结构动力学有限元法
结构动力学的有限元法
二、单元分析
单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。
动态分析中，单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特性矩阵。
e 在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 q ，则单元
内也产生相应的虚位移 d 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为:
K M 0
2
上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题可以求出n个特
2 和相对应的n个特征向量 征值 12 , 12 ,, n
1 ,2 ,n 。其中特
征值ωi(i=1,2,…..,n)就是结构的i阶固有频率，特征向量{Φi} i(i=1,2,…..,n)就是结构
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
集中质量矩阵：是一个对角阵，因而可简化动态计算，减小存储容量。利 用这种矩阵计算出的结构固有频率偏低。不过有限元模型本身比实际结构 偏刚，两者相互补偿，计算出的固有频率反而更接近真实值。 一致质量矩阵：由于分布较合理，因此可以求得更精确的振型，另外，整 个模型的质量分布还受网格划分形式的影响。
e
一般仍采用与静力分析相同的形函数，[N]。当单元数量较多时，上述 插值可以得到较好的插值精度。 4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为
= B q e = D B q
e
但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t
变化的函数。
分别为结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
i 1
n
其中[K]与静力分析中的总刚度矩阵完全相同，矩阵[M]、[C]也采用与 [K]相同的集成方式，即
7.2 结构动力学的有限单元法
B：应变矩阵 ν：线性阻尼系数
三、结构的动力学方程
单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，要用来形成整体 的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。在不考虑体积力的条 件下，整个结构的动力学方程为：
& & Mδ& + Cδ + Kδ = f
当f = 0, c = 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程
四、有限元法求解动力学问题实例
设第j个梁单元的单位长度质量为m 抗弯刚度为EI 设第j个梁单元的单位长度质量为mj, 抗弯刚度为EIj， 长度为L 两端的节点编号为j j+1，节点j 长度为Lj， 两端的节点编号为j和j+1，节点j的横向 位移为u 角位移为u 节点j+1的横向位移为u 位移为uj1, 角位移为uj2, 节点j+1的横向位移为uj3, 角 位移为u 位移为uj4。设梁单元的广义坐标向量为：
关于振型的正交性
δ K δm = δ ω M δm
2 m
^ T n
^
^ T n
^
2 δ K δ m = δ ωn M δ m
^ T n
^
^ T n
^
(ω − ω ) δ M δ m = 0
2 m 2 n
^ T n
^
ω ≠ω
2 m
^ T n ^
2 n
δ M δm = 0
^ T n
^
同样可以求得 δ K δ = 0 振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交 m
ω T = [ω1 ω 2 ... ω N ]
四、方程的特征值及振型的正交性
对于齐次代数方程 ( K − ω M ) δ = 0 ，只能求得振型矢量 的各元素的相对值。
有限元 第9讲 动力学问题有限单元法
有限元第9讲动力学问题有限单元法动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。
有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。
本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。
动力学问题的定义动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。
动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。
稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。
动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。
确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。
在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。
例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。
有限单元法的基本概念有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。
有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。
有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态通过定义一定数量的节点来确定。
2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。
3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。
4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结构自由度减少到实际问题所需要的自由度。
5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状态。
6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。
结构动力响应分析-有限元法
第十二章结构动力响应分析第一节常见的动态载荷类型第二节强迫动力瞬态响应分析第三节谱分析第四节频率响应分析返回第一节常见的动态载荷类型图12-1突加的动态载荷p t0当物体或结构在动态力（或载荷）的作用下时，它的响应就是动态响应，严格地说结构都是在动态力的作用下，只不过有的力随时间变化的很慢，所以为了简化计算，工程中有许多问题简化为静态问题来计算。
但随着科技的发展，计算机及计算手段的发展，目前许多设计中都必须考虑动态问题。
正确地识别动态载荷是正确计算动态问题关键之一，目前工程中常见的动态载荷有：1）突加的动态载荷（见图12-1）返回图12-2 简谐激振力p t 0图12-3 起重机类型pt 0图12-4 脉冲或冲击p t0t 0p 2）简谐激振力（电机等）（见图12-2）3）起重机类型（见图12-3）4）脉冲或冲击（见图12-4）返回5）随机型的激力（路面谱力，地震谱力）（见图12-5）图12-5 随机型的激力pt图12-6冲击波6）冲击波（原子弹爆炸或热冲击等）（见图12-6）返回9）各种表格表示的动载荷（即有一个时间t 就有一个力F （t ）值所描述的不规则曲线）N 3。
图12-7 移动载荷tt 0t 1t 2…………v8）转动轴等在交变应力下的动态载荷7）移动载荷（见图12-7）返回第二节强迫动力瞬态响应分析[][]{}(){}t R K C M =+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙∙∙δδδ][[][]{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙∙∙∙∙y r r r r M K C M δδδδ][][当结构受随时间变化的强迫力或基础的加速度的作用时，求解结构的瞬态位移或瞬态应力响应,叫强迫动力响应或响应历程分析。
强迫力可以是作用于结构上任一节点的任一个自由度上的力（或力矩），或者是基础在三个方向上的加速度运动（或转动）。
而输入的强迫函数可用表格表示的冲击、脉冲或其它任意不规则的力和运动，也可用正弦函数表示。
结构动力学问题的有限元法
K Q
K Q
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m
或改写为：
C K M Q
代入：
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中：
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。 i
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
结构动力学方程及有限元方程
，则：
• 方程的通解为：
• 则n 自由度无阻尼系统受迫振动广义坐标下的稳态响应为：
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返回
8.5 复杂系统动力学模型
• 对于复杂机械系统多用拉格朗日法研究其动力学模型，在广义坐标、 功和能的基础上建立微分方程，即：
• 式中 T ——系统动能； • U ——系统势能； • D ——虚功； • j Q′ ——广义势力； • j q ——系统广义坐标。
8.2 单元特性矩阵
• 其单元质量矩阵[M]为2× 2阶矩阵。其集中质量矩阵为：m =W / g = ρ Al ，载荷均匀分布，节点i和节点 j各承担m / 2。则有：
• 杆单元的形函数矩阵为：
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8.2 单元特性矩阵
• 则杆单元的一致质量矩阵为： • （2）三角形平面单元的一致质量矩阵为：
的微分方程的求解问题，式（8.72）则可以写为：
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8.4 振动系统响应分析
• 利用单自由度的概念和方法，可得到稳态响应为： • hr（ t） 为第r 阶模态的脉冲响应函数，则： • 代入整理得：
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8.4 振动系统响应分析
• 系统施加的初始条件为{δ (0)}和
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8.3 固有特性分析
• 将解代入振动方程中，同时消去因子e jω t ，得：
• 系统的固有频率和振型是结构固有的特性，它仅与结构的质量和刚度 有关，而与外界影响无关。外界扰动只能影响振幅，不能改变其固有
频率，若要改变结构的固有频率，只能从改变结构的质量或刚度入手， 固有频率是结构动力性能的一个重要标志。
8.4 振动系统响应分析
• 则n 自由度无阻尼系统自由振动广义坐标下的稳态响应为：
动力学问题的有限元法（ＰＤＦ）
第七章 动力学问题的有限元法结构动力学是研究动载荷作用下结构动力反应规律的学科，讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法，寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系。
研究结构在动力荷载作用下的反应规律，能够为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
前面介绍的静力学问题的研究对象是受不随时间变化的载荷作用。
而动力学问题的对象受随时间而变的载荷的作用，从而使在结构中产生的位移、速度、应力和应变都随时间而变。
当结构受随时间变化的载荷作用，且这种载荷的作用对结构的变形和应力的产生起主要作用，以致影响设备的安全性，或舒适性。
这时就要进行动力学分析，充分认识其规律性，从设计阶段就抑制这种不利状况的发生。
例如，有时虽然动载荷不大，但结构在交变力的作用下，其某些固有频率与激励力的作用频率相接近时，就会引起很大的振动、变形或应力，这时，就必须对结构作动力学分析。
又如，要利用结构在周期性作用力驱动下的定向振动，例如利用这种运动输送产品，这时，就必须巧妙地设计结构，使其具有某些与激励频率一致的固有频率，并且使结构对激励具有适当的响应能力。
总之，不管是利用振动，还是抑制振动，都需要进行结构动力学分析。
当前结构动力学的研究内容有三类。
第一类问题：反应分析（结构动力计算），第二类问题：参数（或称系统）识别，第三类问题：荷载识别。
第一类问题是已知系统动态特性和动载荷作用部位及大小，求出系统的响应——随时间变化的位移，速度，加速度和应力等。
第二类问题是已知系统的输入输出特性，分析系统固有的动态特性，结构模态分析就属于这一类问题。
第三类问题是在已知系统动态特性的条件下, 通过测量系统的响应,或由响应准则预先给出响应要求, 以此识别对响应的外载荷。
三类结构动力学研究内容的载荷、结构和响应之间的关系如图7-1所示。
动载荷种类大致分类如图7-2所示。
图7-1 结构动力学研究的内容图7-2 动载荷种类本章主要介绍结构动力学分析的基础知识，并主要介绍系统固有特性的有限元分析方法——有限元模态分析。
结构动力学有限元法
100%
动力响应分析
研究车辆、风、地震等外部激励 下桥梁的动力响应，评估其安全 性能。
80%
稳定性分析
分析桥梁在极端载荷下的稳定性 ，确保其正常工作。
建筑结构的抗震分析
地震作用下的结构响应
通过有限元法模拟地震对建筑 结构的作用，计算结构的位移 、加速度等响应。
结构抗震性能评估
根据计算结果评估建筑结构的 抗震性能，优化设计以提高其 抗震能力。
局限性
由于结构动力学有限元法需要进行大量的数值计算和存储，因此 对于大规模复杂结构的分析可能会面临计算效率和精度方面的问 题。此外，对于一些特殊结构和复杂工况，可能需要采用特殊的 建模和分析方法。
04
结构动力学有限元法的应用实例
桥梁结构的动力学分析
80%
桥梁结构的模态分析
通过有限元法计算桥梁的固有频 率和振型，了解其自振特性。
结构减震设计
利用有限元法进行减震设计， 如设置隔震支座、阻尼器等， 降低地震对结构的影响。
机械设备的动态特性分析
01
设备模态分析
02
设备振动分析
03
设备优化设计
通过有限元法分析机械设备的固 有频率和振型，了解其动态特性。
研究机械设备在工作过程中的振 动情况，分析其振动原因和影响。
根据动态特性分析结果，优化机 械设备的设计，降低振动和噪声。
用于分析电磁场的分布和变化规律，如电机、变 压器、天线等。
流体动力学
用于模拟流体在各种条件下的流动特性，如航空 、航海、管道流动等。
热传导分析
用于分析温度场的变化和热量传递规律，如热力 管道、电子设备等。
有限元法的研究意义
提高工程设计的可靠性和安全性
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A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
CAUC
CAUC
i
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。
CAUC
CAUC
平面三节点，三角形单元 1 0 At 0 团聚质量阵： m 3 0 0 0
1 2 0 1 4 一致质量阵： m At 3 0 1 4 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
T
ˆ P K P K
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
e N N dV e
CAUC
e
CAUC
式中：
M
e
在介质中运动的质点还会受到阻尼，大小与速度成正比，方 向与速度方向相反，则单位体积的阻尼力为： u
相当于另一种体积分布载荷，方向与加速度方向相反。 将单元内的惯性力与阻尼力作为体积分布载荷，再按做功相 等的原则等效分配到单元的各节点上，记为：
dV Q N u
Power Dynamics法；
减缩法（Reduced/Householder）； 非对称法（Unsymmetric）；
阻尼法（Damp）；
QR法。 阻尼法和QR法允许结构中存在阻尼。
CAUC
CAUC
模态分析过程：
1、建 模 ——只有线性行为有效 2、加载及求解 进入ANSYS求解器；指定分析类型和分析选项； New Analysis：Modal[ANTYPE] 指定分析类型为模态分析 Modal Extraction Method[MODOPT] 选择7种模态提取方法中的一种 3、扩展模态 若在POST1中观察结果，必须先扩展阵型即将阵型写入结果 文件。 4、观察结果
N N dV
T T
C N N dV
e
当ρ和μ在单元内部是常数值时，
e C M
e
比例阻尼
对于结构静力学问题，求出整体刚度阵后，有限元节点位移方程为：
K Q
CAUC
CAUC
或改写为：
K Q
m e
i i (i l 1)
10 s
CAUC
CAUC
五、ANSYS动力学分析
模态分析是确定结构的振动特性，即固有频率和阵型。ANSYS 的模态分析是线性分析，任何非线性特性都将忽略。 ANSYS提供了7种模态提取方法，它们分别是： 子空间法（Subspace）； 分块兰索斯法（Block Lanczos）；
T
其中： I 是单位阵
0 1 2 n 0
CAUC
CAUC
T
变换法的思想就是用迭代的方法来构成阵型矩阵[Φ]，就是寻 找一系列变换矩阵[P(i)]，使得[K]和[M]经过一系列的变换逐渐化 为对角阵。
ˆ P M P M
代入特征值方程，得：
满足上面方程组的解及其相应的矢量称为特征值和特征向量。 特征方程：
K M 0
CAUC
CAUC
广义雅克比法： 特征阵 M ) 0
K M
1 2 n
T M I K
u N e N u e N u
结构在运动中，各点除位移外，还有速度和加速度。
e
N 为形函数，与时间无关
CAUC
CAUC
按达朗伯原理，有加速度的质量应附加有惯性力载荷。如 材料的密度为ρ，则结构内单位体积的惯性力为： u 相当于体积分布载荷，方向与加速度方向相反。
在机械结构的动力学分析中，利用弹性力学有限元法建立 结构的动力学模型，进而可以计算出结构的固有频率、阵型等 模态参数以及动力响应。
CAUC
CAUC
二、结构的动力方程
在动态情况下，结构承受的载荷可随时间变化，是时间的 函数。在有限元法中，将载荷分配到节点上，节点载荷列阵也 是时间的函数。
Q Q(t )
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e 1
C K M Q
其中：
M M C C
1 2
1 2 0 1 4 0 1 4
对称 1 2 0 1 4 0
1 2 0 1 4
1 2 0
CAUC
CAUC K 0 M
四、特征值问题及其解法
自由振动方程： 基本解的形式：
(t ) sin t
( K 2 M ) 0
e T
dV Q N u
e T
CAUC
CAUC
而：
N u
e
e
e N u
T
代入：
dV Q N u
T T
M N N dV
CAUC
结构动力学问题的有限元法
2010年8月22日
CAUC
CAUC
一、结构动力学分析的任务
1、求出结构的动态特性，主要是求出结构的固有频率和阵型； 2、求出结构对随时间变化的载荷的响应，即结构在动载荷作用下 的运动规律、应力。 任务之一是解决结构能否正常工作问题，同一动载荷作用下， 不同结构的响应是不同的，响应的大小直接与结构的固有频率有 关。任务之二是解决结构能否可靠工作问题，有了结构各点的应 力时历曲线，可进行响应的极值分析和结构疲劳寿命估计。
CAUC
CAUC
CAUC
CAUC
CAUC