自动控制理论第2章
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自动控制理论第二章习题答案
Q=K P
式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化
方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 Q0 = K P0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y
=
f
(
x0
)
+
df (x) dx
x0
(
x
−
x0
)
即 Q − Q0 = K1 (P − P0 )
其中 K1
= dQ dP P=P0
=
1K 2
1 P0
2-7 设弹簧特性由下式描述：
F = 12.65 y1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 F0
=
12.65
y1.1 0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
2
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
图 2-58 电网络与机械系统
1
解：（a）：利用运算阻抗法得： Z1
=
R1
//
1 C1s
=
R1 C1s
R1
+
1 C1s
=
R1 = R1 R1C1s + 1 T1s + 1
Z2
=
R2
+
1 C2s
(C2
+
2C1 )
du0 dt
+ u0 R
=
C1C2 R
d 2ui dt 2
式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化
方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 Q0 = K P0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y
=
f
(
x0
)
+
df (x) dx
x0
(
x
−
x0
)
即 Q − Q0 = K1 (P − P0 )
其中 K1
= dQ dP P=P0
=
1K 2
1 P0
2-7 设弹簧特性由下式描述：
F = 12.65 y1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解：
设正常工作点为 A，这时 F0
=
12.65
y1.1 0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
2
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
图 2-58 电网络与机械系统
1
解：（a）：利用运算阻抗法得： Z1
=
R1
//
1 C1s
=
R1 C1s
R1
+
1 C1s
=
R1 = R1 R1C1s + 1 T1s + 1
Z2
=
R2
+
1 C2s
(C2
+
2C1 )
du0 dt
+ u0 R
=
C1C2 R
d 2ui dt 2
自动控制原理第2章
自动控制理论
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
第2章 自动控制理论基础
C (S ) K G (S ) R( S ) S 1
如直流电机的励磁回路（回路电感L和电阻R）：当励磁电
压输入u时，其输出励磁电流i就相当于一个惯性环节。
di(t ) L Ri (t ) u (t ) dt
I (S ) 1 G (S ) U (S ) L S 1 R
Z1， Z2 ， Z m为传递函数零点； P 1，-P 2， Pn为传递函数极点
由前述讨论可知：典型二阶系统的全部性能只由两个参数：ζ、ω n所确 定，而根据闭环极点S1、S2和S平面上的位置又可确定出对应的ζ、ω n，
因此，只要闭环极点的位置确定，该系统的全部性能也就被完全确
如下述电路：
Ui(t) C
C (S ) G(S ) S R( S )
R Uo(t)
1 uo (t ) ui (t ) dt uo (t ) C R
G (S )
UO (S ) RCS U i (S ) RCS 1
相当于一个惯性环节和一个微分环节的组合，只有当RC 远远小于1时，相当于微分环节。
二
一阶系统暂态性能（第三讲）
微分方程为：
T
C (S ) K 传递函数为： G ( S ) R( S ) TS 1
C
dc(t ) c(t ) Kr (t ) dt
R(S) — R u1(t)
K C(S) TS
实例：如右图所示的电路图，微分方程 为：
2 2 1
du (t ) RC u (t ) u (t ) dt U (S ) 1 传递函数为： G (S ) U ( S ) RCS 1
开环传递函数（G0(S)）：反馈信号B(S)与误差信号E(S)之比。
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
自动控制理论第二章2
+
斜率1/T
0T
t
三、积分环节
特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程
dc(t)K(t) r 或 c(t)Kr(t)dt
dt
传递函数： G(s) C(s) K R(s) s
单位阶跃响应：
r(t)1(t)
R(s)1 s
C(s)G (s)R(s)K1 ss
c(t) Kt
常见物理系统：电机拖动系统
—阻尼系数（阻尼比）
单位阶跃响应：令K=1
1
1
C (s)G (s)R (s)T2s22T s1s
C(s)
s2
2 n
2 nsn
1 s
1s s2
s2 n 2 nsn
n
1 T
G (s ) 1 s (sn )2 s n n1 2 2 (sn )2 n n1 2 2
令： dn 12
G(s(t)1(t)
R(s)1 s
C (s)G (s)R (s)s1 s
c(t)(t)
输入是单位阶跃响应，即r(t)=1(t)，则输出的单位阶跃响应为：
c(t)d1(t)(t)
dt
几个实际微分的例子
C
i
u(t)
R
y(t)
RC串联电路
Y(s) R RCs U(s) 1sCR RCs1
Tdc(t)c(t)K(rt) dt
传递函数： G(s)C(s) K R(s) Ts1
T —时间常数
K—比例系数
单位阶跃响应：
r(t)1(t)
R(s)1 s
C (s)G (s)R (s) K1 T s1 s
C(s)K 1 ss1 1/T
c(t)K (1et/T)
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
自动控制理论第一、二章练习题
⾃动控制理论第⼀、⼆章练习题《⾃动控制理论》（⼆）第⼆章测试题⼀、选择题1、⽅框图化简时，并联连接⽅框总的输出量为各⽅框输出量的（） A ．乘积 B ．代数和 C ．加权平均 D ．平均值2、决定系统传递函数的是系统的（） A ．结构 B ．参数 C ．输⼊信号 D ．结构和参数3、终值定理的数学表达式为（） A ．)(lim )(lim )(0s X t x x s t →∞→==∞B ．)(lim )(lim )(s X t x x s t ∞→∞→==∞C ．)(lim )(lim )(0s sX t x x x t ∞→→==∞D ．)(lim )(lim )(0s sX t x x s t →∞→==∞4、梅森公式为（） A ．∑=?nk k k p 1B ．∑=??nk k k p 11C ．∑=?nk k11D ．∑?kkp 15、斜坡输⼊函数r(t)的定义是（）A ．t t r =)(B ．)(1·)(0t x t r =C ．2)(at t r =D ．vt t r =)(6、单位抛物线输⼊函数 r(t) 的数学表达式是 r(t) ＝（） A ． at 2 B ． Rt 2 C ．1/2t 2 D ． t 27、单位阶跃函数的拉⽒变换是（） A ． B ． C ．1/sD ． 18、⽐例微分控制器中，微分时间常数越⼤，则系统的（）A ．动态偏差越⼩B ．动态偏差越⼤C ．振荡越⼩D ．过渡过程缩短 9、同⼀系统，不同输⼊信号和输出信号之间传递函数的特征⽅程（） A ．相同 B ．不同 C ．不存在 D ．不定 10、控制系统中 , 基本环节的划分，是根据（） A ．元件或设备的形式 B ．系统的物理结构 C ．环节的连接⽅式D ．环节的数学模型11、单位斜坡函数 r(t) 的数学表达式是 r(t)= （） A ． a 2t B ． t 2 C ． t D ． vt12、若受控对象存在较⼤的延迟和惯性，效果较好的控制⽅式是（）A ．⽐例控制B ．积分控制C ．⽐例微分控制D ．⽐例积分控制13、 PI 控制器的传递函数形式是 ( ) A ． 5+3s B ． 5+4s2 C ．D ．14、决定系统静态性能和动态性能的是系统传递函数的 ( )A ．零点和极点B ．零点和传递系数C ．极点和传递系数D ．零点、极点和传递系数15、令线性定常系统传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的 ( ) A ．代数⽅程 B ．特征⽅程 C ．差分⽅程D ．状态⽅程16、研究⾃动控制系统时常⽤的典型输⼊信号是（）A ．脉冲函数B ．斜坡函数C ．抛物线函数D ．阶跃函数17、PID 控制器的传递函数形式是（）A ．5+3sB ．5+3s 1C ．5+3s+3s 1D ．5+1s 118、拉⽒变换将时间函数变换成（） A ．正弦函数B ．单位阶跃函数C ．单位脉冲函数D ．复变函数19、线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下（） A ．系统输出信号与输⼊信号之⽐ B ．系统输⼊信号与输出信号之⽐C ．系统输⼊信号的拉⽒变换与输出信号的拉⽒变换之⽐D ．系统输出信号的拉⽒变换与输⼊信号的拉⽒变换之⽐ 20、PID 控制器中，积分控制的作⽤是（） A ．克服对象的延迟和惯性 B ．能使控制过程为⽆差控制 C ．减少控制过程的动态偏差D ．使过程较快达到稳定21、PD 控制规律指的是( )。
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方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。
2020/5/2
25
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
y
f x
f
x0
df dx
1 d2f
xx0 x x0 2! dx2
xx0 x x0 2
具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法相似。
2020/5/2
26
二、 非线性数学模型的线性化
消去中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式， 并整理为标准形式
• 对复杂控制系统，直接采用这种方式推导微分方程 非常繁琐 • 为克服这个困难，人们提出了用传递函数描述系统 的方法，由此发展得出一系列方法。我们后面讲述。
2020/5/2
23
二、 非线性数学模型的线性化
• 严格讲，任何实际系统都存在不同程度的 非线性。
2020/5/2
29
二、 非线性数学模型的线性化
• 当系统工作变化范围 较大时，用上述方法 例：设
A
d2x dt 2
B
dx dt
( dx)3 dt
x
x2
u
建立数学模型引起的 这是一个非线性微分方程，如果u可以
•
误差较大。 在一定条件下可以通
任意设计，我们可取u ( dx)3 x2 dt
过反馈设计控制量把 非线性项影响抵消，
质量-弹簧-阻尼系统应用场合 汽车减震系统、加速度计测量
2020/5/2
10
( 一)典型对象（环节）的微分方程 2、质量－弹簧－阻尼系统
2020/5/2
由牛顿力学定律
F Ma
弹性力： F1 ky 阻尼力： F2 fv
v
dy dt
,a
d2y dt2
F(t) ky
f
dy dt
M
d2y dt2
大型车床
车床
2020/5/2
轧钢
13
(一)典型对象（环节）的微分方程
3、直流电动机
基
于
图
像
的
机
器
伺服电机
人
伺
服
系
磁盘驱动器
统
2020/5/2
14
(一)典型对象（环节）的微分方程 3、直流电动机
为了简化分析，通常假设：
(1) 电机磁路不饱和，且有：
C f I f 常数
(2) 电机转矩M与及电枢电流ia成正比：
线性性质 Lf1(t) f2(t) F1(s) F2(s)
初值定理 终值定理
微分定理
f (0 ) lim sF (s) s
f () lim sF (s) s0
L
d dt
f (t)
sF (s)
f (0),
L
d2 dt2
f
(t)
s2F
(s)
sf
(0)
f (0)
延迟定理 L f (t )1(t ) esF (s)
M
d2y dt2
f
dy dt
ky
F (t)
11
(一)典型对象（环节）的微分方程 3、直流电动机(D.C. motor)
直流电动机
动力类 （被控对象）
伺服类 （执行环节）
直流电动机在轧钢机、金属切 削机床、机器人、磁盘驱动器 等获得广泛应用
2020/5/2
12
(一)典型对象（环节）的微分方程
3、直流电动机
0
0
2020/5/2
(t) 1
32
三、线性系统的传递函数
常见函数的Laplace变换
(t) 1
1(t) 1 s
t（1 t)
1 s2
1 2
t 21(t)
1 s3
et（1 t) 1
s
s in t
1(t)
s2
2
cost
1(t)
s2
s
2
2020/5/2
33
三、线性系统的传递函数
Laplace变换基本定理
Ce
Cmia
(Ra La p)ia Ce ua Cmia Jp M L
求解算子方程
有
Ra La p Cm
Ce Jp
Jp(Ra La p) CmCe
2020/5/2
2
Ra
La p Cm
ua ML
M L (Ra La p) Cmua
16
(一)典型对象（环节）的微分方程 3、直流电动机
卷积定理 L f (t) g(t) F(s)G(s)
f (t) g(t) f ( )g(t )d
2020/5/2
34
三、线性系统的传递函数
用Laplace变换解微分方程
T dy y r dt y(0) 0
(rt) 1(t)
方程两边进行Laplace 变换（零初始条件） TsY (s) Y (s) R(s)
• 对于非线性数学模型的处理，可采用 1）忽略不计 取常值 2）平衡点附近的小偏差线性化方法（或 称切线法） 3）反馈线性化法
2020/5/2
24
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在 A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒
级数展开
由数学关系可知，当Δx 很小时，可用A处的切线
2020/5/2
36
三、线性系统的传递函数
2、传递函数的定义
传递函数
输出拉氏变换 输入拉氏变换
零状态
即零初始条件下
G(s) C(s) R(s)
什么是零初始条件？ c(0 ) 0 c' (0 ) 0 ，c(n1) (0 ) 0
2020/5/2
37
例： LC
d
2uC (t) dt 2
RC
duC (t) dt
21
整理得随动控制系统的微分方程为
Tf TaTm K
d 4
dt4
(T f
Ta )Tm K
d 3
dt3
Tf
Tm K
d 2
dt2
1 K
d
dt
其中
K kpkakgkt Rf kd
称为开环增益
一般情况下，描述线性控制系统输入输出关系的微分方程为：
dn
d n1
d
dt n c(t) a1 dtn1 c(t) L an1 dt c(t) anc(t)
M Cm ia Cmia
电路方程
动力学方程
ua
Ea
La
dia dt
Raia
M
ML
J
d
dt
电枢反电势
Ea Ce
2020/5/2
M
Cmia
电磁转矩
15
(一)典型对象（环节）的微分方程 3、直流电动机
ua
Ea
La
dia dt
Raia
M
ML
J
d
dt
引入微分算子
p d , dt
p2
d2 dt2
EMa
自动控制原理
授课教师： 刘小河 2013年3月
第二章：控制系统的数学模型
本章主要内容及要求
1、控制系统的输入－输出描述 • 控制系统的微分方程（了解） • 非线性数学模型的线性化（了解） • 线性系统的传递函数（掌握） 2、典型环节的数学模型（掌握） 3、求复杂控制系统数学模型的工具和方法
1）结构图及化简方法（掌握） 2）信号流程图与梅逊公式应用（掌握）
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• 数学模型——描述系统变量之间物理、化 学、生理或其他本质关系的数学表达式
• 常根据具体对象称为：物理模型、电路模 型、化学模型等
• 数学模型的分类 时域模型 微分方程
频域（复频域）模型 传递函数
• 建立一个实际系统的数学模型并非易事。
• 学习重点：了解常见对象数学模型的形式， 对根据典型环节构成系统熟练求出系统传 递函数
得线性化微分方程
称为反馈线性化。
A d 2x B dx x 0 dt2 dt
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2.1 控制系统的输入——输出描述
三、线性系统的传递函数
1、Laplace变换
L[f(t)]—F(s) 从时域→复频域
定义：
F (s) f (t)estdt
0
举例：
1 t 0 f (t) 1(t) 0 t 0
火炮跟踪控制系统
雷达跟踪系统
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随动系统的框图
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1）电位器组
u p k p ( )
2）放大器-发电机励磁
Tf
dI f dt
If
ka Rf
up
3）发电机-电动机组
Ef kgI f
TaTm
d 2
dt2
Tm
d
dt
1 kd
Ef
4）传动机构
d
dt
kt
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KCL: iR iL iC i
KVL: uR uL uC ur
VCR：
uR
RiR , uL
L
diL dt
, iC
C
duC dt
Ri
L
di dt
uC
ur
i
C
duC dt
LC
d 2uC dt2
RC
duC dt
uC
ur
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(一)典型对象（环节）的微分方程 2、质量－弹簧－阻尼系统
Tm
d
dt
1 Ce
ua
(Tm J
ML
TaTm J
dML ) dt