复数小结
复变函数
z x iy
( x, y)
复数 z x iy 可以用复平 面上的点 ( x , y ) 表示.
o
x
x
16
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 ) 参数 t ( , ),
28
故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 )
0 t 1
1 若取 t , 2 z1 z2 . 得线段 z1 z2 的中点坐标为 z 2
27
例6 将通过两点 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直
线用复数形式的方程来表示.
解
通过两点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的直线的方程
x x1 t ( x2 x1 ) 参数 t ( , ), y y1 t ( y2 y1 )
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
以上各式证明略.
8
1 3i 例2 设 z , 求 Re( z ), Im( z ) 与z z . i 1 i
解
i 3i (1 i ) 3 1 1 3i i, z i i (1 i )(1 i ) 2 2 i 1 i
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
英语名词复数变化小结
英语名词复数变化小结英语名词有复数形式，其变化分规则变化和不规则变化两种：一．规则变化1．直接加-s。
例如：desks(课桌), pens(钢笔),books(书籍), fans(粉丝), cars(小汽车) 2．以“丝”音或s, x sh, ch等字母结尾的名词加-es。
例如：buses(公共汽车),boxes(盒子), dishes(盘子), watches(手表)3．以y结尾的名词1). 以辅音字母加y的名词变y为i再加-es。
例如：family---families(家庭)，city---cities(城市)，country---countries(国家), study---studies(学习), etc. 2）. 以元音字母加y的名词只加-s。
例如：key---keys(钥匙)，boy---boys(男孩)，play---plays(戏剧)，toy---toys(玩具)，二．不规则变化1. 变内部元音。
例如：man---men(男人), woman---women(女人), foot---feet(英尺，脚), tooth---teeth(牙),goose--- geese(鹅),mouse---mice(老鼠), louse---lice(虱子)2. 词尾加-en构成。
例如：ox---oxen(牛),child---children(孩子)3. 以f或fe结尾的名词1). 去掉f或fe加-ves。
例如：half---halves(半),thief---thieves(贼), wife---wives(妻子),life---lives(生命),knife --- knives(小刀), wolf---wolves(狼), calf---calves(小牛),shelf--- shelves(架子),leaf--- leaves(叶), loaf---loaves(面包的块、条), sheaf---sheaves(捆), self--- selves(自己)2). 直接加-s.。
复变函数小结
复变函数小结复变函数小结复变函数小结关于前两章复数和解析函数部分这里不再总结。
复数一块掌握复数表示的三种形式和相关运算。
解析函数一块关键是要掌握C-R方程和解析及可导的判断，掌握指数函数、对数函数、幂函数的计算及性质。
复变函数积分1参数方程。
2柯西积分定理(条件：f(z)在单连通区域内解析)。
推论1:积分与路径无关。
(可使用原函数的方法)推论2:闭合曲线上的积分为0。
.3复合闭路定理(条件:在多连通内及边界上解析)4高阶导数公式(条件:在单(多)连通内及边界上解析)说明了解析函数区域内部的点处的值可以由边界处的值决定；解析函数具有任意阶导数，各阶导函数仍解析。
级数1复数数列收敛的充要条件:实部、虚部数列均收敛。
2复数项级数收敛的充要条件:实部、虚部实数项级数均收敛。
3绝对收敛与条件收敛。
判断绝对收敛的步骤:实部虚部分离。
直接取模。
判断收敛的一般方法：收敛的必要条件、比较判别法、比值判别法或根值判别法。
一般是先判断是否为绝对收敛，再判断是否条件收敛(注意莱布尼兹判别法的使用)。
4幂级数敛散性判断及收敛半径的求法：阿贝尔定理(不缺项)、比值判别法(缺项)5泰勒级数(记住常用的泰勒级数:exp(x),Ln(x),1/(1-x),sin(x),cos(x)…)6洛朗级数洛朗级数存在条件：f(z)在圆环域内r重点记忆：傅利叶变换及其逆变换的定义。
单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。
单位阶跃函数u(t)的傅氏变换。
正余弦函数的傅氏变换。
e的傅氏变换。
傅氏变换的线性性质(注意tf(t)的傅氏变换为-F’(s)/i)、位移性质(两个公式)、微分性质、积分性质。
卷积的定义、计算公式、卷积定理(两个公式)注：计算卷积要注意成立区间的讨论。
拉普拉斯变换重点记忆：拉普拉斯变换及其逆变换的定义。
单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。
幂函数tm的拉氏变换。
单位阶跃函数u(t)的拉氏变换。
指数函数e的拉式变换。
正余弦函数的拉氏变换。
复数复习小结
复数复习小结(附测试题)教学目的：1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．教学难点：复数的有关几何意义的理解与应用教学过程：一、知识要点：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是---------------3. i的周期性：i4n+1= , i4n+2= ,i4n+3= ,i4n=4.复数的定义：形如的数叫复数，a a叫复数的，b b叫复数的全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)=+∈，z a bi a b R把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且仅当时，复数a+bi(a、a bi ab Rb∈R)是实数a；当时，复数z=a+bi叫做虚数；当时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当时，z就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q RC.8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小9. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做上的点都表示对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了外，虚轴上的点都表示10．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=11. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=12. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.13. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)14．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.15.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.16.除法运算规则：17．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数18．复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OP、1OP，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线2OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量17.复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.18．复数的模：||||||z a bi OZ=+==二、讲解范例：1．复数的概念例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当1010mm+=⎧⎨-≠⎩时，即m=－1时，z是纯虚数；（4）当1010mm+<⎧⎨-<⎩时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。
高二数学下复数小结
4.设f(n)=( )n+( )n(n∈Z)，则集合｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是
A.1 B.2 C.3 D.无穷多个
解析：∵f(n)=in+(－i)n，
∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0.
∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝.
答案：C
解：∵ －z1=2i，∴ =z1+2i.
∴z2= ，即z2= －2i.
又∵z1·z2+2iz1－2iz2+1=0，
∴z1( －2i)+2iz1－2i( －2i)+1=0，
即| |2－2i －3=0.
令z1=a+bi(a、b∈R)，
得a2+b2－2b－3－2ai=0，
即 解得
∴z1=3i，z2=－5i或z1=－i，z2=－i.
④z为虚数的一个充要条件是z+ ∈R;
⑤若a、b是两个相等的实数，则(a－b)+(a+b)i是纯虚数;
⑥复数z∈R的一个充要条件是z= .
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z1、z2、z3不全是实数时不成立，如z1=i，z2=1+i，z3=1时满足条件，但z1≠z3;③错，当x=－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a=b=0时，原数是实数;⑥对.
三．模的性质:设 （ ）的共轭复数为 ，则：
（1）
（2） ， ， （ ）
（3）
（4）
(5) ； ；
(6) ；
(7) （ ）；
练习位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于
名词变复数规则小结
名词变复数规则小结名词复数的规则变化其它名词复数的规则变化1）以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数：如：two Marys ；the Henrys；monkey---monkeys；holiday---holidays；比较：storey ---storeys；story---stories；2）以o 结尾的名词，变复数时：a。
加s，如：photo---photos；piano---pianos；radio---radios；zoo---zoos；b。
加es，如：potato--potatoes ；tomato—tomatoes c。
均可，如：zero---zeros / zeroes3）以f或fe 结尾的名词变复数时：a。
加s，如：belief---beliefs；roof---roofs；safe---safes；gulf---gulfs；b。
去f，fe 加ves，如：half---halves；knife---knives；leaf---leaves；wolf---wolves；wife---wives；life---lives；thief---thieves；c。
均可，如：handkerchief---handkerchiefs / handkerchieves名词复数的不规则变化1）不规则复数如：child---children；foot---feet；tooth---teeth；mouse---mice；man---men；woman---women；注意：与man 和woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。
如：an Englishman，two Englishmen。
但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。
2）单复同形如：deer，sheep，fish，Chinese，Japaneseli，jin，yuan，two li，three mu，four jin但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。
复数的乘除法总结
x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
2 2i i i 2 2 i 1 3i
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi
记作 c+di
例1、复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
1.知识
（1）复数的乘法； （2）复数的除法； （ 3）共轭复数。 通过本节课的学习，你有哪些收获？
归 纳 小 结
2.思想方新
1 3 1 3 i， ＝－ － i 练习2 设 － 2 2 2 2
2 2 3
（ 计算（ 1 ） （ ， 2） ， 3 ） ， (4) 。
1 i i. 1 i
1 i 8 ) . 练习 计算( 1 i 8 2 1 i （ 1 i ） 8 解 ( ) 1 i （ (1 i ) 1 - i）
2i 8 （ ） 2
i 1
8
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
a b2
2 2
关于复数的知识点总结
关于复数的知识点总结复数的知识点总结篇1复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
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C. i
D.i
4、(2011山东2）
复数 2 i 在复平面内对应的点所在象限为（）D
2i
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5、（2011 浙江 2） 把复 i
则(1 z) z () A
A.3i B.3 i C.1 3i D.3
6、（2011辽宁1)
数系的扩充与复数的引入小结
知识与技能
教学目标
构建知识网络，进一步理解并熟练应用复数的相关概念与 复数相等充要条件，熟练进行复数的四则运算，理解复数
的几何意义及其代数形式加减运算的几何意义. 过程与方法
通过典型例题、练习，进一步理解并熟练应用复数相等的 充要条件；熟练进行复数的四则运算.
情感、态度、价值观
知识整合是能力提升的一个重要环节，应投资时间
认真总结整理.
201考1纲高解考读导航
1.复数的概念 (1)理解复数的基本概念． (2)理解复数相等的充要条件． (3)了解复数的代数表示法及其
几何意义．
2．复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则
运算． (2)了解复数代数形式的加、减
运算的几何意义.
2．对复数运算的考查，高考命 题主要以考查复数的加、减、乘、除 运算为主，题目多为选择题，难度与 课本习题相当．
演练课堂互动讲练
计算：(1)((12－＋23i)i)45；
－2 3 (2) 1＋2
3＋i i＋(1－2 i)2010；
(3)(11＋－ii)6＋
2＋ 3－
3i 2i .
高考体验
1、（2011重庆1）i2 i3 i4 （） 1i
A.2
B. 2
2 i C. 1
2
D. 1 2
9、（2011湖北1）
i为虚数单位，则
1
i
2011
()
A
1i
A. i
B. 1
C.i
D.1
10、（2011陕西7）
设集合M y y cos2 x sin2 x x R ,
N
x
x
1 i
2,i为虚数单位，x R,则M N为（）C
A.0,1 B.0,1 C.0,1 D.0,1
2011高考导航
考纲解读
2．复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算． (2)了解复数代数形式的加、减运算的 几何意义.
20命11题高探究考导航
从历年高考试题看，复数部分的 考查重点是复数的有关概念和复数的 代数形式运算及运算的几何意义．
1．复数的概念的考查，高考命 题仍以考查基本概念为主，题型以选 择题、填空题为主，难度不大．
A. 1 1 i B. 1 1 i
22
22
C. 1 1 i 22
D. 1 1 i 22
2、(2011广东1） 设复数z满足(1 i)z 2,则z ()
A.1 i
B.1i C.2 2i
D.2 2i
3、(2011课标1）
C
复数 2 i 的共轭复数是（）
1 2i
A. 3 i 5
B. 3 i 5
a为正实数，i为虚数单位，a i i
2,则a (B)
A.2 B. 3
C. 2
D.1
7、（2011福建1）
i是虚数单位，若集合S 1,0,1,则（）B
A.i S B.i2 S
8、(2011安徽1）
C.i3 S D. 2 S
i
设i是虚数单位，复数 1 ai 为纯虚数，则实数 a为（）A