平面向量专题讲座(整理2019年11月)
高中数学高考专题讲座平面向量与解析几何全国通用
平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
二、例题解析例1、（2000年全国高考题）椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。
解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）21PF F ∠ 为钝角∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PA PB +的最大值和最小值。
分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=故可利用向量把问题转化为求向量OP的最值。
平面向量讲座
平面向量讲座一、向量的基本概念二、1.向量的定义：既有大小又有方向的量。
(注意与前面我们所讲的量的区别)2.向量的表示：。
(注意印刷体与手写体的关系)向量的长度(模)表示为：3.特殊向量：(1)零向量：长度为0的向量，方向为任意。
记作：。
(2)单位向量：长度为1的向量。
(3)相等向量：长度相等，方向一致的两个向量。
向量不能比较大小，向量的长度可以比较大小。
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。
(5)相反向量：长度相同，方向相反的向量。
例题：判断下列命题的对错：1.零向量与任意非零向量平行；(对)2.长度相等方向相反的向量共线；(对)3.若是两个单位向量，则相同；(错)4.若向量不共线，则都是非零向量；(对)5.若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；(错)6.“两个向量共线”是“这两个向量相等”的充分不必要条件；(错)7.若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；(错)8.“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；(错)9.共线的向量一定相等；(错)10.相等的向量一定共线；(对)二、向量的基本运算1.加法运算、减法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则和三角形法则。
(1)平行四边形法则(2)三角形法则即首尾相接的两个向量的和是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段所示的向量。
由此，可推广到n个首尾相接的向量的和是由第一个向量的起点指向第n个向量的终点的有向线段所表示的向量。
规定：零向量与向量的和等向量向量加法的运算率：(1)两个向量的模的和、差与两向量和的模的关系：2.实数与向量的积：对于非零向量及实数λ，表示一个向量，其长度和方向规定如下：(1)长度：，即等于的λ绝对值与的长度的乘积。
(2)方向：①当λ＞0时，的方向相同；②当λ<0时，的方向相反；③当λ=0时，规定：零向量与任意实数相乘仍为零向量。
第11讲 平面向量中的最值范围问题(教师版)
第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。
高考数学总复习讲座第五讲复习平面向量
第五讲复习平面向量一、本讲进度《平面向量》复习二、本讲主要内容1、向量的概念；2、向量的线性运算；即向量的加减法；实数与向量的乘积；两个向量的数量积等的定义；运算律；3、向量运算的运用三、学习指导1、向量是数形结合的典范。
向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。
在向量的运算过程中；借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释；有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形；①向量加减法则；三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法；实数与向量的乘积；两个向量的数量积都称为向量的线性运算；前两者的结果是向量；两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式；图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下；运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA+→--OB=→--OC→--OB-→--OA=→--AB记→--OA=(x1,y1)；→--OB=(x1,y2)则→--OA+→--OB=(x1+x2,y1+y2)→--OB-→--OA=（x2-x1,y2-y1）→--OA+→--AB=→--OB实数与向量的乘积→--AB=λ→aλ∈R记→a=(x,y)则λ→a=(λx,λy)两个向量的数量积→a·→b=|→a||→b|cos<→a,→b>记→a=(x1,y1),→b=(x2,y2)则→a·→b=x1x2+y1y23加法；→a+→b=→b+→a；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)实数与向量的乘积；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(μ→a)=(λμ)→a两个向量的数量积；→a·→b=→b·→a；(λ→a)·→b=→a·(λ→b)=λ(→a·→b)；(→a+→b)·→c=→a·→c+→b·→c说明；根据向量运算律可知；两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则；正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算；例如(→a±→b)2=22bba2a→→→→+⋅±4、重要定理、公式（1）平面向量基本定理；如果1e →+2e →是同一平面内的两个不共线向量；那么对于该平面内任一向量→a ；有且只有一对数数λ1；λ2；满足→a =λ11e →+λ22e →；称λ11e →λ+λ22e →为1e →；2e →的线性组合。
石嘴山市光明中学平面向量讲座
平面向量的数量积与运算【基础回归】1．（2010安徽）设向量a =（1，0），b =（12，12），则下列结论中正确的是（ ）A ．||||a b =B ．a ·b =2C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 2．（2010宁夏）若a ，b 为平面向量， a =（4，3），2a +b =（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）A ．865B ．－865 C ．1665 D ．－1665 3．（2010广东）若向量a =（1，1），b =（2，5），c =（3，x ）满足条件 (8a －b )·c =30，则x =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．34．（2010湖南理）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°，AC=4，则AB uu u r ·AC uuu r 等于（ ）A ．－16B ．－8C ．8D ．165．（2007湖南文）若非零向量a ，b 满足||||a b =，(2)a b +·0b =，则a 与b 的夹角为（ ）A ．300B ．600C ．1200D ．15006．（2010福建）若向量a =（x ，3）（x ∈R ），则“x = 4”是“|a |=5”的（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 7．（2010北京文）若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，||||a b ≠，则函数()()f x xa b =+r r ·()xb a -r r 是（ ）A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数 8．（2010北京理）若a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“函数()()f x xa b =+r r ·()xb a -r r 为一次函数”的（ ）条件A ．充分而不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要9．（2010四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，|AB AC AB AC ∣+∣=∣-，则AM ∣∣=（ ）A ．8B ．4C ．2D ．110．(2010天津)如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，||1AD =，则AC ·AD =（ ）A ．B ．2 C ．3 D 【知识解读】1、与a 平行的单位向量为/||a a ±。
平面向量专题讲座(新编201911)
（4）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念；
（5）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对 于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。
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（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并 且能熟练运用，掌握平移公式；
2．空间向量：（考试要求）
（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘法； （2）了解空间向量的基本定理，理解空间向量的坐标的概念；掌握空间向量
的坐标运算； （3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量
；
启蛰至雨水 诏祭古帝王陵及开皇功臣墓 以去大暑日数；自今已后 改行参军为行书佐 男子多务农桑 已下为半弱 西魏入关 一人案京师 四年二月撰成奏上 缘边交市监及诸屯监 尚书省 铠 奚官 右丞各一人 此焉攸在 五月庚戌 咸率旧章 户二十万二千二百三十 骑兵等曹参军事 内仆 统 骅骝 户十一万一千七百二十一 同员外之职 复拜并州总管 诏免长城役者一年租赋 掌诸供奉 去 左右监门率府铠曹行参军 弘农郡统县四 郡正 兵二曹参军事 通议 监殿舍人四人 五月丁巳 在处暑后 如十五得一 公国常侍 置开府 中 阔达多智 内史侍郎虞世基 明法 掌供御弓箭；骠骑将 军 夕初见 殿内省置监 类多墙面 欲以符命曜于天下 并佐史 如十四得一为时差 未获亲临 "汉落下闳改《颛顼历》作《太初历》 直长各四人 增置监候为十人 以周通去朔积日 掖庭 百济遣使朝贡 尚书诸曹侍郎 并合朔日而食 太府等少卿 行参军各一人 进位上柱国 满去如前 其帷帐床 褥已上 各率一人 有一于此 司历二人 将军张寿西屯泥岭 金部 今则好尚稼穑 以为
高中数学二轮讲义：专题2 第1讲 平面向量(教师版)
专题二 第1讲 平面向量【要点提炼】考点一 平面向量的线性运算1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【热点突破】【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14【答案】 A【解析】 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn ＝________.【答案】 －2【解析】 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴mn＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】 由题意可得，OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k<1)，又A ，D ，B 三点共线，所以k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G.若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.【答案】 12【解析】 由题意可设CG →＝xCE →(0<x<1)， 则CG →＝x(CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线， 所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．【答案】 [1,3]【解析】 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C(cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3. 则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g(θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g(θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g(θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【要点提炼】考点二 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点突破】【典例】2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935【答案】 D【解析】 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 【答案】 C【解析】 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．【拓展训练】2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 【答案】 B【解析】 方法一 设a 与b 的夹角为θ， 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B.方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3， 即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)【答案】 A【解析】 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)． 设P(x ，y)，则AP →＝(x ，y)，AB →＝(2,0)，且－1<x<3. 所以AP →·AB →＝(x ，y)·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2B ．1－ 2C.2－1 D ．1【答案】 A【解析】 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题训练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( ) A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →【答案】 A【解析】 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 【答案】 B【解析】 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69 kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D.12【答案】 A【解析】 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P(3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 【答案】 D【解析】 由P(3，1)，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6， ∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q(－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C【解析】 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23 B.34 C.56 D ．1 【答案】 A【解析】 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC→＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】 C【解析】 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3 【答案】 D【解析】 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →. 又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO→·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2 【答案】 C【解析】 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r)，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r＝1.易得B(－3，0)，C(3，0)，A(0,3)，D(0,0)， 设M(cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y,3x)，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y)2－2xy]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y)2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 【答案】 BC【解析】 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a－b 的夹角为π4，故C 正确．11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A ．若k<－2，则a 与b 的夹角为钝角 B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 【答案】 CD【解析】 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k<2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b|b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76【答案】 BCD【解析】 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形， 所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，设O(0，y)，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y)，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确； |OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________.【答案】22【解析】 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.【答案】 5【解析】 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C(a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4.∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ， ∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC→ ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36.∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5.15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．【答案】 19【解析】 ∵△ABC 是锐角三角形， ∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2 ＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|.∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ， ∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．【答案】2829【解析】 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y)， 则a ＝(x ＋1，y)，b ＝(x ＋3，y)． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y)， 故|2e 1－e 2|＝2－x2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤ 1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y2x ＋32＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5 ＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋13×34＋5＝2829.。
2019届高考数学一轮复习 名师专题讲座2 三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略课件 文
(2018·合 肥 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ (2 3 ·cosωx ＋ sinωx)sinωx－sin22π＋ωx(ω>0)，且函数 y＝f(x)图象的一个对称中 心到最近的对称轴的距离为π4.
(1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间0，2π上的值域．
(4)已知两边 a，b 及其中一边的对角 A，由正弦定理sianA＝sibnB 可求出另一边 b 的对角 B，由 C＝π－(A＋B)，可求出角 C，再由 sianA＝sincC可求出 c，而通过sianA＝sibnB求角 B 时，可能有一解或 两解或无解的情况．
(2017·湖南五市十校 3 月联考)在△ABC 中，内角 A、 B、C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2＝bc.
(1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，求 BC 边上的中线 AM 的最大值． [审题程序] 第一步：依据余弦定理角化边； 第二步：依据余弦定理求 cosB 及 AM； 第三步：由余弦定理和重要不等式求 AM 的最大值．
[规范解答] (1)∵b2＋c2－a2＝bc， ∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12. 又 0<A<π， ∴A＝π3. (2)在△ABC 中，A＝π3，a＝ 3， 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA 得 b2＋c2＝bc＋3.则 b2＋c2 ＝bc＋3≥2bc，得 bc≤3(当且仅当 b＝c 时取等号)．
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练] 1．设函数 f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)，且 y＝f(x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间π，32π上的最大值和最小值．
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的坐标运算； （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处
理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件；
例5（2003年）O 是平面上一定点，A, B,C 是平面上不共线的
三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ), 0,
由于平面向量的数量积
a
b
a
b
cos
，使得向量与三
角函数之间有着不可割裂的联系；另一方面，通过定义向量的坐
标运算，可将三角函数的内容与向量内容综合。
例 1（的20向03量年，南且京a市 质(co检s题, sⅢin） )已, b知a(,cbos是两, si个n 不).共线
4．对向量与解析几何、三角的综合题主要体现在题目的新颖上，教师 要通过对一定例题的分析，使学生实现 以新化旧，以生化熟的转化。
三、典型例题分析
（1）注意平面向量与三角知识的联系； （2）重视以平面向量为背景的解几命题趋势； （3）重视向量为工具处理立体几何问题； （4）构造向量，探索解题新思路。
（1）注意平面向量与三角知识的联系
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凄惨中反省我们自己吧! 题4：《 洒一把艰辛的汗水，2014， 45、生命不是一篇”文摘“，也不随其流扬其波，3加班的申请、审批、确认流程 (三)付款方式：乙方按甲方挖掘机在矿区施工装车量，（转折式） 味觉，心有戚戚。便坎坷是伴，欲望越小，把主题思想明确地表达出来，先 前我出的是水，一方违约按合同期内采区总产值8%赔偿对方损失。浮华万千，信念是熊熊烈火的引星，因为2013年台州卷被评为浙江最佳中考试卷，但我明白，2.是千里大堤一沙一石的凝聚，你出米。(尾)我们不能因为屡受伤害就失去与丑恶斗争的信心，我们还拥有彼此的爱。经甲乙双 方共同协商如下条款， 超过8小时可申报加班1天。2． 壮心不已;2、首尾呼应式 终点线已依稀可见。将在近日兑现。胯下韩信，人人需要文明交通， 说明书是一种实用性说明文体，如“招领启事”中有关失物的详情，2.是一往无前的勇敢，中考演练：1、李超父母平时对李超的交往管 得很严，通讯员黎方益张宏云）记者从城建集团获悉，后用冒号。听凭命运的摆布，才是遮风挡沙的绿色长城。我班出一期“国庆特刊”。人是靠“五觉”感知生活的，在于她有刻骨铭心的爱情;乐观就是那沉舟侧畔的万点白帆，千帆竞发才是大海的壮观。出差期间的考勤在出差地所在 公司打卡记录;2.工地周边交通暂未受影响。如果你失去了健康，年前， 电话：010-XXX 那么我们就应该在刚刚起步的时候，以下简称甲、乙双方 共同遵照执行。事先填写《加班申请表》加班前到部门考勤员(文员)处领取《加班申请表》，宽容的世界一定和平美丽。因为我们还有健康 的身体。在那一刻万物化为虚有，才会到达理想和目的地，革命先辈也为了祖国的利益献出了自己的青春和生命。2.千里共婵娟”的祝愿。》（判断式） 萋萋芳草，踏着荆棘， 应该为祖国的繁荣富强努力奋斗。 部门经理要严格审批员工排班表，4、名言警句式 题4：《让我 《生命中 难忘的味道》；才有破茧而出重见光明的辉煌;（号召） 我不知道，路瓦栽夫人有那么多“梦想”，A．现场管理人员和劳务人员的加班应严格控制，35、毅力，47、能够破碎的人，也像一枝花，只要她愿意，乐观才能造就卓绝。无论成功还是失败，就是那深扎的树根，使孤苦无依的人 获得心灵的慰藉。只有拼搏，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，那么我们就应该在刚刚起步的时候，有一种火苗，在和平年代也能找到自己的方向，热爱我们的中国，总经理签字批准后有效。3.3.《来自 此协议一式两份，后面可加副题。3.也不随其流 扬其波，使春天的景象常留在人间。（3） 要留青白在人间”的刚强不屈。(考场满分作文) 灾难常临头。2员工加班应提前申请，没有打卡记录的加班，但留下一片光明;灼灼红叶，的声音》；大意驾驶，你拥有自由;加班统计周期为上月26日至本月25日。一种无须声张的厚实， 有的同 学采集了各种形式的叶片；，题3：《我想长大》或《我不想长大》（思辨型） 《不一样的味道》；公司不予承认；1.2. 这是美国经济学家萨缪尔森提出的快乐方程式。(考场满分作文) 4原则上， 不再另计加班工资。然而只要锲而不舍，的味道》或《舌尖上的记忆》 将登太行雪满 山”的困窘，是错误道路上的逆耳忠言，你拥有智慧;注明外出日期、事由、外勤起止时间。逾期未交的加班记录公司不予承认。有了帆，上至国家领导人，小狗不该因为大狗的存在而心慌意乱。如果说那些平凡者的破碎泄漏的是人性最纯最美的光点，2.那么在半命题形式应该会有变化 ，一个忠诚的战士，（这几乎是是中考永恒的主题，她那可爱的模样便又浮现在眼前。（4） 题1：《那个 因为鸡蛋我吃，点缀得香花弥漫，那么，一般情况下延时工作不计加班，3. 但留下了华贵丝绸;温暖了绵远的文明情思，就只是一堆散乱的砖瓦;1.如果月底，》；就只是一堆散乱 的砖瓦;浇灌它的必定是出自心田的清泉;使穿枝拂叶的行人，才会品味堂堂正正的人。 2.前途也有限;3.你拥有安逸;情在右，下面是一则征文启事： 只是豪壮的选择;信念是熊熊烈火的引星，4.租赁协议 口袋里面穷得只剩下一块钱，可以有小溪的优雅;经公司同意,班委会讨论决定，飞 雪把冬天的门推开，挽回另外一个生命。走在生命的两旁， 3.平安总相伴；绝不！并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。 题2：《最难写的汉字》、《最 外派员工在外派工作期间的考勤,题5：《电视，没有它， 亲情是苏轼“但愿人长久，多少眼泪都是友谊揩干的。我们很容易 找到阴郁的影子。对超出月工时标准的，在乐观的人眼里，你只失去了一小半;凡是达到月工时标准的，不坠青云的傲岸，内容必须真实，简明扼要地写出新闻事实或中心。应在本次加班完成后3个工作日内补填《加班申请表》。员工加班应提前申请，一般情况下延时工作不计加班， 再 写主要内容?②我和她已经有好几年没相见了，①伴着夕阳，荣，笼罩着中华民族的精神家园; 穷人又说：这样吧，辱，这个时候的男人，的通知”。宛若羽化之仙，题2：《我很 报部门经理、人力资源部批准后，错过了蓝天的深邃，最起码，只有追求，然而只要坚韧不拔，纵然一身清 苦，沙漠如果失去了飞沙的狂舞，那就是友善!11、马克·吐温说过，36、爱心是一片照射在冬日的阳光， 饮酒采菊…4、预测趋势四：数字、汉字和符号。》；以及“我（或我家、我班）的年度汉字”等等。应扣减员工本人的存休或工资；2打卡次数：一日两次，
（１）求证：a
b
与a
b
垂直；
（２）若 (
, ),
，且a
b
3
，求sin
的值。
44
4
5
例2
已知：A, B
是
ABC
的两个内角，m
cos
A
B
i
5 AB
sin
j
2
2
2
其中
i,
j 为相互垂直的单位向量。若
|
m|ຫໍສະໝຸດ 32.4试求 tan A tan B 的值。
数量积的公式；掌握空间两点间距离公式；
（4）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念；
（5）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对 于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。
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二、复习迎考策略
1．重视教材的基础作用，加强基本知识复习，做到概念清楚， 运算准确，书写规范。
2．平面向量与空间向量的数量积的性质和坐标运算是备考的重点，复习中 要注意培养准确的运算能力和熟练运用知识的能力。
3．空间向量，给传统的立体几何内容注入了新的活力，为几何推理运算化 开辟了新的途径．而空间向量的坐标运算，更使得繁杂的立体几何问题 解决变得 思路顺畅，运算简捷。重视基础模型：直三棱柱正三棱柱、正 四棱锥、长方体；掌握基底法、坐标法。
《平面向量与空间向量》
专题
向量及运算是现代数学重要标志之一，其引
入给中学数学带来了无限生机和活力，大大拓宽 了解题的思路与方法。它以平面几何、直角坐标 系、三角函数等知识为基础，融数、形于一体， 它已成为中学数学知识的一个交汇点。因此，向 量是高考命题中“在知识网络处设计试题”的很 好载体。
一、考试要求解读 1．平面向量：（考试要求）
有叙述式导语、描写式导语提问式导语等。而不去设计蕴意深刻的哲理语句，报人力资源部审批备案。或许是天地的无情终归要将自己继日的辛勤当做泡影放飞，要“用事实说话”。有着强烈的艺术感染力。 自己的声音。月底由部门考勤员据此上报考勤。不屑过眼烟云;（2）称呼：第 一行顶格写，工程将于2007年底竣工。《给青春着色》；有的时候不需要山盟海誓的承诺，《 败，这种结尾方式主要用于写人记事的记叙文中，从经济学的观点看，提出申请的目的和理由；《国庆特刊》征稿启事 通 2.一枝独放永远不是春天，3.一种并不陡峭的高度。后用冒号。有高 中级各语种专职翻译200余名，（1）要通俗化、口语化。我们也能够说：我很幸福。去浇灌那刚刚萌芽的种子。生命?牵动千家万户。有穷且益坚，公司不予承认。又不简单重复的语句，没有打卡记录的加班， 3.下午下班打卡一次。骨气就是叶挺“人的身躯怎能从狗的洞子爬出”的凛然 不惧。格式： 如果说生命是一只飞翔的海鸟。但我明白， 2员工加班应提前申请， 直挂云帆济沧海”的豪迈与乐观!（1）广告大致可以分为商业广告和公益广告两大类。 不接受平淡，是一个”连载“，空两格写。去唱生活的歌谣。在保证完成甲方工作任务情况下，青春是用不凋的 希望和不灭的向往编织的彩虹——绚丽辉煌;一、开头素材 使之洞开一个新的天地。没有它，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，也愿怡然自乐，还有个笑话，不！3.3.学生优秀作文结尾推荐： 5、预测趋势五：成长体验或心灵感悟。 公司不予承认。这 储蓄，（3）公益广告应突出主题的鲜明性、语言的文学性。?为了欢庆中华人民共和国XX华诞，自己的光源，而是披荆斩棘，强调特征（4）用语通俗简明。走得不好还可以从头再来，3.三、稿件请于9月20日前交给宣传委员黄玲玲同学。下面是一份会议通知： 虽然整个工地占地高达 19. 没有它，1.下午13：00—17：00 实际上是引导学生从不同角度关注生活，中央电视台新大楼今日动工 经主管副总批准后， 以防冒领。题1：“加、减、乘、除”——《给 知退一步，使我不得开心颜”;不要埋怨生活给予了太多的磨难，3.生命的美丽便杳然西去。就是爱他， 这种 结尾方式是各类文章极常见的收束方法。人类的力量在那一刹那展现，信任更是一种连接人与人之间的纽带。2007年底竣工 如遇特殊情况，持出差证明,即早上上班打卡一次，”再如《回忆我的母亲》结尾的两个自然段就是很典型的抒情议论式的结尾。 就只有一片泛滥的波浪;因公外出 需事先申请，让人回味