随机变量和数学期望
随机变量与数学期望
③ 随机变量的矩母函数和其分布函数之间存在一一 对应4.9.1 (马尔科夫不等式)若X为一个非负随 机变量，则对于任意a>0，
命题4.9.2 (切比雪夫不等式)假设X为期望为， 方差为2，则对于任意k>0,
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
例4.5.2 某厂找到并修复电力中断所需的时间 (小时)是一个随机变量，称为X，其密度函数
如果当故障持续时间为x，修复的费用为x3，那 么这种故障的预期费用是多少？
方法一：先求Y=X3的密度函数，再求Y期望； 方法二：利用命题4.5.1（计算较简单）。
4.5 期望的性质
数学期望的性质
① 线性性质：若a和b是常数，则 ② 随机变量和的期望：
不能求方差，因为那里各项不独立。
4.7 协方差和相关系数
相关系数的定义
相关系数的性质(证明方法类似于第2章样本相 关系数)
Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即 P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相 关系数为-1)。
4.7 协方差和相关系数
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
问题：若从均值为的总体中取n个样本(n充 分大)，那么样本均值 与总体均值有什么 关系？
定理4.9.1 (弱大数定律)令X1, X2, …为一列独 立同分布的随机变量，且其期望为E[Xi]= ， 方差有限。则对于任意>0，
说明：样本均值可用于估计总体均值。
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
连续型随机变量独立等价性条件(密度函数)：
4.3 随机变量的联合分布
例4.3.4 设X和Y为相互独立的随机变量且有相同的密 度函数，
试求随机变量X/Y的密度函数。 解：
高中数学中的随机变量与期望值计算
高中数学中的随机变量与期望值计算随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机试验的结果。
在高中数学中，我们经常会遇到与随机变量相关的问题，并需要计算其期望值。
本文将探讨随机变量的概念、期望值的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、随机变量的概念随机变量是一种将随机试验结果与数值联系起来的函数。
它可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量的取值只能是一系列可数的数值，如掷骰子的点数；而连续随机变量的取值可以是任意的实数，如测量某物体的长度。
随机变量的概率分布函数描述了它的取值与对应概率之间的关系。
对于离散随机变量，概率分布函数可以用概率质量函数表示；对于连续随机变量，概率分布函数可以用概率密度函数表示。
二、期望值的计算方法期望值是随机变量的平均值，它表示了随机变量在大量试验中的平均表现。
在高中数学中，我们常用数学期望来表示期望值。
对于离散随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。
对于连续随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。
三、期望值的性质期望值具有一些重要的性质，这些性质在实际问题中具有重要的应用价值。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有E(aX + b) = aE(X) + b。
这个性质使得我们可以简化复杂问题的计算过程。
2. 期望值与函数的关系：如果Y是随机变量X的函数，那么E(Y) = E(g(X)) =Σ(g(x) * P(X=x))或E(g(X)) = ∫(g(x) * f(x))dx。
这个性质使得我们可以通过函数的期望值来计算随机变量的期望值。
3. 期望值的不变性：如果随机变量X和Y具有相同的概率分布函数，那么E(X) = E(Y)。
这个性质使得我们可以通过寻找具有相同概率分布的随机变量来简化问题的计算。
四、期望值的应用期望值在实际问题中有广泛的应用。
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
3.3期望的性质与随机变量函数的期望
P X 1
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
Y
100
1 e 4
4
100 300
1 1 e 4
- 1 4
p
E (Y ) = 100e
- 1
- 200 (1 - e
)
33.64 (元).
发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润. 解: 设每张彩票中奖的金额为随机变量X, 则
二、 随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出
数学期望 X g(X) 数学期望 E(X)
E( X ) =
E ( X ) xk pk
k
ò
+
-
xf (x )dx
E轾 g (X ) = 臌
g(x)是连续函数, g(X) 是 随机变量, 如: aX+b, X2等 等.
2. 随机变量函数数学期望的计算 如何计算随机变量函数的数学期望?
例 设随机变量 X 的概率分布为 1 2 3 X
1 求 E ( ) , E ( X 2 2). X 1 1 1 解: E ( ) 1 0.1 0.7 0.2 0.52 X 2 3
P
0.1
0.7
0.2
E ( X 2)
2
(1 2) 0.1 (2 2) 0.7 (3 2) 0.2 6.7
X 10000 p 1 105
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
数学期望的计算公式
数学期望的计算公式数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。
数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。
本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。
一、离散型随机变量的数学期望计算公式对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)]其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。
我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。
设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。
二、连续型随机变量的数学期望计算公式对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。
我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。
设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。
因此，X的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。
综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。
第11讲 数学期望
P
Exi=1.24
0.8
0.16
0.04
Ex=Ex1+...+Ex9=91.24=11.16
再多准备10%, 则约需为他们准备13发子弹
例9
一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10
个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停 车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车 站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立). 解 引入随机变量
0.25a=0.5, 即a=2, k=3
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方 例4 式, 记使用寿命为X(以年计), 规定: X1, 一台付款1500元;
1<X2, 一台付款2000元;
2<X3, 一台付款2500元;
X>3, 一台付款3000元.
设寿命X服从指数分布, 概率密度为
第四章
数字特征
第一节 数学期望
一、随机变量的数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的 特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变 量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差和相关系数.
一、随机变量的数学期望
0 0
x
mxλe λydy
x
1 1 λx (m n) (m n) e nx. λ λ
1 1 λx E(Q) (m n) (m n) e nx. λ λ d 令 E(Q) (m n)e λx n 0, dx 得 而 1 n x ln . λ mn d2 λx E(Q) λ(m n)e 0, 2 dx
期望方差协方差
随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),(-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。
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a
10
例题
3. 已知随机变量ξ的分布律如下表所示：
x
0
2
π
1
1
1
P(ξ=x)
4
2
4
求随机变量η=cosξ的概率分布律.
解：η的取值为cos01,cos0,cos1.
2
x
1
0
-1
1
1
1
P(η=x)
4
2
4
a
11
练习
4. 已知随机变量ξ的分布律如下表所示：
1
x
9
3
1
9
1
1
1
1
P(ξ=x)
3
6
4
4
求η=log3ξ的分布律.
4.3(1) 随机变量和数学期望
上海市育才中学 李振昕
a
1
复习引入
基本事件：随机实验的一个可能结果. 基本空间：基本事件的集合，也称样本空间，
记作Ω.
例：掷一颗骰子的样本空间为
Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}. 其则中可基用本基事本件空ω间k表上示的“函掷数一ξ(ω颗k)骰=k子，出k=现1,2k, 点…”,6.， 来描述掷一颗骰子时出现的数值.
a
2
定义
一般地，我们把定义在基本空间Ω 上的函数叫做随机变量.
注： 1. 随机变量实质上是函数，区别于通常所 说的变量; 2.随机变量将随机现象与数值联系在一起. 通过随机变量，我们可以将随机事件转化 为实数.
a
3
例题
1. 在旋转一枚均匀硬币的实验中，用随机变 量 ξ 表示所有的基本事件及其概率. 分析：结果只有出现正面或反面， 我们设定出现正面时对应数“1”， 出现反面时对应数“0”. 对于那些初看起来与数值无关的随机现象， 通过人工设定也可以与数值联系起来.
x
2
1
0
-2
1
1
1
1
P(ξ=x)
3
6
4
4
a
12
练习
5. 已知随机变量ξ的分布律如下表所示：
x
1
2
3
4
1
2
P(ξ=x)
10
5
1
3
5
10
随机变量η=5-2ξ的分布律如下表所示：
x
1
-3
3
1
2
3
1
P(η=x)
5
5
10
10
请在框中填入适当的数字.
a
13
小结
随机变量； 随机变量的分布律.
a
14
p2
…
pn
一般地，随机变量所有的取值 x1, x2, … , xn 对应的概率所组成的数列 p1, p2, … , pn叫做 随机变量的概率分布律，简称随机变量的
分布律.
a
7
随机变量的概率分布律
如果设pk, k=1, 2, …, n是分布律， 那么它满足
1.0≤ pk≤1, k=1, 2, …, n； 2.p1+p2+…+pn=1.
a
4
例题
1. 在旋转一枚均匀硬币的实验中，用随机变量 ξ 表示所有的基本事件及其概率.
解：设基本事件ω1表示“出现图朝上”，对应
ξ=1； ω2表示“出现字朝上”，对应ξ=0；
Ω={1,P 0}. 11,P01.
2
2
概率
a
5
例题
2. 一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、
3个绿球和2个红球. 将它们充分混合后，
摸得一个白球记1分，摸得一个绿球记2分， 摸得一个红球记4分，用随机变量 η 表示 随机摸得一个球的得分及其概率.
解：随机事件 摸得白球 摸得绿球 摸得红球
η的取值
1
2
4
概率P
1
2
3 10
1 5
a
6
定义
一般地，取离散值的随机变量叫做离散型 随机变量，其取值概率可用下表给出.
xi
x1
x2
…
xn
P(ξ=xk) p1
a
8
练习
1. 下表是否可作为离散型随机变量的分布律.
x
0
1
3
(1) P(ξ=x)
1
1
1
4
4
2
x
0
1
2
(2)
1
1
1
P(ξ=x)
2
4
2
(3)
x
1
1
2
1
1
1
P(ξ=x)
4
4
2
a
9
练习
2. 用ξ表示掷一颗骰子出现的点数，求ξ的概 率分布律.
3. 用η表示独立地旋转一枚硬币3次出现图朝 上的次数，求η的概率分布律.