(优选)随机变量的数学期望
随机变量的期望和方差公式
随机变量的期望和方差公式随机变量的期望与方差是数学统计分析中经常被研究和使用的重要概念，它们是描述随机变量分布特性和表示它们在统计分析中的重要指标。
在本文中，我们将介绍随机变量期望和方差的概念及其相关数学公式，并举例说明。
首先，让我们来看一下随机变量的定义。
随机变量是一个描述某个系统性质的变量，它的取值在进行抽样的时候是未知的，而且每次抽样的结果都是不同的，因此它是一种随机的变量。
例如，我们可以通过抽样来表示某种游戏中获胜者的人数，这就是一个随机变量。
其次，让我们来讨论随机变量的期望和方差。
期望是指一个随机变量的期待值，它是描述一个随机变量的核心概念。
它可以用来表示随机变量的整体行为特征，以及可能出现的结果在一定范围内的可能性大小。
期望的数学表示形式为：E(X)=∑XiP(Xi)其中，E(X)为期望，X表示随机变量的取值，P(Xi)表示X取值Xi的概率。
方差是指随机变量的波动程度，它可以用来描述随机变量的取值与已知期望之间的偏差程度。
方差的数学表示形式为：Var(X)=E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示方差，E(X)表示期望，X表示随机变量的取值。
现在让我们来举个例子，来说明这两个公式。
假设我们有一个抛硬币的实验，抛出正面的概率为0.5，反面的概率也为0.5。
那么，这个实验的期望值可以由以下公式得到：E(X)=0.5*1+0.5*(-1)=0这表示，我们预期在这个实验中获得正面和反面的概率是一样的，所以期望的最终结果是0。
同样，我们可以用方差的公式来计算这个实验的方差：Var(X)=E[(X-E(X))^2]=0.5*(1-0)^2+0.5*(-1-0)^2=1 这表示，我们预期在这个实验中获得正面和反面的结果有一定的差异，所以方差的最终结果是1。
总之，本文介绍了随机变量的期望和方差的概念以及其相关的数学公式，并举例说明了它们的用法。
我们可以利用它们来更好地描述随机变量，从而更全面地理解和掌握它们。
随机变量的期望值计算
随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取得的值。
在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解随机现象的规律性，为决策提供依据。
本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{x1,x2, ..., xn}，对应的概率分布为P(X=x1), P(X=x2), ..., P(X=xn)。
则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*P(X=x1) + x2*P(X=x2) + ... + xn*P(X=xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X可能取得的值。
例如，假设一个骰子，其点数为1、2、3、4、5、6，对应的概率分布相等，即P(X=1)=P(X=2)=...=P(X=6)=1/6。
则骰子的点数的期望值为：E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) +6*(1/6) = 3.5因此，这个骰子的点数的期望值为3.5。
二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(x)，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(a到b) x*f(x) dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
例如，假设一个连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，x∈[0,1]。
则该随机变量X的期望值为：E(X) = ∫(0到1) x*2x dx = 2∫(0到1) x^2 dx = 2*[x^3/3] (0到1) = 2*(1/3) = 2/3因此，该连续型随机变量X的期望值为2/3。
综上所述，随机变量的期望值计算是概率论中的重要内容，通过对离散型和连续型随机变量的期望值计算方法的了解，可以更好地应用于实际问题中，分析随机现象的规律性，为决策提供支持。
随机变量的数学期望
P{ X = xiY = y j } = pij ,i , j = 1,2,
则 E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( x i , y j ) pij .
j i
型随机变量, (2) 若(X,Y)是连续型随机变量,联合概率密度为 , ) 连续型随机变量 f(x,y),则 ( , )
1 k 1 1 k k E 因此, 因此, ( X ) = q + (1 + ) (1 q ) = 1 q + , k k k
N个人需化验的次数的数学期望为 个人需化验的次数的数学期望为 例如, 例如,
0.9910 0.1 = 0.804 , 1 k 就能减少验血次数. 当 q > 时, 就能减少验血次数.
E( X) = ∫ xf ( x)dx
∞
+∞
13
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望. 求X的数学期望. 的数学期望
解
E( X ) = ∫
+∞ ∞
1 0
xf ( x ) dx
2
=∫
3 x 3 x dx = . 4
+∞
+∞
=∫
+∞ 0
x e dx = 2 .
2
18
x
设随机变量( , ) 例8 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 y f ( x, y) = 2 x y x 0, else 1 ). 求 E(Y ), E( XY
解 E(Y ) =
期望方差协方差
随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),(-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。
随机变量的数学期望
思考 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、数学期望的概念 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数
xk pk k 1
绝对收敛，则称级数
xk pk k 1
例8 设风速V在(0, a )上服从均匀分布,即具有概率
密度
1 0va f (v ) a 0 其它
2
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 : W kV ( k 0, 常数), 求W的数学期望.
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分 望不存在。
x f ( x)dx 发散，则称X的数学期
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
《概率论与数理统计》第4-7 章复习与自测题
《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。
2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。
6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。
试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。
(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
3.2概率论——随机变量的期望
X0
100
p 0.25 0.75
Pascal认为甲的所得应为0 0.25 100 0.75 75法郎
这不仅考虑了已赌的局数还包含了对再赌下去的一种
“期望” (Expectation),它比(1)的分法更为合理.
这就是数学期望这个名 称的由来,也称为均值.就上例 而言, 再赌下去的话 ,甲“平均”可以赢 75法郎.
(12 1) 0.3 (22 1) 0.3 3.4
例 8：设随机变量X的密度函数为
f ( x) co2s x 0
求：EX , E(2X 3), EX 2
x 2
else
EX
xf ( x)dx
2 x cos xdx 0
2
2
2
cos x
E(2 X 3) (2x 3) f ( x)dx (2x 3) dx 3
若令g(X,Y)=X,
EX
xf ( x, y)dydx
xf X ( x)dx
类似地，
EY
yf
( x,
y)dxdy
yfY ( y)dy
即可以由联合密度直接求出X, Y的期望
例10：设X ,Y的联合分布为
Y X
1
1
1 0.25 0 0.25
1
0.5 0.25 0.75
0.75 0.25
1
p( qk )
1
p q
1q
p(1 q) pq (1 q)2
1 p
直观理解一致吗? 记住上述两个结果!
定义3.2
设c.r.v.X
的
p.d.f.
为f
(x),
如
果积分
xf
(
x
)dx绝对收敛，
随机变量函数的数学期望
第12讲 随机变量的数字特征习题课教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。
教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。
教学难点：随机变量函数的数学期望。
教学时数：2学时 教学过程：一、知识要点回顾1. 随机变量X 的数学期望()E X对离散随机变量 ()()i i iE X x p x =∑若1,2,i=，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。
对连续随机变量 ()()E Xxf x d x+∞-∞=⎰假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。
2. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。
对离散随机变量 [()]()()i i iE g X g x p x =∑对连续随机变量 [()]()()E g Xg x f x d x+∞-∞=⎰假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。
3. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元实函数。
对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j ijE g XY g x y p x y =∑∑对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y d xd y+∞+∞-∞-∞=⎰⎰假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。
4. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）(), ()E c c c =为常数()(), ()E c X c E X c =为常数()(), (,)E a X b a E X b a b +=+为常数()()()E X Y E X E Y +=+11()()nni i i i i i E c X c E X ===∑∑若,X Y 相互独立，则()()()E X Y E X E Y =。
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一 离散型随机变量的数学期望
有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示， 试问哪一个射手本领较好？
射手名称
甲
乙
击中环数 概率
8 9 10 8 9 10 0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3
解 甲射击平均击中环数为
8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3 乙射击平均击中环数为
8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
法二
E(Y ) (2)2 0.10 (1)2 0.10 02 0.25 12 0.20 22 0.15 32 0.10 2.30
例8 设X ~ N(0,1),求E(X 2)
解：依题意, X的概率密度为
p(
x)
b
1
a
,
0,
于是有
a xb 其它
b
E(X )
x
dx a b
a ba
2
例5 设X服从参数为( 0)的指数的分布,求E(X )
解：依题意, X的概率密度为
ex ,
p(x) 0,
于是有
x0 x0
E(X )
xp(x)dx
xexdx
0
xex exdx 00
则随机变量X的数学期望E(X)=np.
证明 E( X ) n k P{X k} n kCnk pk qnk
k 0
k 1
n
k n! pk qnk
k1 k!(n k)!
n
np(n 1)!
p q k 1 (n1)(k 1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
n1
np
(n 1)!
k1 (k 1)!
二 连续随机变量的数学期望
定义2 设连续随机变量X的密度函
数为p(x),
若积分
xp(x)dx
绝对收敛，
则称该积分为X 的数学期望，记为
E( X ) xp(x)dx
注:若
| x | p(x)dx
则称连续型随机变量X的数学期望不存在.
常见连续型随机变量的期望
例4
设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布,求E(X )
四 一维随机变量函数的数学期望
定理1 设离散型随机变量X的分布律为
P(X xk ) pk , k 1,2,,
f (x)是实值连续函数,且级数 f (xk ) pk绝对收敛, k 1
则随机变量函数f (X )的数学期望为
E[ f ( X )] f (xk ) pk k 1
定理2 设连续型随机变量X的概率密度为p(x), f (x)
p q k 1 (n1)(k 1)
k10 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
np( p q)n1 np
例3 设X ~ P()，求E(X )
解： X的分布律为
P(X k) k e
k!
X的数学期望为
k 0,1,2, , 0
E(X )
k e
k
e
k 1
e e
k0 k!
例15
设一台机器上有3个部件，在某一时刻需要对部件 进行调整，3个部件需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3. 且Ｘ为需要调整的部件数，求ＥX.
解：不求分布律，运用性质4计算。设
1, 第i个部件需要调整， Xi 0， 第i个部件不需要调整，i 1,2,3
则X X1 X2 X3
故EX EX1 EX 2 EX3 1 0.11 0.2 1 0.3 0.6
注意点
➢ 数学期望简称为期望. ➢ 数学期望又称为均值. ➢ 数学期望是一种加权平均.
常见离散型随机变量的期望 例1 X ~ b(1, p),求E(X )
解：因X有分布律
X的数学期望为
E(X ) 0 (1 p) 1 p p
例2设随机变量X服从二项分布,即
P{X
k}
C
k n
pk qnk
k 0,1,2,..., n
1 exdx 1
0
例6 设连续型随机变量X~N(μ,σ) ,则 E(X)=μ.
证明
E(X ) 1
xe dx
1 2
2
(
x
)2
2
x t
2
1
(t
)e
t 2
2
dt
2
2
2
1
te
t 2
2
dt
e
t 2
2
dt
2
2
2
e
t 2
2
dt
2
柯西分布数学期望不存在
设随机变量X服从Cauchy分布, 概率密度为
3.设C为常数,则E(X C) E(X ) C
4.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对 任意的实数a、b, E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=a E(X)+ b E(Y) 此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的 情况.
5.设X,Y是互相独立的随机变量,则有
E(XY)=E(X)E(Y) 此性质可推广到有限个互相独立的随 机变量之积的情况.
p(x)
1 (x2
1)
,
x
求E(X )
解： | x | p(x)dx
|
x
|
1
1 1 x2
dx
2
x 0 1 x2 dx
1
0
1 1 x2
d
(1
x2
)
1
ln(1
x2
)
|0
所以E(X)不存在.但
xp(x)dx
1
1
x x
2
dx
0
三 数学期望的性质
1.设C是常数,则有E(C) C
2.设X是一个随机变量,C是常数,则有E(CX ) CE(X )
所以甲的射击技术较乙的好.
4.1.1 数学期望的定义
定义4.1.1 设离散随机变量X的分布列为
P(X=xk) = pk, k = 1, 2, ...
若级数 xk pk绝对收敛，则称该级数为X 的
k 1
数学期望，记为 EX xk pk
k 1
注：若 | xk | pk k
则称随机变量X的数学期望不存在.
是实值连续函数,且广义积分
f (x) p(x)dx 绝对收敛
则随机变量函数f (X )的数学期望为
E[ f (X )] f (x)p(x)dx
例7设随机变量X的分布律为
求随机变量函数Y X 2的数学期望
解：法一 先求Y的分布律为
E(Y ) 0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10 2.30
（优选）随机变量的数学期望
第一节 数学期望
• 随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了 随机变量的统计规律.但这样的全面描述并不使 人感到方便.
• 一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要 比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较 这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以 了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量 高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分 布列,虽然全面,却使人难以迅速地作出判断.