.3.7 骨骼化算法
利用形 态学 方法提取一 个区 域的骨格可以用腐 蚀 和开运算表示。即A的骨骼记为S(A)，骨骼化可以表示 K 如下： (9—40) S ( A) S ( A)
X k ( X k 1 B) A
其中 X 0 P ， B 为一合适的结构元素，如图所示。 如果 Y 则算法收敛， Xk
k 1, 2,3, ( 9 — 3 2 )
并使 X k X k 1 。
X k ( X k 1 B) A
k 1, 2,3,
所提取的全部元素（相连组成部分的元素）均标
k
和
S ( A)
K k 0
k 0
{( AkB) [( AkB) B]}
(9—41)
其中B是结构元素， ( AkB)表示对A连续腐蚀k次； 即
AkB ((( AB)B))B
共执行 k 次， K是 A被腐蚀为空集以前的最后一次迭 代的步骤。即： K max{ k ( AkB) }
i i i Xk ( Xk B ) A 1
i 1, 2,3, 4
k 1, 2,3
i i i D X 其中 X 0 。现令 ,下标“conv” A conv 表示当 X ki X ki 1 时收敛。那么，A的凸壳为
C ( A)
i 1
Di
4
(9—34)
这个过程包括对A和B1重复使用击中（hit）或 击不中（miss)变换；当没有进一步的变化发生时， 求A和所谓的结果D1并集。对B2重复此过程直到没 有进一步的变化为止。四个结果D的并构成了A的凸 壳。
S ( A)
K k 0
Sk ( A)或 S ( A)
K k 0
{( AkB) [( AkB) B]}
表明集合A的骨骼S(A)可由骨骼子集Sk(A)的并得到， 同样表明可以也可以通过下面等式从子集重构A。
K max{k ( AkB) }
A ( S k ( A) kB)
图9—14(a)是一组用于细化的结构元素， 图9—14(b)为用上述方法细化的集合A 。图 9—14(c)示出用 B 1 细化A得到的结果，图9— 14(d)-(k)为用其它结构元素细化的结果。当 第二次通过B 4时收敛。图9—14(k)示出细化的 结果。
A B A ( A B) A ( A B)c
记为1。每一步迭代和A求交集可除去以标记为0的 元素为中心的膨胀。图9—12图释了公式(9—32) 的操作技巧。结构元素的形状是8连接的，与区域 填充算法一样，以上讨论的结果可以应用于任何 有限的包含在集合A中的连接部分。
图中（a）集A包含 一个连接部分Y和 初始点P；(b)是结 构元；(c)第一次迭 代结果；(d)第二次 迭代结果；(e)最终 结果。
假定所有的非边界元素均标为0，我们把一个值1 赋给P开始这个过程。下述过程将把这个区域用1来 填充：
X k ( X k 1 B) A
c
k 1,2,3 (9—31)
其中， X 0 P ，B为对称结构元素，如图所示。当 k 迭代到 X k X k 1 时，算法终止。集合 X k 和 A 的并集包括填充的集合和边界。
k 0 K
(S k ( A) kB) 表明参数 k 是对子集 S k ( A) 连续膨 胀 k 次。相当于下式：
(S k ( A) kB) (((S k ( A) B) B) B
S ( A)
K k 0
{( AkB) [( AkB) B]}
右图说明了以上讨论的 概念。第一列显示了原始集 合（顶部）和通过结构元素 B（3*3）两次腐蚀的图形。 由于再多一次对A的腐蚀将 产生空集，所以选取K＝2。 第二列显示了第一列通过B 的开运算而得到的图形。
条件 膨胀
X k ( X k 1 B) Ac
X1 ( X 0 B) Ac X 2 ( X1 B) Ac
X 3 ( X 2 B) Ac
图 9—11 区域填充算法
如果公式(9—31)的膨胀过程一直进行，它将 填满整个区域。每一步与AC的交集把结果限制在我 们感兴趣的区域内（条件膨胀）。图9—11剩下的 部分解释了公式(9—31)的进一步技巧。尽管这个 例子只有一个子集，只要每个边界内给一个点， 这个概念可清楚地用在任何有限个这样的子集中。
图9—13 凸壳算法示例
图9—13 凸壳算法示例
9.3.5 细化
集合A 被结构 元素的细 化用 A B 表示，根据 击中（hit）(或击不中miss)变换定义：
A B A ( A B) c A ( A B)
{B} {B , B , B ,, B }
1 2 3 n
图 9—14 细化处理
图 9—14 细化处理
9.3.6 粗化运算
粗化是 细 化的形 态学 上 对 偶， 记为A⊙B, 定义为
A⊙B＝A ( A B) (9—38)
其中B是适合粗化的结构元素。象细化一样，粗
化 可 以 定 义 为 一 个 序 列 运 算 ：
A⊙{B}= (((( A ⊙ B 1）⊙ B 2 ）„）⊙ B n）
第9章 数学形态学原理
（第二讲）
9.3 一些基本形态学算法
当处理二值图像时形态学的主要应用是提取表 示和描述图像形状的有用成分。特别是提取某一区 域的边界线、连接成分、骨骼、凸壳的算法十分有 效。区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法也经 常与上述算法相结合在预处理和后处理中使用。这 些算法的讨论大部分采用的是二值的图像，即只有
例：使用形态学处理提取边界
下图为一幅简单的二值图像，(b)为使用图9.13(b)中的3*3 结构元素进行处理的结果。
9.3.2 区域填充算法
下面讨论的是一种基于集合 膨胀，取补和取交的区域填充的 简单的算法。如图A表示一个包含 一个子集的集合，子集的元素为8 字形的连接边界的区域。从边界 内的一点P开始，目标是用1去填 充整个区域。
(a)是原像，(b)和(c)是结构元素（d）细化三次的结果， （e）端点，(f)在（a）的条件下端点的膨胀，（g）裁 剪后的图像。
连续对A运用等式(9—45)三次将生成图9—17(d) 中的集合 X 1 。下一步将是把字符“恢复”到最初的 形状，同时将寄生的成分去除。这首先需要建立包 含图9—17(e)所有边缘信息的集合 X2 ， (9—46)
X 1 A {B}
(9-45)
{B}表示结构元序列，包含两个不同的结构， 每一个结构将对全部八个元素作90°的旋转，图中 的“×”表示“不用考虑”的情况，在某种意义上，不 管该位置上的值是0还是1都毫无关系。
许多图形学文献记载的结果都是基于类似于图9— 17(b)中单一结构的运用基础之上的，不过不同的 是，在第一列中多了“不用考虑”的状态而已。这 样的处理是不完善的。例如，这个元素将标识图 9—17(a)位于第八排，第四列作为最后一点的点， 如果减去该元素将破坏这一笔的连接性。
例题：形态学区域填充
点
图显示了在球体中选择的一个点，(b)显示了填充的结果， (c)显示了填充所有球体后的结果。
9.3.3 连接部分提取算法（连通分量的提取）
二值图像中提取相连接部分是许多自动图像 分析所关注的问题。 Y 表示一个包含于集合 A 相连 接部分，假设 Y 内的一个点 P 已知。那么下述迭代 表达式可得到Y中的所有元素：
下图显示了手写字符“a”的骨骼。在字符 最左边部分的寄生成分是一种我们感兴趣的典型 的待去除成分。去除的方法是基于不断减少该字 符的终点，对寄生成分加以抑制。当然不可否认 这样也不可避免的会消去（或减少）被处理字符 其余必要的骨架，
但是缺少的结构信息是在最多不超过 3个象素的假 设前提下，即最多减少 3 个象素的字符结构信息。 对于一个输入集合 A，通过一系列用于检测字符端 点的结构元素的细化处理，达到希望的结果。即：
9.3.8 裁剪
图形细化和骨骼化运算法有可能残留需在后 续处理中去除的寄生成分，裁剪方法成为对图形 细化、骨骼化运算的必要补充。 分析每个待识别字符的骨骼形状是自动识别手 写字符的一种常见处理方法。由于对组成字符的笔 画的不均匀腐蚀，字符的骨架常常带有“毛刺” （一种寄生成分）。这里将提出一种解决这种问题 的形态学方法。首先我们假设寄生成分“毛刺”的 长度不超过3个象素。
(9—39)
粗化同细化的结构元素具有相同的形式。只 是所有的0和1交换位置。然而实际中粗化算法很 少使用。相反通常的过程是细化集合的背景，然 后求细化结果的补而达到粗化的结果。 为了粗化集合A，令 C A c ，细化C，然后得 到 C c 即为粗化结果。图9—15解释了这个过程。