第9章 数学形态学原理(第2讲).
数学形态学
数学形态学
数学形态学是一种新兴的研究领域，它旨在分析几何图形的结构，形状和功能之间的关系。
它的研究，使用广义的概念，为许多不同的问题提供解决方案，其中包括拓扑、图像处理、科学可视化、结构生物学和信号处理等。
数学形态学是一个综合性的学科，它运用多种数学工具和科学原理来描述和分析图形学中出现的复杂形状，是形状和几何的综合科学。
它的本质是把复杂的形状分解成不同的形状元素，再利用数学中的手段将这些元素组合起来，以描述和揭示形状结构之间的联系。
数学形态学是一门基于计算机的学科，它使用计算机技术，通过对几何图形和形状的像素分析，捕捉形状中各种特征，分析不同形状间的关系，建立并匹配形状，以及重建和综合形状信息。
同时，它也旨在将计算机技术与形状分析结合起来，用于解决计算机的实际应用问题，如机器视觉和图像处理。
数学形态学广泛地应用于各种领域，如机器人系统，空间科学，图形学，地理和空间信息，甚至分子生物学等。
它还可以用于将几何图形可视化，以及应用于工程设计，以更直观的方式表示几何形状，并为设计者和设计家提供视觉上的参考。
数学形态学的研究不仅仅局限于几何图形，同时也研究自然现象中出现的结构，并尝试描述和表述自然界中出现的复杂形状。
从自然现象中抽象出来的形状，往往能够帮助科学家们更好地理解现象，并最终基于研究结果，为实际应用研发有效的算法或具备一定属性的形
状。
总的来说，数学形态学是一种立足于数学的研究领域，它涉及到多层次的形状分析，以及形状和空间之间的关系，研究和分析丰富多彩的形状属性。
它旨在更好地理解形状，并为许多实际问题提供解决方案，同时也为计算机视觉和机器人系统提供支撑及应用。
数学形态学
当物体总数必须保持不也变时就,这是种方说法很，有用S。对B膨胀产生的二值图像D是由这样的 点（x,y）组成的集合，如果S的原点位移到（x,y），那 如果物体是圆的，它的直径在每次腐蚀后将减少2个像素。
抽骨架的实现与细化相似,可采用一个两步有条件腐蚀实现,但是删除像素的规则略有不同。
第9章数学形态学
第九章 数学形态学
▪ 9.1 腐蚀和膨胀 ▪ 9.2 开运算和闭运算 ▪ 9.3 腐蚀和膨胀的变体
9.1 腐蚀和膨胀
一个有效的二值图像处理运算集是从数学形态学下的集 合论方法发展起来的。尽管它的基本的运算很简单，但它们和 它们的推广结合起来可以产生复杂得多的效果。并且,它们适 合于用相应的硬件构造查找表的方式,实现快速的流水线处理。 这种方法通常用于二值图像,但也可以扩展到灰度级图像的处 理。
图9-5 1 腐蚀(Erosion)
一个与细化有关的运算是抽骨架,也称为中轴变换（Medialaxis transform）或焚烧草地技术(grass-fire technigue)。 3 抽骨架(Skeletonization)
9.2 开运算和闭运算
开运算 先腐蚀后膨胀的过程称为开运算。它具有消除 细小物体、在纤细点处分离物体、和平滑较大物体的边界时 又不明显改变其面积的作用。开运算定义为
收缩可以迭代方式为一个包含近似圆形物体的二值图像 生成物体尺寸的分布。为图像 中的单像素物体计数的过程 与一个3×3算子交替的执行。每运行一次,半径减了一个像素, 并有更多的物体收缩为单像素大小。记录下每次迭代中的单 像素物体数目,可给出物体大小 的累计分布。但收缩时会使 非常不圆的物体(如哑铃状的物体)分解,因此这种技术有它的 局限性。
数学形态学原理PPT课件
6.3.2 用结构元素S(x,y)对输入图像进行灰值膨胀记为f s，其 定义为
( f s)(t,m) max{ f (t x,m y) s(x, y) | t x,m y Df , x y Ds}
式中，Df和Db分别是f和S的定义域。这里限制(t-x)和(m-y)在f 的定义域之内，类似于在二值膨胀定义中要求两个运算集合 至少有一个（非零）元素相交。
腐蚀可以看作是将图像X中每一与结构元素S全等的 子集S+x收缩为点x。反之，也可以将X中的每一个点x扩
大为S+x，这就是膨胀运算，记为X S。若用集合语言，
它的定义为
X S = {x| S+x∪x≠ }
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ห้องสมุดไป่ตู้
图中X是被处理的对象，B是结构元素，对于任意一个在 阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴 影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的， 这就是为什么叫膨胀的原第2因3页。/共78页
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若g是掩模，f为标记，则从f重构g可以记为 Rg ( f ) ，它有下面 的迭代过程定义： 1. 将 h1 初始化为标记图像 f 。
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迄今为止， 还没有一种方法能像数学形态学那样既有坚 实的理论基础，简洁、 朴素、 统一的基本思想，又有如此 广泛的实用价值。有人称数学形态学在理论上是严谨的，在 基本观念上却是简单和优美的。
数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科， 其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。 已经构成一种新的图像处理方法和理论，成为计算机数字图 像处理的一个重要研究领域.
XS {x | S x X}
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。
第9章设计与形态学
图9-2 意大利阿莱西(Alessi)公司 设计的魔法兔子趣味牙签盒
二、设计与形态学 1.形态学的基本概念
2.形态学在各学科中的发展概况
1.形态学的基本概念 形态学(Morphology)，顾名思义，是一门关于形态的本质的科
学。由生物学中专门研究植物与动物的形式与结构(包括微生物)
的分支学科发展而来。这些对形式和结构的系统、综合的科学 研究，使形态学能够同时涉及艺术与科学技术两个领域的内容， 并对其他领域产生了影响，发展成为一门集数学、生物、力学、 材料与艺术造型为一体的交叉学科。
内骨结构支撑的灯具
等抽象元素向现实形态转化时所形成的结构。
(2)结构 骨架结构的提法，源自于对动物或人体结构的类比。
(1)形态的构成结构
图9-51 “编”的结构形态
(1)形态的构成结构
图9-52
德国设计师设计的塑料片折叠家具Nook系列
(1)形态的构成结构
图9-53 中国国家大剧院是典型的壳体结构
(2)结构
图9-54
二、艺术设计创造的形式美法则
三、艺术设计形态创造与完形心理学
一、艺术设计形态创造中的秩序感 人工形态的创造自有其特点。人作为自然的一部分，人的结构、
生理、心理特点使我们会对特定形式产生共鸣，欣赏并创造令
人愉悦的形态，因此，人工形态与创作者之间存在着某种异质 同构的关系。这个特点使我们获得了从了解人类感知特性入手， 探索艺术设计形态创造动因的可能。 生物体的活动总是遵循一定的规律，有的还能创造一定的秩序。
(1)木材
图9-43
明式家具几案
(3)塑料
图9-45 维特拉(Vitra)公司采用注塑成型的方法加工制作的“植物椅”
(4)玻璃
数学形态学原理共80页文档
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
42、只有在人群中间，才能认识自 己。—ห้องสมุดไป่ตู้德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
数字图像处理第9章 数学形态学原理(2)
与前边二值图像形态学处理理论不同的是在
以下的讨论中我们将处理数字图像函数而不是集
合。设 f(x,y) 是输入图像，b(x,y) 是结构元素，
它可被看作是一个子图像函数。如果Z表示实整
数的集合，同时假设(x,y) 是来自ZXZ的整数，f
和b是对坐标为 (x,y) 像素灰度值的函数（来自
实数集R的实数）。如果灰度也是整数，则Z可 由整数R所代替。
用于公式(9—49)可以用来计算
b f
，结
果都是一样的，而且b是平移函数。相反，腐蚀是
不可交换的，因而，这种函数也是不可互换的。
膨胀的例子可参见图9—19。
9—19 灰度膨胀图例
由于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域 中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀
处理方法可得到两种结果：
（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将 趋向比输入图像亮； （2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结 构元素相关的值和形状。
(9—51) 公式中 D f 和 Db 分别是 f 和 b 的定义域。平移参
数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f的定义域内，
与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将 完全包含在与被腐蚀的集合内。还应注意到 公式 (9—51)的形式与二维相关公式相似， 只是用“最小”取代求和，用减法代替乘积。
对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果：
（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像 将趋向比输入图像暗；
（2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节 经腐蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取 决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自 身的形状和幅值。
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的， 即：
数学形态学讲解
主要内容：
9.1 引言 9.2 二值形态学
数学形态学又称图像代数，其基本思想：用具 有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的 对应形状以达到对图像分析和识别目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论， 即用集合来描述图像目标，描述图像各部分 之间关系，描述目标的结构特点。
数学形态学是由一组形态学的代数运算子组 成，基本运算有：膨胀(或扩张)、腐蚀(或侵 蚀)、开启和闭合。
结构元素参与形态学运算的参考点。 参考点可包含在结构元素中，也可不包含在结构元 素中。但运算结果会不同。
选取结构元素的遵循原则：
结构元素必须在几何上比原图像简单，且有界。 一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。 当选取性质相同或相似结构元素时，以选取图像某些 特征的极限情况为宜。
结构元素的形状最好具有某种凸性，如圆形、 十字架形、方形等。
+ ++ ++ + + +
+++ +++ +++
+
解：图(c)中阴影部分表示结构元素 S的映射。
图(d)中阴影部分，蓝色部分表示集合 A；红色部分 表示为膨胀 (扩大)部分。则蓝色和红色部分合起来 就为集合 A? S。
例2：膨胀运算示例
图(a)中阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度值为 低(一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来膨胀A所得到的集合。
位移：A用x=(x1,x2)位移，记为 (A)x,定义为：
(A)x ? {y | y ? a ? x,a ? A}
数学形态学原理(第2讲)
图9—14(a)是一组用于细化的结构元素， 图9—14(b)为用上述方法细化的集合A 。图 9—14(c)示出用 B 1 细化A得到的结果，图9— 14(d)-(k)为用其它结构元素细化的结果。当
第二次通过B 4时收敛。图9—14(k)示出细化的
结果。
整理课件
图 9—14 细化处理
整理课件
X k i ( X k i 1 B i) Ai 1 ,2 ,3 ,4k 1 ,2 ,3
其中
X
i 0
A 。现令
Di
Xi conv
,下标“conv”
表示当时收敛。那么，A的凸壳为
4
C(A) D i
i 1
(9—34)
整理课件
这个过程包括对A和B1重复使用击中（hit）或 击不中（miss)变换；当没有进一步的变化发生时， 求A和所谓的结果D1并集。对B2重复此过程直到没有 进一步的变化为止。四个结果D的并构成了A的凸壳。
样。最后，X3 和 X1 的并生成了最后的结果：
X4 X1X3
正如图9—17(g)中所示。
整理课件
假定所有的非边界元素均标为0，我们把一个 值1赋给P开始这个过程。下述过程将把这个区域 用1来填充：
X k (X k 1 B ) A c k 1 ,2 ,3 ( 9—31)
其中，X0 P ，B为对称结构元素，如图所示。
当 和
k A
迭代到 Xk Xk1 时，算法终止。集合X
的并集包括填充的集合和边界。
整理课件
9.3.1边缘提取算法
集合A的边界记为 (A)，可以通过下述算法提
取边缘：设B是一个合适的结构元素，首先令A被B 腐蚀，然后求集合A和它的腐蚀的差。如下式所示：
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数字图像处理学第9章数学形态学原理（第二讲）9.4 灰度图像的形态学处理前边针对二值图像的形态学处理的基本运算作了系统的介绍，这些基本算法可方便地推广至灰度图像的处理。
这一节我们将讨论对灰度图像的基本处理，即：膨胀、腐蚀、开运算、闭运算。
由此建立一些基本的灰度形态运算法则。
这一节的重点是运用灰度形态学提取描述和表示图像的有用成分。
特别是，我们将通过形态学梯度算子开发一种边缘提取和基于纹理的区域分割算法。
同时，我们将讨论在预处理及后处理步骤中非常有用的平滑及增强处理算法。
与前边二值图像形态学处理理论不同的是在以下的讨论中我们将处理数字图像函数而不是集合。
设f(x,y)是输入图像，b(x,y)是结构元素，它可被看作是一个子图像函数。
如果Z表示实整数的集合，同时假设(x,y)是来自Z X Z的整数，f 和b是对坐标为(x,y)像素灰度值的函数（来自实数集R的实数）。
如果灰度也是整数，则Z可由整数R所代替。
9.4.1 膨胀9.4.2 腐蚀9.4.3 开和闭运算9.4.4 灰度形态学的应用函数b 对函数f 进行灰度膨胀可定义，运算式如下：b f ⊕}),(;)(),(),(),(max{),)((b f D y x D y t x s y x b y t x s f t s b f ∈∈--+--=⊕(9—49)其中和分别是函数f 和b 的定义域，和前面一样, b 是形态处理的结构元素，不过在这儿的b 是一个函数而不是一个集合。
f D b D位移参数(s-x)和(t-y)必须包含在函数f的定义域内，此时它模仿二值膨胀运算定义。
在这里两个集合必须至少有一个元素相交叠。
还可以注意到，公式(9—48)很类似与二维卷积公式，同时，在这里用“最大”代替卷积求和并以“相加”代替相乘。
下面我们将用一维函数来解释公式(9—49)中的运算原理。
对于仅有一个变量的函数，公式(9—49)可以简化为：};)()()(max{))((b f D x D x s x b x s f s b f ∈∈-+-=⊕(9—50)在卷积中，f(-x)仅是f(x)关于x 轴原点的映射，正象卷积运算那样，相对于正的s ，函数f(s-x)将向右移，对于-s ，函数f(s-x)将向左移。
其条件是(s-x)必须在f的定义域内，x的值必须在b 的定义域内。
这意味着f和b将相覆盖，即b应包含在f内。
这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似的，即俩个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。
最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素b而是f平移。
公式(9—49)可以使b 代替f 写成平移的形式。
然而，如果比小（这是实际中常见的），公式(9—49)所给出的形式就可在索引项中加以简化，并可以获得同样的结果。
就概念而言，在f 上滑动b 和在b 上滑动f 是没有区别的。
b D f D膨胀是可以代换的，因而f 和b 相互代换的方法运用于公式(9—49)可以用来计算，结果都是一样的，而且b 是平移函数。
相反，腐蚀是不可交换的，因而，这种函数也是不可互换的。
膨胀的例子可参见图9—19。
f b9—19 灰度膨胀图例由于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀处理方法可得到两种结果：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像亮；（2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结构元素相关的值和形状。
9.4.1 膨胀9.4.2 腐蚀9.4.3 开和闭运算9.4.4 灰度形态学的应用灰度图像的腐蚀定义为，其运算公式为：b f Θ}),(;)(),(),(),(min{),)((b f D y x D y t x s y x b y t x s f t s b f ∈∈++-++=Θ(9—51)公式中和分别是 f 和 b 的定义域。
平移参数(s+x ) 和(t+y ) 必须包含在f 的定义域内，f D b D与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包含在与被腐蚀的集合内。
还应注意到公式(9—51)的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代求和，用减法代替乘积。
如果只有一个变量时，我们可以用一维的腐蚀来说明公式(9—51)的原理。
此时，表达式可简化为:})(;)()()(min{))((b f D x D x s x b x s f s b f ∈∈+-+=Θ(9—52)在相关情况下，当s 为正时，函数f(s+x)将向右平移，当s 为负时，函数f (s +x )将移向左边，同时，要求，意味着b 将包含在f 的范围内。
这一点同二值图像腐蚀定义的情况相似，所有的结构元素将完全包含在被腐蚀的集合内。
f D x s ∈+)(b D x ∈不同于二值图像腐蚀定义，操作中是f在平移,而不是结构元素b在平移。
公式(9—51)可以把b写成平移函数，由于f在b上滑动同b在f上滑动在概念上是一致的。
图9—20展示了通过图9—20(b)的结构元素腐蚀图9—20(a)函数的结果。
图9—20 灰度腐蚀图例正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像暗；▪（2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐蚀处理后其效果将减弱。
减弱的程度取决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的，即：),)((),()(y x b f y x b f c ∧⊕=Θ（9—53）其中: ),();,(y x b y x f f c --=-=∧9.4.1 膨胀9.4.2 腐蚀9.4.3 开和闭运算9.4.4 灰度形态学的应用灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值图像相比具有相同的形式。
结构元素b 对图像f 作开运算处理，可定义为，即：b f οbb f b f ⊕Θ=)(ο(9—54)如果是二值图像的情况，开运算是b对f的简单的腐蚀操作，接下来对腐蚀的结果再进行膨胀操作。
类似的，b对f的闭运算，定义为，即：f•b(⊕=)•(9—55)bbfbfο灰度图像开运算和关运算对于求补和映射也是对偶的，即：∧=•bf b f c c ο)(（9—56）由于),(y x f f c -=，式(9—56) 也可以写为)()(b f b f ο-=•-图像的开和闭运算有一个简单的几何解释。
假设看到一个三维的图像函数f(x,y)（象一个地貌地图），x 和y 是空间坐标轴，第三坐标轴是亮度坐标轴（即：f 的值）。
在重现中，图像作为一个平面显示，其中的任意点(x,y)是f 在该点坐标值。
假设我们想用球形结构元素 b 对 f 作开运算，这时可将 b 看作“滚动的球”。
B 对 f 的开运算处理在几何上可解释为让“滚动球”沿 f 的下沿滚动，经这一“滚动”处理，所有的比“小球”直径小的峰都磨平了。
图9—21解释了这一概念。
图9—21(a) 为解释简单，把灰度图像简化为连续函数剖面线。
9—21(b)显示了“滚动球”在不同的位置上滚动，9—21(c)显示了沿函数剖面线结构元素 b 对 f 开运算处理的结果。
所有小于球体直径的波峰值、尖锐度都减小了。
在实际运用中，开运算处理常用于去除较小的亮点（相对结构元素而言），同时保留所有的灰度和较大的亮区特征不变。
腐蚀操作去除较小的亮的细节，同时使图像变暗。
如果再施以膨胀处理将增加图像的亮度而不再引入已去除的部分。
图9—21 开和闭运算的图例图9—21(d)显示了结构元素b对f的闭操作处理。
此时，小球（结构元素）在函数剖面上沿滚动，图9—21(e)给出了处理结果，只要波峰的最窄部分超过小球的直径则波峰保留原来的形状。
在实际运用中，闭运算处理常用于去除图像中较小的暗点（较结构元素而言），同时保留原来较大的亮度特征。
最初的膨胀运算去除较小暗细节，同时也使图像增亮。
随后的腐蚀运算将图像调暗而不重新引入已去除的部分。
开运算处理满足以下的性质：（i ）；(ii) 如果,则；(iii) 。
表达式表示是的子集，而且在的定义域内对于任意都有。
f b f ↵)(ο21f f ↵)()(21b f b f οο↵b f b b f οοο=)(v u ↵u v u),(y x ),(),(y x v y x u ≤类似的，闭运算处理满足以下的性质：（i ）；(ii)如果,则；(iii) 。
)(b f f •↵21f f ↵)()(21b f b f •↵•b f b b f •=••)(这些表达式的使用类似于对应的二值表达式。
正如在二值情况下，对开运算处理和闭运算处理性质(ii)和性质(iii)被分别称作单调增加和等幂。
9.4.1 膨胀9.4.2 腐蚀9.4.3 开和闭运算9.4.4 灰度形态学的应用根据前边讨论的灰度形态学的基本运算，下边介绍一些简单的形态学实用处理算法，这些处理都是针对灰度图像进行的。
(1)形态学图像平滑一种获得平滑的方法是将图像先进行闭运算处理然后再进行开运算处理，处理结果将去除或消减亮斑和暗斑。
(2)形态学图像梯度除了前面对去除亮点和暗斑处理外，膨胀和腐蚀处理常用于计算图像的形态梯度，梯度g用表示，则：-gΘ⊕=f))((bfb经过形态学梯度处理，使输入图像灰度变化更加尖锐，与利用象Sobel算子这样的一类处理方法所获得的梯度图像相反，运用对称结构元素获得的形态学梯度将较少受边缘方向的影响，这一优点的获得是以运算量显著增加为代价的。
（3）Top-hat 变换.所谓的图像形态变换用来表示，其定义为：(9—58)公式中 f 是输入图像，b 是结构元素函数。
这一变换的最初命名是由于用平顶圆柱和平行六面体作为结构元素函数，因此，得名（高帽）变换，它常被用于阴影的细节增强处理。
hat Top -h )(b f f h ο-=hat Top -（4）纹理分割.图9—22(a)是一幅包含两个纹理区的图像。
我们的目的是分割出两个纹理区并提取两个区域的边界。
由于闭运算可去除图像中的暗细节，在这种特殊情况下，依次使用较大的结构元素对输入图像进行闭运算处理。
当结构元素的尺寸与小圆的尺寸相当时，它们将从图像中被除去，在原来的位置仅留下小圆曾经占有的区域的亮的背景。
处理到这种状态，仅有右边大圆区域和左边背景区域。
下一步，采用相对于大圆间的间隙来说较大的结构元素作开运算处理，将去除圆间的亮的区域，同时仅留下右边包含大圆的暗区域，这样，处理的结果将产生一个右边为暗，左边为亮的区域。
用一个简单的门限就可以检测出两个区域。
图9—22 纹理分割（5）粒状处理.粒状处理和其他处理一样，是决定一幅图像分散颗粒尺寸大小的处理。
图9—23(a)显示了包含三种不同尺寸的亮颗粒图像。
这些颗粒不但重叠，而且混乱到无法检测单一个体的程度。