有理数运算技巧之拆项法
有理数混合运算简便算法与技巧
有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。
一、四个原则：①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。
二、运算技巧①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－441 =－2解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)=－0.5 + 341+ 2.75－721 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例：计算：--+-+-11622344551311638. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。
拆项
⑸拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)．⑹配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。
也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x²+3x-40=x²+3x+2.25-42.25=(x+1.5)²-(6.5)²=(x+8)(x-5)．⑺应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。
(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数⑻换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．也可以参看右图。
有理数计算的常用方法
有理数计算的常用方法关于有理数计算竞赛题，种类繁多，特点各异，解法多样，富有技巧．解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，达到准确，快捷解题之目的，根据笔者教学实践，总结出解有理数计算题的十一种常用方法，以供参考．一、凑整法例1计算：2002＋98＋997＋9996＋99995．分析题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．解1 原式＝(2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5)＝1988＋100＋1000＋10000＋100000＝113088．例2若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出，解原式＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋(79999997＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋ (2)＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)＝987654320－44＝987654276．∴S的末四位数字之和是4＋2＋7＋6＝19．二、分组结合法例3计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．分析题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．解原式＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011)＝（－2）×503＝－1006．例4计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．三、分解相约法例5 计算：(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．解原式＝＝1 11．四、巧用运算律法例6 计算：23797 0.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷．分析本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计算．解原式五、妙用性质法例7计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．分析本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×c ÷b．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．解原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011＝(1×3×4×...×2011)÷(2×3×4× (2010)＝2011÷2＝1005.5．六、添项相加法例8 计算：512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．分析 经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．解 原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(1＋1)－1＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1＝…＝512＋(256＋256)－1＝512＋512－1＝1023．七、错位相减法例9 计算：2481621392781243+++++． 分析 观察算式发现，从第二项起，每一项是前一项的23，考虑用错位相减法解．八、活用公式法例10 计算：211133+++ (1013)+． 分析 上式从第二项起，后一项与前一项的比值都是13，因此它是道等比数列求和题．可用公式1(1)1n n a q S q-=-求解，其中S n 表示前n 项的和，n 表示项数，q 表示公比，a 1表示首项，解 原式例11 计算:19492－19502＋19512－19522＋… ＋20092－20102＋20112．分析 上式除末项外，前面的项顺次每两项构成平方差形式，可用平方差公式分解后再计算．解 原式九、拆项法例12 计算：359173365248163264+++++． 分析 和式中每个相加的分数分子都比分母大1，而分母依次是后一个分母是前一个分母的2倍，于是我们可以先拆项，再相加． 解 原式例13 计算：1111121231234++++++++++…1123100+++++．分析本题可用上法拆项．解 原式十、字母代换法例14计算：(1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.56)－(1＋0.23＋0.34＋0.56)×(0.23＋0.34)．分析此题如果用常规方法进行计算，步骤多而且复杂，如果我们把算式中的一部分相同的式子用字母代替，可以化繁为简，化难为易，很快巧算出结果．解设0.23＋0.34＝a．则原式＝(1＋a)×(a＋0.56)－(1＋a＋0.56)×a＝a＋0.56＋a2＋0.56－a－a2－0.56a＝0.56．十一、数形结合法例15 计算：当n无限大时，1＋12＋1148++…12n+的值．分析建立如下模型，设大正方形的面积为l，当n无限大时，有1＋12＋1148++…12n+＝1．故原式＝2（图形请读者自作）．例16 求S100＝13＋23＋33＋…＋1003的值．分析使用计算器虽能求得结果，但是计算量将十分庞大，而利用数形结合法能使本题得以巧解．解先求出13＋23＋33的值，作出如图．易知13表示第一个┘上黑点的个数，23表示第二个┘上黑点的个数，33表示第三个┘上黑点的个数．图中每行每列黑点的个数均为l＋2＋3＝6，故S3＝13＋23＋33＝6×6＝36．用式子表示：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62．同理可得S100的图中各行各列的黑点个数为：。
初中数学,有理数运算的六技巧
专题 有理数运算中的6大技巧【专题综述】有理数运算是中学数学中一切运算的基础，同学们在理解有理数的概念、法则的基础上，能够利用法则、公式等正确地运算。
但有些有理数计算题，数字大、项数多，结构貌似复杂，致使同学们望题生畏，不知所措。
下面介绍几种有理数的计算方法，以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
【典型例题】一、连续自然数的和 112123123412481.2334445555494949++++++++++++++L L 例计算 【答案】588练习：观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示） 【答案】23322n n +．二、凑整法例2.计算3998＋2997＋1996＋195【答案】9186练习：（1）﹣556+（﹣923）+1734+（﹣312） 【答案】﹣114练习：（2）（﹣200856）+（﹣200723）+401723+（﹣112） 【来源】【全国市级联考】山东省潍坊市高密市2017-2018学年七年级（上）期中数学试卷【答案】-13三、拆项相消法 1113.12231011+++⨯⨯⨯L 例计算： 【答案】1011=练习：计算：2222122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＝__________（n 为正整数）． 【来源】2014－2015学年江苏省启东市长江中学八年级12月月考数学试卷【答案】21n n +四、分组法例4.计算123420012002s =-+-++-L【答案】1001=-练习：计算：101﹣102＋103﹣104＋…＋199﹣200=______．【来源】苏科版七年级数学上册第二章 2.5 有理数的加法与减法同步测试【答案】－50五、错位相减法例5.计算232018*********s =+++++L 【答案】20181(2)(1)22s =-减得：练习：在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1，∴S ＝9312-. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.【来源】2016年初中毕业升学考试（山东东营卷）数学（带解析）【答案】201711m m --.六、倒序相加法例6.计算135799+++++L【答案】2500s ∴=练习：符号“H ”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H （1）=2，H （2）=3，H （3）=4，H （4）=5… 则H （7）+H （8）+H （9）+…+H （91）的结果为____．【来源】人教版七年级数学上册1.3有理数的加法【答案】4250【强化训练】1．计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2005﹣2006的结果是（ ）A. 0B. 100C. ﹣1003D. 1003【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C2．六个整数的积36a b c d e f ⋅⋅⋅⋅⋅=， a b c d e f 、、、、、互不相等，则a b c d e f +++++= ( ) ．A. 0B. 4C. 6D. 8【来源】北师大版七年级数学上册2.11 有理数的混合运算 课堂练习【答案】A3．50个连续正奇数的和1+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）A. 0B. 50C. ﹣50D. 5050【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C4．对于正数x ，规定f （x ）=x x +1，例如f （2）=32212=+，f (31)=4131131=+，根据规定，计算f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2015）+f (21)+f (31)+f (41)+…+f (20151)= ． 【来源】2016届四川南充市中考二诊数学试卷（带解析）【答案】201412 5．已知f （x ）=1+x 1，其中f （a ）表示当x ＝a 时代数式的值，如f （1）=1+11，f （2）＝1＋21， f （a ）=1+a1，则f （1）·f （2）·f （3）…·f （100）= ． 【来源】2015－2016学年江苏省江阴市要塞片七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】1016．已知0|1||2|=-+-a ab ，则： a ＝ ，b ＝ ．在此条件下，计算：+ab 1()()111++b a ()()221+++b a ++Λ()()201420141++b a ＝ ． 【来源】2014－2015学年浙江省新登镇中学共同体七年级10月月考数学试卷（带解析）【答案】1; 2；20152016． 7．请观察下列等式的规律：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯， 1111()57257=-⨯，1111()79279=-⨯， …则111113355799101+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（湖南郴州卷）数学（带解析） 【答案】50101．8．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M =1+3+32+33+…+3100，则3M =3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M =3101﹣1，所以M =101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．【来源】2015年初中毕业升学考试（广东茂名卷）数学（带解析） 【答案】2016514-． 9．若1(21)(21)n n -+=21a n -+ 21b n +，对任意自然数n 都成立，则a = ，b = ； 计算：m =113⨯+135⨯+157⨯+ …+11921⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（广东汕尾卷）数学（带解析）【答案】a =12，b =－12；m =102110．【问题一】：观察下列等式 111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， 将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）猜想并写出： ()11n n =+_____________． （2）直接写出下列各式的计算结果：①111112233420162017++++=⨯⨯⨯⨯L ____________； ②()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+L ______________． （3）探究并计算：①111113355720152017++++⨯⨯⨯⨯L ． ②1111111132435465717191820-+-+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【问题二】：为了求23201712222+++++L 的值，可令23201712222S =+++++L ，则23201822222S =++++L ，因此2018221S S -=-，所以． 23201720181222221+++++=-L .仿照上面推理计算：（1）求23201715555+++++L 的值；（2）求23499100333333-+-++-L 的值.【来源】浙江省慈溪市2017－2018学年七年级上学期期中考试数学试题 【答案】111n n -+；20162017；111n -+。
常见的拆项公式
常见的拆项公式咱今儿就来唠唠常见的拆项公式。
拆项公式这玩意儿，在数学里头那可是相当重要。
比如说，对于一个分数，如果它的分子是常数，分母是两个一次式的乘积，这时候就可以考虑拆项啦。
就像咱平时做数学题，碰到一个式子：$\frac{1}{x(x + 1)}$ ，这时候咱就可以把它拆成 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ 。
为啥能这么拆呢？您别急，我给您细细道来。
咱假设 $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ ，然后通分得到：$1 = A(x + 1) + Bx$ 。
接着，咱令 $x = 0$ ，就能算出 $A =1$ ；再令 $x = -1$ ，就能得出 $B = -1$ 。
所以，就有了 $\frac{1}{x(x+ 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ 。
再比如说，$\frac{1}{(x - 1)(x - 2)}$ ，这能拆成 $\frac{1}{x - 2} -\frac{1}{x - 1}$ 。
前几天我给我小侄子辅导作业，就碰到了这么一道题。
题目是这样的：计算 $\frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + \cdots + \frac{1}{9\times10}$ 。
这小侄子啊，一开始瞪着题目直发愣，完全不知道从哪儿下手。
我就跟他说：“别着急，咱们来看看这每一项是不是都能拆一拆。
” 然后我就带着他，把每一项都按照咱刚说的拆项公式拆开。
像 $\frac{1}{1\times2}$ 就变成了 $1 - \frac{1}{2}$ ，$\frac{1}{2\times3}$ 变成了 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ，以此类推。
然后一相加，神奇的事情发生了，中间的那些项都相互抵消掉啦，最后就剩下 $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ 。
聚焦有理数运算的简便技巧
聚焦有理数运算的简便技巧（一）把有理数分解成有理分数有理数运算的一个常见技巧就是把分数分解成有理分数，以此建立起有理数之间的联系。
通常可以给定一个有理数，把它分解成几个最简分数之和。
例如，3/5可以分解成1/5与2/5，其它有理数也都可以如此分解。
这样分解后，有理数之间就可以建立起一种“抵消法”的关系，方便有理数运算。
（二）合并带分母的余式合并带分母的余式是有理数运算最常用的技巧之一。
我们知道，当分母相同时，有理数间可以把分子相加，例如：2/5-1/5=1/5，这样就可以更方便进行有理数运算。
当出现不同分母的情况时，可以把余式统一处理成带有相同分母的模式，再进行简化。
例如：3/4-1/5=15/20-4/20，可以把15/20及4/20合并为11/20，把重复度较高的运算简化掉，大大节省了计算量。
（三）利用常数来复杂有理数运算有理数运算也可以利用常数进行复杂的计算，有时可以让符号的变换更加简单。
比如，(a+b)/(a-b)可以改写为(a+b)/a-b/a，即：1/a+b/a-b/a，由此可以方便地进行有理数运算，使杂乱的运算步骤变得更加清楚。
（四）利用特殊比例计算有时候可以利用一些特殊的比例来进行有理数运算。
例如，a1/a2=b1/b2，那么a1/a2+c1/c2=b1/b2+c1/c2。
由此可以方便地转换出一些比较复杂的运算，从而方便有理数的运算。
（五）以底数为底的幂运算有理数的运算中也可以采用一些幂运算技巧，比如：a^b×a^c=a^(b+c)。
例如：2^3×2^2=2^5；上式中就是利用幂运算把有理数中的相乘转换成有理数中的相加，把运算变得更加容易。
有理数运算的十种技巧
２ （ １ 一 而 １） ＝ 而 ２ ０ ０
．
孚： ÷（ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ５ ９ ） ： 了 １ ×
＝８ ８ ５ ．
说 明 ： 形 如 面的 分 数 。 可 以 拆 成 ÷ （
— －） Ｉ 的形 式 ． ， ｌ ＋ 口
二、 巧用饲序法
例 ２ 计算
解： 设 ＝
Ｉ 、
解 ： 设 ｓ ＝ １ ＋ （ ÷＋ 丁 ２ ） ＋ （ ÷＋ ２ ＋ ３ ） ＋
（１
，
即 ２ Ａ ＝２ Ｘ４ ０１ １ ．
了 了 了 了 ） 一 ＋【 丽
２
３
４、
，１
２
＋ ‘ 一 丽 丽 ） ’
４ ８ ４ ９、
辽一 一 一
有理数的运算是初 中代数运算 中 的基 础运算 ， 它有
一
‘ ． ．
Ａ ＝４ ０ １ １ ． ． ． ．原 式 ＝ ４ ０ １ １ ．
定规律 和技 巧． 只要 认 真 分析 和研 究题 目的 内在 特
三、 巧 用 拆 项 法
征， 并根据这些特 征灵活 巧妙 地运 用运算 法则 、 运算 定 律和有针对性地运用 一定 的方法和技巧 ， 不但可 以使运
解 ： 因 为 （ ÷ ＋ 西 １ 一 ÷ 一 ） ÷ ＝ （ ÷ ＋ 去 一 ÷
一
一
１、
） ，
嘉） 嘉 ９ ３ — １ ４ 一 ｌ 一 ３ ，
所以原式 ＝ 一 ÷一 ３ ：一 ３ ÷
八、 巧 用 添项 法
两式相加得 ２ Ｓ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４＋… ＋ ４ ９ ．
解 ： 原 式 ＝ ｝ ＋ （ ÷＋ 号 ） ＋ （ ｝＋ ÷ ＋ ÷ ） ＋ …
专题2.5 有理数混合运算的八种技巧(举一反三)-2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列(
专题2.5 有理数混合运算的八种技巧【浙教版】【技巧1 巧用凑整法计算】 ..................................................................................................................................... 1 【技巧2 运用拆项法计算】 ..................................................................................................................................... 1 【技巧3 巧妙组合法计算】 ..................................................................................................................................... 2 【技巧4 相互转化法计算】 ..................................................................................................................................... 2 【技巧5 裂项相消法计算】 ..................................................................................................................................... 3 【技巧6 巧用分配律计算】 ..................................................................................................................................... 3 【技巧7 巧用倒数法计算】 ..................................................................................................................................... 4 【技巧8 变形相加法计算】 . (5)【技巧1 巧用凑整法计算】【例1】（重庆市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）计算： −87.21+531921−12.78+43221 ；【变式1-1】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考期中）计算：316−135−425−(+116) 【变式1-2】（2023秋·七年级单元测试）计算： (−218)+(+5)+(−312)+(+1.125)+(+412)；【变式1-3】（2023秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算： 0.125+314+(−318)+(−0.25)；【技巧2 运用拆项法计算】【例2】（2023秋·全国·七年级期末）阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：−556+(−923)+1734+(−312)解：原式=(−5−9+17−3)+ (−56−23+34−12) =0+ (−134) = −134 启发应用，用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【变式2-1】（2023秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：(−556)+(−923)+(1734)+(−312) 【变式2-2】（2023秋·山东济宁·七年级统考期中）计算：(−202156)+(−202023)+404223+(−112)【变式2-3】（2023秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算： (1)(+3579)+(−2349)；(2)(−201856)+(−201723)+(−112)+4036． 【技巧3 巧妙组合法计算】【例3】（2023秋·全国·七年级期末）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2019−2020值为（ ） A ．0B ．﹣1C ．2020D ．-2020【变式3-1】（2023秋·河南洛阳·七年级统考期末）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯ +2017+2018−2019−2020+2021的值为（ ） A ．1B ．0C ．2021D ．−2021【变式3-2】（2023·全国·七年级专题练习）1−3−5+7+9−11−13+15+⋯+2009−2011−2013+2015= ．【变式3-3】（2023·全国·七年级专题练习）计算：1−2−3+4+5−6−7+8+.…+2020+2021结果为 ．【技巧4 相互转化法计算】【例4】（2023春·上海·七年级上海市进才实验中学校考期中）(−0.375)×123÷135 【变式4-1】（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)(−3)÷(−134)×0.75÷(−37)×(−6)；(2)(−15)×(−0.1)÷125×(−10)；【变式4-2】（2023秋·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：1.25÷(−0.5)÷(−212)×1【变式4-3】（2023秋·全国·七年级期末）计算： 8÷(−113)×(−12.5)×(−45)；【技巧5 裂项相消法计算】【例5】（2023秋·七年级课时练习）阅读下列材料： 计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12021×2022 解：原式=1−12+12−13+13−14+⋯+12021−12022=1−12022=20212022这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：222−1+232−1+242−1+⋯+21002−1= ． 【变式5-1】（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）计算： (1)11×2+12×3+13×4+14×5=_______；(2)计算11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12020×2021【变式5-2】（2023秋·山东淄博·七年级统考期中）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+159×60； (3)1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×9+⋯+1−2021×2023．【变式5-3】（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）阅读第①小题计算方法，再类比计算第①小题． （1）①−556+(−923)+1712+(−312)解：原式=[(−5)+(−56)]+[(−9)+(−23)]+(17+12)+[(−3)+(−12)]=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+12+(−12)]=0+(−112)=−112．上面这种方法叫做拆项法．①计算：(−202256)+(−202223)+(−112)+4045．（2）①1−122=12×32，1−132=23×43，1−142=34×54，…，上面这种方法叫做裂项法．①计算：(1−122)×(1−132)×⋅⋅⋅×(1−120212)×(1−120222)． 【技巧6 巧用分配律计算】【例6】（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）计算：−24−24×(13−56+34)． 【变式6-1】（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）计算题，要求写出具体计算过程：(1)713×(−9)+713×(−18)+713；(2)(−6)2×(12−23)−23；【变式6-2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）（1）−999899×198 【变式6-3】（2023春·上海宝山·七年级校考阶段练习）计算下列各题： (1)(−24)×(−56+38−112)；(2)( −535)×(−2)+(−5.6)×7−4×(−535)； 【技巧7 巧用倒数法计算】【例7】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算(−130)÷(23−110+16−25) 解法一：原式=(−130)÷23−(−130)÷110+(−130)÷16−(−130)÷25=−120+13−15+112=16解法二：原式=(−130)÷[(23−16)+(110−25)]=(−130)÷(12−310) =−130×5 =−16解法三：原式的倒数为(23−110+16−25)÷(−130)=(23−110+16−25)×(−30)=23×(−30)−110×(−30)+16×(−30)−25×(−30) =−20+3−5+12=−10故原式=−110(1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法是解法__________；(2)根据材料所给的正确方法，计算：(−142)÷(16−314+23−27)【变式7-1】（2023·江苏·七年级假期作业）计算：(−120)÷(−14−25+910−32) 【变式7-2】（2023秋·重庆垫江·七年级统考期末）计算：(−78)÷(134−78+712)．【变式7-3】（2023秋·河南南阳·七年级统考期中）数学老师布置了一道思考题“计算”： (−112)÷(13−56)小华的解法：(−112)÷(13−56)= −112÷13−(−112)÷56=−14+110=−320大白的解法：原式的倒数为(13−56)÷(−112)……………………第一步 =(13−56)×(−12)…………………第二步 =−4+10……………………………第三步 =6…………………………………第四步 所以(−112)÷(13−56)反以两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位问学的解法中，_______同学的解答正确；(2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是____________________. (3)用一种你喜欢的方法计算： (−136)÷(12−13+34) 【技巧8 变形相加法计算】【例8】计算：1+2+22+⋯+22019+22020 【变式8-1】计算：1+2+3+4+⋯+55【变式8-2】计算：M =5+2×52+3×53+4×54+⋯+8×58． 令M =1+5+52+53+⋯…+551， 则5M =5+52+53+⋯…+552， 故5M −M =552−1， 故4M =552−1，故M=552−14，即1+5+52+53+⋯…+551=552−14．【变式8-3】计算：11+112+113+⋯+11n。