人教版八年级数学下册-平行四边形全章复习与巩固(提高)巩固练习
初二下册数学期末复习13平行四边形巩固必刷基础练习题(原卷版)
16．（2019 秋•安丘市期末）如图，在正方形 ABCD 的内侧，作等边 DCE ，则 BAE 的度数是 ．
17．（2019 秋•青白江区期末）如图， ABC 中， ACB 90 ， AC 8 ， BC 6 ，分别以 ABC 的边 AB 、 BC 、 CA 为一边向 ABC 外作正方形 ABDE 、 BCMN 、 CAFG ，连接 EF 、 ND ，则图中阴影部分的面积 之和等于 ．
22．（2019 秋•兰州期末）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O ，AB / /DC ，AB BC ，BD 平分 ABC ，过点 C 作 CE AB 交 AB 的延长线于点 E ，连接 OE ． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB 2 5 ， BD 4 ，求 OE 的长．
B． 28
C． 62
D． 67
7．（2020 春•德城区校级月考）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是 ( )
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．测量门框的三个角是否都是直角 8．（2020 春•沙坪坝区校级月考）如图，在 ABCD 中， CD 2 AD ， BE AD 于点 E ， F 为 DC 的中点， 连结 EF 、 BF ，若 FBE 40 ，则 DFE ( )
2019-2020 学年八年级数学下册同步必刷题闯关练（人教版）
第十八章《平行四边形》 章节复习巩固
一．选择题 1．（2020•浙江自主招生）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A ，C 同时沿正方形的边开 始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2009 次相遇在边 ( )
人教版八年级数学下册-平行四边形全章复习与巩固(提高)巩固练习
人教版八年级数学下册-平行四边形全章复习与巩固(提高)巩固练习本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March【巩固练习】一.选择题1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )A. B. C. D.2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 已知平行四边形的一条边长为10cm.其两条对角线长可能是（）,12cm B. 8cm,10cm C. 10cm,12cm D. 8cm,12cm4. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。
点E、F分别是AP,PR的中点。
当点P在BC上从B向C移动时，下列结论成立的是（）A. 线段EF的长逐渐变大；B. 线段EF的长逐渐减小；C. 线段EF的长不改变；D. 线段EF的长不能确定.5.（2015春•嵊州市校级期中）如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是（）A． B．2 C．3 D．46. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和682cm,那么矩形ABCD的面积是）A．212cm D．92cmcm B．162cm C．2427. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（）Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．258．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）°°°°二.填空题9.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是________.10．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE 和PA的长度之和最小值为___________．11．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2……依此类推，则平行边形n nABC O的面积为___________．12. 如图所示，在口ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝13AC；③DN＝2NF；④12AMB ABCS S△△．其中正确的结论是________．(只填序号)13.已知菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm2.14.（2015春•启东市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．15. 如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________．16.（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…S n（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=__________．三.解答题17. 如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°．CD⊥AD，222+=．2AD CD AB(1)求证：AB＝BC．(2)当BE⊥AD于E时，试证明BE＝AE＋CD．18.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC=6，DE=4，则DF=___________.19. 探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF ＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AF∴△GAF≌△________．∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．20.（2015•海淀区二模）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B ；【解析】由题意先证明△AOE ≌△COF ，∴S 阴影=S △COD=S 矩形ABCD.2．【答案】A ；3.【答案】C ；【解析】由三角形两边之和大于第三边判定.4.【答案】C ；【解析】由三角形中位线定理，EF 长度为AR 的一半. 5.【答案】C ；【解析】解：∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD ﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选：C ．6.【答案】B ； 【解析】设两个正方形的边长分别为x y ，,根据题意得：⎩⎨⎧=+=+106822y x y x ，则222100,x y xy ++=，解得16xy =.7.【答案】B ；【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半.8.【答案】B ；【解析】证△ECF 为等腰直角三角形.二.填空题9.【答案】7516； 【解析】由折叠的特性可知∠DBC′＝∠DBC ，由AD ∥BC 得∠ADB ＝∠DBC ，因此∠DBC′＝∠ADB ，故BE ＝DE.可设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得222AB AE BE +=，即()22234x x +=-，解得x ＝87，BE ＝825.因此阴影部分的面积为1675382521=⨯⨯.10【解析】连接CE ，因为A ，C 关于BD 对称，所以CE 11．【答案】⋅n 25； 【解析】 每一次变化，面积都变为原来的12. 12.【答案】①②③；【解析】易证四边形BEDF 是平行四边形，△ABM ≌△CDN ．∴ ①正确． 由BEDF 可得∠BED ＝∠BFD ，∴∠AEM ＝∠NFC ．又∵AD ∥BC ．∴∠EAM ＝∠NCF ， 又AE ＝CF ∴ △AME ≌△CNF ，∴AM ＝CN ．由FN ∥BM ，FC ＝BF ，得CN ＝MN ，∴CN ＝MN ＝AM ，AM ＝13AC ．∴ ②正确． ∵ AM ＝13AC ，∴ 13AMB ABC S S =△△，∴④不正确． FN 为△BMC 的中位线，BM ＝2NF ，△ABM ≌△CDN ，则BM ＝DN ，∴DN ＝2NF ，∴③正确．13.【答案】20；24；14.【答案】3；【解析】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，∴∠ADP=∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP==3．故答案为：3．15.【答案】7；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD．又∵以BE为折痕，将△ABE向上翻折到△FBE的位置，∴ AE＝EF，AB＝BF．已知DE＋DF＋EF＝8，即AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴ BC＋AB－FC＝8．①又∵ BF＋BC＋FC＝22，即AB＋BC＋FC＝22．②，两式联立可得FC＝7．16.【答案】128；【解析】根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n ﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．故答案为128．三.解答题17.【解析】(1)证明：连接AC∵∠ABC＝90°，∴222+=．AB BC AC∴ CD⊥AD，∴222AD CD AC+=．∵222+=，AD CD AB2∴222+=．AB BC AB2∴ AB＝BC．(2)证明：过C作CF⊥BE于F．∵ BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形．∴ CD＝EF．∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF．∴ AE＝BF．∴ BE＝BF＋EF＝AE＋CD．18.【解析】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF=DE，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDB=∠C∴DF=BF∴DE+DF=AB=AC；（2）图②中：AC+DE=DF．图③中：AC+DF=DE．（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．故答案是：2或10．19. 解：(1)EAF、△EAF、GF．(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵12 EAF m∠=°，∴112322BAD EAF m m m∠+∠=∠-∠=-=°°°．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝12 m°．即∠GAF＝∠EAF．又AG＝AE，AF＝AF．∴△GAF≌△EAF．∴ GF＝EF．又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴ DE＋BF＝EF．20. 【解析】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)期末复习综合提升训练试卷(含答案)
人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》期末复习综合提升训练1（附答案）1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）A．12B．18C．6D．242．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（ ）A．4B．8C．D．3．已知一个平行四边形的两条对角线长是6cm和8cm，则下列线段长度可以是它的边长的是（ ）A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm4．如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF 的面积为50cm2，则菱形的边长为（ ）A．10cm B．12cm C．13cm D．15cm5．下列说法不正确的是（ ）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形6．如图，周长为24的平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，AC⊥CD且BE＝CE，若AC＝6，则△AOE的周长为（ ）A．6B．9C．12D．157．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（ ）A．B．3C．3D．8．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（ ）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个9．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）A．1.5B．2C．2.4D．2.510．如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE＝2；作EF∥BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（ ）A．4B．5C．6D．711．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFG的边长分别为2、3，H为线段DF的中点，则BH的长为（ ）A．B．C．D．12．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ ）A．4.8B．5C．9.6D．1013．如图，菱形ABCD的边长为17，对角线AC＝30，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G．则EG＝ ．14．已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的动点，点B 和点B'关于EF对称，则B'D的最小值是 ．15．矩形一个角的角平分线分矩形一边为1和3两部分，则这个矩形的面积为 ．16．如图，正方形ABCD中，AE＝2cm，CG＝5cm．长方形EFGD的面积是11，四边形NGDH 和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积是 cm2．17．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为 ．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝2，则AE的长为 ．19．如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝ ．20．如图，E为正方形ABCD内部一点，且AE＝3，BE＝4，∠E＝90°，则阴影部分的面积为 ．21．如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是 ．22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，若以AD、CD 为边，以AC为对角线，作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值为 ．23．如图所示，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，∠1＝2∠2，CF＝5，求AF+BC 的值．24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．25．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系： ；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．26．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，（1）如图1，若CE＝CF；求证：AE＝AF；（2）如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数．27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CF；（2）求证：BE∥DF．28．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动．当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t （s）．（1）如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．29．如图：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且DF＝BE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）连接AC，EF，若AC平分∠EAF，且EF＝4，AC＝7，求四边形AECF的面积．30．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AM⊥BD，CN⊥BD，垂足分别为M、N．延长AM至G，使AM＝MG，连接CG．（1）求证：△AOM≌△CON．（2）当AM：OA＝2：时，判断四边形MGCN的形状，并说明理由．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝3，∴AC＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝．故选：A．2．解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，在△ADM与△DCN中，∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠CND，在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，∴∠DPM＝90°'∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，在△ANB中AN＝＝2，故选：C．3．解：如图所示，∵平行四边形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，∴1＜AB＜7，同理：1＜AD＜7，故选：D．4．解：连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵B、E、F、D四点在同一条直线上，∴E，F在BD上，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AC2＝50，∴AC＝10cm，∴AO＝CO＝5cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴×AC×BD＝120，∴BD＝24cm，∴BO＝DO＝12cm，∴AB＝＝＝13cm，故选：C．5．解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、∵三个角是直角的四边形是矩形，∴选项C符合题意；D、∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，∴选项D不符合题意；故选：C．6．解：∵平行四边形ABCD的周长为24，∴AB+BC＝12，∵平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，且BE＝CE，∴AO＝AC＝3，OE＝AB，∵AC⊥CD，且BE＝CE，∴Rt△ABC中，AE＝BC，∴△AOE的周长＝AO+AE+OE＝3+（BC+AB）＝3+＝9，故选：B．7．解：取AB的中点F，连接NF、MF，△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵AM＝MD，AF＝FB，∴MF是△ABD的中位线，∴MF＝BD＝3，MF∥BC，∴∠AFM＝∠CBA，同理，NF＝AE＝2，NF∥CC，∴∠BFN＝∠CAB，∴∠AFM+∠BFN＝∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠MFN＝90°，∴MN＝＝，故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC，∵AD＝AC，∴OC＝BC，∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝AB，∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，∴NP＝CD＝PD＝PC，∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND，∴∠MND＝∠PND，∴ND平分∠PNM，④正确；正确的个数有3个，故选：C．9．解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°∵EF∥BC，∴∠BFE+∠ABC＝180°，∴∠BFE＝90°，∴四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，如图：∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．∴点N为FC的中点，BE＝FC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，又∵∠AFG＝90°，∴△AFG为等腰直角三角形．∵M是AG的中点，∴AM＝MG，∴FM⊥AG，∴△FMC为直角三角形，∵点N为FC的中点，∴MN＝FC，∵四边形ABCD是边长为8的正方形，DE＝2，∴BC＝CD＝8，CE＝6，在Rt△BCE中，由勾股数可得BE＝10，∴FC＝10，∴MN＝FC＝5．故选：B．11．解：如图，连接BD、BF，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形∴AB＝AD＝2，BE＝EF＝3，∠A＝∠E＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠EBF＝∠FBG＝45°∴∠DBF＝90°，BD＝2，BF＝3，∴在Rt△BDF中，DF＝＝＝，∵H为线段DF的中点，∴BH＝＝，故选：B．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝CO，BO＝DO＝3，AC⊥BD，∴AO＝＝＝4，∴AC＝8，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×6＝24，∵DE⊥AB，∴S菱形ABCD＝AB•DE＝5DE，∴5DE＝24，∴DE＝＝4.8，故选：A．13．解：连接BD，交AC于点O，如图，∵菱形ABCD的边长为17，点E，F分别是边CD，BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝17，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝30，∴AC⊥BD，AO＝CO＝15，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在Rt△COD中，∵OC⊥OD，CD＝17，CO＝15，∴OB＝OD＝8，∴BD＝2OD＝16，∴EG＝BD＝16．故答案为：16．14．解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点B和点B'关于EF对称，∴AE＝BE＝B'E＝2，∠A＝90°，∴DE＝＝2，∴当点B'在线段DE上时，B'D取得最小值，此时B'D＝2﹣2，故答案为：2﹣2．15．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，①如图，当AE＝3时，AB＝3，AD＝1+3＝4，此时矩形的面积是：3×4＝12；②同理可得，当AE＝1时，AB＝1，AD＝4，此时矩形的面积是1×4＝4；故答案为：4或12．16．解：设正方形ABCD的边长为xcm，由题意DE＝x﹣2（cm），DG＝x﹣5（cm），则（x﹣2）（x﹣5）＝11，∴x2﹣7x＝1∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形，∴DE＝ME＝x﹣2（cm），DG＝DH＝x﹣5（cm），∴MF＝x﹣2+x﹣5＝2x﹣7（cm），∴图中阴影部分的面积＝（2x﹣7）2＝4x2﹣28x+49＝4（x2﹣7x）+49＝4+49＝53（cm2），故答案为：53．17．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝8，AB∥CD，∴∠ADF＝∠ECF，∵点F为边DC的中点，∴DF＝CF＝4，又∵∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴AF＝EF，∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，又∵DG⊥AF，∴AG＝GF，∵GF＝＝＝2，∴AG＝GF＝2，∴AF＝4＝EF，∴AE＝8，故答案为：8．19．解：过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，如图所示：∵ABCD是正方形，∴AG∥H′H，BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠H′AD+∠AH′D＝90°，∵GH⊥BE，AH′∥GH，∴AH′⊥BE，∴∠H′AD+∠BEA＝90°，∴∠BEA＝∠AH′D，在△BAE和△ADH′中，，∴△BAE≌△ADH′（AAS），∴BE＝AH′，∵AG∥H′H，AH′∥GH，∴四边形AH′HG是平行四边形，∴GH＝AH′，∴GH＝BE＝6，故答案为：6．20．解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∴正方形的面积是5×5＝25，∵△AEB的面积是AE•BE＝×3×4＝6，∴阴影部分的面积是25﹣6＝19，故答案是：19．21．解：∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴EF∥CD，HG∥CD，EF＝CD，HG＝CD，HE＝AB，AB∥HE，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AB不一定等于CD，∴EH不一定等于EF，故①错误，∵AB＝CD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG平分∠HGF，故②正确，③∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，∵四边形HEFG是平行四边形，∴GF∥HE∥AB，∴∠GFC＝∠ABC，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠BCD，∴∠GFC+∠EFB＝90°，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，故答案为：②③．22．解：∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，根据勾股定理得AB＝3，∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC＝2.5，∴当OD取最小值时，线段DE最短，即OD⊥BC时最短，∴OD∥AB，∴OD是△ABC的中位线，∴，∴DE＝2OD＝3，23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，又∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，AD∥BC，∴∠GAE＝90°，∠G＝∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE＝BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG＝BC，∠G＝∠2，∴AF+BC＝AF+AG＝FG，∵∠1＝∠2+∠G＝2∠2，∴∠2＝∠G，∴FG＝CF＝5，∴AF+BC＝5．24．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，AD＝CD，∵DE∥AC且DE＝AC，∴DE＝OA＝OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形；（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝3．∴在Rt△ACE中，AE＝＝3．25．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠GDC，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDF+∠FDG+∠GDC＝90°，∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，∴∠EDF+∠FDG＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，∴△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠ADE＝90°，DE＝EH，∴∠ADE＝∠BEH，在△DME和△EBH中，，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．26．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，又∵CE＝CF，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．（2）解：连接AC，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝DA．∴△ABC与△CDA为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△EAF为等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∴60°+20°＝60°+∠CEF，∴∠CEF＝20°．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠DAE＝∠BCF，∵∠1＝∠DAE+∠ADE，∠2＝∠BCF+∠CBF，∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠CBF，∵在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴DE∥BF．又∵由（1）知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴BE∥DF．28．解：由题意可得DP＝t，BQ＝2t，则AP＝11﹣t，（1）若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ，∴11﹣t＝2t，解得t＝，故当t＝时，四边形ABQP是矩形；（2）由题意得PE＝8﹣t，CQ＝11﹣2t，CP2＝CD2+DP2＝16+t2，若四边形EQCP为菱形，则PE＝CQ＝CP，∴t2+16＝（8﹣t）2＝（11﹣2t）2，解得t＝3，故当t＝3时，四边形EQCP为菱形．29．（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形∴AD＝BC．又∵BE＝DF，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形，∵EF＝4，AC＝7，∴四边形AECF的面积＝×4×7＝14．30．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMO＝∠CNO，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS）；（2）解：四边形MGCN为正方形，理由如下：由（1）得：△AOM≌△CON，∴AM＝CN，OM＝ON，∵AM＝MG，∴CN＝MG，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠GMN＝90°，AM∥CN，∴MG∥CN，∴四边形MGCN是平行四边形，∴四边形MGCN是矩形，∵AM：OA＝2：，∴设AM＝2a，则OA＝a，∴OM＝＝＝a，∴MN＝2OM＝2a，∵MG＝AM＝2a，∴MG＝MN，∴四边形MGCN是正方形。
人教版数学八年级下册平行四边形全章复习与巩固(提高)知识讲解
平行四边形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理. 【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、（2015•海淀区二模）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE，使AE=AD ，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．【答案与解析】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键．举一反三：【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠BAC＝90°∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形，∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC ,∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°∴∠1＝∠2易证△BAC≌△BDF（SAS），∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°同理可证△BAC≌△FEC∴AB＝AD＝EF＝3∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵DF∥AE，DF⊥BD延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×32＝6.类型二、矩形2、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且D G⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ， 即：OE ＝OF ＝OG ＝OH ， ∴四边形EFGH 是矩形；（2）解：∵G 是OC 的中点，∴GO＝GC ， ∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°， 又∵DG＝DG ， ∴△DGC≌△DGO， ∴CD＝OD ，∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ， ∴BO＝4cm ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴DO＝BO ＝4cm ，∴DC＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB＝2243DB DC -=，∴矩形ABCD 的面积＝4×243163cm =．【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等． 举一反三： 【变式】（2015秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ， 连接AF ，BF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF 平分∠DAB．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE， 又∵DF=BE，∴四边形DEBF 为平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF 为矩形； （2）∵四边形DEBF 为矩形，∴∠BFC=90°， ∵CF=9，BF=12，∴BC==15，∴AD=BC=15， ∴AD=DF=15， ∴∠DAF=∠DFA， ∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA， ∴∠FAB=∠DFA， ∴AF 平分∠DAB．3、在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4．过点A 作AE⊥AB 且AB=AE ，过点E 分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC=5，求四边形ABDE 的周长．【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF ，AC=EF ，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD 是矩形，求出四边形ABDE 的周长即可． 【答案与解析】解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．∴∠B=∠2． ∵EF⊥AC，∴∠4=∠5=90°． ∴∠3=∠4．在△A BC 和△EAF 中，∵342B AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ∴△ABC≌△EAF（AAS ）． ∴BC=AF，AC=EF ． ∵BC=4， ∴AF=4． ∵FC=5， ∴AC=EF=9．在Rt△ABC 中，AB=22224997CB AC +=+=. ∴AE=97．∵ED⊥BC，∴∠7=∠6=∠5=90°． ∴四边形EFCD 是矩形．∴CD=EF=9，ED=FC=5．∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=97+4+9+5+97=18+297．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键．类型三、菱形4、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=5，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．AC=-=，在Rt△ABC中，512∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD= ∠FBD，∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形.5、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF=BF；（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=12BC，求出EG∥BC，EG=12BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD=2BO，∵BD=2AB，∴AB=BO，∵E为OA中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∵F为BC中点，∴EF=BF=CF，即EF=BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，∴BD=2AB=2CD，∴OC=CD，∵BG：GD=3：1，OB=OD，∴G为OD中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB=90°，∵F为BC中点，∴GF=12BC=12AD，∵E为OA中点，G为OD中点，∴EG∥AD，EG=12 AD，∴EG∥BC，EG=12 BC，∵F为BC中点，∴BF=12BC，EG=GF，即EG∥BF，EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∵EG=GF，∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．类型四、正方形6、正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝FM；（2）当AE ＝1时，求EF 的长．【答案与解析】解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM ，∠EDM＝90°， ∴∠EDF＋∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF ＝45°， 在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF≌△DMF（SAS ）， ∴EF＝MF ；（2）设EF ＝MF ＝x ，∵AE＝CM ＝1，且BC ＝3， ∴BM＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ， ∵EB＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2， 即()22224x x +-=， 解得：52x =，则EF ＝52． 【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ．（1）请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．2020年人教版初二数学下学期【答案】解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；理由是：延长BG交DE于点H，因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE所以△BCG≌△DCE，所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠GBC＋∠DEC＝90°，得∠BHE＝90°．所以BG⊥DE.(2)上述结论也存在．理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，同理可证△BCG≌△DCE，得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，可得∠DKH＋∠KDH ＝90°，从而得∠KHD＝90°．所以BG⊥DE.。
人教版八年级下数学平行四边形(提高)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．A.8cm和16cmB.10cm和16cmC.8cm和14cmD.8cm和12cm2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．A.5B.6C.8D.124. 如图所示，在 ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（）个平行四边形.A. 7B. 8C. 9D. 105. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O. E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( ).A. AE＝CFB.DE＝BFC.CBF=∠AED∠∠ D.CFBADE∠=6．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）.A．7 B．9 C．10 D．11二.填空题7. 如图, E、F分别是 ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是 .8. 如图，在 ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为．9. 在 ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则 ABCD的周长为_______________.10.如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________.11. 如图，在周长为20cm的 ABCD中，AB≠AD，AC、BD 相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为________.12．如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，2BG，则△CEF的周长为______．4三.解答题13. 在 ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，BE＝DF，过点O作线段GH交AD于点G，交BC于点H，顺次连接EH、HF、FG、GE，求证：四边形EHFG是平行四边形.14.如图1所示，（1）已知D 是等腰△ABC 底边BC 上一点，DE ∥AC ，交AB 于点E ．DF ∥AB ，交AC 于点F ．请你探究DE 、DF 、AB 之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D 是等腰△ABC 底边BC 延长线上一点，DE ∥AC ，交BA 的延长线于点E ．DF ∥AB ，交AC 的延长线于点F ．请你探究DE 、DF 、AB 之间的关系，并说明理由．图1 图215. 如图所示，已知△ABC 是等边三角形，D 、F 两点分别在线段BC 、AB 上，∠EFB ＝60°，DC ＝EF ．(1)求证：四边形EFCD 是平行四边形；(2)若BF ＝EF ，求证：AE ＝AD ．【答案与解析】一.选择题1．【答案】B ；【解析】设对角线长为22a b ，，需满足12a b +>，只有B 选项符合题意. 2．【答案】C ；【解析】分别以AB ，BC ，AC 为对角线作平行四边形.3．【答案】D ；【解析】过C 点作CF 垂直于BD 的延长线，CF 就是两短边间的距离，如图所示，∠C ＝30°，CF ＝11241222CD =⨯=.4.【答案】C ；【解析】在 ABCD 中，∵ EF ∥AB ，GH ∥AD ．∴ EF ∥AB ∥CD ，GH ∥AD ∥BC ．∴ 除 ABCD外，还有8个平行四边形： AGHD 、 BGHC 、 ABFE 、 DEFC 、 DEOH 、HOFC 、AEOG 、 OGBF ．即图中有9个平行四边形． 5.【答案】B ；【解析】C 选项和D 选项均可证明△ADE ≌△CBF ，从而得到AE ＝CF ，EO ＝FO ，BO ＝DO ，所以可证四边形DEBF 是平行四边形.6.【答案】D ；【解析】EF ＝HG ＝12BC ，EH ＝FG ＝12AD ，所以四边形EFGH 是平行四边形，由勾股定理BC ＝5，所以周长等于3＋3＋5＝11.二.填空题7.【答案】PQ ∥AB ，PQ ＝12AB ； 【解析】P ，Q 分别是AF ，BF 的中点.8.【答案】6；【解析】易证△AEF ≌△DCF ，所以AF ＝DF ，由CF 平分∠BCD ，AD ∥BC 可证AB ＝DC ＝DF ＝3，所以BC ＝AD ＝6.9.【答案】20cm 或22cm ；【解析】由题意，AB 可能是4，也可能是3，故周长为20cm 或22cm .10.【答案】DEF BEF ADF ABED S S S S =--△△△梯形==11.【答案】10cm ； 【解析】因为BO ＝DO ，OE⊥BD，所以BE ＝DE ，△ABE 的周长为AB ＋AE ＋DE ＝120102⨯=. 12．【答案】7；【解析】可证△ABE 与△CEF 均为等腰三角形，AB ＝BE ＝6，CE ＝CF ＝9－6＝3，由勾股定理算得AG ＝EG ＝2，所以EF ＝AF －AE ＝5－4＝1，△CEF 的周长为7.二.解答题13.【解析】证明：在ABCD 中AD ∥BC ，AO ＝CO ，BO ＝DO∴∠GAO ＝∠HCO在△AGO 和△CHO 中GAO HCO AO CO GOA HOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGO ≌△CHO∴GO ＝HO又∵BO ＝DO ，BE ＝DF∴EO ＝FO∴四边形EHFG 为平行四边形.14.【解析】解： (1)DE ＋DF ＝AB ．理由如下：因为DE ∥AC ，DF ∥AB ，所以由平行四边形的定义可得四边形AEDF 是平行四边形，所以DF ＝AE ．又因为△ABC 是等腰三角形，所以∠B ＝∠C ．因为DE ∥AF ，所以∠C ＝∠EDB ．所以∠B ＝∠EDB ．所以△BDE 是等腰三角形，所以BE ＝DE ，所以DE ＋DF ＝BE ＋AE ＝AB ．(2)若D 在BC 的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE －DF ＝AB ． 理由如下：因为DE ∥AC ，DF ∥AB ，所以四边形AFDE 是平行四边形．所以DF ＝AE ，DE ＝AF ．因为△ABC 是等腰三角形，所以∠B ＝∠ACB ．又因为∠ACB ＝∠FCD ，所以∠B ＝∠FCD ．又因为AB ∥DF ，所以∠B ＝∠FDC ．所以∠FCD ＝∠FDC ，所以DF ＝FC ， 所以DE －DF ＝AF －CF ＝AC ＝AB ．15.【解析】证明：(1)∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC ＝60°．又∵ ∠EFB ＝60°，∴ EF ∥BC ，即EF ∥DC ．又∵ DC ＝EF ，∴ 四边形EFCD 是平行四边形．(2)如图，连接BE ．∵ BF ＝EF ，∠EFB ＝60°，∴ △EFB 是等边三角形，∴ BE ＝BF ＝EF ，∠EBF ＝60°，∴ DC ＝EF ＝BE ．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC ＝AB ，∠ACD ＝60°．在△ABE 和△ACD 中，∵ AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ，∴ △ABE ≌△ACD ，∴ AE ＝AD ．。
人教版八年级数学下册 平行四边形 基础知识巩固练习
平行四边形基础知识巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）.A.AC⊥BDB.AB＝CDC. BO＝ODD.∠BAD＝∠BCD2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图所示，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长是( )．A．2 B．1 D．1 25. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（）.A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm6. 如图， ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（）.A．1 B．1.5 C．2 D．3二.填空题7. 如图所示，在 ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 cm，BC＝18 cm，△AOB的周长为54 cm，则△AOD的周长为________cm．8. 已知 ABCD，如图所示，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°， ABCD的面积为____2cm．9．在 ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．10. 在 ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则 ABCD的面积为______．11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是．三.解答题13．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．14. 已知：如图，E、F是 ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A ；2.【答案】C ；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B ；【解析】平行四边形对角相等.∠A 与∠C 为对角，∠B 与∠D 为对角.4.【答案】A ；【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ．又∵BE ＝EC ，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12AB ＝2． 5.【答案】D ； 【解析】设两条对角线的长为22a b ，.所以10a b +>,2220a b +>,所以选D. 6.【答案】C ；【解析】因为∠DAE ＝∠BAE ，∠BAE ＝∠DEA ，所以AD ＝DE ＝BC ＝3，EC ＝DC －DE ＝5－3＝2.二.填空题7.【答案】48；【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OD ＝OB ，AD ＝BC ＝18cm ．又因为△AOB 的周长为54cm ，所以OA ＋OB ＋AB ＝54cm ，因为AB ＝24cm ，所以OA ＋OB ＝54－24＝30(cm )，所以OA ＋OD ＝30(cm )，所以OA ＋OD ＋AD ＝30＋18＝48(cm )．即△AOD 的周长为48cm ．8.【答案】40；【解析】过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABH 中，∠B ＝30°，AB ＝8cm ，∴AH ＝12AB ＝4(cm )．∴ABCD S = BC ·AH ＝10×4＝40(2cm )．9.【答案】53cm ，5；【解析】由题意，∠DAC ＝∠BCA ＝30°，AB ＝152AB =，AC ==. 10．【答案】1202cm ；【解析】8AE ==，所以ABCD 的面积为15×8＝1202cm ． 11．【答案】平行四边形；12.【答案】18°； 【解析】由题意1122PF BC AD PE ===，所以△PEF 为等腰三角形，∠PFE ＝∠PEF ＝18°.三.解答题13.【解析】解：沿中位线将三角形分割开，将得到的小三角形绕AC 的中点旋转180度再与梯形拼接即可，如图所示：14.【解析】解：连接BD ，交AC 于O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ，AO ＝CO又∵AE ＝CF ，∴AO －AE ＝CO －CF ，即EO ＝FO∴四边形BEDF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2在Rt△CDE 中，由勾股定理CD =∵D 是BC 的中点，∴BC＝2CD ＝在Rt△ABC 中，由勾股定理AB =． ∵D 是BC 的中点，D E⊥BC，∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋。
_2020-2021学年八年级数学人教版下册 第十八章 平行四边形 章末巩固训练(含答案)
人教版八年级数学第十八章平行四边形章末巩固训练一、选择题1. 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（）A．2个B．3个C．4个D．5个2. 四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关3. （2019·上海）下列命题中，假命题是()A．矩形的对角线相等B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平D．矩形对角线交点到四条边的距离相等4. 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为()A. 2 2B. 4 2C. 6 2D. 8 25. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A. 10B. 14C. 20D. 226. （2020·牡丹江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，23)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）A ．(2,23)--或(23,2)- B ．(2,23)C ．(2,23)-D ．(2,23)--或(2,23)7. (2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是A ．∠B=∠FB ．∠B=∠BCFC ．AC=CFD ．AD=CF8. （2020·东营）如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ，下列结论：①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③222PE PF PO ；④△POF ∽△BNF ；⑤点O 在M 、N 两点的连线上．其中正确的是（ ）A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②③④⑤D. ③④⑤BDEFNO二、填空题 9. 如图，在平行四边ABCD 中，已知8cm AD =，6cm AB =，DE 平分ADC ∠交BC 边于点E ，则BE 等于 cm ．E ABCD图3DBO CA y10.（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD 是平行四边形（填一个即可）.11. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
八年级数学下册 课堂巩固提升练习：四边形全章(12部分) 人讲解
八年级数学课堂巩固提升练习：四边形全章(12部分含答案)1.平行四边形的认识班级姓名座号一、填空题（每题5分）1.正方形有条对称轴.2.菱形的对角线互相 .3.如图，在正方形ABCD中，∠ABD= 度.4.已知▱ABCD中,AB=3,BC=4,那么它的周长是 .5.如果平行四边形一组邻角的度数比为1:2,那么这个四边形最大内角的度数为 .6.如果▱ABCD满足条件: ,那么这个四边形是矩形.二、选择题（每题5分）7.对角线互相平分的四边形是( ).(A)平行四边形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形8.下列说法正确的是( ).(A)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形(B)两条对角线相等的四边形是矩形(C)四条边都相等的四边形是正方形(D)四条边都相等的四边形是菱形9.平行四边形的两邻边分别为5和7,那么其对角线应( ).(A)大于2 (B)小于12 (C)大于2且小于12 (D)大于2或小于1210.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AC=2AB，则∠AOB=( ).(A)15° (B)30° (C)60° (D)90°11.在线段、等边三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形、菱形、正方形、圆这些图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有( ).（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个12.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,对角线AC 与BD 交于点O ，则图中面积相等的三角形的对数有（ ）. (A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对BA DCABCDOCBAD O（第3题） （第10题） （第12题）三、解答题(每题10分)13.木工师傅用两条相等的长木条及两条相等的短木条制作了一个门框，你能用什么方法判断这个门框的形状恰好是一个矩形？14.请在下列括号中注明理由.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝2∠B ，试说明△ABC 是等边三角形.解：在菱形ABCD 中，AB ＝BC,AD ∥BC.∴∠B ＋∠BAD ＝180° ( ). 又∵∠BAD ＝2∠B( ), 可得 ∠B ＝60°在△ABC 中,∵AB=BC,∴∠1=∠2( )，∵∠B+∠1+∠2=180°( )，CBDA 21∴∠1=∠2=∠B=60°.(第14题) 从而AB=BC=AC （ ），即△ABC 是等边三角形.15.如图，在▱ABCD 中，已知E 和F 分别是AB 、CD 的中点，连结AF 和CE ，试说明四边形AFCE 是平行四边形.BFE D CA(第15题)16.梯形ABCD 中，如果DC ∥AB ，AD=BC ，∠1＝30°,DB ⊥AD,求∠DBC 和∠C 的度数.BA1CD(第16题)四、附加题17.尽可能多地写出正方形的识别方法(每个2分,多写多得).18.如图,李村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D处均有一棵桃树，现在村委会准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持桃树不动，并要求扩建后的池塘呈平行四边形形状，请问该村能否实现这一设想？若能，请设计并画出图形，简单描述你的画法；若不能，请说明理由.DACB(第18题)《平行四边形》单元试卷（参考答案）班级姓名座号一、填空题（每题5分）1.正方形有 4 条对称轴.2.菱形的对角线互相垂直平分 .3.如图，在正方形ABCD中，∠ABD= 45 度.4.已知▱ABCD中,AB=3,BC=4,那么它的周长是 14 .5.如果平行四边形一组邻角的度数比为1:2,那么这个四边形最大内角的度数为120°.6.如果▱ABCD满足条件:有一个内角是直角或对角线相等 ,那么这个四边形是矩形.二、选择题（每题5分）7.对角线互相平分的四边形是( A ).(A)平行四边形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形8.下列说法正确的是( D ).(A)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形(B)两条对角线相等的四边形是矩形(C)四条边都相等的四边形是正方形(D)四条边都相等的四边形是菱形9.平行四边形的两邻边分别为5和7,那么其对角线应( C ).(A)大于2 (B)小于12 (C)大于2且小于12 (D)大于2或小于1210.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AC=2AB，则∠AOB=( C ).(A)15° (B)30° (C)60° (D)90°11.在线段、等边三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形、菱形、正方形、圆这些图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有( C ).（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个12.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形的对数有（ C ）.(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对BA DCABCDOCBAD O（第3题） （第10题） （第12题）三、解答题(每题10分)13.木工师傅用两条相等的长木条及两条相等的短木条制作了一个门框，你能用什么方法判断这个门框的形状恰好是一个矩形？答:可以通过量角度,只要有一个角是直角,就能断定是矩形;还可以通过量对角线,若对角线相等,则是矩形.14.请在下列括号中注明理由.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝2∠B ，试说明△ABC 是等边三角形.解：在菱形ABCD 中，AB ＝BC,AD ∥BC.∴∠B ＋∠BAD ＝180° (两直线平行,同旁内角互补). 又∵∠BAD ＝2∠B(已知), 可得 ∠B ＝60°在△ABC 中,∵AB=BC,∴∠1=∠2(等边对等角)， ∵∠B+∠1+∠2=180°(三角形的内角和等于180°)，(第14题) ∴∠1=∠2=∠B=60°.从而AB=BC=AC （等角对等边），即△ABC 是等边三角形.15.如图，在▱ABCD 中，已知E 和F 分别是AB 、CD 的中点，连结AF 和CE ，试说明四边形AFCE 是平行四边形. 解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB=CD(平行四边形的对边平行且相等). ∵E 和F 分别是AB 、CD 的中点(已知)，CBDA 21BFE D CA(第15题) 即AE=21AB,CF=21CD. ∴AE ∥CF,AE=CF.∴四边形AFCE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).16.梯形ABCD 中，如果DC ∥AB ，AD=BC ，∠1＝30°,DB ⊥AD,求∠DBC 和∠C 的度数.解:在△ABD 中,∵DB ⊥AD,即∠ADB=90°(已知),∴∠A=90°－∠1=60°(直角三角形的两锐角互余). 在梯形ABCD 中，(第16题) ∵DC ∥AB ，AD=BC ，(已知),∴∠ABC=∠A=60°(等腰梯形同一底上的两个角相等).∴∠DBC=∠ABC －∠1=60°－30°=30°.又∵∠C+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠C =180°－∠ABC=180°－60°=120°.四、附加题17.尽可能多地写出正方形的识别方法(每个2分,多写多得). 解:1.有一个内角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
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【巩固练习】一.选择题1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )A. B. C. D.2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 已知平行四边形的一条边长为10cm.其两条对角线长可能是（）@,12cm B. 8cm,10cm C. 10cm,12cm D. 8cm,12cm4. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。
点E、F分别是AP,PR的中点。
当点P在BC上从B向C移动时，下列结论成立的是（）A. 线段EF的长逐渐变大；B. 线段EF的长逐渐减小；C. 线段EF的长不改变；D. 线段EF的长不能确定.5.（2015春•嵊州市校级期中）如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ 的长是（）(A．B．2 C．3 D．46. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，cm,那么矩形ABCD的面积是）若正方形ABEF和ADGH的面积之和682A．212cm D．92cmcm C．242cm B．1627. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（）Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．258．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）|°°°°二.填空题9.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是________.10．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．|11．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平ABC O的面积为___________．行四边形ABC2O2……依此类推，则平行边形n n12. 如图所示，在口ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于点M 、N ．给出下列结论：①△ABM ≌△CDN ；②AM ＝13AC ；③DN ＝2NF ；④12AMB ABC S S △△．其中正确的结论是________．(只填序号)13.已知菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm 2.14.（2015春•启东市期中）如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB于P ．若四边形ABCD 的面积是18，则DP 的长是 ．15. 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为________．·16.（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以AE 为边作第三个正方形AEGM ，…已知正方形ABCD 的面积S 1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，…S n （n 为正整数），那么第8个正方形面积S 8=__________．三.解答题17. 如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°．CD⊥AD，222AD CD AB+=．2(1)求证：AB＝BC．(2)当BE⊥AD于E时，试证明BE＝AE＋CD．《18.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC=6，DE=4，则DF=___________.19. 探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．）∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AF∴△GAF≌△________．∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．—20.（2015•海淀区二模）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD 为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．|【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】由题意先证明△AOE≌△COF，∴S阴影=S△COD=S矩形ABCD.2．【答案】A；3.【答案】C ；【解析】由三角形两边之和大于第三边判定.4.【答案】C ；》【解析】由三角形中位线定理，EF 长度为AR 的一半.5.【答案】C ；【解析】解：∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，>∴DE=BE+CD ﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选：C ．6.【答案】B ；【解析】设两个正方形的边长分别为x y ，,根据题意得：⎩⎨⎧=+=+106822y x y x ， 则222100,x y xy ++=，解得16xy =.7.【答案】B ；【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半.《8.【答案】B ；【解析】证△ECF 为等腰直角三角形.二.填空题 9.【答案】7516； 【解析】由折叠的特性可知∠DBC′＝∠DBC ，由AD ∥BC 得∠ADB ＝∠DBC ，因此∠DBC′＝∠ADB ，故BE ＝DE.可设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得222AB AE BE +=，即()22234x x +=-，解得x ＝87，BE ＝825.因此阴影部分的面积为1675382521=⨯⨯. 10．13【解析】连接CE ，因为A ，C 关于BD 对称，所以CE 1311．【答案】⋅n 25； >【解析】每一次变化，面积都变为原来的1 2 .12.【答案】①②③；【解析】易证四边形BEDF是平行四边形，△ABM≌△CDN．∴①正确．由BEDF可得∠BED＝∠BFD，∴∠AEM＝∠NFC．又∵AD∥BC．∴∠EAM＝∠NCF，又AE＝CF∴△AME≌△CNF，∴AM＝CN．由FN∥BM，FC＝BF，得CN＝MN，∴CN＝MN＝AM，AM＝13AC．∴②正确．∵AM＝13AC，∴13AMB ABCS S△△，∴④不正确．FN为△BMC的中位线，BM＝2NF，△ABM≌△CDN，则BM＝DN，∴DN＝2NF，∴③正确．13.【答案】20；24；;14.【答案】3；【解析】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，∴∠ADP=∠CDE，∵DP⊥AB，]∴∠APD=90°，∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP==3．)故答案为：3．15.【答案】7；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD．又∵以BE为折痕，将△ABE向上翻折到△FBE的位置，∴AE＝EF，AB＝BF．已知DE＋DF＋EF＝8，即AD ＋DF ＝8，AD ＋DC －FC ＝8．∴ BC ＋AB －FC ＝8．① 又∵ BF ＋BC ＋FC＝22，即AB ＋BC ＋FC ＝22．②，两式联立可得FC ＝7．16.【答案】128；【解析】根据题意可得：第n 个正方形的边长是第（n ﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S 8=27=128．故答案为128．三.解答题|17.【解析】(1)证明：连接AC∵ ∠ABC ＝90°，∴ 222AB BC AC +=．∴ CD ⊥AD ，∴ 222AD CD AC +=．∵ 2222AD CD AB +=，∴ 2222AB BC AB +=．∴ AB ＝BC ．(2)证明：过C 作CF ⊥BE 于F ．、∵ BE ⊥AD ，∴ 四边形CDEF 是矩形．∴ CD ＝EF ．∵ ∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠ABE ＋∠CBF ＝90°，∴ ∠BAE ＝∠CBF ，∴ △BAE ≌△CBF ．∴ AE ＝BF ．∴ BE ＝BF ＋EF ＝AE ＋CD ．—18.【解析】解：（1）证明：∵DF ∥AC ，DE ∥AB ，∴四边形AFDE 是平行四边形．∴AF=DE ，∵DF ∥AC ，∴∠FDB=∠C又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠FDB=∠C∴DF=BF∴DE+DF=AB=AC ；（2）图②中：AC+DE=DF ．图③中：AC+DF=DE ．（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．故答案是：2或10．19. 解：(1)EAF、△EAF、GF．(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，如图，此时AB 与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，（因此，点G，B，F在同一条直线上．∵12 EAF m∠=°，∴112322BAD EAF m m m∠+∠=∠-∠=-=°°°．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝12 m°．即∠GAF＝∠EAF．又AG＝AE，AF＝AF．∴△GAF≌△EAF．∴GF＝EF．、又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF．20. 【解析】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．。