复数
复 数
A 级——夯基保分练
1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i
D ．－i
解析：选B ∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝2
1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选
B.
2．已知复数z ＝2i
1＋i ，则z 的共轭复数为( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．2＋2i
D.12－12
i 解析：选B ∵复数z ＝2i
1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(i ＋1)2＝1＋i ，∴复数z 的共轭复数z ＝1
－i.故选B.
3．设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i
1＋i
，则实数a ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0
D ．－1
解析：选C ∵1－i ＝2＋a i 1＋i ，2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋a 2＋a －2
2i ，∴⎩⎨⎧
2＋a
2＝1，a －2
2＝－1，解得a ＝0.故选C.
4．(2020·山西太原模拟)设复数z ＝1－3i(i 是虚数单位)，则z z
的虚部为( )
A.
3
2
i B ．－
32 C.32 D ．－32
i 解析：选C ∵z ＝1－3i ，∴z
z ＝z
2
z ·z ＝(1＋3i )2|z |2＝1＋23i －34＝－12＋3
2i.∴z z 的虚
部为
3
2
.故选C. 5．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A 因为z ＝3i 1＋i ＝32＋32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，3
2，
在第一象限，故选A.
6．若z ＝4＋3i ，则z |z |
＝( )
A ．1
B ．－1 C.45＋3
5
i D.45－35
i 解析：选D 因为z ＝4＋3i ，所以z ＝4－3i ，|z |＝5，故z
|z |＝45－35i. 7．(多选)下列命题正确的是( )
A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数
B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数
C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)
D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→
(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1
解析：选BC 对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，由题可知，A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y,2x
－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝4，
故D 错误．故选B 、C. 8．(多选)已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．复数z ＝1＋2i 1－i
的虚部为32
B ．复数z ＝2＋5i
－i
的共轭复数z ＝－5－2i
C ．复数z ＝12－1
2i 在复平面内对应的点位于第二象限
D ．复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R
解析：选ABD 对于A ，z ＝
1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝－12＋32i ，其虚部为3
2，故A 正确；
对于B ，z ＝2＋5i －i ＝(2＋5i)i ＝－5＋2i ，故z ＝－5－2i ，故B 正确；对于C ，z ＝12－1
2i ，在
复平面内对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫12
，－1
2，位于第四象限，故C 不正确；对于D ，设z ＝a ＋b i(a ，
b ∈R )，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2，又1
z
∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R ，故D 正确．
9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a
b 的值为________．
解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝1，a ＝2，
所以a b ＝2.
答案：2
10．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－3i 1＋i 2
＝________.
解析：原式＝12＋(
2)2＋
(1－3i )2(1＋i )2
＝3＋－2－23i
2i ＝3＋i －3＝i.
答案：i
11．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．
解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
所以z 1＝a －b i ，z 2＝z 1－i z 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝a ＋b i －a i －b ＝a －b ＋(b －a )i ，因为z 2的实部是－1，
所以a －b ＝－1，所以z 2的虚部为b －a ＝1. 答案：1
12．(一题两空)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.
解析：∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．
由根与系数的关系知⎩⎨⎧
(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，
(1＋2i )(1－2i )＝c ，
∴b ＝－2，c ＝3. 答案：－2 3
B 级——提能综合练
13．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )
A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．外心
解析：选D 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 的三个顶点距离相等，z 对应的
点是△ABC 的外心．
14．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．
解析：∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意． 答案：3或6
15．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y
x 的最大值为________．
解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝3
1＝ 3. 答案： 3
16．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5
z
是实数；
②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 则z ＝________.
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，
z ＋5z ＝a ＋b i ＋5
a ＋
b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b
a 2＋
b 2＝0.
又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①
又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②
联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1，
故z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足条件． 答案：－1－2i 或－2－i。
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
英语中什么是复数
英语中什么是复数
定义
复数指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。
⼀般⽅法
(1)直接加-s, 如：bag-bags.
(2)当单数名词结尾为s,z,x,sh,软⾳ch时加-es, 如：box-boxes, peach-peaches. (o有时也是，如hero-heroes)
(3)不规则变化，如：ox-oxen, child-children, man-men, tooth-teeth.
(4)不变化，如：deer-deer, sheep-sheep,mouse-mouse.
(5) 在中间加-s,⽤于连词，如：hanger_on-hangers_on,maid_of_honor-maids_of_honor.
英语中什么是复数定义复数指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。
⼀般⽅法 (1)直接加-s, 如：bag-bags. (2)当单数名词结尾为s,z,x,sh,软⾳ch时加-es, 如：box-boxes, peach-peaches. (o有时也是，如hero-heroes) (3)不规则变化，如：ox-oxe 推荐度：点击下载⽂档⽂档为doc格式。
复数的概念与运算
[解析] 方法一：z＝
( 3＋i)(－2＋2 3i) ＋ )(－ ＋ ) )( 3 1 ＝－ 4 ＋4i， ， )(－ ＋ (－2－2 3i)(－2＋2 3i) － )( ) 所以 z·
z ＝－
32 12 1 ＋ ＝ . 4 4 4
16
方法二： ＝ 方法二：z＝ 3 1 － 4 ＋4i， ， 所以 z·
7
m2－m－6 － 例 2 当 m＝________时，复数 z＝ ＝ 时 ＝ ＋(m2－2m－15)i 是纯 － m＋3 ＋ 虚数． 虚数．
例 2
[思路 正确理解复数的相关概念．要特别注意复数 z＝a＋ 思路] 正确理解复数的相关概念． ＝ ＋ 思路
bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0. ， ∈ 为纯虚数的充要条件是 ＝ ≠ － ≠ ， m2－2m－15≠0， 2 － ＝ ， [解析 z 为纯虚数⇒m －m－6＝0， 解析] 解析 为纯虚数⇒ m＋3≠0 ＋ ≠
15
[2010· 课标全国卷 已知复数 z＝ 课标全国卷] ＝ 的共轭复数， ) 的共轭复数，则 z· z ＝( 1 1 B. C．1 D．2 A. ． ． 4 2
变式题 A
3＋i ＋ ，z是 z (1－ 3i)2 － )
[思路 先化简 z，再求 z ，最后确定 z· z 的值． 思路] 的值． 思路 ， 3＋i ＋ 3＋i 3＋i ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ 1－2 3i－3 － ) － (1－ 3i)2 － －2－2 3i －
∴z＝3＋4i. ＝ ＋
[点评 本题考查共轭复数和复数的模的概念，掌握这两个概念的有关 点评] 本题考查共轭复数和复数的模的概念， 点评 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有： 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有：① z ＝z；②z· z ＝|z|2＝| z |2； ； ③z∈R⇔ ＝ z .设 z＝a＋bi，|z|＝ a2＋b2，运算性质有：①|z|＝| z |；②|z1·z2| ∈ ⇔ z＝ 设 ＝ ＋ ， ＝ 运算性质有： ＝ ； z· 如下面的变式题． ＝|z1||z2|； |z|＝1⇔ z ＝1； |z|2＝| z |2＝|z2|＝| z 2|＝z· z 等． ； ③ ＝ ⇔ ； ④ ＝ ＝ 如下面的变式题．
复数的五种表示形式
复数的五种表示形式复数的概念常常被用于数学、物理和电学中，它是由实数和虚数合并而成的一个数。
无论我们是从哪个角度来看待复数这个概念，都需要了解它的五个主要表示形式，其中包括：代数式、拆分式、指数式、极坐标式和三角式。
在本文中，我们将逐一介绍它们的定义、应用和实际用途。
一、代数式代数式指的是将复数按照实部和虚部的形式进行书写，即：z = a + bi。
其中，a是复数的实部，它表示复数在实轴上的位置；b是复数的虚部，它表示复数在虚轴上的位置。
举个例子，假设我们需要表示复数3 + 2i，那么它的实部为3，虚部为2，最终的代数式就是：z = 3 + 2i代数式在数学中的应用非常广泛，它可以用于解决方程、计算复数之间的运算和推导出一些重要的公式。
同时，在工程和物理学中，代数式也可用于描述电流、电压和磁场等物理量。
二、拆分式拆分式指的是将复数按照极坐标系表示为一个模长和一个辐角的形式，即：z = r(cosθ + isinθ)。
其中，r代表复数到原点的距离，它也被称为复数的模长；θ是复数与实轴之间的夹角，它也被称为复数的辐角。
与代数式不同的是，拆分式更强调复数的几何意义，它能够帮助我们更好地理解复数在平面直角坐标系中的位置。
举个例子，如果我们需要将复数2 + 3i写成拆分式的形式，我们可以先求出其模长和辐角，然后代入公式得出结果：r = √(2² + 3²) ≈ 3.6056θ = arctan(3/2) ≈1.2490因此，该复数的拆分式是：z = 3.6056(cos1.2490 + isin1.2490)拆分式在数学、物理和电学中都有着广泛的应用，它可以被用于计算向量、求解复数之间的乘除运算以及推导出一些重要的公式，例如欧拉公式e^(ix) = cosx + isinx。
三、指数式指数式是指将复数按照自然对数的形式进行表示，即：z = re^(iθ)。
其中，r和θ的定义和拆分式中相同，它们分别代表复数的模长和辐角；e代表自然对数的底数，它的值约为2.718。
复数相关知识点
复数相关知识点复数是英语语法中的一个重要部分，它有着丰富的相关知识点。
在本篇文章中，我将为您介绍一些与复数相关的知识点，并给出一些例子来帮助您更好地理解。
1. 复数的基本形式：复数是用来表示数量多于一个的名词形式。
一般情况下，复数形式是通过在词尾加上字母"s"来构成的。
例如，单数形式的“book”变为复数形式的“books”。
然而，也有一些特殊情况，如以“s”、“x”、“z”、“ch”或“sh”结尾的名词在复数形式中要加上“es”来构成。
例如，单数形式的“box”变为复数形式的“boxes”。
2. 不规则复数形式：除了加上"s"或"es"以外，还有一些名词有不规则的复数形式。
例如，单数形式的“man”变为复数形式的“men”，单数形式的“child”变为复数形式的“children”。
这些不规则复数形式需要我们记忆和熟悉。
3. 复数形式的不可数名词：有一些名词只有单数形式，不能用于复数。
这些名词通常表示抽象的概念、物质或集合。
例如，"advice"、"furniture"、"information"等。
4. 同形同义复数名词：有一些名词的单数和复数形式相同，但意义不同。
例如，单数形式的“sheep”表示一只羊，复数形式的“sheep”表示多只羊。
5. 复数代词：除了名词有复数形式外，代词也有复数形式。
常见的复数代词有“they”、“we”、“us”等。
复数代词在句子中用于代替复数名词，以避免重复使用。
6. 数字和复数名词的一致性：当我们用数字表示数量时，需要注意数字和复数名词的一致性。
如果数字是1，则用单数名词；如果数字大于1，则用复数名词。
例如，“one book”表示一本书，而“two books”表示两本书。
7. 复数名词的词汇使用：在使用复数名词时，需要注意词汇的搭配。
复数知识点
§15. 复 数 知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：0==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]2若21z z ，则021 z z -.（√）②若Cc b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是cb a ==的必要不充分条件.（当22)(ib a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202ZZ z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21ZZ ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a=，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：nn n A A A A A A A A A A 11433221=++++- .3. 共轭复数的性质：zz = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(=注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn②对任何z ，21,z z C∈及+∈N n m ,有③nn n nm nm nm nmz z z z zz zz z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++nn n n ii i i i i i)(,0321Z n iiii n n n n ∈=++++++i ii i ii i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若ω是1的立方虚数根，即i2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：)(0,01,1,,121223Z n n n n∈=++=++===++ωωωωωωωωωω①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=. 辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作zarg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值. ②辐角是多值的，都相差2π的整数倍. ③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg=-==-=ai ai a a .⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)sin (cos θθi r bi a +=+，22bar +=，rb ra ==θθsin ,cos .⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r )]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根aib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r nn+=+第三章 数系的扩充与复数一、基础知识【理解去记】1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
复数的性质-总结
12.复数的运算律
（1）复数的乘方：
（2）对任何 ， 及 有
13.复数的几何意义
，加减法的几何意义：平行四边形法则
注：复数几何意义给数形结合提供了条件.
⑴复平面内的两点间距离公式： .其中 是复平面内的两点 所对应的复数 间的距离.
⑵曲线方程的复数形式：
① 为圆心，r为半径的圆的方程.
② 表示线段 的垂直平分线的方程.
②z是纯虚数 z＋ ＝0（z≠0）; ③z是纯虚数 z2<0
4.复数相等
如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等
5.复数的模
= =
6.较大小
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
（1）若 为复数，则
①若 ，则 .（×）[ 为复数，而不是实数]
②若 ，则 .（√）
（2）若 ，则 是 的必要不充分条件.
（当 ， 时，上式成立）
8.共轭复数
复数z=a+bi与复数z=a-bi互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．
9.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴．
10.复数四则运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
复数
1.复数定义
形如 的数叫做复数,a,b分别叫它的实部和虚部．（复数集C—全体复数的集合）
2.复数单位
复数的单位为i，它的平方等于－1，即 .
3.复数分类
（1）复数—形如z=a+bi（其中 ）；
（2）实数— 当b = 0时的复数z=a+bi，即a；
（3）虚数—当 时的复数z=a+bi；
（4）纯虚数—①当a= 0且 时的复数z=a+bi，即bi.
关于复数的知识点总结
关于复数的知识点总结复数的形成规则在英语中，大多数名词的复数形式是在单数形式的词尾加上-s或-es。
下面是一些常见的复数形式的规则：1. 如果名词是以辅音字母+y结尾的，将y变为i，然后再加上-es。
如：city-cities, baby-babies。
2. 如果名词是以辅音字母+o结尾的，通常在词尾加上-es，但也有一些特殊情况需要记住。
如：potatoes, tomatoes, heroes。
3. 如果名词是以辅音字母+s, sh, ch, x结尾的，词尾加上-es。
如：bus-buses, brush-brushes, box-boxes。
4. 如果名词是以元音字母+y结尾的，直接在词尾加上-s。
如：day-days, toy-toys。
5. 如果名词是以“f”或“fe”结尾的，一般变为“v”加“es”，如：leaf-leaves, wife-wives。
以上是一些常见的复数形式的规则，需要记住的是，这些规则并不是绝对的，总有一些例外情况需要我们去记忆和理解。
下面我们来看一些不规则的复数形式。
不规则复数在英语中，有一些名词的复数形式并不遵循上述的规则，而被称为不规则复数。
这些不规则复数需要我们通过记忆和理解来掌握。
下面是一些常见的不规则复数形式：1. 单复数同形：有些名词的单数和复数形式是完全一样的，如：sheep-sheep, deer-deer, fish-fish等。
2. 变母音：有些名词的复数形式是通过改变元音字母来形成的，如：man-men, woman-women, foot-feet等。
3. 加-en：有些名词的复数形式是通过在词尾加上-en来形成的，如：child-children, ox-oxen等。
4. 特殊情况：有些名词的复数形式是完全不规则的，需要通过记忆来掌握，如：mouse-mice, tooth-teeth等。
以上是一些常见的不规则复数形式，这些不规则复数需要我们花费更多的时间和精力来记忆和理解。
(完整版)复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。