微分方程论文
一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文
阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。
微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如般)”的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1・1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1・1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy)(1-2)其中c任意常数。
例1求方程£=pa)y的通解，其中P(X)是X的连续函数。
解将变量分离，得到—=p(x)dx y两边积分，即得In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有lyl y=g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx求解方程生一¥ dx y将变量分离，得到y d y=・x d x,两边积分，即得因而，通解为这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解y=dy y | . y例3求解方程〒=-+tan- dx X Xy dy du解这是齐次微分方程，以・二u及子二X —+U代入，则原方程变为K dx dxdu IA+u=u+anudu tan udx X将上式分离变量，即有cot udu =—x两边积分，得到n I sm U1 = n I xl +c,这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为例4 求方程X+2jxy=y (x<0)y 以一P及二曙X半+ (LI代入，则原方程变为dx临甥P(1-3)分离变量，du dx两边积分，得到(1-3)的通解Jp- = In(-x) + c 于是p = In(-x) + c .2(In (・x)+c>0)其中c是任意常数。
常微分方程课程设计论文
常微分方程课程设计论文一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握常微分方程的基本概念、方法和应用。
通过本课程的学习，学生应能理解并熟练运用常微分方程解决实际问题，具备一定的数学建模能力。
具体来说，知识目标包括：1.掌握常微分方程的定义、解的概念和性质；2.熟悉一阶、二阶线性微分方程的求解方法；3.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的应用。
技能目标包括：1.能够熟练地求解一阶、二阶线性微分方程；2.能够运用常微分方程进行简单的数学建模；3.能够运用计算机软件辅助求解常微分方程。
情感态度价值观目标包括：1.培养学生的逻辑思维能力和科学精神；2.增强学生对数学应用价值的认识，提高学习兴趣；3.培养学生团队协作和自主学习能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括：1.常微分方程的基本概念，如解、通解、特解等；2.一阶微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、伯努利方程法等；3.二阶线性微分方程的求解方法，如常系数方程、变系数方程、线性非齐次方程等；4.常微分方程的应用，如物理、生物学、经济学等领域的问题。
三、教学方法为了达到教学目标，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：系统地传授常微分方程的基本概念、方法和应用；2.讨论法：学生分组讨论，培养学生的思考能力和团队协作精神；3.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生运用常微分方程进行数学建模；4.实验法：利用计算机软件，让学生亲自动手求解实际问题，提高实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：《常微分方程》；2.参考书：相关领域的学术论文、专著等；3.多媒体资料：教学PPT、视频讲座等；4.实验设备：计算机、数学软件等。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面客观地评价学生的学习成果。
平时表现主要考察学生的课堂参与、提问、讨论等，占总评的20%；作业包括练习题和数学建模项目，占总评的30%；考试包括期中考试和期末考试，占总评的50%。
常微分论文关于一阶微分方程的解的存在的探讨
常微分方程论文学院：数学科学学院班级：12级统计班指导教师：宋旭霞小组成员：张维萍付佳奇张韦丽张萍日期：2014.06.06关于一阶微分方程的解的存在的探讨摘要：分析了解的存在唯一性定理，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，并且对此加以证明。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义。
如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
关键词：微分方程 连续 可微 近似计算 误差估计 一、存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dxdy= （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。
（一）、定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ϕ= （3.3） 其中,min(,),max (,)x y R bh a M f x y M∈==,L 称为Lipschitz 常数.解题思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的y ，得到 0100()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到 0201()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到 001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰（3.4）于是得到函数序列{()}n x ϕ.3） 函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即 lim ()()n n x x ϕϕ→∞=存在，对(3.4)取极限,得到00010lim ()lim (,()) =(,())xn n x n n xx x y f x x dxy f x x dx ϕϕϕ-→∞→∞=++⎰⎰，即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰.4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解.（二）、五个命题这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.命题 1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ=（3.3）的解,则()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰00x x x h ≤≤+(3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.证明 因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边取0x 到x 的积分得到0()()(,())xx x x f x x dx ϕϕϕ-=⎰00x x x h ≤≤+即有00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰00x x x h ≤≤+所以()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ （3.6）由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得()(,())d x f x x dxϕϕ= 而且 00()x y ϕ=,故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n = （3.7）命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式 0|()|n x y b ϕ-≤ （3.8） 证明 用数学归纳法证明当1n =时，0100()(,)xx x y f y d ϕξξ=+⎰，显然1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有10000|()||(,)||(,)|()x xx x x y f y d f y d M x x Mh b ϕξξξξ-=≤≤-≤≤⎰⎰即命题成立.假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ϕ-≤当1n k =+时，10()(,())xk k x x y f dx ϕξϕξ+=+⎰由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ϕ+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有100|()||(,())|()xk k x x y f d M x x Mh b ϕξϕξξ+-≤≤-≤≤⎰即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+证明 构造函数项级数 011()[()()]kk k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑ 00x x x h ≤≤+ (3.9)它的部分和为011()()[()()]()nn kk n k S x x x x x ϕϕϕϕ-==+-=∑于是{()}n x ϕ的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.1000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕϕξϕξξ-≤≤-⎰ (3.10)2110|()()||(,())(,())|xx x x f f d ϕϕξϕξξϕξξ-≤-⎰由Lipschitz 条件得知2110020|()()||()()|ξ() ()2!xx xx x x L d L M x d MLx x ϕϕϕξϕξξξ-≤-≤-≤-⎰⎰设对于正整数n ,有不等式110|()()|() !n n n n ML x x x x n ϕϕ---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有0111010|()()||(,())(,())| |()()|ξ() ! ()(+1)!xn n n n x xn n x n x nx nn x x f f d L d ML x d n ML x x n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-⎰⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有1110|()()|() !!k k kk k k ML ML x x x x h k k ϕϕ----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11)由正项级数11!kK k h MLk ∞-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+ 上一致收敛.因而序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,则()x ϕ也在00x x x h ≤≤+上连续,且0|()|x y b ϕ-≤命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.证明 由Lipschitz 条件 |(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ϕϕϕϕ-≤-以及{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ϕ,可知(,())n f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ.因此000101lim ()lim (,())=lim (,())xn n x n n xn x n x y f d y f d ϕξϕξξξϕξξ-→∞→∞-→∞=++⎰⎰即 00()(,()) xn x x y f d ϕξϕξξ=+⎰故()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+.证明 设()|()()|g x x x ϕψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 00()(,()) xx x y f d ϕξϕξξ=+⎰0()(,()) xx x y f d ψξψξξ=+⎰而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得()|()()||[(,())(,())]||(,())(,())| |()()|()xx xx xxx x g x x x f f d f f d L d L g d ϕψξϕξξψξξξϕξξψξξϕξψξξξξ=-=-≤-≤-=⎰⎰⎰⎰令0()()xx u x Lg d ξξ=⎰,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.（三）、对定理说明附注:1、存在唯一性定理中min(,)bh a M=的几何意义.在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ϕ=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.当b M a ≤时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ϕ=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥时,即b a M≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b x x x M M-≤≤+才能保证解()y x ϕ=在R 内，故要求解的存在范围是0||x x h -≤.2、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上212121212(,())|(,)(,)|||||||f x y y y f x y f x y y y y L y y θ∂+--=-∂≤-这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任 何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. 3、设方程(3.1)是线性的,即方程为()()dyP x y Q x dx=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ϕ时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.4、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程0 =0ln || 0 y dy y y dx y ≠⎧=⎨⎩经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由ln ||dyy y dx= 可得方程的通解为xce y e=±,其中xce y e=为上半平面的通解,xce y e=-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -==因为0lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程(,,)0F x y y '= (3.12)由隐函数存在定理,若在000(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0Fy ∂≠'∂,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数(,)y f x y '= (3.13)并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足000(,)y f x y '=如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且/f F F y y y ∂∂∂=-'∂∂∂ (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点000(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；ⅱ）000(,,)0F x y y '= ⅲ）000(,,)0F x y y y '∂≠'∂ 则方程（3.12）存在唯一的解0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数）满足初始条件0000(), ()y x y y x y ''== （3.15） （四）、近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式1|()()|(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ （3.16）此式可用数学归纳法证明.000|()()||(,())|()xx x x f d M x x Mh ϕϕξϕξξ-≤≤-≤⎰设有不等式1110|()()|() !!n n nn n ML ML x x x x h n n ϕϕ----≤-≤成立,则0110110|()()||(,())(,())| |()()|ξ()! ()(+1)!(+1)!xn n x xn x n x nx n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x hn n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤⎰⎰⎰ 例1 讨论初值问题22dyx y dx=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,:11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y Rb M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)11|()()|0.05(1)!(1)!n n n ML x x h n n ϕϕ+-≤=<++可知3n =.于是0()0x ϕ=322100()[()]3xx x x x dx ϕϕ=+=⎰3722210()[()]363xx x x x x dx ϕϕ=+=+⎰37111522320()[()]363207959535xx x x x x x x dx ϕϕ=+=+++⎰3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05. 1、求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(2y yx dx dy 的第三次近似解；解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在)0,0(，)0,1(的邻域内存在且唯一。
微分方程在日常实际中的应用
微分方程在实际中的应用——以学习物理化学为例函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义。
在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有未知函数及其导数的关系式，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4 ，这样的关系就是所谓微分方程，。
一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程。
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。
70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。
从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解。
常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。
偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。
总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。
在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。
因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。
后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。
常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史毕业论文常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数与其导数之间关系的数学方程。
它是应用数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的发展史，并探讨其在数学和应用方面的重要性。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪。
当时，牛顿的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）的出版，为微分方程的研究奠定了基础。
著名的数学家欧拉和拉普拉斯也做出了许多对微分方程的重要贡献。
19世纪，微分方程的研究取得了突破性进展。
拉格朗日、拉普拉斯和普朗克等学者提出了一些重要的微分方程理论。
其中，拉普拉斯将微分方程的理论发展为一个完整的科学，提供了定义、分类和解法。
此外，阿贝尔、亥姆霍兹和斯托克斯等学者对微分方程的特殊类型进行了深入研究。
20世纪初，随着数值计算和计算机的发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
数值方法的出现使得人们能够求解更加复杂的微分方程。
例如，飞机设计需要解决空气动力学方程，而人们使用数值方法来模拟空气流动。
另一个重要的进展是变分法和泛函分析在微分方程研究中的应用，使得人们能够处理更加一般的微分方程。
随着数学和应用领域的发展，常微分方程的研究也取得了新的进展。
例如，关于常微分方程的稳定性和周期性解的研究，为深入理解动力系统的稳定性提供了理论基础。
人们还将常微分方程的方法推广到偏微分方程的研究中，为更多实际问题的建模和求解提供了工具。
在应用方面，常微分方程广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
物理学中的力学、电磁学和量子力学等问题都可以用微分方程来描述。
工程学中，微分方程被用于建模和控制系统的研究与设计。
而生物学中，微分方程被用于描述生物体内的生物化学反应、人口增长和疾病传播等问题。
总之，常微分方程作为数学的重要分支，在数学理论和应用研究上都有着重要的地位。
它的发展史见证了人类对于自然界的认识和技术能力的提升，为解决复杂实际问题提供了有力的工具。
满足初始条件求微分方程（论文资料）
3
. 求解 (1 − x 2 ) y′′ − xy′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1;
解 方程中不出现 y， 属于 y′′ = f ( x, y′)型， 设 y′ = p, 则 y′′ = p′,
代入方程有 (1 − x 2 ) p′ = xp
分离变量得 两边积分得
dp p
=
1
x − x2
该绳索在平衡状态下所呈曲线 的方程.
解 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
r
M 点受切向张力T
H
弧段重力大小 ρ gs ( ρ : 密度, s :弧长)
y
r T
Mθ
A ρgs
o
x
按静力平衡条件, 有
8
T cosθ = H , T sinθ = ρ gs
15
于是 y 2k − 2 d y = C d x,
y2k −1 = C1x + C2
(其中C1 = (2k − 1)C ).
由条件 y(0) = 0, 得C2 = 0,故所求曲线的方程为
y2k −1 = C1x
（k > 1）. 2
16
.
设函数 y ( x) ( x ≥ 0) 二阶可导, 且 y′( x) > 0,
⋅
x2 x2 + y2
+
du⋅ dr
(x2
y2
+
y
2
3
)
2
由x, y的轮换对称性得
∂2u ∂y2
=
d2 u ∂r 2
⋅
x2
y2 +
《常微分方程的数值解法》论文
《常微分方程的数值解法》论文《常微分方程的数值解法》常微分方程（ODE）是研究物理过程的重要工具，其伴随着极大的应用价值。
当一个物理系统被简化为一个常微分方程，它就可以用于描述物理学中的各种现象。
但是，大多数现实系统的常微分方程未能得到解析解，因此，数值解法就变得非常重要。
本文将研究并比较几种常见的常微分方程数值解法，诸如Euler法、奇异点法、Runge-Kutta法、前向差分法等，以便更好地提供协助解决常微分方程。
首先，Euler法是常用的数值解法之一，它主要用于解决常微分方程模型。
其核心思想是将微分方程通过采用不断变化的步长对状态量求近似值，并通过预测下一步的值来求解微分方程，从而达到求解常微分方程的目的，且操作简单、容易理解。
但是，由于其步长的不动性，往往使得其精度较低，因此，当遇到复杂环境时，Euler法的表现就有些不尽如人意。
此外，另一种常见的数值解法是奇异点法。
此法将一个微分方程情况分解成多个分段函数，每一段函数都可以精确求解，从而可以求解复杂的微分方程。
它的特点是分段的每一部分的精度和复杂度都较低，而且运行效率也较快，但是，奇异点法的精度需要在段间合理设定，然后再进行微调，以保证数值模拟的准确性。
其次，Runge-Kutta法是一种常用的数值解法，它可以有效地求解一些常微分方程，其原理是利用积分函数插值，然后利用积分函数求近似值，最后根据边界条件求取解析结果。
Runge-Kutta法的步长可以随着计算过程的进行而逐步变化，这样可以使得误差得到有效控制，而且可以有效地控制误差，保证算法精度，但是由于其计算效率较低，因此在求解复杂的常微分方程时，Runge-Kutta法的表现并不尽人意。
最后，前向差分法是一种求解常微分方程的数值解法，它利用求取未知函数的一阶导数和二阶导数的值，然后通过求解一次和二次中点差分的方式，从而得到数值解。
它的有点是能够得到较高的精确度，且即使步长变化时也可以控制误差，但前向差分法要求在微分方程中必须有高阶导数，这就要求微分方程是复杂的，除此之外，除了必须计算高次导数外，它的计算量也比较大。
高等数学小论文—微分在生活中的应用
微分在生活中的应用1.计算利率和复利：在金融领域，微分可以用来计算利率和复利。
在实际应用中，微分被用于计算连续复利。
假设本金为P，年利率为r，投资时间为t年，那么根据微分的思想，t年后本金和利息之和可以表示为P(1+rt)。
这个公式可以方便快捷地计算出投资在一段时间后的增长倍数，为我们进行投资决策提供了依据。
2.预测未来走势：在经济学中，微分被用来描述变量之间的关系，如价格和需求量之间的关系、成本和产量之间的关系等。
这种关系通常被表达为微分方程或差分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到变量随时间变化的规律，从而预测未来的走势。
例如，在商品市场中，价格和需求量之间的关系可以通过微分方程来表示。
通过对这个方程的求解，我们可以预测在未来一段时间内，价格会如何变化，需求量会如何变化，从而制定出更加合理的经济政策。
3.优化生产过程：在工业生产中，微分可以帮助我们优化生产过程。
具体来说，通过对生产过程中的各种变量进行微分分析，可以找出哪些变量对生产效率有影响。
然后，我们可以通过调整这些变量的参数来优化生产过程，提高生产效率。
例如，在生产汽车零部件时，通过对生产过程的微分分析，可以找出对生产效率影响较大的环节，如刀具磨损、模具寿命等，并采取措施来优化这些环节，从而提高生产效率。
4.医学成像：在医学领域，微分也被广泛应用于医学成像。
例如，在CT扫描中，微分被用来重建图像。
具体来说，CT扫描是通过测量人体不同部位在不同时间点的辐射量来重建图像的。
而微分则可以用来分析和处理这些测量数据，以重建出更准确的图像。
在这个过程中，微分可以帮助我们更好地理解图像的形成过程和人体内部的结构特征，为医生的诊断和治疗提供依据。
5.计算机科学：在计算机科学中，微分被广泛应用于机器学习和人工智能领域。
例如，深度学习模型中的反向传播算法就使用了微分。
通过微分，我们可以计算出模型参数的更新量，从而优化模型的性能。
6.自然科学研究：在自然科学领域，微分被广泛应用于物理、化学、生物学等学科的研究。
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常微分方程的积分因子每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。
课本中只介绍了仅关于x 或仅关于y 的积分因子，这还远远不够。
此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。
积分因子的定义：若对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，为一恰当方程，即存在函数V ，使Mdx Ndy dV μμ+=． 则称(),x y μ为方程（1）的积分因子．通过计算可得，函数(),x y μ为0Mdx Ndy +=积分因子的充要条件为：()()M N x y μμ∂∂=∂∂，即M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1.1、定义1 若方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1) 的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，则称(1)式为恰当微分方程. 1.2、定义2 如果存在连续可微的函数μ=0),(≠y x μ，使得 ),(y x μdx y x M ),(+ ),(y x μdy y x N ),(=0 为一恰当微分方程，即存在函数v ，使dv Ndy Mdx ≡+μμ， 则称),(y x μ为方程(1)的积分因子.1.3 、定义3 函数),(y x μ为(1)的积分因子的充要条件是y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ，即是μμμ)(x Ny M y M xN ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 2.1 结论1：方程（1）具有积分因子μ=)(y x ±μ的充要条件为1))((-∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(y x ±μ为方程的积分因子，y x t +=，则dt d y t x μμμμ=∂∂∂∂=∂∂,（2）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d M N y x μμ)()(1-+ ∴M N xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(1+≡)(y x F +∴1))((--∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e 则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x f -命题得证。
结论2：方程（1）具有积分因子μ=)(xy μ的充要条件为x Ny M ∂∂-∂∂=)(xy F 1)(--Mx Ny积分因子为μ=⎰)()(xy d xy F e证明：""⇒设μ=)(xy μ为方程的积分因子，xy t =，则ydt d x μμ=∂∂,x dt d y μμ=∂∂（3）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d Mx Ny xy μμ)()(1- ∴Mx Ny x Ny M -∂∂-∂∂=dt d xy μμ)(1≡)(xy F∴1))((--∂∂-∂∂Mx Ny x Ny M =)(xy F 为方程具有形如)(xy μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若Mx Ny xN y M -∂∂-∂∂≡)(xy F 取μ=⎰)()(xy d xy F e则有x Ny M ∂∂-∂∂≡)(xy F )(Mx Ny - 即x N Ny xy F xy MxF y M ∂∂+≡+∂∂)()(,两边乘以μ且由（3），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.从而得证. 结论3：方程（1）具有积分因子μ=)(22y x ±μ的充要条件为 1))((-∂∂-∂∂My Nx x N y M =)(22y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(22222y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(22y x +μ为方程的积分因子,22y x t +=，则dt d xx μμ2=∂∂,dt d y y μμ2=∂∂ （4） 由(1)得 x Ny M ∂∂-∂∂=dt d My Nx y x μμ)22()(122-+ ∴My Nx xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(222+≡)(22y x F + ∴1))((--∂∂-∂∂My Nx x N y M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件.""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e 则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F -所以命题得证.结论4：方程（1）具有积分因子μ=)(x yμ的充要条件为x N yM ∂∂-∂∂=)(x y F 12)(-+x M x Ny积分因子为μ=⎰-)()(x yd x y F e证明：""⇒设μ=)(x y μ为方程的积分因子，x y t =，则2x y dt d x-=∂∂μμ,x dt d y 1μμ=∂∂（5）由(1)得 x N y M ∂∂-∂∂=dt d x M xyN x y μμ)1()(12--∴x M x Ny xNy M +∂∂-∂∂2=dt d x y μμ)(1-≡)(x y F∴x N yM ∂∂-∂∂=)(x y F 12)(-+x M x Ny 为方程具有形如)(xy μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若x M x Ny x Ny M +∂∂-∂∂2≡)(x y F ,取μ=⎰-)()(xyd x y F e则有x N y M ∂∂-∂∂≡)(xy F 12)(-+x M x Ny 即x N Ny xy F xy MxF yM ∂∂+≡+∂∂)()(,两边乘以μ且由（5），得μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.从而得证. 结论5：假设（1）式中),(y x M 和),(y x N 满足关系x N y M ∂∂-∂∂=)()(y Mg x Nf -，其中)(),(y g x f 分别为x 和y 的连续函数，则方程（1）的积分因子为:⎰⎰+=dyy g dx x f )()(exp(μ）证明：由),(y x M 和),(y x N 存在关系得)()(x Nf x Ny Mg y M +∂∂=+∂∂两边同乘以μ，得⎰⎰+dy y g dx x f )()(exp(）)]([y Mg y M +∂∂=⎰⎰+dy y g dx x f )()(exp(）)]([x Nf x N +∂∂从而y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ根据定义3知⎰⎰+=dyy g dx x f )()(exp(μ）为方程（1）的积分因子.结论6：变量分离方程0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 有积分因子)()(1x P y N =μ.证明：用)()(1x P y N =μ乘以变量分离方程两端，得0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M这个方程是恰当方程，因此变量分离方程的积分因子为)()(1x P y N =μ结论7：设函数)(xy f +)(xy g 连续可微且)(xy f ≠)(xy g ，则方程 0)()(=+dy xy xg dx xy yf有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ证明：令xy u =，则原方程可化为)()]()([=+-du u g dx x u g u f u两边乘以1)])()([(--=xy g xy f xy μ，得0)]()([)(=--du u g u f u u g x dx这是一个恰当微分方程，因此原方程有积分因子1)])()([(--xy g xy f xy∴得证.例题例1求()20y x dx xdy --=的积分因子． 解 因为2M y x =-，N x =-，且1M y ∂=∂，1N x ∂=-∂，则2M Ny x N x ∂∂-∂∂=-， 于是积分因子为22dx xe x μ--⎰==．例2 求()()cos sin sin cos 0y x x x dx y x x x dy -++=的积分因子．解 因为cos sin M y x x x =-，sin cos N y x x x =+，且1M Ny xM ∂∂-∂∂=-， 于是积分因子为(),dyyx y e e μ⎰==．例3求方程()()3223322223230x x y y y dx y xy x x ++-+++-=的积分因子．解 因为322323M x x y y y =++-， 322223N y xy x x =++-，且()12M N N M y x x y -⎛⎫∂∂--=- ⎪∂∂+⎝⎭，只与x y +有关，于是有积分因子 ()()22,d x y x y x y ex y μ-++⎰==+参考文献[]1王高雄, 朱思铭，周之铭，王寿松，李艳会.常微分方程（第三版）［M ］.北京：高等教育出版社，2006.[]2王兴涛.常微分方程［M ］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003. []3丁同仁.常微分方程基础［M ］.上海：上海科学技术出版社，2003.。