等效原理和时空弯曲

δxαdλ = 0.
如图3.3 所示，在端点A和B处 δxα 为零. 测地线方程就是著名的由拉格朗日函数 L 决定的欧拉-拉格朗日
方程
d dλ
∂L ∂x˙ α
−
∂L ∂xα
=
0.
(3.8)
上面用引入仿射参数来推导测地线方程一般形式的做法对于自由光子的路径是有疑问的. 自由光子 的路径是零测地线，它的 ds 永远为零，因此就无法引入与4维弧长成比例的仿射参数. 第四章中将用另 一种方式引入测地线方程，结果表明本节得到的测地线方程的形式在适当选择仿射参数后对零测地线也 适用.
2 r
r˙θ˙
=
0.
(3.12)
与测地线方程(3.10)相对比，得到克氏符号如下：
然而，弱等效原理告诉我们，对于非均匀引力场，引力虽然不能全局地消除，却可以局部地消除. 也就是说，在引力场中的任一点都存在一个在引力场中自由下落的参考系，在其中引力被局部地消除， 任何的力学实验不能将它与惯性系相区分.
爱因斯坦等效原理 上面关于弱等效原理的讨论是在牛顿力学的框架中进行的，得到的在引力场 中自由下落的参考系等价于惯性系的结论也是在牛顿关于惯性系的概念下得出的. 在牛顿力学里，惯性 系可以定义为是牛顿力学定律在其中成立的参考系. 在狭义相对论里，惯性系可以定义为狭义相对论的 物理定律在其中成立的参考系. 当然，惯性系里不能有引力，因为狭义相对论的物理中没有引力. 爱因斯 坦进一步假定，在引力场中自由下落的参考系等价于狭义相对论中的惯性系，不仅是力学实验不能区分 引力场中自由下落的参考系和惯性系，而且任何物理实验都不能区分. 这就扩展了弱等效原理，称为爱 因斯坦等效原理，可以叙述成：在4维时空中的任何一点都存在一个在引力场中自由下落的局部惯性系， 在其中狭义相对论的物理定律全成立. 这一假定现在已经为大量的实验在很高的精度上证实. 关于等效原 理的更精确的阐述，讨论及其实验验证，将在第九章进一步展开.
mI = mG
(3.2)
称为弱等效原理.
均匀引力场 下面来进一步讨论弱等效原理的物理内涵. 设想有一个在均匀引力场中自由下落且与 外界完全隔绝的密封电梯. 电梯中一位物理学家试图作各种力学实验以决定电梯的运动状态. 因惯性质量 与引力质量相等，电梯里的物理学家受到的引力和惯性力相互抵消，该物理学家感觉不到电梯里有引力 存在，这时在电梯里无论做哪种力学实验，电梯里的观测者都不能区分自己是静止在一个没有引力场的 惯性系里还是在引力场中自由下落的一个加速系里.
图 3.2: 初始静止且处于同一水平面上的两个自由粒 子A和B的世界线，用以说明不均匀的引力场造成时 空弯曲.
3.2 测地线方程
广义相对论的度规 在广义相对论的理论框架里，物质的质量和能量产生引力，而引力表现为时 空的弯曲，在选定了一个时空坐标系 {xα} 后，时空的弯曲用度规
ds2 = gµν (xα)dxµdxν
从(3.9)式可见，当度规 gµν 不显含坐标 xα，也就是说时空的弯曲有某种对称性，这时有 gαβx˙ β 守
恒. 对于类时测地线，取原时 τ 为仿射参数 λ，立即得到自由粒子4速度的协变坐标分量 uα 守恒.
下面以2维欧氏空间为例来计算克氏符号. 2维欧氏空间在极坐标下的度规是
ds2 = dr2 + r2dθ2.
克里斯朵夫符号 将拉格朗日函数的具体形式(3.5)代入欧拉-拉格朗日方程(3.8)，得到
d dλ
gαβ x˙ β
−
1 2
∂gµν ∂xα
x˙ µx˙ ν
=
0.
利用 gµαgαβ = δβµ 从上式中解出 x¨µ，得到用度规及其对坐标的一阶偏导数表示的测地线方程
x¨µ + Γµαβx˙ αx˙ β = 0,
不均匀引力场 牛顿建立的引力定律表明引力是一种中心力，其大小按与距离的平方成反比的规 律衰减，所以除非物质分布绝对均匀，引力场不可能是均匀的. 在地面做自由下落的电梯里，只有把空
1
2
第三章 等效ห้องสมุดไป่ตู้理和时空弯曲
间和时间都限制在足够小的范围里才能近似地把引力场看成是均匀的. 对于不均匀的引力场，我们能够 发现引力和惯性力的明显区别. 电梯的加速度造成的惯性力在电梯里的各处都是相同的，是一个严格均 匀的力场，而电梯里的引力场却是不均匀的，两者不能完全抵消. 我们可以选择电梯的加速度以消除电 梯中某处的引力，例如消除电梯质心处的引力. 这时电梯中的物理学家在电梯中某处感受到的引力是该 处的引力和电梯质心处的引力之差，称之为潮汐力，就像海洋的潮汐来自月球和太阳在地面处的引力加 速度和在地心处的引力加速度之差.
于是当 λ 为仿射参数，测地线满足
B
B
δL(xα, x˙ α)dλ =
A
A
∂L ∂xα
δxα
+
∂L ∂x˙ α
δx˙ α
dλ = 0.
(3.7)
对上式的第二项进行分部积分，即
B A
∂L ∂x˙ α
δx˙ αdλ
=
B A
∂L ∂x˙ α
d(δxα
)
=
∂L ∂x˙ α
δxα
B
−
A
Bd A dλ
∂L ∂x˙ α
(3.9) (3.10)
其中
Γµαβ
=
1 2
gµν
(gαν,β
+
gβν,α
−
gαβ,ν ).
(3.11)
这里和以后用逗号表示对坐标的偏导数，即 gµν,β = ∂gµν /∂xβ. 量 Γµαβ 称为克里斯朵夫(Christoffel)符号，今后简称克氏符号. 它对下标 α 和 β 为对称，因此一共
有40个独立的分量. 它是度规对坐标的一阶偏导数的线性齐次函数.
图 3.1: 1775年复制的伽利略斜面装置.
mI a = mGg,
(3.1)
这里 mI 和 mG 分别表示物体的惯性质量和引力质量. 当 mG/mI 与组成物体的成分无关，不同的物体将 获得同样的加速度，在初始条件相同时所有的物体都将以相同的时间落到地面. 选取适当的单位，上述 事实可表述为：任何物体的引力质量与惯性质量相等，即
可以用一个简单的办法来判断一个参考系是不是惯性系，那就是看其中存不存在引力或惯性力. 因 为只要有物质，就会有引力，而且引力场一般都是不均匀的，引力无法全局地消除，只存在局部惯性 系，就是在引力场中自由下落的参考系，但是不存在全局的在整个时空都成立的惯性系.
时空弯曲 爱因斯坦等效原理表明在时空的每一点都存在一个局部惯性系，在其中狭义相对论的 物理定律成立. 狭义相对论的时空中没有引力，是平直的闵可夫斯基时空. 上面也论证了整个时空中不存 在全局的惯性系，含有引力场的时空不应当是平直的闵可夫斯基时空. 这样就很容易想到引力使得时空 弯曲，但在每一时空点的无穷小领域，局部的时空可以用在该点的平直的切空间来近似. 这样一个引力 几何化的理论正好和等效原理的结论相对应.
局部惯性系的一个实例是无动力飞行的宇宙飞船. 这个飞船必须足够高，不受大气阻力的作用.飞船 的表面积必须足够小，可以忽略太阳光压的作用. 此外，飞船应当没有自转. 总之飞船应当只在地球，月 球，太阳和其他天体的引力作用下运动. 这时飞船中的宇航员处于完全失重的状态，感觉不到任何引力 或惯性力的作用. 这是一个惯性系. 与传统的观念相反，与地面固连的参考系不是惯性系，即使不考虑地 球的自转，地球引力场的存在表明这不是一个严格的惯性系.
可以用两种途径进行计算. 一是从度规张量出发，用克氏符号的定义(3.11)式计算. 另一是通过推导测地 线方程. 下面给出第二种算法.
§3.3 水星近日点进动
5
给出拉格朗日函数
L
=
1 2
(r˙2
+
r2θ˙2).
可以从欧拉-拉格朗日方程(3.8)式推出测地线方程为
r¨ − rθ˙2 = 0,
θ¨ +
3.1 等效原理
弱等效原理 传说伽利略在比萨塔上将一个大球
和一个小球同时松手落下，两个球同时落到地面，球下
落的时间不仅与球的质量无关，而且与构成球的物质成
分无关. 没有证据能说明伽利略是否作过这样的实验， 但他确实用光滑的斜面做过类似的实验. 图3.1是伽利略 斜面的一个复制品.
现在用牛顿的语言来解释实验的结果. 假定有一个 引力场的场强为 g，记一个物体在引力的作用下产生的 加速度为 a，按牛顿的力学定律
gµν
x˙ µx˙ ν
,
(3.5)
4
第三章 等效原理和时空弯曲
其中 x˙ µ = dxµ/dλ，实际的路径为测地线 xµ(λ)，邻近的路径为 xµ(λ) + δxµ(λ). (3.4)式可写为
B 1 δLdλ = 0. A 2 |L|
(3.6)
注意对于类时和类空测地线，分别有 L < 0 和 L > 0. 进一步选择参数 λ，使它和测地线的4维弧长 s 成 正比，称为仿射参数. 在(3.6)式中，位于变分号外的 L 应当取测地线处的值，对于仿射参数为常数，此 时 δL 前的因子可略去.
(3.3)
来表示. 这里对称的度规张量 gµν 是时空点坐标 xα 的函数，共有10个独立的分量. 等效原理表明在每一 个时空点 gµν 都可以通过坐标变换变换成闵可夫斯基度规 ηµν，然而在整个时空却不存在坐标变换使 gµν 全局地变换成 ηµν .
欧拉-拉格朗日方程 在广义相对论中，自 由粒子沿时空的测地线运动. 图3.3 表示自由粒子 在时空中的两个给定点A和B之间的可能的路径. 粗实线表示实际的测地线路径，它使从A到B的路 径的4维弧长达到极值，满足
B
δ ds = 0.
A
(3.4)
注意这里 d 表示沿着路径的微分，而 δ 是真实路
径和相邻路径间的变分. 两者的算符可以交换，