第二章：信号与噪声
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信号与噪声_第二章
f (t )
m jm 0t C e m
21
傅里叶变换
1 f (t ) 2
F ( )e d
j t
F ( ) f (t )e
j t
dt
F ( f )df f (0)
f (t )dt F (0)
22
富里叶变换的基本性质
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的 加权和”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示
” ——傅里叶的第二个主要论点
19
傅里叶变换分析的直观说明
：把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。
1
1.299
2
f ( t) 5 0 5
1
1 t
h( t)
4
2
0
2
在信号的产生、传输和测量过程中,探测器和电子学的噪声会叠加
在有用信号上,从而降低测量精度，甚至某些有用的微弱信号会被 噪声所淹没。
通常用信噪比S/N(信号与噪声均方值的比值)来表示系统的噪声指
标。信噪比越高，噪音引起的测量误差越小。
6
噪声的时间平均值为零。但是只要有噪声存在，其 平均功率就不为零，因此通常采用均方值（噪声电压的 平方值按时间求平均） Vn2 作为噪声大小的衡量尺度：
输出
叠加
VO
VnO
Vo S 输出信噪比表示为: N Vno
9
辐射源
能量E 探测器 等效 噪声 能量 ENE
输入信号 电压Vi
等效噪声 电压ENV
放大器 （放大倍数A）
输出 叠加
m jm 0t C e m
21
傅里叶变换
1 f (t ) 2
F ( )e d
j t
F ( ) f (t )e
j t
dt
F ( f )df f (0)
f (t )dt F (0)
22
富里叶变换的基本性质
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的 加权和”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示
” ——傅里叶的第二个主要论点
19
傅里叶变换分析的直观说明
：把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。
1
1.299
2
f ( t) 5 0 5
1
1 t
h( t)
4
2
0
2
在信号的产生、传输和测量过程中,探测器和电子学的噪声会叠加
在有用信号上,从而降低测量精度，甚至某些有用的微弱信号会被 噪声所淹没。
通常用信噪比S/N(信号与噪声均方值的比值)来表示系统的噪声指
标。信噪比越高，噪音引起的测量误差越小。
6
噪声的时间平均值为零。但是只要有噪声存在，其 平均功率就不为零，因此通常采用均方值（噪声电压的 平方值按时间求平均） Vn2 作为噪声大小的衡量尺度：
输出
叠加
VO
VnO
Vo S 输出信噪比表示为: N Vno
9
辐射源
能量E 探测器 等效 噪声 能量 ENE
输入信号 电压Vi
等效噪声 电压ENV
放大器 （放大倍数A）
输出 叠加
信号与噪声
②用图形表示，如图1，比较直观，便于从中发现一 些有关信号的规律。 t
4
语音信号：空气压力随时间变化的函数
语 音 信 号 “ 你 好” 的 波 形
0
0.1
0.2
0.3
0.4
5
静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
6
2.信号的分类
确定信号与随机信号
确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号， 在其定义域内任意时刻都有确定的函数值。 例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等。 随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。 只能用概率统计方法来描述，其取值具有不可预知 的不确定性，则称此类信号为随机信号。随机信号 也是工程中的一类应用广泛的信号。 例如：在通信传输中引入的各种噪声，海面上海 浪的起伏等。
29
4)冲激信号的极限模型
f (t ) 1 2
g (t ) 1
t
t
(t ) lim f (t ) lim g (t ) lim h (t )
0 0 0
30
冲激信号的性质 (1)抽样（筛选）特性
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
s s
25
f (t ) e [u(t ) u(t t0 )]
f(t)
t
t
26
4.奇异信号
单位冲激信号
自然界有这样的现象，发生在很短的瞬间，其他时刻没有动作。 如电学中的雷击电闪、力学中的瞬间作用的冲击力等。为此，引 入冲激信号。
s s
27
4.奇异信号
设冲激信号有一个总的冲激强度，它在整个时间域上的积分等 于该强度，而在除冲激点之外的其他点的函数取值为0。
4
语音信号：空气压力随时间变化的函数
语 音 信 号 “ 你 好” 的 波 形
0
0.1
0.2
0.3
0.4
5
静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
6
2.信号的分类
确定信号与随机信号
确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号， 在其定义域内任意时刻都有确定的函数值。 例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等。 随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。 只能用概率统计方法来描述，其取值具有不可预知 的不确定性，则称此类信号为随机信号。随机信号 也是工程中的一类应用广泛的信号。 例如：在通信传输中引入的各种噪声，海面上海 浪的起伏等。
29
4)冲激信号的极限模型
f (t ) 1 2
g (t ) 1
t
t
(t ) lim f (t ) lim g (t ) lim h (t )
0 0 0
30
冲激信号的性质 (1)抽样（筛选）特性
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
s s
25
f (t ) e [u(t ) u(t t0 )]
f(t)
t
t
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4.奇异信号
单位冲激信号
自然界有这样的现象，发生在很短的瞬间，其他时刻没有动作。 如电学中的雷击电闪、力学中的瞬间作用的冲击力等。为此，引 入冲激信号。
s s
27
4.奇异信号
设冲激信号有一个总的冲激强度，它在整个时间域上的积分等 于该强度，而在除冲激点之外的其他点的函数取值为0。
电磁波传播中的信号噪声分析
电磁波传播中的信号噪声分析第一章信号和噪声的概念信号是指一种能够用来传输信息的物理量，例如声、光、电等。
在电磁波传播中，信号一般指无线电信号，它是一种电磁波，可以在空气中传输。
噪声是指在信号传输过程中混入的各种干扰信号，例如电磁干扰、放射性干扰等。
在电磁波传播中，噪声是指无线电信号中的各种干扰信号。
第二章信号噪声比的定义和计算方法信噪比是指信号的强度和噪声的强度之比，它反映了信号和噪声在无线电信号中的相对大小，是衡量无线电信号质量的重要指标。
信噪比的计算方法是将信号的功率和噪声的功率进行比较。
信号的功率可以通过接收信号的强度和接收天线的增益来计算。
噪声的功率可以通过接收天线的背景热噪声温度、接收机的噪声系数和带宽来计算。
信噪比通常以分贝为单位表示，公式为：SNR=10*log10(PS/PN)，其中PS为信号的功率，PN为噪声的功率。
第三章信号和噪声对无线电通信的影响信号和噪声对无线电通信的影响是很大的，在信号强度不够大的情况下，噪声会对信号产生干扰，使得接收信号变得困难。
当信号强度大于噪声时，接收方仍然能够收到信号，但是噪声会使得信噪比降低，从而影响接收信号的质量。
因此，在进行无线电通信时，需要注意信号和噪声的关系，尽可能使得信号的强度大于噪声的强度。
第四章信噪比提高的方法为了提高信噪比，从而提高无线电信号的质量，在实际应用中可以采用以下几种方法：（1）增加信号的强度：通过使用更高功率的发射机或调整天线的方向来增加信号的强度。
（2）降低噪声的强度：在接收机前面增加低噪声放大器，或使用低噪声接收机等设备来降低噪声的引入。
（3）带宽的优化：根据信号频率和带宽进行匹配，减小带宽可以减小噪声引入，同时可以提高信号噪声比。
（4）改善信道环境：例如调整天线的高度和方向，消除干扰源等，从而减小信号受到的干扰。
第五章总结综上所述，无线电信号中的信号和噪声是对无线电通信质量有着重要影响的两个关键因素。
通过计算信噪比并采用合适的提高信噪比的方法，可以有效的提高无线电通信的质量，从而使得通信变得更加顺畅。
第2章随机信号与噪声
●随机过程：尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机 的，但它们具有一定的统计规律。从统计学的观点看，均可 表示为随机过程。
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时
间函数描述。
统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分
析中来。
2021/5/12
通信原理
3
பைடு நூலகம்
第2章 随机信号与噪声分析
2021/5/12
通信原理
5
第2章 随机信号与噪声分析
x1 (t)
角度1：对应不同随机试验结
果的时间过程的集合。
x2 (t)
角度2：随机过程是随机变量
概念的延伸。
xn (t)
讨论：
t1
t2
t
图 2- 1 n图 图 图 图 图 图 图 图 图
●在任一给定时刻t1上，每一个样本函数xi (t)都有一个确定的
●全部随机函数的集合－－随 机过程：
X(t) ={x1(t), x2(t), …, xn(t)} ●每一条曲线xi(t)都是随机过 程的一个实现/样本－－为确 定的时间函数。
角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值x(t1) ，发现 他们的值是不同的－－ 是一个随机量（随机变量）。
过程。
意义： ●具有各态历经性平稳随机过程－－十分有趣，非常有用。 ●通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具 有各态历经性的随机过程。
2021/5/12
通信原理
21
第2章 随机信号与噪声分析
2.3.2 平稳随机过程的各态历经性
●问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的 所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量 的样本。 问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平 稳过程的数字特征呢?
微弱信号检测技术第二章
一阶、二阶统计特征不随时间变化：广义的平稳随机过程 显然， 一个严格的平稳随机过程一定为广义的平稳随机过程， 反之则不然。
各态经历性：在时间域中出现各种可能的状态， （针对平稳随机过程） ， 可以用时间平均代替统计平均，即
E < n >= n(t ) = lim
2 −−− 2
−−−
1 T →∞ 2T
p( x1 , x 2 , , x n ) = p( x1 ) p ( x 2 ) p ( x n )
2-1-2 功率谱密度
1. 定义：频域中描述—随机过程 谐波分量： 频谱密度：
2 T Fn = ∫ s (t )e − Jwt dt T 0
G ( w) = ∫ s (t )e − Jwt dt
∫ = ∫ (n − 2nE < n > + E < n > ) p (n )dn = ∫ n p ( n )dn − 2 E < n > ∫ np( n )dn + E
−∞ +∞
+∞
(n − E < n > ) 2 p (n )dn
2 2
−∞ +∞
2
+∞
2
= E < n2 > − E 2 < n >
+∞ −∞
时间平均。
S ( w) = ∫ R(τ )e − Jwτdτ dτ
1 R(τ ) = 2π
S ( w) ⇔ R(τ )
由于对称性：
∫
+∞
−∞
S ( w)e Jwτ dw
付立叶变换，该定理适于平稳随机过程。
S ( w) = 2 ∫ R(τ ) cos wτdτ
信号与噪声
f (t ) f (t nT ), n 0, 1, 2. 3,, t （2. 1）
式中，为的周期，是满足式（2.1）条件 的最小时段。非周期信号是不具有重复 性的信号。
《通信原理课件》
2.1.3
功率信号与能量信号
如果一个信号在整个时间域 （ , ）内都存在，因此它 具有无限大的能量，但其平均功 率是有限的，我们称这种信号为 功率信号。
R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t )dt
（2.28）
两个功率信号 函数定义为
《通信原理课件》
f1 (t )和
f 2 (t ) 的互相关
1 T R12 ( ) lim 2T f1 (t ) f 2 (t )dt T T 2
E
f (t )
f (t )dt
2
也可以从频域的角度来研究信号的 能量由于 1
2
F ( )e jt d
《通信原理课件》
所以信号的能量可写成
（2.30） F ( )e jt d dt 1 f (t )e jt dt d 1 F ( )F ( )d 1 F ( ) 2 d F ( ) 2 2 2 E
2
FT 1 T/ 2 2 1 P lim f (t)dt Tlim T dω T T T/ 2 2π
（2.33）
《通信原理课件》
F 式中，T ( ) 是 f (t )的截短函数 fT (t ) 的 频谱函数。 类似能量谱密度的定义，单位频带 内信号的平均功率定义为功率谱密度 （简称功率谱），单位：瓦/赫，用 Pf 来表示。
式中，为的周期，是满足式（2.1）条件 的最小时段。非周期信号是不具有重复 性的信号。
《通信原理课件》
2.1.3
功率信号与能量信号
如果一个信号在整个时间域 （ , ）内都存在，因此它 具有无限大的能量，但其平均功 率是有限的，我们称这种信号为 功率信号。
R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t )dt
（2.28）
两个功率信号 函数定义为
《通信原理课件》
f1 (t )和
f 2 (t ) 的互相关
1 T R12 ( ) lim 2T f1 (t ) f 2 (t )dt T T 2
E
f (t )
f (t )dt
2
也可以从频域的角度来研究信号的 能量由于 1
2
F ( )e jt d
《通信原理课件》
所以信号的能量可写成
（2.30） F ( )e jt d dt 1 f (t )e jt dt d 1 F ( )F ( )d 1 F ( ) 2 d F ( ) 2 2 2 E
2
FT 1 T/ 2 2 1 P lim f (t)dt Tlim T dω T T T/ 2 2π
（2.33）
《通信原理课件》
F 式中，T ( ) 是 f (t )的截短函数 fT (t ) 的 频谱函数。 类似能量谱密度的定义，单位频带 内信号的平均功率定义为功率谱密度 （简称功率谱），单位：瓦/赫，用 Pf 来表示。
通信原理-第2章 信道与噪声
一、狭义信道和广义信道
1、狭义信道 、 (1) 狭义信道被定义为发送设备和接收设备之间用 以传输信号的传输媒质。 以传输信号的传输媒质。 (2) 狭义信道分为有线信道和无线信道两类。 两类。 狭义信道分为有线信道和无线信道两类 有线信道 2、广义信道 、 (1) 将信道的范围扩大为：除了传输媒质，还包 将信道的范围扩大为：除了传输媒质， 括有关的部件和电路。 括有关的部件和电路。这种范围扩大了的信道为广 义信道。 义信道。
Y
x1
y1
x2
y2
y3
y4
xL
多进制无记忆编码信道模型
yM
（4）当信道转移概率矩阵中的行和各列分别具有相 ）当信道转移概率矩阵中的行和各列分别具有相 对称信道。 同集合的元素时 这类信道称为对称信道 同集合的元素时，这类信道称为对称信道。
p 1 − p P ( yi / xi ) = p 1 − p
11/66
（5）依据乘性噪声对信号的影响是否随时间变化而 依据乘性噪声对信号的影响是否随时间变化而 乘性噪声对信号的影响是否随时间变化 将信道分为恒参信道和随参信道。 将信道分为恒参信道和随参信道。
v i (t)
H(ω , t )
⊕
n(t)
v 0 (t)
v i (t)
H(ω )
⊕
n(t)
v 0 (t)
2.2
信道模型
信道可用一个时变线性网络来等效
V0(t) = f [V(t)]+n(t) i V(t)输 的 调 号 V0(t)信 总 出 形 i 入 已 信 ， 道 输 波 n(t)加 噪 ； 性 声 f [V(t)]表 已 信 经 信 所 生 时 线 变 i 示 调 号 过 道 发 的 变 性 换
第二章(4-1)噪声
2 2 Vn2,RL + I n , D R L
2 I n,D 2 gm Zi 2
则
2 In =
( g m RL ) 2 Z i
2
不考虑 负载噪声
2 In =
相关的 Vn2 和 I n2 是相关的
2.3 噪声系数 2.3.1 噪声系数定义
F= SNRi P / Ni = i SNRo Po / N o
S I = 2qI 0
Vn2,rbb′ = 4kTrbb′ B
2.2.3 场效应管的噪声
1. 沟道电阻热噪声 —— S I = 4kTλg d 0 2. 噪声等效电路 I n , D = 4kTλg d 0 B 3. 闪烁噪声 ——
1 f
噪声 SV =
K 1 WLC OX f
2.2.4 电抗元件的噪声
2 n f1
f2
I n2 : 白噪声 S ( f ) 是常数 I n2 = ∫ S I ( f )d f = S I ∫ df = S I ( f 2 − f1 ) （3）等效噪声带宽 噪声通过线性系统 噪声通过线性系统
f1 f1
f2
f2
输入功率谱密度 输入功率谱密度 系统传递函数 系统传递函数
电抗元件的噪声来源于它的损耗电阻——热噪声 热噪声 电抗元件的噪声来源于它的损耗电阻
2.2. 两端口网络的等效输入噪声源 .2.5 .2. 串联噪声电压源 串联噪声电压源 Vn2 噪声 并联噪声 噪声电流源 2 并联噪声电流源 I n
等效
求法： 求法：
Vn2
2 In
输入端短路， 输入端短路，将有噪网络的输出噪声功率等效到输入端的值 短路 输入端开路， 输入端开路，将有噪网络的输出噪声功率等效到输入端的值 开路
2 I n,D 2 gm Zi 2
则
2 In =
( g m RL ) 2 Z i
2
不考虑 负载噪声
2 In =
相关的 Vn2 和 I n2 是相关的
2.3 噪声系数 2.3.1 噪声系数定义
F= SNRi P / Ni = i SNRo Po / N o
S I = 2qI 0
Vn2,rbb′ = 4kTrbb′ B
2.2.3 场效应管的噪声
1. 沟道电阻热噪声 —— S I = 4kTλg d 0 2. 噪声等效电路 I n , D = 4kTλg d 0 B 3. 闪烁噪声 ——
1 f
噪声 SV =
K 1 WLC OX f
2.2.4 电抗元件的噪声
2 n f1
f2
I n2 : 白噪声 S ( f ) 是常数 I n2 = ∫ S I ( f )d f = S I ∫ df = S I ( f 2 − f1 ) （3）等效噪声带宽 噪声通过线性系统 噪声通过线性系统
f1 f1
f2
f2
输入功率谱密度 输入功率谱密度 系统传递函数 系统传递函数
电抗元件的噪声来源于它的损耗电阻——热噪声 热噪声 电抗元件的噪声来源于它的损耗电阻
2.2. 两端口网络的等效输入噪声源 .2.5 .2. 串联噪声电压源 串联噪声电压源 Vn2 噪声 并联噪声 噪声电流源 2 并联噪声电流源 I n
等效
求法： 求法：
Vn2
2 In
输入端短路， 输入端短路，将有噪网络的输出噪声功率等效到输入端的值 短路 输入端开路， 输入端开路，将有噪网络的输出噪声功率等效到输入端的值 开路
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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Pf
lim T
F2
T
（2.2-31）
则整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系 可表示为
P 1
2
Pf
d
) 的自相关函数和功率谱密度是
一对傅里叶变换，即 Rf()Pf
《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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设能量信号为时间的实函数，通常把能量信号的归 一化能量（简称能量）定义为由电压加于单位电阻上所 消耗的能量，即为
E f 2(t)dt
（2.1-3）
A
6
2.2确知信号的分析
确知信号的性质可以从频域和时域两方面进行分析。 频域分析常采用傅里叶分析法，时域分析主要包括卷积和 相关函数。本节我们将概括性地介绍傅里叶分析法，重点 介绍相关函数、功率谱密度和能量谱密度等概念。
21
《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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由以上两式可见，互相关函数反映了一个信号与另一 个延迟τ秒后的信号间相关的程度。需要注意的是，互相 关函数和两个信号的前后次序有关，即有
R21()R12()
Fn
cn 2
e jn
(称为复振幅)；
Fn
cn ejn 2
Fn*
（是 F n
《通信原理课件》
的共轭）。
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《通信原理课件》
13
（a）非周期信号
（b）构造的周期信号
图2-1 非周期信号
《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
第二章：信号与噪声
2.1 信号的分类 2.2 确知信号的分析 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程的一般表述 2.5 平稳随机过程 2.6 高斯随机过程 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 窄带高斯噪声 2.9 周期平稳随机过程
《通信原理课件》
1
2.1信号的分类
《通信原理课件》
2
2.1.1确知信号与随机信号
《通信原理课件》
3
2.1.2周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。 周期信号满足下列条件
f( t ) f( t n T ) ,n 0 , 1 , 2 . 3 ,, t
（2.1-1）
式中，为的周期，是满足式（2.1-1）条件的最小时 段。非周期信号是不具有重复性的信号。
本节我们介绍基于概率论的随机变量及其统计特征， 它是随机过程和随机信号分析的基础。
《通信原理课件》
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2.3.1 随机变量
在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示， 如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如， 在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随 机变量。否则就称为连续随机变量。
18
信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这 些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从 谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益 的。其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对 见附录二。
下面讨论周期信号的傅里叶变换。
《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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2.3 随机变量的统计特征
前面我们对确知信号进行了分析。但实际通信系统中 由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而 携带信息的信号也都是随机的，如语言信号等，另外通信 系统中还必然存在噪声，它也是随机的，这种具有随机性 的信号称为随机信号。尽管随机信号和随机噪声具有不可 预测性和随机性，我们不可能用一个或几个时间函数准确 地描述它们，但它们都遵循一定的统计规律性。在给定时 刻上，随机信号的取值就是一个随机变量。
概率密度函数有如下性质：
（1） f (x) 0
（2.3-5）
（2）
f (x)dx 1
（3）
b
f(x)dxP(aXb)
a
（2.3-6） （2.3-7）
《通信原理课件》
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对于离散随机变量，其概率密度函数为
f(x)i n1Pi(xxi) 0
xxi xxi
（2.3-8）
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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2、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式 cosx ejx ejx 可得的指数表达式 2
f (t) Fnejn0t
式中
n
（2.2-6）
Fn
1 T
T/2 f(t)ejn0tdt
T/2
n0,1,2.3,
,
F0 c0 a0
后面我们将介绍的窄带高斯噪声的包络就是服从瑞利 分布。
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2.3.4随机变量的数字特征
确知信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它 在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正 弦信号和各种形状的周期信号等。
在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确 的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具 有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机 运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现 的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信 号在一定程度上都是随机信号。
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均匀分布的概率密度函数的曲线如图2-2所示。
图2-2 均匀分布的概率密度函数
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图2-3 高斯分布的概率密度函数
高斯分布是一种重要而又常见的分布，并具有一些有 用的特性。在后面我们将专门进行讨论。
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图2-4 瑞利分布
随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数 来描述。
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F (x)
F (x)
x
P(X x)
F(x)P(Xx)
（2.3-1）
F(x)P (Xx) P (xi) xix P(xi)(i1,2,3, )
i1,2,3, （2.3-2）
xi
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可见，概率密度函数是分布函数的导数。从图 形上看，概率密度就是分布函数曲线的斜率。