能量时间不确定度关系
不确定性原理
不确定性原理概述：不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
该原理指出，在量子力学中，无法同时准确确定粒子的位置和动量，或者说粒子的位置和动量具有一定的不确定性。
不确定性原理改变了人们对物理世界的认识，揭示了微观世界的本质。
1. 不确定性原理的基本概念不确定性原理包括位置-动量不确定性原理和能量-时间不确定性原理两个方面。
位置-动量不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被准确测量，其测量结果存在一定的不确定性。
能量-时间不确定性原理则表明，粒子的能量和存在时间也存在一定的不确定性。
2. 位置-动量不确定性原理位置-动量不确定性原理可以用数学表达式来描述，即Δx·Δp ≥ h/2π，其中Δx为位置的不确定度，Δp为动量的不确定度，h为普朗克常数。
这意味着，当我们试图准确测量粒子的位置时，其动量的不确定度会增大；反之，当我们试图准确测量粒子的动量时，其位置的不确定度会增大。
3. 能量-时间不确定性原理能量-时间不确定性原理可以用数学表达式来描述，即ΔE·Δt ≥ h/2π，其中ΔE为能量的不确定度，Δt为时间的不确定度。
这意味着，当我们试图准确测量粒子的能量时，其存在时间的不确定度会增大；反之，当我们试图准确测量粒子的存在时间时，其能量的不确定度会增大。
4. 不确定性原理的实验验证不确定性原理的实验验证是通过一系列精密的实验来观察和测量微观粒子的行为得出的。
例如，双缝干涉实验就是一种经典的实验，通过在射出粒子的路径上设置两个狭缝，观察粒子在屏幕上形成的干涉条纹，从而验证了不确定性原理。
5. 不确定性原理的意义和应用不确定性原理的提出对物理学产生了深远的影响。
它揭示了微观世界的本质，推翻了经典物理学中对粒子位置和动量的确定性认识。
不确定性原理也被广泛应用于量子力学的研究和技术应用中，如量子计算、量子通信等领域。
6. 不确定性原理的局限性不确定性原理并不意味着我们无法获得任何关于粒子位置和动量的信息，而是指在某一时刻上我们无法同时准确获得它们的值。
能量与时间不确定关系的物理意义
能量与时间不确定关系的物理意义
物理学研究中，能量和时间之间的关系是一个比较重要的课题，
我们来考虑能量与时间之间不确定关系的物理意义。
首先，我们得知能量是物理学中关于物质性质的基础，而时间是
对物质变化的基础。
因此，直觉上，能量和时间之间应该是一种“紧密”挂钩关系。
但是从米勒-洛伦兹定律和“能量守恒定律”可以看出，能量和时间是相对的，无论物质的性质如何变化，能量的数量都不变。
此外，如果我们将相对论引入能量与时间的研究，就可以更明显
地看出它们之间的不确定关系。
根据相对论，当物体的速度越接近光
速时，它的时间会变慢，而物体质量也会增加。
这就表明，物体质量
与时间是相互决定的，而这些物质又与能量有内在联系，因此，我们
可以推断出，能量与时间之间的关系是相对不确定的。
最后，我们可以总结下面的结论：能量与时间之间的关系在物理
学中是一个相对不确定的概念。
物体的质量会影响时间，物体的质量
与能量也有关系，因此，能量和时间之间的关系是不确定的。
不确定
关系有助于构建物理世界的假想模型，进而改进现有的物理理论，更
好地解释物体性质的变化。
量子力学中的测不准关系
量子力学中的测不准关系量子力学是研究微观世界的物理学分支，它的出现彻底改变了我们对于自然界的理解。
在量子力学中，测量是一个核心概念，而测不准关系则是量子力学中重要的原理之一。
本文将探讨量子力学中的测不准关系，并解释其背后的物理原理。
一、测不准关系的定义在量子力学中，测不准关系也被称为海森堡不确定关系，它由物理学家维尔纳·海森堡于1927年提出。
测不准关系指的是当我们试图同时测量一个粒子的位置和动量时，无法同时获得它们的精确值，而只能得到一个不确定的范围。
换句话说，我们无法同时获得一个粒子的位置和动量的确切数值。
二、海森堡不确定原理为了更好地理解测不准关系，我们需要了解海森堡不确定原理。
海森堡不确定原理可以分为位置-动量不确定关系和能量-时间不确定关系两个方面。
1. 位置-动量不确定关系根据位置-动量不确定关系，我们无法准确地同时知道一个粒子的位置和动量，其原理可以用数学表达式来描述：Δx·Δp ≥ h/(4π)其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，当我们试图减小位置的不确定度时，动量的不确定度就会增加，反之亦然。
也就是说，如果我们越来越精确地知道一个粒子的位置，我们就越来越不确定它的动量，反之亦然。
2. 能量-时间不确定关系能量-时间不确定关系是海森堡不确定原理的另一个方面。
根据能量-时间不确定关系，我们无法准确地同时知道一个量子态的能量和持续时间，其原理可以用数学表达式来描述：ΔE·Δt ≥ h/(4π)其中，ΔE表示能量的不确定度，Δt表示时间的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，当我们试图减小能量的不确定度时，时间的不确定度就会增加，反之亦然。
也就是说，如果我们越来越精确地知道一个量子态的能量，我们就越来越不确定它的持续时间，反之亦然。
三、测不准关系的物理解释量子力学中的测不准关系并非是由于我们的测量工具或者技术的限制，而是与量子粒子的本质有关。
能量与时间关系
能量与时间关系能量与时间之间有复杂的关系，取决于所讨论的现象和系统。
以下是一些可能的关系：1.如何计算能量。
能量是物理量，用来描述一个物体在某种状态下存储的物理量。
根据物理原理和定义，能量可以通过物体的质量、速度、高度、温度等参数计算得出，以焦耳（J）为单位。
2.能量守恒定律。
根据能量守恒定律，一个封闭系统中的能量总量是不变的，只能从一种形式转化为另一种形式。
这意味着在任何系统中，能量不能从无中产生，也不能消失不见。
3.能量密度。
能量密度是能量单位体积（或质量）的量。
例如，电池的能量密度可以表示为每千克电池重量的电能（焦耳/千克）。
许多系统中的能量密度是有限的，因此需要进行能量转换或存储。
4.能量转换时间。
能量转换通常需要时间量级。
例如，电力生产中的化石燃料燃烧可以转换为电能，但需要时间才能完成。
同样地，太阳能或风能等形式的能量将需要时间来转换为电力或其它形式的能量。
5.能量消耗速率。
能量消耗速率（或功率）是指系统以每时间单位消耗的能量。
例如，空调需要消耗比电视更多的能量，因为它需要的功率更大。
能量消耗速率取决于使用设备的类型和操作状态。
6.能量传输速度。
能量传输速度是指单位时间内能量从一处传递到另一处的速率。
这通常与能量密度和系统的物理特性有关。
例如，热传输速率取决于热传导系数以及物体的温度梯度。
总之，能量与时间之间的关系非常复杂，不仅取决于物理系统和操作状态，还取决于使用能量的目的和目标。
量子力学不确定关系
t
108
hc 6.63 10 34 3108 3.67 10 7 m
E E 3.39 1.6 10 19 0
hc E 7.131015 m
(E E )2 0
四.说明
1. 不确定性与测量没有关系，是微观粒子波粒二象性的体现。 2. 对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。 因此，微观粒子：(1) 没有“轨道”，(2) 不可能静止（对 任何惯性系）。
一. 海森伯坐标和动量的不确定关系
微观粒子的运动要由概率波来描述，概率波只能给出粒 子在各处附近出现的概率。即：微观粒子任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
电子的单缝衍射
x
电子束
电子一个一个 地通过单缝
a 缝 2 衍射图样
屏
y
幕
X方向电子的位置不准确量为：x a 长时间积累后
出现衍射图样
x
x a
不确定关系是量子力学的基础
例1：一电子具有200 m/s 的速率，动量的不确定 范围为动量的0.01% ，则该电子的位置不确定范 围有多大？ 解：电子的动量为 p mv 9.11031 200 1.8 1028 动量的不确定范围为 p 0.01% p 1.81032 电子位置的不确定范围为 x 2.95103 m
3. 当 x x, p p ( 即L>> ) 时，可作为经典
粒 子处理。
们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 . (2). 不确定的根源是“波粒二象性”这是微观粒子的根本属性 .
(3) . 对宏观粒子，因 h 很小, xpx 0 可视为位置和动量
能同时准确测量 . 对于微观粒子, h 不能忽略, x、px 不能同时具有确定值 . 此时，只有从概率统计角度去认识其运动规律 . 在量子力学 中，将用波函数来描述微观粒子.
大学物理,量子物理基础21-05 测不准关系
υ 与υ 在数量级上相当，因此原子中电子就 不能当作经典粒子处理，即不能用位置和动量来 描述原子中电子的运动。
13
21.5
测不准关系
第21章 量子物理基础
由坐标——动量的不确定关系 还可以推导出相应的
能量与时间的不确定关系：
x px 2
p E 2m p E p p m x x t
1927年，海森伯发现，上述不确定的各种范围之间 存在着一定的关系，而且物理量的不确定性受到了普朗 克常量的限制。这一关系叫不确定关系。
2
21.5
测不准关系
用电子衍射说明不确定关系
电子通过狭缝时的 位置的不确定量： x a
第21章 量子物理基础 x p px py
Px
电子通过狭缝后， 要到达屏上不同的点， 具有 x 方向动量 Px，
动量的不确定范围：
32
31
1
p 0.01% p 1.8 10 kg m s
位置的不确定范围：
1
h 6.63 1034 2 x m 3.7 10 m 32 p 1.8 10
11
21.5
测不准关系
第21章 量子物理基础
例: 电视显象管中电子的加速电压为９kV ， 电子枪的枪口的直径为 0.01 ㎝ 。试求： 电子射出电子枪后的横向速度的不确定量。 解： 电子横向位置的不确定量:
21.5
测不准关系
第21章 量子物理基础
21.5 不 确 定 关 系
1
21.5
测不准关系
引入
第21章 量子物理基础
经典力学中，宏观粒子的运动具有决定性的规律。 物体的位置、动量以及所在力场的性质确定后，物体以 后的运动状态就可确定，因此可以用轨道来描述粒子的 运动。原则上说可同时用确定的坐标与确定的动量来描 述宏观物体的运动。 但微观粒子，具有显著的波动性，粒子以一定的概 率在空间各处出现。我们不能用经典的方法来描述微观 粒子，以致于它的某些成对物理量（如位置坐标和动量、 时间和能量等）不可能同时具有确定的量值。
22.5力学量的统计不确定性
• 什么样的核可以把它束缚住呢？ 目前最稳定核的能量(最大的能量) 是 8MeV 这就是说 目前还没有能量是20MeV的核 • 结论：电子不是原子核的组成部分 例5 估算一些物理量的量级: 估算 H 原子的轨道半径 r; H 原子最稳定的半径 ——玻尔半径。 解 设H原子半径为 r , 则电子活动范围
0
x ~
而实际的光波, 波列有限 ， 则必然存在谱线宽度
3 第22章 量子物理的基本概念
2. 粒子单缝衍射中的结论
p h/ x
sin
x
px
大部 分电 子落 在中 央明 纹
电 子 束 △x
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △x ；
4
第22章 量子物理的基本概念
Δr
r
令
4π 0 2 r0 0.53 Å 2 me
dE 0 dr
Emin
17
2 e2 e2 13.6eV 2 2mr 4π 0 r 8π 0 r
第22章 量子物理的基本概念
m0
E mc
2
m
2 2 pc p pc p 1 2 2 2 4 1 2 2 p E ( p c m0 c ) 2 pc p 2 E mc 2
1 v 2 / c2
E (p c m c )
2 2
2 4 12 0
mc
2
Et pt x p
8 第22章 量子物理的基本概念
2
E t
E E 2
寿命△t
2
反映了原子能级宽度△E 和 原子在该能级的平均寿命 △t 之 间的关系。 激发态 平均寿命 能级宽度 基态
能量-时间测不准关系11.4
由于在此非定态 非定态下，有可能测得 E1 ， 也可 非定态 能测得 E2 ，故可将 ∆E = E2 − E1 视为测量体 系能量时出现的不确定度。 由
2 2 * ρ(r , t ) = ψ1 (r ) + ψ 2 (r ) + ψ1 ψ 2 e iωt + ψ1ψ * e − iωt 2
(
)
ρ 可知， (r , t ) 随时间呈周期性变化,其周期为
从几个特例出发来探讨这个问题。 一、几个特例 例1 设粒子初始状态为
r r r ψ (r ,0) ≈ ψ 1 (r ) +ψ 2 (r ),
其中： ψ1 和 ψ 2 是粒子的两个能量本征态， 本征值分别为 E1 和 E2 .
r r −iE1t h 则有： ψ (r , t ) = ψ 1 (r )e +ψ 2 e − iE2t h ,
T = 2π ω = 2πh ∆ E = h ∆ E
动量及其它力学量的几率分布也有同样的变 化周期. 化周期
故此周期 T 是表征体系性质变化快慢的特征 时间，记为
∆t = T
由
∆t = T = h ∆E
有
∆t∆E ~ h
对定态来说，能量是完全确定的，即
∆E = 0
而定态的特点是： 而定态的特点是：所有不显含时间的力学量 几率分布都不随时间改变， 几率分布都不随时间改变，∆t →∞ 是一致的。 这与关系 ∆t∆E ~ h 是一致的。
∆p ~ h / ∆x ~ h / cτ 从而能量 ( E = cp) 的不确定度为
∆E = c∆p ~ h τ
由此得出粒子激发态能量的不确定度 Γ 并满足
Γτ = ∆Eτ ~ h 上述例子给出相同的结论：
研究量子力学中的不确定性原理的不确定性关系实验
研究量子力学中的不确定性原理的不确定性关系实验引言：量子力学是20世纪对微观世界进行研究的重要理论之一。
其中，不确定性原理是量子力学的基石之一，它指出了在某些情况下，无法同时准确测量一粒子的两个共轭物理量。
这一原理不仅在理论层面具有重要意义，也在实验上得到了验证。
本文将详细探讨量子力学中的不确定性原理以及实验准备、过程，并讨论其应用和其他专业性角度。
一、量子力学中的不确定性原理：不确定性原理，又称海森堡不确定性原理，是由物理学家维尔纳·海森堡于1927年提出的。
该原理主要包含两个方面：位置与动量的不确定性以及能量与时间的不确定性。
1. 位置与动量的不确定性：根据不确定性原理，当测量一粒子的位置和动量时，无法同时获得这两个物理量的准确数值，即无法同时测量得到一个粒子的位置和动量的准确值。
这是因为精确测量位置需要用到高频光或高能电子，而精确测量动量则需要测量粒子的波长。
根据光的性质，频率和波长是相互关联的，所以不能同时精确确定粒子的位置和动量。
这个原理被写成数学形式为Δx × Δp≥ ℏ/2，其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ℏ为普朗克常数。
2. 能量和时间的不确定性：不确定性原理还指出，在一个很短的时间内，无法准确测量粒子的能量和时间的值。
这是因为精确测量粒子的能量需要用到高频光或高频电磁波，而高频光或电磁波具有很短的周期，因此测量时间的间隔必须很短。
根据频率和周期的关系，频率越高，周期越短，因此在很短的时间内无法准确测量粒子的能量和时间。
这个不确定性原理被写成数学形式为ΔE × Δt ≥ ℏ/2，其中ΔE表示能量的不确定度，Δt表示时间的不确定度。
二、实验准备：在研究不确定性原理的实验中，我们通常使用过延迟选择干涉仪实现。
该实验方法是通过将一个粒子分成两个波包并进行干涉，来测试不确定性原理。
1. 材料与设备准备：• 光源：一种能够发出高频光束的光源，例如激光器；• 光切割器：用于分割光束；• 传感器：用于测量光的位置；• 时间测量仪: 用于测量光的时间间隔；• 干涉仪：包括分束器、反射片、相位调制器等。
大学物理：13-6 不确定度关系
度，那么它们的乘积有一个下限，即
x px 2
【例】原子的线度按 1010m 估算，原子中电子的动 能按 10eV估算，论证原子中电子的运动不存在轨道。
解
v
2Ek m
2 10 1.6 1019 9.11 10 31
2106(m
s)
x px 2
v
2mx
1.05 10-34 2 9.11 1031 1010
1.11030 (m
s)
这可以看成是横向速度的最大值，它远远小 于子弹从枪口射出时每秒几百米的速度，因此对 射击瞄准没有任何实际的影响。
子弹的运动几乎显现不出波粒二象性。
【例】动能Ek 108 eV的电子射入威尔逊云室，
径迹的线度10 4cm，问 “轨道”概念适用否？
解 电子横向位置的不确定度 x 10 4cm。
横向动量的不确定度
px
2x
1028 k g m s1
电子动量为 p 2mEk 1.81023 kg m s1
显然 px<<p，px对电子运动几乎没影响，
轨道概念仍适用。实验上正是通过粒子在云室
中留下的径迹（轨道）来探测高能粒子。
威尔逊云室中宇宙线（高能粒子）的径迹
【演示】α粒子通过威尔逊云室 乙醇
h
sin1
Δ
x
Δ
px
sin1
h
sin1
h
x sin1
Δ x Δ px h
在宏观现象中，不确定度关系可以忽略。
【例】设子弹质量为0.01kg，枪口直径为0.5cm， 试分析波粒二象性对射击瞄准的影响。
解 横向速度的不确定度为
v xΒιβλιοθήκη 2mx1.05 10-34 2102 0.5 102
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11.4 能量-时间不确定度关系
在1.1节中已经指出，由于微观粒子具有 波动性，人们对于粒子的力学量的经典概念 有所修改.把经典粒子力学量的概念全盘搬到 量子力学中来,显然是不恰当的.使用经典粒子 力学量的概念来描述微观粒子必定会受到一 定的限制.这个限制集中表现在Heisenberg 的 不确定度关系中.下面我们来讨论与此有关,但 含义不尽相同的能量-时间不确定度关系.先讨 论几个特例.
下面对能量-时间不确定度关系给一个较普遍的描述.
前面（3.3.1）讲过，两个力学量 A 和 B 不确定 度之间的关系是
ΔA ΔB 1 [A, B] 2
(6)
其中
___________
A (A A)2
那么对于以下常见的能量-时间不确定度关系
如何理解？ E t
(7)
2
11.4 能量-时间不确定度关系
(8)
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
所以，定义对应于力学量 A 的时间不确定度
A
d
A A/dt
就有
E A
h 2
这里 A 是 A 改变 A所需的时间间隔,表征 A 变化 快慢的周期.在给定状态下, 每个力学量A都有相的
A ,在所有的 A 中,最小的一个记为τ.这就是能量时间 不确定关系的含义.
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
例1 设粒子初始状态为 (r,0) 1(r) 2 (r), Ψ1和Ψ 2 是粒子的两个能量本征态，本征值为 E1和E2,则
Ψ (r,t) Ψ1(r) eiE1t h Ψ 2 (r) eiE2t h
（1）
(r,t)是一个非定态 . 在此态下，各力学量的概率
11.4 能量-时间不确定度关系
分布一般要随时间而变.例如粒子在空间的概率
密度
(r,t) Ψ (r,t) 2 Ψ1(r) 2 Ψ2(r) 2
(Ψ1
Ψ2
eit
Ψ1
Ψ
2
eit
)
（2）
其中
（E2 E1）h E h
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
ΔE 可视为测量体系能量时出现的不确定度.由上可见,
自发辐射光子相应的辐射波列的长度 Δx c ,
因而光子动量不确定度 Δp Δx c , 能量(E=cp)
的不确定度 ΔE cΔp . 由于观测到的光子能量
有这样一个不确定度,由之而得出的原子激发态能量
也相应有一个不确定度,即宽度 . 而
T
(5)
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
即变化周期 T ,或者说特征时间 t .
这并不违反关系式(3)
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
例2 设自由粒子状态用一个波包来描述，波包宽度
Δx ,群速率为v,相应于经典粒子的运动速度.波包 掠过空间某点所需时间Δt Δx v .因此其能量不确定
度为Δp Δx .因此其能量不确定度.
量量子子力力学学教教程程(第二版)
我们先给出以下推导，选两个力学量分别为体系 的哈密顿量 H 和 A，那么
ΔE ΔA 1 [H , A] 2
(7)
其中
12
E
(_H______H___)_2
12
， A (A A)2
由
i dA [ A, H2 dt
E E p vp p
所以
t E x vp x p h
(4)
v
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
例3 设原子处于激发态,它可以通过自发辐射而衰变
到基态,寿命为 .这是一个非定态,其能量不确定度
ΔE, 称为能级宽度 . 实验上可通过测量自发辐射
光子的能量来测出激发态的能量.由于寿命的限制,
(r,t) 随时间而周期变化,周期 T 2π h ΔE . 动量以及
其他力学量的概率分布也有同样的变化周期.这个周期 T是表征体系性质变化快慢的特征时间,记为 Δt T. 按以上分析,它与体系的能量不确定度 E 有下列关系
tE h
(3)
对于一个定态,能量是完全确定的,即 E 0. 定态
的特点是所有力学量的概率分布都不随时间改变,