第四章 随机变量的数学期望
合集下载
概率论与数理统计第四章
E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立 与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章 随机变量的数字特征
概率论课程第四章
第四章 数字特征前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。
但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。
例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。
本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。
第一节 数学期望一、离散型随机变量的数学期望数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：4092115201519118⨯+⨯+⨯+⨯=a8.194092140152040151940118=⨯+⨯+⨯+⨯=若令X 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X 的分布律为于是，X 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为4092140152040151940118)(⨯+⨯+⨯+⨯==a X E8.19==∑ii i p x定义1：设X 为离散型随机变量，其分布律为i i p x X P ==}{， ,2,1=i如果级数 绝对收敛，则此级数为X 的数学期望（或均值），记为 E(X)，即 ∑=ii i p x X E )(意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值。
如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。
例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知 X1和X2的分布律分别为：问谁的平均击中环数高？解：甲的平均击中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均击中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X1)> E(X2)，即甲的平均击中环数高于乙的平均击中环数。
概率论与数理统计复习4-5章
+∞
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
概率论与数理统计 数学期望
解:设 1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
则
n
E(Xi) p
X Xi
i 1
n
n
E( X ) E(X i ) p np
i 1
i 1
作业： 第137页，习题4-1，
A组：1；2；3；5；6
例4.1.5 设X~E()，求E(X2)
解：X的密度函数为
ex ,
f(x) 0,
x 0, x 0,
则E(X2 )
x
2
f (x)dx
2
2
例4.1.6 设X~U(a，b)，求E(X2)
解：X的密度函数为
f
(x)
b
1
a
0
a x b, 其 它,
2
三.随机变量函数的期望
定理1
若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)的期望 E(g(X))为
E(Y ) E[g( X )] g(xk )pk . k 1
例 4.1.3 设 X 的分布律为
X Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求 E( X 2 1) 。
1 0 1 2 0.3 0.4 0.1 0.2
k!
E(X )
k
k
e
e
k 1
;
k0 k!
k1 (k 1)!
4. 均匀分布U(a, b)
X
~
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其他,
b
E(X )
概率论第四章总结-精品文档
XY
=
数.
Cov ( X ,Y ) D( X ) D(Y)
称为随机变量X与Y的相关系
2.基本性质
7)| |=1的充要条件是，存在常数 a,b使得 P{Y=a+bX}=1
XY
1）Cov（X,Y）=Cov(Y,X) , Cov(X,X)=D(X).
5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov (X2,Y). 6)| |≤1. *当=0时，称X与Y不 相关.
XY
2）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 3）Cov(X+Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
4）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数.
3.例题 • 设随机变量X ~ N（ ， ），Y ~ N( , ),且设X,Y相互独立，试求 • Z1=aX+bY和Z2=aX-bY的相关系数（其中a,b是不为零的常数）.
The key
解：E[(X-C)2]=E(X2-2CX+C2)=E(X2)-2CE(X)+C2=E(X2) -[E(X)]2+{[E(X)]2-2CE(X)+C2}=D(X)-[E(X)-C]2 ≥ D(X),等 号当且仅当C=E（X）时成立.
三、协方差及相关系数
1.定义
量E{(X-E(X))(Y-E(Y))}称为随机变量X与Y的协方差. 记为Cov(X,Y）,即 Cov(X,Y）=E{(X-E(X))(Y-E(Y))}
，
j=1,2，····，说明X的 数学期望不存在. 例2.将n只球（1—n号）随 机的放进n个盒子（1—n号） 中，一个盒子装一只球.若
3j j
数学期望
引例2 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给 出
甲 射 手 击中环数 X甲 8 概 率 0.3 乙 射 手 击中环数 X 乙 8 概 率 0.2 9 0.1 9 0.5 10 0.6 10 0.3
问甲和乙谁的射击水平较高？
解 “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以， 只要对他们的平均击中环数进行比较即可。 问题：已知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？
击中环数 X甲 概 率 击中环数 X 乙 概 率
8 0.3 8 0.2
9 0.1 9 0.5
10 0.6 10 0.3
分析：若甲射击N次, 设击中8环, 9环和10环的次数分 别为 N1、 2和N3 次，则甲在N次射击中，平均每次击中 N 的环数为
N3 N1 N2 8 N1 9 N 2 10 N3 8 f1 9 f2 10 f3 8 9 10 N N N N
p (x) = 0.2 e – 0.2 x ， x ＞ 0
问这个人的平均等车时间是几分钟？ 解. 平均等车时间即是数学期望 E X ，因此
EX
5 ye y dy 5
0
xp( x ) dx
0.2 xe 0.2 x dx
0
即平均需要等待 5 分钟。
□
例 5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的 时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为
定理1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为
P{X xi , Y y j } pi j , i, j 1, 2,
则
E ( X ) xi pi j ,
i 1 j 1
第四章随机变量的数字特征
（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分 收敛，则
证明略。
【例4-10】已知（X，Y）的分布律为 求:(1)E（2X+3Y）;(2)E（XY）. 解 （1）由数学期望定义知
【例4-11】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求:(1)E(X+Y)；(2)E(XY)； (3)P{ X+Y≤1}. 解：
求E（X） 解 E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2
【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数 分别记为X，Y，它们的分布律分别为
试比较他们成绩的好坏。 解 我们分别计算X和Y的数学期望： EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。 EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。 这意味着，如果进行多次射击，甲所得 分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均 值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。
（1） 0-1分布 设X的分布律为 其中0＜P＜1,则X的方差D(X)=P(1-P). 因为 而 故 （2）二项分布 设X～B(n,p) 则有DX=np（1-p） （3）泊松分布 设X～P （λ），则有DX= λ
（4）均匀分布 设X～U(a,b),则有
（5）指数分布 设
(6)正态分布 可以证明，若
下表是六种常见分布的期望和方差的结果. 要求大家熟记下面公式.
【例4-18】 若X～U(a,b)且EX＝3，DX=1/3， 求：a,b及X的概率密度f(x) 解：
【例4-19】已知随机变量X服从二项分布，且 E(X)=2.4，D(X)=1.44，求二项分布的参数n，p. 解：因为E(X)=np，D(X)=npq， 由已知E(X)=2.4，D(X)=1.44，np=2.4， npq=1.44， 得q=0.6，p=0.4，n=6 【例4-20】已知（X，Y）的分布律为
4-1(数学期望)
但
E ( XY ) 0;
1 P{ X 1, Y 1} 8
3 P{ X 1}P{Y 1} 8
2
反例 2 ( X , Y ) ~ U ( D), D {( x, y ) x y 1} 1 , x 2 y 2 1, f ( x, y ) 0, 其它
数学期望的性质
E ( XY ) ( xy) f ( x, y )dxdy
1 1 1 0 x xdx0 y (1 3 y 2 )dy 2 2 2
4 5 5 3 8 6
E ( X ) E (Y )
数学期望的性质
注意：X ,Y 相互独立
y2 ye 2 dy
D1 D2
X 0 1 2 3 例2.设随机变量X分布律为 P 0.3 0.3 0.2 0.2
求X的数学期望.
解：由定义，E X = 0 0.3 +1 0.3 + 2 0.2 + 3 0.2.
例3 X ~ P(), 求 E ( X ) . 解 E( X )
k 0
x k pk k
E (Y )
g( x ) f ( x )dx
3、 设(X ,Y )为二维离散型随机变量，分布律为
P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1,2,
Z = g(X ,Y ), 若级数
g( xi , y j ) pij
i 1 j 1
解. EX =
+ -
xf x dx =
+
+
-
令
x-
= 2
E ( XY ) 0;
1 P{ X 1, Y 1} 8
3 P{ X 1}P{Y 1} 8
2
反例 2 ( X , Y ) ~ U ( D), D {( x, y ) x y 1} 1 , x 2 y 2 1, f ( x, y ) 0, 其它
数学期望的性质
E ( XY ) ( xy) f ( x, y )dxdy
1 1 1 0 x xdx0 y (1 3 y 2 )dy 2 2 2
4 5 5 3 8 6
E ( X ) E (Y )
数学期望的性质
注意：X ,Y 相互独立
y2 ye 2 dy
D1 D2
X 0 1 2 3 例2.设随机变量X分布律为 P 0.3 0.3 0.2 0.2
求X的数学期望.
解：由定义，E X = 0 0.3 +1 0.3 + 2 0.2 + 3 0.2.
例3 X ~ P(), 求 E ( X ) . 解 E( X )
k 0
x k pk k
E (Y )
g( x ) f ( x )dx
3、 设(X ,Y )为二维离散型随机变量，分布律为
P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1,2,
Z = g(X ,Y ), 若级数
g( xi , y j ) pij
i 1 j 1
解. EX =
+ -
xf x dx =
+
+
-
令
x-
= 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 dxdy y xe 2 x
x
x2 y2 2
dxdy
dy
e
x2 2
dx
ye
y2 2
1 dy 2
e
y2 2
y
xe
x2 2
dx
1
4.1.4
数学期望的性质
（1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E(
2 2
2 2
2
0
(x ) e
( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
2 x 2 e 0 2 2 2
2 2
(x ) d 2 2
2
3 2 1 ( ) 2 2 2
4.2.3
EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有
EZ
g ( x , y ) f ( x , y ) dx dy
例1：设 X～B（n，p），求EX(X－1)。 解：因X～B（n，p），则X的分布律为
1 x2 y2 f ( x, y ) exp{ } 2 2 1 x2 y2 E[max{ X , Y }] max{ X , Y }exp{ 2 }dxdy 2
1 2
1 2
x y
解：由题设，(X，Y)的联合密度为
ye
x2 y2 2
（3）泊松分布P(λ)
P( X k )
k 0
k
k!
e , k 0,1,2,
EX k P( X k ) k
k 1
k
k!
i 0
e
e
(k 1)! e
k 1
k 1
i
i!
（4）几何分布G(p)
P( X k ) pq , k 1,2,3,
EX k P( X k ) p k q
k 0 k 1 k k 1
k 1
q 1 p ( q ) p ( ) q 1 q p k 1
（5）超几何分布H(N, M ,n)
k n CM C N kM P( X k ) k 1, 2,3, , l {n, M }, n CN
若级数
x
i 1
i 1
i
pi
收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，且 称级数 xi p i
的和为 X 的数学期望，并记为EX，有时也称 EX 为 X 的均值。
对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定 义如下：
定义4.2：如果连续型随机变量X具有密度函数
f(x)，积分 x f ( x ) dx 收敛，则称 X 的数学 期望存在，否则称X的数学期望不存在。若X 的数学期望存在，称积分值
xf ( x ) dx为 X
的数学期望，也记为 EX。
注1、若
k 1
x k p k , 而 x k p k ，仍称X的
k 1
数学期望不存在。
2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在
有限区间上积分，则X的期望一定存在。
3、离散型只取非负值，连续型只在x>0时
X
i 1
n
i
)＝
EX
i 1
n
i
（4）若X、Y是相互独立的随机变量，则 E(X· Y)＝EX· 。 EY
例6、盒中有N个球，其中M个黑球，N-M个 白球，从中任取n个球，令X表示取得黑球的
个数，求 EX。
nM EX N
§4.2 随机变量的方差
4.2.1 方差的定义
对随机变量的特征进行考察，除了数学 期望外，还要考察X的可取值与EX的偏离情 况，由于X－EX可正可负，因此用[X－EX]2 来考虑。
f(x)>0，则只需直接计算期望。
4.1.2
常见随机变量的数学期望
（1）（0－1）分布
X P 0 1-p 1 p
E X 0 P ( X 0 ) 1 P ( X 1) p
（2）二项分布B(n,p)
P( X k ) C p (1 p)
k n k
n n
nk
，k 0,1,, n
k 0
例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)
EX
4
x f ( x)dx
4
1 2
3 2
xe
x2 4 2
dx
3 x2 2 2
2
2 2
5 1 2 2
0
xe
x 4 2
2
2 2 2
0
x ( ) e 2
2
x2 d( ) 2
5 4 31 1 ( ) ( ) 3 2 22 2
差。
定理：切比雪夫不等式
0, P(| X EX | ) DX
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ或者
P(| X EX | ) 1
DX
2
推广（马尔可夫不等式 ）： 0 , P(| X | ) E | X |k
k
(k 1, 2,)
§4.3 协方差与相关系数
4.3.1 协方差与相关系数的概念 我们在证明方差的性质时看到，当两个 随机变量X和Y相互独立时，有
0
x e
dx
1
1
0
xe
x
d (x )
1
( 2)
（8）正态分布 N(μ,σ 2)
EX xf ( x) dx
1 2 1 2
( x )e ( x )e
( x )2 2 2
（6）均匀分布U(a,b)
1 f ( x) b a 0
a xb 其它
b 1 EX xf ( x ) dx a xdx ba ab 2
e x （7）指数分布 f ( x ) 0
x0 x0
x
EX xf ( x ) dx
EX
2
1
1
0
x e
2
x
dx
2
0
( x ) 2 e x d ( x )
1
2
(3)
2
2
2
DX EX ( EX )
2
1
2
（6）正态分布： EX
DX E ( X EX ) ( x ) 2 f ( x) dx
方差的性质
（1）D(C)＝0，(C为常数) （2）D(CX)＝C2DX ，(C为常数) （3）若X、Y是相互独立的随机变量，则 D(X+Y)=D(X-Y)＝DX＋DY （4）DX＝0 P( X EX ) 1
例1、已知 X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、
Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方
定义4.3：设X是一个随机变量，若(X－EX)2
的数学期望存在，则称E(X－EX)2为X的方差，
记为DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2
离散型随机变量： DX ( xk EX ) 2 pk
k 1
连续型随机变量： ( x EX ) 2 f ( x)dx DX
dx
( x )2 2 2
dx
1 2
e
( x )2 2 2
dx
0 1
4.1.3
随机变量函数的数学期望
定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即
Y g (X ) （g 是连续函数），
（1）若X是离散型随机变量，其分布律为 P( X xk ) pk , k 1,2, 而级数 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有
方差的计算公式： DX EX 2 (EX ) 2 4.2.2 几种常见的随机变量的方差
（1）（0－1）分布
X P 0 1-p 1 p
EX p, EX 2 p
DX pq
（2）二项分布： DX np(1 p)
( EX np, EX 2 n(n 1) p 2 np)
k 1
EY Eg ( X ) g ( x k ) p k
k 1
（2）若 X 是连续型随机变量，其密
度函数为 f (x) ，若积分 g ( x) f ( x)dx
绝对收敛，则有
EY Eg ( X )
g ( x ) f ( x ) dx
定理4.2：设Z是二维随机变量（X，Y）的 函数，即Z＝g（X，Y），则 （1）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有
例3、（X,Y）的联合密度函数为：
2 f ( x, y ) 0
求：EY
EY
0 x y 1 其它
yf ( x, y )dxdy 2 ydy