随机变量的数学期望
第四章 随机变量的数学期望
1 dxdy y xe 2 x
x
x2 y2 2
dxdy
dy
e
x2 2
dx
ye
y2 2
1 dy 2
e
y2 2
y
xe
x2 2
dx
1
4.1.4
数学期望的性质
（1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E(
2 2
2 2
2
0
(x ) e
( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
2 x 2 e 0 2 2 2
2 2
(x ) d 2 2
2
3 2 1 ( ) 2 2 2
4.2.3
EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有
EZ
g ( x , y ) f ( x , y ) dx dy
例1：设 X～B（n，p），求EX(X－1)。 解：因X～B（n，p），则X的分布律为
1 x2 y2 f ( x, y ) exp{ } 2 2 1 x2 y2 E[max{ X , Y }] max{ X , Y }exp{ 2 }dxdy 2
1 2
1 2
x y
解：由题设，(X，Y)的联合密度为
ye
数学期望的计算公式
数学期望的计算公式数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。
数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。
本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。
一、离散型随机变量的数学期望计算公式对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)]其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。
我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。
设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。
二、连续型随机变量的数学期望计算公式对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。
我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。
设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。
因此，X的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。
综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。
随机变量的数学期望
P{ X = xiY = y j } = pij ,i , j = 1,2,
则 E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( x i , y j ) pij .
j i
型随机变量, (2) 若(X,Y)是连续型随机变量,联合概率密度为 , ) 连续型随机变量 f(x,y),则 ( , )
1 k 1 1 k k E 因此, 因此, ( X ) = q + (1 + ) (1 q ) = 1 q + , k k k
N个人需化验的次数的数学期望为 个人需化验的次数的数学期望为 例如, 例如,
0.9910 0.1 = 0.804 , 1 k 就能减少验血次数. 当 q > 时, 就能减少验血次数.
E( X) = ∫ xf ( x)dx
∞
+∞
13
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望. 求X的数学期望. 的数学期望
解
E( X ) = ∫
+∞ ∞
1 0
xf ( x ) dx
2
=∫
3 x 3 x dx = . 4
+∞
+∞
=∫
+∞ 0
x e dx = 2 .
2
18
x
设随机变量( , ) 例8 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 y f ( x, y) = 2 x y x 0, else 1 ). 求 E(Y ), E( XY
解 E(Y ) =
4.3 随机变量函数的数学期望
4
04
0
3
E(Y ) yf ( x, y)dxdy
2
1
1
xdx
y(1
3 y2 )dy
5
04
0
8
E( X Y ) ( x y) f ( x, y)dxdy
数学期望的性质
xf ( x, y)dxdy yf ( x, y)dxdy
例4.设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为
f
(
x,
y)
1 4
x(1
3
y2
),
0,
求E(X), E(Y), E(X+Y), E(XY).
0 x 2, 0 y 1, 其它
解：E( X )
xf ( x,
y)dxdy
2
x1
1
xdx (1 3 y2 )dy
若 g( x) f ( x)dx 绝对收敛，则有E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
g( xk ) pk ,
X 离散型
E(Y
)
E[ g( X
)]
k1
g(
x
)
f
(
x
)dx
,
X
连续型
该公式的重要性在于：当求E[g(X)]时，不必知道g(X)的分布，而只 需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.来自ap)k (1
期望方差协方差
随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),(-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。
随机变量函数的数学期望
(二) 方差的性质
1、常数的方差等于0
证明： D(c) E(c Ec)2 E(c c)2 0
2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明：
D( c) E[ c E( c)]2 E[ c E c]2 E( E )2 D
§4.1 数学期望与方差
一.数学期望
随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.
(一)离散型随机变量的数学期望
定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)
若级数 xk pk 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 k 1
ba 2
2
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
2.随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)
(若1)若 Xg是(x离k ) 散pk绝型对 随机收变敛量,则,它E的(Y分) 布E律[g为( XP{)X] =xk}=gp(kx. k
K=1,2,..
k x) 2
f
(x)dx
1
a (x3 kx)2 dx
2a a
a2 (15a4 42ka2 35k) E(C)=C.
(2) E( +C)=E +C
证明：对离散型随机变量
E( C) (xi C) p(xi ) xi p(xi ) Cp(xi ) E C
E1 0.2 (80 85 90 95 100) 90 E2 0.2 (85 87.5 90 92.5 95) 90 D1 (80 90)2 0.2 (85 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量是概率论和统计学中的重要概念，用来表示随机试验的结果。
在研究随机变量时，我们常常关注它们的数学特征，其中最常用的指标是数学期望和方差。
一、数学期望数学期望是描述随机变量平均取值的一个指标，记作E(X)。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的平均取值。
例如，假设我们抛一枚公平的硬币，正面为1，反面为0。
随机变量 X 表示硬币正面朝上的次数，那么 X 的所有可能取值及其概率为：X = 0，P(X = 0) = 1/2X = 1，P(X = 1) = 1/2根据数学期望的计算公式，我们可以计算得到该随机变量的数学期望为：E(X) = 0 * 1/2 + 1 * 1/2 = 1/2这意味着，在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的平均次数大约为 1/2。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式稍有不同，可以使用积分的方法计算。
二、方差方差是描述随机变量取值分散程度的一个指标，记作Var(X)或σ²。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))² * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，E(X)表示随机变量的数学期望，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的方差。
方差的计算公式可以拆解为方差等于随机变量与数学期望的偏差的平方乘以概率的和。
这意味着方差可以用来衡量随机变量的取值与其期望值之间的差异程度。
例如，我们继续以抛硬币的例子来说明方差的计算过程。
在之前的例子中，我们已经计算出随机变量 X 的数学期望为 1/2。
现在，我们可以使用方差的公式来计算方差：Var(X) = (0 - 1/2)² * 1/2 + (1 - 1/2)² * 1/2 = 1/4这意味着在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的次数与其期望值的差异程度可以用方差 1/4 来描述。
随机变量的数学期望
思考 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、数学期望的概念 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数
xk pk k 1
绝对收敛，则称级数
xk pk k 1
例8 设风速V在(0, a )上服从均匀分布,即具有概率
密度
1 0va f (v ) a 0 其它
2
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 : W kV ( k 0, 常数), 求W的数学期望.
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分 望不存在。
x f ( x)dx 发散，则称X的数学期
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
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nk k 3.37. n k 0
设射手命中的环数为随机变量 Y .
5
nk 平均射中环数 k n k 0 随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ?
nk k n k 0
5
5
频率随机波动
n 逐渐增大
k pk
k 0
5
随机波动 “平均射中环数”等于
稳定值
射中环数的可能值与其概率之积的累加
1 qk
pk
X 的数学期望为
1 k 1 1 k k E ( X ) q 1 (1 q ) 1 q . k k k 1 k N 个人平均需化验的次数为 N 1 q . k
因此, 只要选择 k 使
1 1 q 1, k
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
3 1 200 0 150(元). 4 4
X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2
射击问题
设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射 击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记 录如下
命中环数 k
的期望值与算术平均值相等.
例1 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率
8
9
10
0.3 0.1 0.6
8 9 10
乙射手
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
X
pk
10 1 6
30 3 6
50 2 6
候车时间的数学期望为
1 3 2 E ( X ) 10 30 50 6 6 6
33.33(分 ).
(ii) X 的分布律为
X
pk
10 3 6
30 2 6
50 1 1 6 6
70 1 3 6 6
90 1 2 6 6
候车时间的数学期望为
k
则 N 个人平均需化验的次数 N . 当 p 固定时, 选取 k 使得
1 L 1 q k
k
小于1且取到最小值 ,
此时可得到最好的分组 方法.
例6
按规定, 某车站每天 8 : 00 ~ 9 : 00, 9 : 00 ~
10 : 00 都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机 的, 且两者到站的时间相互独立 . 其规律为
绝对收敛 , 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机变量
X 的数学期望, 记为 E ( X ) . 即 E( X ) x f ( x)d x .
例7
顾客平均等待多长时间?
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分 计)服从指数分布,其概率密度为
1 x 5 e , f ( x) 5 0, x 0, x 0.
Y
1500
0.0952
2000
2500
3000
0.7408
pk
得
0.0861
0.0779
E (Y ) 2732.15,
即平均一台家用电器收费 2732.15 元 .
例5
分组验血
在一个人数很多的团体中普查某种疾病, 为此 要抽验 N 个人的血 , 可以用两种方法进行.
(i) 将每个人的血分别去化验 , 这就需化验 N 次.
命中次数 nk
nk 频率 n
0
2
1
13
2
15
3 10
10 90
4 20
20 90
5
30
30 90
2 90
13 90
15 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
解
射中靶的总环数 平均射中环数 射击次数
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90
解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1 2 E ( X ) 10000 5 5000 5 0 p0 10 10
2 X 3 , 一台付款 2500 元 ; X 3 , 一台付款3000元 .
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 e , x 0, f ( x ) 10 0, x 0. 试求该商店一台家用电器收费 Y 的数学期望.
解
1 x 10 1 e0.1 0.0952, P{ X 1} e dx 0 10 2 1 P{1 X 2} e x 10 d x 1 10
(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平 均值不同.
假设
X
p
1
2
0.02
0.98
1 2 1.5 , 随机变量 X 的算术平均值为 2
E ( X ) 1 0.02 2 0.98 1.98.
O
1
2
x
它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.
当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时, X
1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
因此, A 能“期望”得到的数目应 为 3 1 200 0 150(元), 4 4 而B 能“期望”得到的数目, 则为
1 3 200 0 50(元). 4 4
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为:
设 X 为投资利润，则
X p
E ( X ) 8 0.3 2 0.7 1(万元),
8 0.3
2 0.7
存入银行的利息: 10 5% 0.5 (万元) , 故应选择投资.
例4
商店的销售策略 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付
款的方式, 记使用寿命为 X ( 以年计 ) , 规定 : X 1 , 一台付款 1500 元 ; 1 X 2, 一台付款 2000 元 ;
故甲射手的技术比较好.
例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元.设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千 元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖 金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票 的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利 润.
0.5(元),
每张彩票平均可赚
2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
100000 1.2 120000(元).
例3 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成 功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会 为70，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利 率为5% ，问是否作此项投资? 解
E( X ) 3 2 1 1 1 3 1 2 10 30 50 70 90 6 6 6 6 6 6 6 6
27.22(分 ).
三.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 若 积分
x f ( x ) d x
k 1
分赌本问题
A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
3 1 E ( X ) 200 0 150(元). 4 4 射击问题
“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望
E (Y ) 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 5 p5 .
随机变量的数学期望
一、引例与背景 二、离散型随机变量的数学期望 三、连续型随机Leabharlann 量的数学期望四、数学期望的性质
五、随机变量函数的数学期望
一、引例1 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出赌金100元,并约 定先胜三局者为胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌 博, 如果要分赌金,该如何分配才算公平?
1
e0.1 e0.2 0.0861,
1 x 10 P{2 X 3} e dx 2 10
3
e0.2 e0.3 0.0779,
P { X 3}
3
1 x 10 e dx 10
e0.3 0.7408.
因而一台收费Y 的分布律为
到站时刻 概率
8 : 10 9 : 10 1 6
8 : 30 9 : 30 3 6
8 : 50 9 : 50 2 6
(i) 一旅客 8 : 00 到车站, 求他候车时间的数学期望 . (ii) 一旅客 8 : 20 到车站, 求他候车时间的数学期望 .
解 设旅客的候车时间为X (以分计).
(i) X的分布律为
二. 离散型随机变量的数学期望
定义设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X xk } pk , k 1 , 2 ,. 若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk 为随机