南昌工程学院概率论与数理统计试题库部分题目
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
南昌工程学院概率统计试卷及答案
一、填空题（每空2分，共22分） 得分| |阅卷人| 1. 设A B C ,,是三个事件，则A B C ,,至少有一个发生表示为 .2. 设甲、乙两人独立对目标进行射击，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为 ，若目标已经被击中，则是甲击中的概率为 . 3. 设),,2(~2σN X且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P ________.4. （X,Y ） (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)P 1/61/91/181/3αβ且X 和Y 相互独立，则α＝_______，β＝________.5. 若),(~p n b X ，且,6.1)(=X E 28.1)(=X D ，则=n ，=p _ . 6. 设),3,10(~N X )2,1(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则=-)23(Y X D .7. 设)4,(~μN X ，容量9=n ，均值2.4=X ，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为_________. (查表0.025 1.96Z =)8. 设321,,X X X 是来自正态总体),(~2σμN X 的样本,则当=a ，3212131ˆaX X X ++=μ是总体均值μ的无偏估计. 二、选择题（每题3分，共18分） 得分| |阅卷人|1. 设事件A 与B 互斥，,0)(,0)(>>B P A P 则下列结论中一定成立的有( ) (A ) A 与B 互不相容 (B ) A ,B 为对立事件 (C )A 与B 相互独立 (D ) A 与B 不独立2.设)1,1(~N X ，概率密度为)(x f ，分布函数为)(x F ，则有( ))(A }1{}1{≥=≤X P X P )(B }0{}0{≥=≤X P X P )(C )()(x f x f =- )(D )(1)(x F x F -=-3. 设随机变量X 与Y 的方差满足()()25,36,DX D Y ==()85D X Y +=，则相关系数=XYρ ( ))(A 0.2 )(B 0.3 )(C 0.4 )(D 0.5 4. 设D 是由直线x y =,0=y 和2=x 围成的平面区域，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 关于X 的边缘概率密度在1=x 处的值为( ))(A21 )(B 31 )(C 41 )(D 515. 设n X X X ,...,21是正态总体),(~2σμN X 的样本,其中μ已知,σ未知,则下列不是统计量的是( ))(A k nk X ≤≤1max )(B k nk X ≤≤1min )(C μ-X )(D∑=nk kX 1σ6. 设随机变量),(Y X 满足方差)()(Y X D Y X D -=+，则必有())(A X 与Y 独立 )(B X 与Y 不相关)(C X 与Y 不独立 )(D 0)(=X D 或0)(=Y D三、计算题（每题10分，共60分） 得分| |阅卷人| 1. 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球.今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球.(1) 求此球是白球的概率；(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.题号 一 二 三 总分 统分人 题分 22 18 60 100得分A21 概率论与数理统计2. 设随机变量X 的概率密度为xAex f -=)( ，求 (1)A 值； (2)X 的分布函数)(x F ；(3)X 落在区间)1,1(-内的概率.3. 设),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其他,00,10),1(),(xy x x Ay y x f ，求 (1)常数A ; (2) 边缘概率密度; (3) X 和Y 是否独立？4.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1)(x x f X ，⎩⎨⎧>=-其他,00,)(y e y f y Y 求随机变量Y X Z+=的概率密度。
《概率论与数理统计》考试试卷及答案
第 1 页 共 5 页《概率论与数理统计》考试试卷一、填空题（本大题共需填5空，每空3分，共15分）1.已知14(|),()25P A B P B ==，则()P AB =____________.2.若~() (0)X P λλ>，则()E X =____________.3.设随机变量X 服从13λ=的指数分布，则{39}P X <<=____________. 4.设随机变量2~(,)X N μσ，则随机变量X 的密度函数()f x =____________. 5.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立同分布，且i EX μ= ),2,1( =i，则对任意的正数ε，恒有11lim {||}ni n i P X n με→∞=-<=∑ ____________.二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将符合题意的选项字母填入相应的答题栏） 6.设A 、B 是两随机事件，若B 发生时A 必发生，则一定有 （ ）A.()()P AB P A =B.()()P A B P A ⋃=C.(|)1P B A =D.(|)()P A B P A = 7.设X 服从正态分布),(2σμN ，则随着σ的增大，(||2)P X μσ-<的值（ ） A.单调增大 B.单调减小 C.保持不变 D.不能确定8.,A B 是两个概率不为零的互不相容事件，下列结论中正确的是（ ） A.A 和B 不相容 B. A 和B 相容 C.()()()P AB P A P B = D.()()P A B P A -=9.设二维随机向量(,)X Y 的联合分布函数是(,)F x y ，其中1212,x x y y <<，则必有( ). A ．12122211{,}(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y <≤<≤=- B.(,)1F y +∞=C. (,)1F x +∞=D.()(,)P X x F x ≤=+∞10.设随机变量X 与Y 相互独立，方差()D X 、()D Y 存在，则下列结论不正确的是( ) A.()()()E X Y E X E Y +=+ B.()()()E X Y E X E Y -=- C.()()()D X Y D X D Y +=+ D.()()()D X Y D X D Y -=-三、计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分。
概率论与数理统计考试题及答案
概率论与数理统计考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，P(X≤0)=______。
A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.8答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=10，p=0.5，则E(X)=______。
A. 2B. 5C. 10D. 15答案：B3. 设随机变量X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k)=λ^k/e^λ*k!，其中λ>0，则E(X)=______。
A. λB. e^λC. kD. 1答案：A4. 若随机变量X与Y相互独立，则P(X>a, Y>b)=______。
A. P(X>a) + P(Y>b)B. P(X>a) * P(Y>b)C. P(X>a) - P(Y>b)D. P(X>a) / P(Y>b)答案：B5. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=3，σ^2=4，则P(X>3)=______。
A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.3答案：A6. 若随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则E(X)=______。
A. (a+b)/2B. a+bC. a-bD. b-a答案：A7. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中x≥0，λ>0，则D(X)=______。
A. 1/λ^2B. 1/λC. λD. λ^2答案：A8. 若随机变量X与Y相互独立，且X~N(μ1, σ1^2)，Y~N(μ2, σ2^2)，则X+Y~______。
A. N(μ1+μ2, σ1^2+σ2^2)B. N(μ1-μ2, σ1^2-σ2^2)C. N(μ1+μ2, σ1^2-σ2^2)D. N(μ1-μ2, σ1^2+σ2^2)答案：A9. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，则D(X)=np(1-p)。
概率论与数理统计试卷【范本模板】
南昌工程学院成人教育学年度 学期 课程考试试卷 第 张共 张一、填空题（每空2分,共22分）1. 设A B C ,,是三个事件，则A B C ,,至少一个发生表示为 , A B C ,,恰有一个发生表示为 。
2. 设,A B为随机事件，()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B =,则()P AB =，()|P A B = .3. 设),5(~2σN X ，且{}250.3P x <<=，则{}5P x <= ，{}8P x >= 。
4。
已知Y X ,的分布律为且}0{=X 和}1{=+Y X 相 =b .互独 立，则=a ，5. 设)4,2(~2-N X，)2,1(~2N Y ,且X与Y 相互独立，则(2)E X Y -= ;(2)D X Y -= .6。
某随机变量X 的密度函数211)(x x f X +=，则X 的线性函数XY1=的概率密度)(y f y =二、选择题（每题3分，共18分）1。
设甲乙两人进行象棋比赛，考虑事件A={甲胜乙负}，则A 为( ）)(A { 甲负乙胜｝ )(B ｛ 甲乙平局｝ )(C { 甲负｝ )(D ｛ 甲负或乙胜｝ 2。
下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（ ） )(A 21()1F x x =+)(B ()()x F x f t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞=⎰)(C =)(x F 1(1),020,0xe x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩)(D x x F arctan 121)(π+=3。
投掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为( ))(A 111 )(B 115 )(C 361 )(D 3654。
设随机变量X 的概率密度函数为2,(0,)()0,x x A f x ∈⎧=⎨⎩其它，则常数A = ( ) )(A14)(B12)(C 1 )(D 25. 设总体X ～),(2σμN ,μ已知，2σ未知，n 21X ,X ,X 是总体X 的一个样本,则下面哪个不是统计量( ）)(A 3X 1+ )(B }X ,,X ,X max{n 21)(C ∑σ=n 1i i X n 1 )(D ∑μ-=n 1i 2i )X (n 16。
南昌工程学院概率论与数理统计习题册答案 2
习题一（参考答案）一、填空题1） （1）C B A （2） C B A C B A C B A（3）B AC A C B 或 C B A C B A C B A C B A2） 0.7 ; 3） 3/7 ；4） 4/7! = 1/1260 5) 0.75 二、选择题 1）A 2）D 3）B 4) D 5) D三、计算题 1） 8/15 ； 2） （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21;3） （1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72; 4） 0.92; 5） 取出产品是B 厂生产的可能性大。
四、提示：利用条件概率可证得。
习题二（参考答案）一、 填空题 1）1/5 ； 2）1=a ，=b 1/2 ； 3）0.2 ； 4）2/3； 5）4/5二、选择题 1） C ； 2）B ； 3）B ； 4）C ； 5）C 三、计算题 1) （1）1{}(3/13)(10/13)k P X K -==（2）2） （1）A ＝1/2 ， （2）1(1)2e -- ， （3）()11,02x F x e x =⎨⎪-≥⎪⎩3）1/32/3330()161()(),()366f x x x a b b a πππ-⎧⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥-⎣⎦⎩其他 ， 4） 4≥n5）提示：99.0}{01.0}{≥<≤≥h x P h x P 或，利用后式求得31.184=h （查表(2.33)0.9φ=）6）○1A=1/2，B=1π； ○2 1/2； ○3 f (x)=1/[π(1+x 2)] 四、提示：参数为2的指数函数的密度函数为220()00x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ ，利用21xY e -=-的反函数⎪⎩⎪⎨⎧--=0)1ln(21y x 即可证得。
习题三（参考答案）一、1）5/7 2）1/3,1/6ab == 3）F(b,c)-F(a,c); 4) F ξ(a,b); 5) 1/2二、1） C 2）A 3） C 4)C 5) B三、1）2）（1）21,,22A B Cπ===；（2）222(,)(4)(9)f x y x y π=++；（3） 独立 ； 3）(1) 12; (2) (1-e -3)(1-e -8)4）（1）24A =（2）4322432340003812(/2)010(,)3861014301111x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧⎪-+-≤<≤<⎪⎪=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪≥≥⎪⎩或5） （1）212(1),01()0,x x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他 ； 212(1),01()0,y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他（2）不独立习题四（参考答案）一、 1）1.16 2）7.4 3）1/2 4) 46; 5) 85二、 1）B 2）C 3）B 4)A 5)C三、 1）1224(),()749E X D X == 2）丙组 3）10分25秒 4）平均需赛6场 5）2(1)(1)(),()212k n k n E X D X +-== ; 6) k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144习题五（参考答案）一、填空题 1）22(,),(0,1),(,),(0,1)N N N N nnσσμμ 2）22μσ+ 3）1/84）X =7， S 2=2 5)2N ,n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题1)C 2)B 3)A 4)B 5)C 三、解答题1) 0.9475 2) 0.9842 3) 537 4)(1)t n - 5) 16习题六（参考答案）一、填空题1）2,1X S n p p X∧∧==- 2） 12max{,,,}nX X X θ=⋅⋅⋅ 3）[4.412,5.588] 4）2 5）5.78 二、选择题1）D 2）B 3）C 4）A 5）B 三、解答题 1）1,1nii n X nXl Xββ∧∧=-==-∑矩极大 ， 2）,X X λλ==矩极大 3）（I ）[2.121,2.129], （II ） [2.1175,2.1325]4）[0.401,2.601]- 5）[0.128,1.238]四、证明题 提示：由题设先求()i E X 及()i D X 后，再证明p ∧是p 的无偏估计量。
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一．随机事件与概率１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为 （101） 2. 若B A ⊂，则B A 是 （B ）3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （C B A ）4. 设B A ,为两个独立事件，7.0)(=A P ，1)(0<<B P ，求)|(B A P （ 0.3 ）5． 某射手射击时，中靶的概率为43，若射击直到中靶为止，求射击次数为３的概率？（ 43)41(2⨯ ）5．设B A ⊂，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求)(B A P . 解：1.0)()()()(=-=-=A P B P A B P B A P6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X 的分布律解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X 是离散型随机变量，显然，X 的可能取值为 ,2,1，即一切正整数，而：p p k X P k 1)1(}{--== ,2,1=k 上式即为X 的分布律。
7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。
求这批产品被认为是合格的概率。
解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件A 表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：10A A A +=其中0A 表示检查的50个产品中没有次品， 而1A 表示有1个次品．因为 ：028.0)(5010050950==C C A P153.0)(501004995151==C C C A P 所以181.0)()()(10=+=A P A P A P8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。
解 =A {抽到的一人为男人}，=B {抽到的一人为色盲者}，则()53=A P ，()2011005==AB P ，()52=A P ，()40011000025==A B P于是，由全概率公式，有()()()()()A B P A P A B P A P B P +=10003140015220153=⨯+⨯=。
9.（1）已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，求)(B A P ⋃。
（2）4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，求)|(B A P 。
解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率4.0)()|()(=⋅=A P A B P AB P ，7.04.06.05.0)(=-+=⋃B A P 。
（2）易知6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，由)()(4.0)()()(AB P A P B A P B P B A P -===，可得2.0)(=AB P ，从而4.05.02.0)()()|(===B P AB P B A P 。
10. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求： （1）只读甲报所占比例；（2）至少读一种报纸所占比例。
解 设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：C B A ,,，由已知条件，有25.0)(=A P ，20.0)(=B P ，16.0)(=C P ，10.0)(=AB P ，05.0)(=AC P ，04.0)(=BC P ，02.0)(=ABC P ，从而有（1）))(()())(()(C B A P A P C B A P C B A P -==[][])()()()()()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P -+-=-=()12.002.005.010.025.0=-+-=（2）)(C B A P )()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++= ()44.002.004.005.01.016.020.025.0=+++-++=.二．一维随机变量1. 设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-000)1(1)(x x e x x F x，求}1{≤X P 。
（121--e ）2．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,)(x Ax x f ，求A 。
解 由1()d d 12Af x x Ax x +∞-∞===⎰⎰； 可得2A =。
３．随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它２11)(x x C x f 求C 。
（π1）4．若),2(~2σN X ，且{}3.042=<<X P ，求{}0<X P 。
解 0.3={}5.02222442-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<<σσσX P故 8.02=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσ，{}2.02120=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<σσX P 。
5．随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧<≥=-00)(x x e x f x ，求随机变量12+=X Y 的概率密度。
解 设12+=x y ，则02>='y ，反函数21-=y x ，于是12+=X Y 概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--101212121)(21y y e y f y f y Y ，故⎪⎩⎪⎨⎧<≥=--1121)(21y y ey f y Y 。
6．设随机变量X 在]4,1[上服从均匀分布，现在对X 进行3次独立试验，则至少有2次观察值大于2的概率为多少？解 X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他04131)(x x f 。
一次试验观察值大于2的概率为：32d 31}2{42==>⎰x X P 设3次独立试验观察值大于2的次数为Y ，则⎪⎭⎫⎝⎛32,3~B Y ，从而： 2720323132}2{333223=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=≥C C X P 。
7．设随机变量),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P 。
解 根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有 )20()2()0(<≤-<=<X P X P X P)42(5.0≤<-=X P )42(5.0<<-=X P 2.03.05.0=-=8．如果函数xAe x f -=)(，+∞<<∞-x ，为某个随机变量的概率密度，求A 。
解 因为⎰∞+∞-=1d )(x x f ，而⎰⎰⎰+∞-∞-∞+∞--+=0d d d x Ae x Ae x Ae x x xA A A 2=+=。
故21=A 。
9. 已知 X 的概率分布为求 Y = X 2的分布律. 解三．二维随机变量1．若),(ηξ的联合概率密度为：()1,0,0(,)0, x y k e x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它（1）确定常数k ；（2）求)2,2(<<ηξP 。
解 （1）⎰⎰∞+∞+--==001d d 11ky e x e k yx ，故1=k ； （2）⎰⎰∞-∞-=<<22d d ),(}2,2{y x y x P ϕηξ2222)1(d d ----==⎰⎰e y e x e y xX p k-1 0 1 2214181812．设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,101),(y x y x f ，求概率}6.0,5.0{<<Y X P 。
解⎰⎰∞-∞-=<<6.05.0d d ),(}6.0,5.0{y x y x f Y X P ⎰⎰==6.005.003.0d d x y3．设二维随机变量(ηξ,)的分布函数()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=y B A x B A y B A x B A y x F arctan arctan 211arctan arctan , (1)求常数B A ,；(2)求()0,0≥≥ηξP 。
解 (1)令1)2(211)2(),(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∞++∞B A B A F ππ0)2(211)2(),(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=∞--∞B A B A F ππ，得π1,21==B A(2)()0,0≥≥ηξP )0()0(1<-<-=ηξP P ()0,0<<+ηξP32932921211)0,0()0,(),0(1=+--=++∞-∞+-=F F F4. 两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为ξ,η，其分布函数均为求系统的寿命短于1000小时的概率。
解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为， )1000,1000()1000()1000(<<-<+<=ηξηξP P P p2)]1000([)1000()1000(F F F -+=221111)1(11-----=---+-=e e e e四．随机变量的数字特征1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知1)2)(1(=--X X E ，求λ 。
解 因λDX EX ==，有2223)()23(1222+-=+-+=+-=λλλEX DX X X E ，从而1=λ。
2．设随机变量X 服从参数为 1 的指数分布，求)(2XeX E -+。
解 3/13/d 3d 03022=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰∞--∞--x e x e e Ee x x x X 从而34311)(2=+=+-Xe X E 。
3．设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，0==EY EX ，222==EY EX ，求2)(Y X E +。
解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。
因为2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++()EY EX Y X ⋅++=),cov(24625.02424=⨯⨯+=⋅⋅+=DY DX XY ρ说明：本题的核心是逆向思维，利用公式EY EX Y X XY E ⋅+=),cov()(。
4．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为6和3，求随机变量Y X 32-的方差。
()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,11000x x ex F x解 由方差的性质，得51272494)32( =+=+=-DY DX Y X D 。