高等数学第 21 讲微积分基本定理、换元法
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微积分中的积分换元法
微积分中的积分换元法微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的极限、导数、微分、积分等概念和性质。
在微积分中，积分换元法是一种重要的积分方法，能够将复杂的积分公式化简为简单易解的形式，大大提高了求解积分的效率和精度。
本文将详细介绍积分换元法在微积分中的应用和基本原理。
一、积分换元法的基本概念积分换元法，又称替换法，是指将被积函数中的某一部分替换为一个新的变量，从而简化积分的方法。
简单来说，就是将原积分式中的变量用一个新的变量代替，然后对新的积分式进行求解。
具体来说，对于形如 f(x)dx 的积分，我们可以进行如下的积分换元：1、假设原积分式中的自变量x 可以表示为另一变量u 的函数：x=g(u)；2、则有：dx=g'(u)du，即 dx/du=g'(u)。
3、用 u 表示 f(x)，有 f(x)=h(u)。
4、将 1 和 3 结合，得 f(x)dx=h(u)g'(u)du。
5、用 u 代替 x 进行积分。
其中，g(u) 是连续可导函数，g'(u) 不等于 0。
如果散列w是$f$中$x$可以表示的函数，则用$g(u)=w$ 设$u=g^{-1}(w)$，则$fwg^{-1}$的微分单位表达式为$f(x) dx = fwg^{-1}(w) dg^{-1}(w)$。
因此$\int f(x) dx = \int fwg^{-1}(w) dg^{-1}(w)$。
二、积分换元法的应用积分换元法在微积分中有广泛的应用，特别是对于一些复杂的积分问题，使用积分换元法能够帮助我们将问题转化为相对简单的积分形式，从而更容易求解。
下面以几个例子来说明积分换元法的应用：1、对于形如 $\int e^{x} \cos x \, \mathrm{d}x$ 的积分，我们可以令 $u=e^{x}$，则 $\mathrm{d}u=e^{x}\mathrm{d}x$，从而原式变为 $\int \cos x \, \mathrm{d}u$，进一步求解即可。
《高等数学》换元积分法
常用的几种配元形式:
万 能 凑 幂 法
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例6. 求 解: 原式
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例7. 求 解: 原式
例8. 求 解: 原式
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例9. 求 解法1
解法2
两法结果一样
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例10. 求 解法1
2. 求 提示: 法1
法2
法3
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则
故
原式
注: 当
时
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例2. 求 解:
想到公式
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例3. 求 解:
想到
(直接配元)
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例4. 求 解:
类似
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例5. 求 解:
∴ 原式 =
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解法 2 同样可证
或
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例11. 求 解: 原式
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例12 . 求 解:
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例13. 求 解:
∴原式 =
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例14. 求 解: 原式
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设
可导, 则有
第一类换元法 第二类换元法
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
微积分第二类换元法
平方和、差 再开方
分母阶 数高
非“平方和、 差再开方”
基 本 积 分 表
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
1 1 xa (19) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln sec x tan x C; csc xdx ln csc x cot x C; 1 1 x a x dx a arctan a C;
(9) sec x tan xdx sec x C
(10) csc x cot xdx csc x C
(11) 1 1 x
2
dx arcsin x C
1 (12) dx arctan x C 2 1 x
(13) tan xdx ln cos x C
sec tdt ln sect tan t C
x ln a
x2 a 2 a
C1
x
x2 a2
atຫໍສະໝຸດ ln x x2 a 2
C.
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
例4 解
求积分
x 3 ln xdx .
3
u ln x ,
3
x dv x dx d ( ), 4
4
1 4 1 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
微积分的基础知识与运算
微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用
《高数换元积分法》课件
选择适当的换元变量
根据被积函数的形式选择一个新的自变量，使得 换元后的积分更加简单。
进行变量代换和计算
将被积函数中的自变量替换为新的变量，并进行 计算。
求解新的微分表达式
根据选定的换元变量，求解出其对应的微分表达 式。
还原换元变量
将计算得到的结果转化回原来的变量，得到最终 的积分结果。
常用的换元积分法公式
2 换元积分法 vs. 代入
法
换元积分法通过引入新的 变量简化积分，而代入法 直接将新的变量代入原函 数中进行计算。
3 换元积分法 vs. 数值
积分
换元积分法可以得到精确 的积分解析表达式，而数 值积分通过数值逼近来估 算积分值。
结论和要点
换元积分法是解决复杂函数积分的有力工具
通过选择适当的换元变量和使用相应的公式，可以简化积分过程。
基本换元公式
∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du
三角换元公式
∫f(sin(x))cos(x)dx = ∫f(u)du
指数换元公式
∫f(e^x)dx = ∫f(u)du
有理换元公式
∫f(x^2)2xdx = ∫f(u)du
举例演示换元积分法的应用
1
例题1
∫(2x+1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3dx
2
例题2
∫(3x^2+2x+1)dx
掌握常用的换元积分法公式
熟悉不同类型的换元公式，有助于解决各种不同形式的函数积分。
灵活运用换元积分法解决实际问题
将换元积分法应用于理论和实际问题中，可以得到更加准确和精确的结果。
3
例题3
∫e^(3x)dx
换元积分法在实际问题中的应用
微积分等价替换公式
微积分等价替换公式
微积分中的等价替换公式是指一些常见的数学式子，通过代入不同的变量或者进行变形等操作，可以得到等价的表达式，这些式子可以帮助我们快速推导出复杂的微积分公式。
下面是一些常见的微积分等价替换公式：
1. 导数的链式法则公式：如果 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则 (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x)。
这个公式可以帮助我们求出复合函数的导数。
2. 积分的换元法公式：如果 f(x) 是一个可积函数，u 是一个可导函数，则∫f(u(x)) * u'(x)dx = ∫f(u)du。
这个公式可以帮助我们进行积分的简化。
3. 微分的牛顿-莱布尼茨公式：如果 F(x) 是一个连续可导函数，f(x) 是其导函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中 C 是任意常数。
这个公式可以帮助我们求出原函数。
4. 高斯积分公式：∫e^{-x^2}dx = sqrt{pi}。
这个公式在处理概率密度函数和正态分布等问题时非常有用。
5. 声明微积分基本定理的公式：如果 f(x) 是一个连续可导函数，则 frac{d}{dx}int_a^x f(t)dt = f(x)，其中 a 是常数。
这个公式可以帮助我们求出反常积分和定积分等问题。
这些微积分等价替换公式是学习微积分的基础，掌握它们可以帮助我们更好地理解微积分的概念和应用。
- 1 -。
高二数学选修课件第章微积分基本定理
例题1
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
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例
8.
求
I
lim
x0
cos 1
x et2 x2
d
t
.
解： I lim ecos2 x sin x 1 .
x0 2 x
2e
四. 第一换元法与分部积分法
例 9.
求I
0
41 d 1 sinx
x.
解：I
0
4
1 sin x cos2 x
d
x
0
4
sec2 x d
f '( x) e xcos x , f '(0) 1 , f '( ) e .
例 6. 设 f ( x) 0x2 1 t 2 d t , 求 f '( x) .
解：令 u x2 , 则
f '( x) df du 1 u2 (2x) 2x 1 x4 . du dx
2) n
ln(1
n n
)
1 0
ln(1
x)
d
x
(1 2ln
x)ln(1 x) 2 1 ln 4
e
1 0
.
1 0
1 1
因此
xdx x
lim an
n
4 e
.
二. 定积分的性质 积分中值定理
性质 6. 设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，g( x) 在[ a , b ] 上可积 且不变号，则至少存在一点 [ a , b ], 使得
,
( (0,1) ) . 因此
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
n
lim
n 1 ຫໍສະໝຸດ 0. 与 n 有关，对不同的n， 可能不同.
若 1 1 ?
n
例 4.
求极限
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
.
错误解法：
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
1 0
( lim
在[a,b]上连续 .
证：x [a,b] , 当 x x [a,b]时 ,
F axx f ( x) dx ax f ( x) dx xxx f ( x) dx .
f ( x) 在[a,b]上可积 ,故有界 . 设 | f ( x) | M , x [a,b] ,
x
0
4
1 cos2
x
d (cos x)
(tan
tan0) (
1
)
4
1
1
0
4
cos x 0
cos x 4
2 2.
例 10. 求 I 0 sin2 x d x .
解：I
0
1 cos2x d 2
x
0
1dx 2
1 2
0
cos 2x dx
x 1
sin t
t
dt
是
f ( x) sin x 在[1, M ]上 x
的一个原函数, 它不是初等函数. 可对其做各种运算.
3. 此定理表明闭区间上的连续函数必有原函数 .
例 5. 设 f ( x) 0x etcos t d t , 求 f '(0) , f '( ) . 解： e x cos x 在 ( , )上连续, 因此
(1). g( ) a , g( ) b ;
(2). t [ , ]或 t [ , ] 时 , g(t)[a,b]
且 g(t) 有连续导数 .
则有 ab f ( x) d x f [g(t)] g'(t) d t . 证明略.
例 13. 求
解：令 t
I 0 4cos2 x d x
证：x0 [a,b] , 当 x0 x [a,b]时 ,
F x
1 x
xx00 x
f (t) dt .
f ( x) C[a,b] , 据积分中值定理, 有 介于 x0 x
与 x0 之间,
使得
F x
1 x
xx00 x
f (t) dt
f ( ) .
y x2
O
1
x
例 2. 求 I lim ( 1 1 1 ) .
n n 1 n 2
nn
解：I lim 1 ( 1 1 1 )
n n 1 1 n 1 2 n
1n n
1 0
1
1
x
d
x
ln(1 x)
1 0
ln 2 .
0
1 0
xn 1 x
d
1
x
1 0
x xn
d
x
1 n 1
.
由夹逼定理
,
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
0
.
例 4.
求极限
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
.
错误解法： xn 在 [ 0,1 ] 上连续 , 据积分中值定理 ，
1 x
1 0
xn 1 x
d
x
n 1
( t
)
d
(t
)
aa f (t) d t
aa f (t) d t
因此 I 0 .
I,
作业：
P178. 1. (1) (2) (3) (4) ; 2. (1) ; 3. (1) ; 6 .
f ( x) 在 x0 连续,
因此
F lim x0 x
f ( x0 ) ,
即 F'(x0) f (x0) .
说明
1. 此定理称为微积分基本定理, 它揭示了微分和
积分的关系 .
d dx
[
x a
f (t)d t
]
f (x).
2. 变上限积分扩展了函数的形式 .
例如 :
F ( x)
则 | F | | xxx f ( x) dx | M | x | . 因此
当x 0时 , F 0 . 即 f ( x) 在 x 连续 .
定理 2. 若 f ( x) 在[a,b]上连续 , 则 F ( x) ax f (t) d t
在[a,b]上可导 , 且 F' (x) f (x) .
例 3.
设an
(1
1 )(1 n
2 ) n
(1
n n
)
1
n
,
求 lim n
an
.
解： ln an
1 n
ln(
1
1 ) ln(1 n
2) n
ln(1
n n
)
lim
nn
ln
an
lim
nn
1 n
ln(1
1 ) ln(1 n
y sin x sina .
设 F ( x) ax f (t) d t , 则 ab f ( x) d x F (b) F(b) F(a) .
此 F( x) 是否就是 f ( x)的原函数 ？
定理 1. 若 f ( x) 在[a,b]上可积 , 则 F ( x) ax f (t) d t
b a
f
( x)
g( x)
d
x
f
( )
b a
g(
x)
d
x
.
性质 7. 设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，则至少存在一点
[a,
b],
使得
b a
f
( x)
d x
f
( ) (b a) .
例 4.
求极限
lim
n
1 0
xn 1 x
d
x
.
解：在[ 0,1 ] 上 , 0 xn xn , 因此
第 21 讲. 微积分基本定理、换元法
2014. 12. 10
一. 回顾
例 1. 求曲线 y x2 与 y
解：设所求面积为S , 则
S
1 0
(
x x2)d x
1 0
x
d
x
1 0
x2
d
x
2 x3 2 1 1 x3 1
3
03 0
1.
3
x 所围成的图形的面积 .
y
y x
11
1
1 x
2
d
x.
解：I arctan1 arctan(1) .
2
I
11
1 x2
1 11
x2
d
x
111
1 1
x2
d
(1) x
arctan 1
1
.
x1 2
哪一个对？为什么另一个不对？
五. 第二换元法
定理 3. 设 f ( x) C [a,b] , 若函数 x g(t)满足
2
1 4
0
cos 2x d (2x)