圆的标准方程和一般方程
圆与方程知识点(简单版)
圆与方程知识点1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心C (a,b),半径为r2、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2240D E F +->表示圆，圆心C （,22D E--）半径为22240D E F +-=表示点（,22D E--） 2240D E F +-<不表示任何图形3、点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+->⇔点在圆外 222()()x a y b r -+-=⇔点在圆上 222()()x a y b r -+-<⇔点在圆内（2）圆方程为一般式022=++++F Ey Dx y x220x y Dx Ey F ++++>⇔点在圆外 022=++++F Ey Dx y x ⇔点在圆上 220x y Dx Ey F ++++<⇔点在圆内（3）特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠4、直线l ：0Ax By C ++=与圆C 的位置关系判断方法（1）求出圆的半径r ，圆心C 到直线l 的距离为d1》判断方法r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点2》涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式24b ac =-0<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 0=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点 0>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点（3）求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=-求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩（4）求弦长及弦长的应用问题（垂径定理．．．．及勾股定理——常用） 1》弦长公式：()()222121212114l kx x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（暂作了解，无需掌握） 2》判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. 3》关于点的个数问题：例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,65、过点求圆的切线方程（第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数）.（1）点00(,)x y 在圆上圆的方程为222x y r +=，切线方程200x x y y r +=（运用在选择题及填空题） 圆的方程为222()()x a y b r -+-=，切线方程200()()()()x a x a y b y b r --+--=圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，切线方程0000022x x y yx x y y D E F ++++++= （2）点00(,)x y 在圆外，圆：()()222x a y b r-+-=，[()()22200x a y b r -+->]设直线方程为00()y y k x x -=-即000kx y kx y --+= 由圆心到直线的距离rd=求出k （过圆外一点作圆的切线有2条）特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！例题：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.（答案：3410x y -+=和1x =）6、 圆与圆的位置关系（221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=）（1）判断方法：求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r1212C C r r >+⇔圆1C 与圆2C 相离⇔有4条公切线 1212C C r r =+⇔圆1C 与圆2C 外切⇔有3条公切线121212||r r C C r r -<<+⇔圆1C 与圆2C 相交⇔有2条公切线 1212||C C r r =-⇔圆1C 与圆2C 内切⇔有1条公切线 1212||C C r r <-⇔圆1C 与圆2C 内含⇔有0条公切线（2）圆与圆相交：公共弦的直线方程为121212()()()0D D x E E y F F -+-+-= 圆心到弦的距离（弦心距）d 满足关系式：222()2l d r +=（公共弦长l ，半径r ） 过两圆交点的圆系方程可设为2222111222()0(1)x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=≠-或22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=点M 在圆1C 上，点N 在圆2C 上，则有1212max MN C C r r =++min 0MN =（相交，相切） 1212min MN C C r r =--（相离） 1212min MN r r C C =--（内含）7、用坐标法解决几何问题的步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系，设点的坐标 （2）找等量关系（3）将平面几何问题转化为代数问题； （4）化简运算 （5）检验得出结论8、空间直角坐标系（1）点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标（2）有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点（3）圆的参数方程 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 9、点),,(1111z y x P 与点),,(2222z y x P 的关系：中点坐标为121212(,,)222x x y y z z +++ 距离22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=10、对称问题（1）.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.（2.）圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.（3.）圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.（4.）已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.11、最值问题（方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程）(1.)已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方（2.）已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.（数形结合和参数方程两种方法均可！）（3.）设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是___________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）12、相关应用（1）.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.（2.）已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=（3.）已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B -，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.（4.）已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈）（1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.（5.）若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.（6.）已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.13、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式—轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一动点随另一点主动点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.（分析：角平分线定理和定比分点公式.）例题2：已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,42E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,122422x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=， 则223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),G x y ，则 ()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C AB C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD AB CDAC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.。
圆的标准方程与一般方程的特点与分析
圆的标准方程与一般方程的特点与分析圆的标准方程与一般方程各具特点，但都是我们所需要掌握的重要内容。
通过标准方程能够对一般方程进行推导，能够让我们更好地理解圆的特点和相关知识。
本文对圆的标准方程与一般方程进行分析，以供参考。
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在圆的标准方程中，包含有a、b、r这三个参数，也就是圆心坐标为（a，b），只需要将a、b、r计算出来，就可以确定圆的方程。
所以，在对圆方程进行确定的过程中，应当具备三个独立的条件，圆的定位条件就是圆心坐标，圓的定形条件就是其半径。
[1]1.圆的方程当时，则圆心O的坐标为（0，0），我们将其称之为1单位的圆；当时，则圆心O的坐标为（0，0），其半径为r；当时，则圆心O的坐标为（a，b），其半径为r。
在对圆的方程进行确定的过程中，主要是对待定系数法这一方法进行运用，也就是将有关a、b、r的方程组列出来，将a、b、r分别计算出来，亦或是将圆心（a，b）与半径r计算出来，通常情况下，其步骤是：依据有关题意，将圆的标准方程列出来；依据相关已知条件，对有关a、b、r的方程组进行建构；对所建构的方程组进行计算，分别将a、b、r的数值计算出来，将所计算的数值带入到圆的标准方程中去，进而就可以将所求圆的方程计算出来。
2.方程推导平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（a，b），点P是圆中任意一点，其坐标为（x，y）。
圆属于平面到定点距离等于定长的所有点的集合。
[2]因此，，分别将两边平方，可以得出。
3.点与圆关于点P（x1，y1）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系：当的情况下，那么点P位于圆外；当的情况下，那么点P位于圆上；当的情况下，那么点P位于圆内。
4.直线与圆的位置关系在平面图形中，在判定直线和圆的位置关系时，通常运用以下方法：通过其中B不等于0，可以得出关于x的一元二次方程。
通过判别式的符号，就可以对圆与直线的位置关系进行确定，其位置关系如下：倘若，那么圆与直线存在两个交点，二者是相交关系；倘若，那么圆与直线存在一个交点，二者是相切关系；倘若，那么圆与直线不存在交点，二者是相离关系。
圆的一般方程标准方程参数方程总结
1.圆的标准方程1、已知圆心为C(4b),半径为r,如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：(x-a)2+(y-b)2=r2这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程:(x-a)2 +(y-b)2 =r2若圆心在坐标原点上，这时a = b = O,则圆的方程就是x2+ /=r23、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要•三个量确定了且厂>0,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1求以C(l,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7 = 0相切的圆的方程例2已知圆的方程x2+ y2=r2,求经过圆上一点M(x o,yo)的切线方程例3.求过点M(3,l),且及圆(x-l)2 + y2 =4相切的直线/的方程例4・一圆过原点O和点P(l,3),圆心在直线)=x+2上，求此圆的方程例5.已知一圆及y轴相切，在直线y = x上截得的弦AB长为2",圆心在直线x-3y = 0上，求此圆的方程.圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，整理，得 X + y2一2ax- 2by + a2 +b2 -r2 = 0 f可见，任何一个圆的方程都可以写成口 +尸+氐+ £)，+尸=0|的形式。
① 反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？将①配方得：(x +与+ (>- +孑=D土严.. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：(1)当D2+E2-4F>0时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；(2)当D2 + E2-4F = 0时，方程①表示一个点；(3)当D2 + E2-4F<0时，方程①不表示任何图形.结论：当D2+E2-4F>0时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程形式上的特点：(1)疋和〉卫的系数相同，且不等于o； (2)没有小这样的二次项. 以上两点是二元二次方程A.r2 + + Cy2 + Dx +Ey + F = 0表示圆的必要条件，但不是充分条件.充要条件是？(A二C H O, B二0, D2 +E2 -4FA>0 ) 说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D、£、F 就可以了.2、圆的一般方程及圆的标准方程各有什么优点？(圆的标准方程：有利于作图。
圆的标准方程与一般方程(一)
圆的标准方程与一般方程(一)教学目标：了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等），掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化；2010年考试说明要求为C级。
知识点回顾：1. 圆的标准方程：，圆心是（a,b），半径是r；特别地：2. 圆的一般方程：，配方得，其中圆心是，半径是__________（其中：D2+E2-4F>0表示圆；D2+E2-4F=0表示点；D2+E2-4F=0不表示任何图形）；注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>03. 直径式圆方程：设，则以A、B为直径的圆方程为基础训练：1.圆心在原点，半径为6的圆方程为_______________2.经过点P(6，3)，圆心为C(2，-2) 的圆方程为_______________3. 以点C(-1，-5)为圆心，并且和Y轴相切的圆方程为_______________4. 已知点A(-4，-5)，B(6，-1)，则以线段AB为直径的圆方程为__________________5.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A（5，6），C（3，-4），则这个圆的方程为_____________________典型例题：已知圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
检测与反馈：1. 下列方程各表示什么图形？若表示圆，则求其圆心和半径（1）（2）2. 已知半径为5的圆过点P（-4，3），且圆心在直线2x-y+1=0上，则这个圆的方程的方程为____________________3. 经过点A(4，1)，B(-6，3)，C(3，0)的圆方程为_________________4. 如果方程所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有______________5．若直线（）通过点（），则a、b必须满足关系．（用含a，b的式子表示）。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。
（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r=①化简可得：222()()x a y b r-+-=②引导学生自己证明222()()x a y b r-+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用及解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 及圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置及半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 及A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 及直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
圆的一般方程和标准方程知识题型总结
圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程１、已知圆心为),(b a C ,半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发，正确地推导出:222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 :222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上,这时0==b a ,则圆的方程就是222r y x =+ ３、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要r b a ,,三个量确定了且r >０,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件,利用待定系数法来解决 三、讲解范例:例１ 求以C(1，３)为圆心,并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3.求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上,求此圆的方程例５.已知一圆与y 轴相切,在直线y x =上截得的弦AB长为30x y -=上,求此圆的方程.2. 圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理, 得22222220x y ax by a b r +--++-=,反过来, 将①配方得：22224()()224D E D E Fx y +-+++=. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (１)当2240DE F +->时,方程①表示以(,)22D E --为圆心为半径的圆;(2)当2240D E F +-=时,方程①表示一个点(,)22D E--; （３)当2240D E F +-<时,方程①不表示任何图形.结论:当2240D E F +->时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1)2x 和2y 的系数相同,且不等于0; （2)没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件,但不是充分条件．充要条件是？（Ａ＝C ≠0，B=0,0422>-+FA E D ）说明:１、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?（圆的标准方程：有利于作图。
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§4-1 圆的标准方程和一般方程
1. 圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的方程可表示为 ,称为圆的标准方程.
2. 圆的一般方程为 , 其中圆心是 ，半径长为 .
圆的一般方程的特点：
① x 2和y 2的系数相同，不等于0;
② 没有xy 这样的二次项;
③ 2240D E F +->
3.求圆的方程常用待定系数法：大致步骤是:
①根据题意,选择适当的方程形式;
②根据条件列出关于a,b,c 或D,E,F 的方程组;
③解出a,b,c 或D,E,F 代入标准方程或一般方程.
另外,在求圆的方程时,要注意几何法的运用.
4. 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）当满足 时,点在圆外;
（2）当满足 时,点在圆上;
（3）当满足 时,点在圆内.
1. 圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是( ）.
A ．(2,3)-，1
B ．(2,3)-，3
C ．
(2,3)- D ．(2,3)- 2. 方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是 A. 114
m << B. 1m > C. 14m < D. 1m <
( ) 3.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）.
A.
30x y --= B. 230x y +-= C. 10x y +-= D. 250x y --=
4. 一曲线是与定点O (0,0)，A (3,0)距离的比是12
的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.
5. 求下列各圆的方程：
(1).过点(2,0)
A-，圆心在(3,2)-；
(2).求经过三点(1,1)
B、(4,2)
C-的圆的方程.
A-、(1,4)
6.一个圆经过点(5,0)
x y
--=上，求此圆的
B-，圆心在直线3100
A与(2,1)
方程.
7. 求经过(4,2),(1,3)A B 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.
8. 如图,等腰梯形ABCD 的底边长分别为6和4,高为3,求这个圆的圆方程.
1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程A B C
D O
E x y
为.
曲线x2+y2x－=0关于（）.
2.
A. 直线x
B. 直线y=－x轴对称
C. 点（－2
）中心对称
D.
3.若实数,x y满足224240
++--=，则
x y x y
（）.
A.
3 B. 14
C.
3 D. 14
-
4.画出方程22
+=+所表示的图形,并求图形所围成的面积.
x y x y
5.设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4-7m2+9=0,若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.
6.已知线段AB的端点B的坐标是（6，3），端点A在圆上()22
++=
x y
14运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.。