复数
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
英语中什么是复数
英语中什么是复数
定义
复数指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。
⼀般⽅法
(1)直接加-s, 如：bag-bags.
(2)当单数名词结尾为s,z,x,sh,软⾳ch时加-es, 如：box-boxes, peach-peaches. (o有时也是，如hero-heroes)
(3)不规则变化，如：ox-oxen, child-children, man-men, tooth-teeth.
(4)不变化，如：deer-deer, sheep-sheep,mouse-mouse.
(5) 在中间加-s,⽤于连词，如：hanger_on-hangers_on,maid_of_honor-maids_of_honor.
英语中什么是复数定义复数指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。
⼀般⽅法 (1)直接加-s, 如：bag-bags. (2)当单数名词结尾为s,z,x,sh,软⾳ch时加-es, 如：box-boxes, peach-peaches. (o有时也是，如hero-heroes) (3)不规则变化，如：ox-oxe 推荐度：点击下载⽂档⽂档为doc格式。
复数的概念与运算
[解析] 方法一：z＝
( 3＋i)(－2＋2 3i) ＋ )(－ ＋ ) )( 3 1 ＝－ 4 ＋4i， ， )(－ ＋ (－2－2 3i)(－2＋2 3i) － )( ) 所以 z·
z ＝－
32 12 1 ＋ ＝ . 4 4 4
16
方法二： ＝ 方法二：z＝ 3 1 － 4 ＋4i， ， 所以 z·
7
m2－m－6 － 例 2 当 m＝________时，复数 z＝ ＝ 时 ＝ ＋(m2－2m－15)i 是纯 － m＋3 ＋ 虚数． 虚数．
例 2
[思路 正确理解复数的相关概念．要特别注意复数 z＝a＋ 思路] 正确理解复数的相关概念． ＝ ＋ 思路
bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0. ， ∈ 为纯虚数的充要条件是 ＝ ≠ － ≠ ， m2－2m－15≠0， 2 － ＝ ， [解析 z 为纯虚数⇒m －m－6＝0， 解析] 解析 为纯虚数⇒ m＋3≠0 ＋ ≠
15
[2010· 课标全国卷 已知复数 z＝ 课标全国卷] ＝ 的共轭复数， ) 的共轭复数，则 z· z ＝( 1 1 B. C．1 D．2 A. ． ． 4 2
变式题 A
3＋i ＋ ，z是 z (1－ 3i)2 － )
[思路 先化简 z，再求 z ，最后确定 z· z 的值． 思路] 的值． 思路 ， 3＋i ＋ 3＋i 3＋i ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ 1－2 3i－3 － ) － (1－ 3i)2 － －2－2 3i －
∴z＝3＋4i. ＝ ＋
[点评 本题考查共轭复数和复数的模的概念，掌握这两个概念的有关 点评] 本题考查共轭复数和复数的模的概念， 点评 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有： 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有：① z ＝z；②z· z ＝|z|2＝| z |2； ； ③z∈R⇔ ＝ z .设 z＝a＋bi，|z|＝ a2＋b2，运算性质有：①|z|＝| z |；②|z1·z2| ∈ ⇔ z＝ 设 ＝ ＋ ， ＝ 运算性质有： ＝ ； z· 如下面的变式题． ＝|z1||z2|； |z|＝1⇔ z ＝1； |z|2＝| z |2＝|z2|＝| z 2|＝z· z 等． ； ③ ＝ ⇔ ； ④ ＝ ＝ 如下面的变式题．
复数的五种表示形式
复数的五种表示形式复数的概念常常被用于数学、物理和电学中，它是由实数和虚数合并而成的一个数。
无论我们是从哪个角度来看待复数这个概念，都需要了解它的五个主要表示形式，其中包括：代数式、拆分式、指数式、极坐标式和三角式。
在本文中，我们将逐一介绍它们的定义、应用和实际用途。
一、代数式代数式指的是将复数按照实部和虚部的形式进行书写，即：z = a + bi。
其中，a是复数的实部，它表示复数在实轴上的位置；b是复数的虚部，它表示复数在虚轴上的位置。
举个例子，假设我们需要表示复数3 + 2i，那么它的实部为3，虚部为2，最终的代数式就是：z = 3 + 2i代数式在数学中的应用非常广泛，它可以用于解决方程、计算复数之间的运算和推导出一些重要的公式。
同时，在工程和物理学中，代数式也可用于描述电流、电压和磁场等物理量。
二、拆分式拆分式指的是将复数按照极坐标系表示为一个模长和一个辐角的形式，即：z = r(cosθ + isinθ)。
其中，r代表复数到原点的距离，它也被称为复数的模长；θ是复数与实轴之间的夹角，它也被称为复数的辐角。
与代数式不同的是，拆分式更强调复数的几何意义，它能够帮助我们更好地理解复数在平面直角坐标系中的位置。
举个例子，如果我们需要将复数2 + 3i写成拆分式的形式，我们可以先求出其模长和辐角，然后代入公式得出结果：r = √(2² + 3²) ≈ 3.6056θ = arctan(3/2) ≈1.2490因此，该复数的拆分式是：z = 3.6056(cos1.2490 + isin1.2490)拆分式在数学、物理和电学中都有着广泛的应用，它可以被用于计算向量、求解复数之间的乘除运算以及推导出一些重要的公式，例如欧拉公式e^(ix) = cosx + isinx。
三、指数式指数式是指将复数按照自然对数的形式进行表示，即：z = re^(iθ)。
其中，r和θ的定义和拆分式中相同，它们分别代表复数的模长和辐角；e代表自然对数的底数，它的值约为2.718。
复数相关知识点
复数相关知识点复数是英语语法中的一个重要部分，它有着丰富的相关知识点。
在本篇文章中，我将为您介绍一些与复数相关的知识点，并给出一些例子来帮助您更好地理解。
1. 复数的基本形式：复数是用来表示数量多于一个的名词形式。
一般情况下，复数形式是通过在词尾加上字母"s"来构成的。
例如，单数形式的“book”变为复数形式的“books”。
然而，也有一些特殊情况，如以“s”、“x”、“z”、“ch”或“sh”结尾的名词在复数形式中要加上“es”来构成。
例如，单数形式的“box”变为复数形式的“boxes”。
2. 不规则复数形式：除了加上"s"或"es"以外，还有一些名词有不规则的复数形式。
例如，单数形式的“man”变为复数形式的“men”，单数形式的“child”变为复数形式的“children”。
这些不规则复数形式需要我们记忆和熟悉。
3. 复数形式的不可数名词：有一些名词只有单数形式，不能用于复数。
这些名词通常表示抽象的概念、物质或集合。
例如，"advice"、"furniture"、"information"等。
4. 同形同义复数名词：有一些名词的单数和复数形式相同，但意义不同。
例如，单数形式的“sheep”表示一只羊，复数形式的“sheep”表示多只羊。
5. 复数代词：除了名词有复数形式外，代词也有复数形式。
常见的复数代词有“they”、“we”、“us”等。
复数代词在句子中用于代替复数名词，以避免重复使用。
6. 数字和复数名词的一致性：当我们用数字表示数量时，需要注意数字和复数名词的一致性。
如果数字是1，则用单数名词；如果数字大于1，则用复数名词。
例如，“one book”表示一本书，而“two books”表示两本书。
7. 复数名词的词汇使用：在使用复数名词时，需要注意词汇的搭配。
复数知识点
§15. 复 数 知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：0==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]2若21z z ，则021 z z -.（√）②若Cc b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是cb a ==的必要不充分条件.（当22)(ib a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202ZZ z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21ZZ ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a=，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：nn n A A A A A A A A A A 11433221=++++- .3. 共轭复数的性质：zz = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(=注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn②对任何z ，21,z z C∈及+∈N n m ,有③nn n nm nm nm nmz z z z zz zz z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++nn n n ii i i i i i)(,0321Z n iiii n n n n ∈=++++++i ii i ii i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若ω是1的立方虚数根，即i2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：)(0,01,1,,121223Z n n n n∈=++=++===++ωωωωωωωωωω①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=. 辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作zarg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值. ②辐角是多值的，都相差2π的整数倍. ③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg=-==-=ai ai a a .⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)sin (cos θθi r bi a +=+，22bar +=，rb ra ==θθsin ,cos .⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r )]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根aib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r nn+=+第三章 数系的扩充与复数一、基础知识【理解去记】1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
复数的性质-总结
12.复数的运算律
（1）复数的乘方：
（2）对任何 ， 及 有
13.复数的几何意义
，加减法的几何意义：平行四边形法则
注：复数几何意义给数形结合提供了条件.
⑴复平面内的两点间距离公式： .其中 是复平面内的两点 所对应的复数 间的距离.
⑵曲线方程的复数形式：
① 为圆心，r为半径的圆的方程.
② 表示线段 的垂直平分线的方程.
②z是纯虚数 z＋ ＝0（z≠0）; ③z是纯虚数 z2<0
4.复数相等
如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等
5.复数的模
= =
6.较大小
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
（1）若 为复数，则
①若 ，则 .（×）[ 为复数，而不是实数]
②若 ，则 .（√）
（2）若 ，则 是 的必要不充分条件.
（当 ， 时，上式成立）
8.共轭复数
复数z=a+bi与复数z=a-bi互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．
9.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴．
10.复数四则运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
复数
1.复数定义
形如 的数叫做复数,a,b分别叫它的实部和虚部．（复数集C—全体复数的集合）
2.复数单位
复数的单位为i，它的平方等于－1，即 .
3.复数分类
（1）复数—形如z=a+bi（其中 ）；
（2）实数— 当b = 0时的复数z=a+bi，即a；
（3）虚数—当 时的复数z=a+bi；
（4）纯虚数—①当a= 0且 时的复数z=a+bi，即bi.
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复 数
A 级——夯基保分练
1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i
D ．－i
解析：选B ∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝2
1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选
B.
2．已知复数z ＝2i
1＋i ，则z 的共轭复数为( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．2＋2i
D.12－12
i 解析：选B ∵复数z ＝2i
1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(i ＋1)2＝1＋i ，∴复数z 的共轭复数z ＝1
－i.故选B.
3．设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i
1＋i
，则实数a ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0
D ．－1
解析：选C ∵1－i ＝2＋a i 1＋i ，2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋a 2＋a －2
2i ，∴⎩⎨⎧
2＋a
2＝1，a －2
2＝－1，解得a ＝0.故选C.
4．(2020·山西太原模拟)设复数z ＝1－3i(i 是虚数单位)，则z z
的虚部为( )
A.
3
2
i B ．－
32 C.32 D ．－32
i 解析：选C ∵z ＝1－3i ，∴z
z ＝z
2
z ·z ＝(1＋3i )2|z |2＝1＋23i －34＝－12＋3
2i.∴z z 的虚
部为
3
2
.故选C. 5．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A 因为z ＝3i 1＋i ＝32＋32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，3
2，
在第一象限，故选A.
6．若z ＝4＋3i ，则z |z |
＝( )
A ．1
B ．－1 C.45＋3
5
i D.45－35
i 解析：选D 因为z ＝4＋3i ，所以z ＝4－3i ，|z |＝5，故z
|z |＝45－35i. 7．(多选)下列命题正确的是( )
A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数
B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数
C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)
D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→
(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1
解析：选BC 对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，由题可知，A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y,2x
－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝4，
故D 错误．故选B 、C. 8．(多选)已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．复数z ＝1＋2i 1－i
的虚部为32
B ．复数z ＝2＋5i
－i
的共轭复数z ＝－5－2i
C ．复数z ＝12－1
2i 在复平面内对应的点位于第二象限
D ．复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R
解析：选ABD 对于A ，z ＝
1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝－12＋32i ，其虚部为3
2，故A 正确；
对于B ，z ＝2＋5i －i ＝(2＋5i)i ＝－5＋2i ，故z ＝－5－2i ，故B 正确；对于C ，z ＝12－1
2i ，在
复平面内对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫12
，－1
2，位于第四象限，故C 不正确；对于D ，设z ＝a ＋b i(a ，
b ∈R )，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2，又1
z
∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R ，故D 正确．
9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a
b 的值为________．
解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝1，a ＝2，
所以a b ＝2.
答案：2
10．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－3i 1＋i 2
＝________.
解析：原式＝12＋(
2)2＋
(1－3i )2(1＋i )2
＝3＋－2－23i
2i ＝3＋i －3＝i.
答案：i
11．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．
解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
所以z 1＝a －b i ，z 2＝z 1－i z 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝a ＋b i －a i －b ＝a －b ＋(b －a )i ，因为z 2的实部是－1，
所以a －b ＝－1，所以z 2的虚部为b －a ＝1. 答案：1
12．(一题两空)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.
解析：∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．
由根与系数的关系知⎩⎨⎧
(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，
(1＋2i )(1－2i )＝c ，
∴b ＝－2，c ＝3. 答案：－2 3
B 级——提能综合练
13．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )
A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．外心
解析：选D 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 的三个顶点距离相等，z 对应的
点是△ABC 的外心．
14．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．
解析：∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意． 答案：3或6
15．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y
x 的最大值为________．
解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝3
1＝ 3. 答案： 3
16．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5
z
是实数；
②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 则z ＝________.
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，
z ＋5z ＝a ＋b i ＋5
a ＋
b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b
a 2＋
b 2＝0.
又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①
又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②
联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1，
故z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足条件． 答案：－1－2i 或－2－i。