随机变量的数学期望教案
离散型随机变量的期望计算教案
离散型随机变量的期望计算教案一、教学目的本教案的教学目标是通过离散型随机变量的期望计算，使学生们掌握离散型随机变量的期望的概念、性质及计算方法。
二、教学内容1、离散型随机变量的期望概念与性质在概率论中，期望是一种统计平均数，用于反映一个事件发生的概率与事件发生时相对应的结果的大小之间的关系。
设离散型随机变量 X 取值为 x1、x2、…、xn，概率分别为 p1、p2、…、pn，其期望值μ 定义为μ = E(X) = ∑xi pi其中，E 表示期望的运算符，∑ 表示对所有可能的取值进行求和。
期望具有以下性质：（1）若 c 为常数，则 E(cX) = cE(X)。
（2）若 X 与 Y 为随机变量，则 E(X + Y) = E(X) + E(Y)。
（3）若 X 与 Y 相互独立，则 E(XY) = E(X)E(Y)。
2、离散型随机变量的期望计算方法（1）计算期望的方法计算一个离散型随机变量的期望，只需求出每个可能取值 xi 与其对应的概率 pi，将 xi 与 pi 的乘积相加。
（2）离散型随机变量的期望的实例例 1：在一个掷骰子的游戏中，每次掷骰子都有可能得到 1、2、3、4、5、6 中的任意一个数字。
设 X 是可得到的数字，则 X 是离散型随机变量。
假设这个游戏是公平的，每个数字的概率都是相等的，即每个数字的概率为 1/6，有E(X) = ∑xi pi = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5掷骰子游戏中的期望值为 3.5。
例 2：某网站的访问量分别是 100、200、300、400，对应的概率分别是 0.2、0.3、0.4、0.1。
设 X 是访问量，则 X 是离散型随机变量。
计算期望：E(X) = ∑xi pi = 100 × 0.2 + 200 × 0.3 + 300 × 0.4 + 400 × 0.1 = 250该网站的访问期望为 250。
数学期望ExDxPPT学习教案
b
x
1
dx a b
a ba
2
e x x 0 f (x)
0 x0
证：E( X )
xf ( x)dx
e xdx
1
。
0
第9页/共39页
3.随机变量的函数的数学期望
定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，
(1) X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk ， k=1，2，…，
(2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值 ，不应 与各项 的排列 次序有 关。所 以，定 义中要 求级数 绝对收 敛。
E( X ) xk pk k 1
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例1: 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三 种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出 去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分 别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利 润分别为10元，0元，－15元（即亏损15元）。问厂 家对每件产品可期望获利多少？
度为f(θ( x>)0)1 e x/ x 0
0 x 0
若将这5个 电子装 置串联 工作组 成整机 ，求整 机 寿命N的 数学期 望；
解: Xk(k= 1，2， 3，4， 5)的分 布函数 为
1 e x / x 0 F(x)
0 x0
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(1) 由第三章知N=min(X1,X2,X3,X4,X5)的 分布函 数为
二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有
E(Z) E[g(X ,Y )]
g( x, y) f (x, y)dxdy
这里设上式右边 的积分 绝对收 敛，又 若(X，Y )
为离散型 随机变 量。其 分布律 为 P{X=xi,Y=yj}=pij , i,j=1,2,….
《离散型随机变量的数学期望》教案1
《离散型随机变量的数学期望》教案1
【教学目标】
①理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念，会求离散型随机变量的数学期望；
②掌握二项分布、超几何分布的均值的求法.
【教学重点】
会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望
【教学难点】
理解离散型随机变量的数学期望的概念
【教学过程】
一、课前预习
1.离散型随机变量的均值或数学期望：设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，，，这些值对应的概率是，，，，则叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称_______）.
2.若随机变量服从参数为的二点分布，则
3.若随机变量服从参数为，的二项分布，
4.若随机变量服从参数为，，的超几何分布，
二、课上学习
例1、根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：
射手8环9环10环
甲0.30.10.6
乙0.20.50.3
试比较甲、乙两射手射击水平的高低.
例2、一个袋子里装有大小相同的10个白球和6个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.
例3、袋中装有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分的数学期望.
例4、根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：
方案一：运走设备，此时需花费3800元.
方案二：建一保护围墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元.
方案三：不采取措施，希望不发生洪水.此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元.试比较哪一种方案好.。
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
《工程数学》教案19连续型随机变量的数学期望
《工程数学》教案19连续型随机变量的数学期望教学目标：1、了解连续型随机变量的概念及其特点；2、掌握连续型随机变量的数学期望的求解方法。
教学内容：一、连续型随机变量的概念及特点连续型随机变量是指取值在一个区间内的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是无数个，因此其概率密度函数（PDF）具有一定的连续性。
二、连续型随机变量的数学期望的定义对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)可以通过积分的方式进行计算。
数学期望表示了随机变量在平均情况下的取值，并且是一个常数。
三、连续型随机变量的数学期望的计算方法1、如果概率密度函数f(x)在x=a和x=b处连续，并且在[a,b]区间内可积，那么连续型随机变量X在该区间内的数学期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫(a到b) x * f(x) dx2、如果概率密度函数f(x)在整个实数轴上连续并可积，那么连续型随机变量X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫(-∞到+∞) x * f(x) dx四、例题讲解例题1：已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=(3/2)*(x-1)，0<x<2，求X的数学期望。
解：根据连续型随机变量的数学期望的计算方法，可以得出：E(X) = ∫(0到2) x * f(x) dx= ∫(0到2) x * (3/2)*(x-1) dx= ∫(0到2) (3/2)*(x^2-x) dx=(3/2)*[x^3/3-x^2/2]在0到2之间的值=(3/2)*[(8/3)-2/2-0]=(3/2)*[(8/3)-1]=(3/2)*(5/3)=5/2因此，X的数学期望为5/2五、教学设计1、引入：通过提问和讲解的方式引导学生回顾离散型随机变量的数学期望的计算方法，并带入连续型随机变量的背景，引出连续型随机变量的概念。
2、知识讲解：对连续型随机变量的概念和数学期望的定义进行详细讲解，并结合具体例子进行说明。
随机变量的数学期望 ppt课件
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
ppt课件
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
ppt课件
24
例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
ppt课件
12
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
ppt课件
32
例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy
第11讲 数学期望
P
Exi=1.24
0.8
0.16
0.04
Ex=Ex1+...+Ex9=91.24=11.16
再多准备10%, 则约需为他们准备13发子弹
例9
一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10
个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停 车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车 站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立). 解 引入随机变量
0.25a=0.5, 即a=2, k=3
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方 例4 式, 记使用寿命为X(以年计), 规定: X1, 一台付款1500元;
1<X2, 一台付款2000元;
2<X3, 一台付款2500元;
X>3, 一台付款3000元.
设寿命X服从指数分布, 概率密度为
第四章
数字特征
第一节 数学期望
一、随机变量的数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的 特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变 量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差和相关系数.
一、随机变量的数学期望
0 0
x
mxλe λydy
x
1 1 λx (m n) (m n) e nx. λ λ
1 1 λx E(Q) (m n) (m n) e nx. λ λ d 令 E(Q) (m n)e λx n 0, dx 得 而 1 n x ln . λ mn d2 λx E(Q) λ(m n)e 0, 2 dx
高三数学下册《随机变量和数学期望》教案、教学设计
-撰写一份小组报告，阐述研究过程、结果及意义。
4.写一篇学习心得，要求学生反思本节课的学习内容，包括以下要点：
-随机变量和数学期望在实际问题中的应用。
-学习过程中遇到的困难和解决方法。
-对随机变量和数学期望的理解，以及如何将其运用到生活中。
作业要求：
1.学生需按时完成作业，保持作业整洁、字迹清晰。
五、作业布置
为了巩固学生对随机变量和数学期望的理解，以及提升他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.请学生完成教材第chapter页的习题，包括以下题目：
-第1题：理解随机变量的概念，并能正确表示给定随机现象的随机变量。
-第2题：根据实际情境，推导并分析随机变量的分布列。
-第3题：计算给定随机变量的数学期望，并解释其物理意义。
高三数学下册《随机变量和数学期望》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解随机变量的概念，掌握离散型随机变量及其分布列的性质，能正确运用随机变量描述实际问题。
2.掌握数学期望的定义，理解数学期望的物理意义，能运用数学期望计算随机变量的平均取值。
3.学会运用方差描述随机变量的取值波动程度，理解方差的性质和意义，能计算简单随机变量的方差。
2.教学过程：
（1）教师引导：通过本节课的学习，我们知道随机变量是用来描述随机现象的数学模型，分布列反映了随机变量取值的概率分布，而数学期望和方差则分别反映了随机变量取值的集中趋势和波动程度。
（2）学生分享：邀请学生分享他们在学习过程中的心得体会，以及如何运用所学知识解决实际问题。
（3）教师总结：强调本节课的重点和难点，鼓励学生在课后继续巩固所学知识，为后续学习打下基础。
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随机变量的数学期望教
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
教 案：数学期望 试讲人 郑丽霞
教材来源：《概率论与数理统计》 袁荫棠 授课题目：数学期望 第三章第一节
教学目标：会计算数学期望；通过数学期望的学习了解数学期望的实际应用及统计意义 教学重点：数学期望的计算
教学难点：如何将实际问题转化为数学问题 教学过程： 1. 引入课题
引例：在一次射击比赛中，每个人射击10次，甲选手射了4个1分，1个2分，5个3分，问甲选手的平均得分是多少？
1.210
5
31012104110531241=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯
则其“均值”应为11
1k k
i
i i i i i n n x x n n ===∑∑.
所以上面的均值是以i
n n
频率为权重的加权平均。
我们前面学了随机变量，那我用随机变量ξ来表示甲射击得分情况，求ξ的分布？
平均得分=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1
大体上讲，数学期望(或均值)就是随机变量的平均取值 2. 概念讲解
（一）离散型随机变量的数学期望 定义3.1 设离散型随机变量ξ的分布列为
(),1,2,
,,.i i p P x i n ξ===
如果
1
||.i
i
i x p
+∞
=<+∞∑
则称
1
()i i i E x p ξ+∞
==∑
为随机变量ξ的数学期望，简称期望或均值。
若级数1
||()i i i x p x +∞=∑不收
敛，则称ξ的数学期望不存在。
例1 投掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷的点数，求ξ的数学期望。
解：6
1
17
()62i E i ξ==⋅=∑
例题2 设盒中有5个球，其中有2个白球，3个黑球，从中随机抽取3个球，记ξ为抽取到的白球数，求)(ξE .
（二）连续型随机变量的数学期望
当遇到随机变量为无限不可数的情形，如连续型随机变量，该如何定义该随机变量的数学期望。
设ξ是连续型随机变量，其密度函数为()p x ,在数轴上取得很密的点
012,x x x <<<
，则ξ落在小区间1[,)i i x x +的概率是
1
1()()()()i i
x i i i i i x p x dx p x x x p x x ++≈-=∆⎰
由于i x 与i x 很接近，所以区间1[,)i i x x +中的值可用i x 来近似地替代，
因此，ξ与以概率()i i p x x ∆取值i x 的离散型随机变量近似。
该离散型随机变量的数学期望是1()i i i i x p x x +∞
=∆∑，这正是()xp x dx +∞
-∞⎰的渐近和
式。
从该启示出发，我们引进如下定义：
定义3.2 设连续性随机变量ξ的密度函数为()p x ，如果
||().x p x dx +∞
-∞
<+∞⎰
则称
()()E xp x dx ξ+∞
-∞
=⎰
为ξ的数学期望，简称期望或均值。
若级数||()x p x dx +∞-∞
⎰
不收敛，
则称ξ的数学期望不存在。
例题3 设ξ服从区间(,)a b 上的均匀分布，求E(ξ). 解 已知ξ的密度函数为
1
,()0,,a x b p x b a
x a x b
⎧<<⎪
=-⎨⎪≤≥⎩ 所以
1()2b
a b a
E x dx b a ξ+=⋅=
-⎰
例题3 已知随机变量ξ的分布函数为
,
4,140,4/0,0)(⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤<≤=x x x x x F
求)(ξE .
解：随机变量ξ的分布密度函数为
,
,
04
0,4/1)()(⎩⎨⎧≤<='=其它x x F x ϕ
故
.
28
41)()(4
24
==⋅==⎰
⎰∞+∞
-x dx x dx x x E ϕξ
3、巩固练习
课后习题第4题、第9题 4、布置作业。