微分方程论文

常微分方程的积分因子

每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。课本中只介绍了仅关于x 或仅关于y 的积分因子，这还远远不够。此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。 积分因子的定义：若对于一阶微分方程()(),,0

M x y dx N x y dy +=

其中

(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若

存在连续可微的函数

(),0

x y μ≠，使得

()()()(),,,,0

x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，

为一恰当方程，即存在函数V ，使

Mdx Ndy dV μμ+=． 则称

()

,x y μ为方程（1）的积分因子．

通过计算可得，函数

()

,x y μ为0Mdx Ndy +=积分因子的充要条件为：

()()M N x y μμ∂∂=∂∂，

即

M N N

M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1.1、定义1 若方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1) 的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，则称(1)式为恰当微分方程. 1.2、定义2 如果存在连续可微的函数μ=0),(≠y x μ，使得 ),(y x μdx y x M ),(+ ),(y x μdy y x N ),(=0 为一恰当微分方程，即存在函数v ，使dv Ndy Mdx ≡+μμ， 则称),(y x μ为方程(1)的积分因子.

1.3 、定义3 函数),(y x μ为(1)的积分因子的充要条件是

y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ，即是μ

μμ)(x N

y M y M x

N ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 2.1 结论1：

方程（1）具有积分因子μ=)(y x ±μ的充要条件为

1

))((

-∂∂-∂∂M N x N

y M =)(y x F ±

积分因子为μ=⎰±±)()(y x d y x F e

证明：""⇒设μ=)(y x ±μ为方程的积分因子，y x t +=，则dt d y t x μ

μμμ=

∂∂∂∂=∂∂,（2）由(1)得 x N y

M ∂∂-∂∂=dt d M N y x μμ)()(1-+ ∴M N x

N

y M -∂∂-

∂∂=dt d y x μμ)(1+≡)(y x F +

∴1

))((

--∂∂-∂∂M N x N

y M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若M N x

N y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)

()(y x d y x F e 则有x N

y

M ∂∂-

∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂+

+≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N

∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)

(μ

⇒μ为原方程的积分因子.

同理得1

))((

-+∂∂-∂∂M N x N

y M =)(y x f -

命题得证。 结论2：

方程（1）具有积分因子μ=)(xy μ的充要条件为

x N

y M ∂∂-∂∂=)(xy F 1

)(--Mx Ny

积分因子为μ=⎰)()(xy d xy F e

证明：""⇒设μ=)(xy μ为方程的积分因子，xy t =，则y

dt d x μμ=∂∂,x dt d y μμ=∂∂（3）由(1)得 x N y

M ∂∂-∂∂=dt d Mx Ny xy μ

μ)()(1- ∴Mx Ny x N

y M -∂∂-∂∂=dt d xy μ

μ)(1≡)(xy F

∴1

))((

--∂∂-∂∂Mx Ny x N

y M =)(xy F 为方程具有形如)(xy μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若Mx Ny x

N y M -∂∂-∂∂≡)(xy F 取μ=⎰)

()(xy d xy F e

则有

x N

y M ∂∂-∂∂≡)(xy F )(Mx Ny - 即x N Ny xy F xy MxF y M ∂∂+

≡+∂∂)()(,两边乘以μ且由（3），得 μμμ)(x N y M y M x N

∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)

(μ

⇒μ为原方程的积分因子.从而得证. 结论3：

方程（1）具有积分因子μ=

)(2

2y x ±μ的充要条件为 1

))((

-∂∂-∂∂My Nx x N y M =

)(22y x F ±

积分因子为μ=

⎰±±)

()(22222

y x d y x F e

证明：""⇒设μ=)(2

2y x +μ为方程的积分因子,22y x t +=，则

dt d x

x μμ2=∂∂,dt d y y μ

μ2=∂∂ （4） 由(1)得 x N

y M ∂∂-∂∂=

dt d My Nx y x μμ)22()(12

2-+ ∴My Nx x

N

y M -∂∂-

∂∂=

dt d y x μμ)(222+≡)(22y x F + ∴1

))((

--∂∂-∂∂My Nx x N y M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件.

""⇐ 若M N x

N y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)

()(y x d y x F e 则有x N

y

M ∂∂-

∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂+

+≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N

∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)

(μ

⇒μ为原方程的积分因子.

同理得1

))((

-+∂∂-∂∂M N x N

y M =)(y x F -

所以命题得证.

结论4：

方程（1）具有积分因子μ=

)

(x y

μ的充要条件为

x N y

M ∂∂-∂∂=)(x y F 1

2)(-+x M x Ny