有效值 平均值和平均功率
29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数： 可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为： 代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 对于同一非正弦周期电流， 量时，会得到不同的结果。例如： 量时，会得到不同的结果。例如： 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 用磁电系仪表（直流仪表）测量， 的恒定分量； 的恒定分量； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 因此，在测量非正弦周期电流和电压时， 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值,平均值和平均功率,非正弦周期电流电路的计算
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量 任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波 分量的代数和。
10
例 周期性方波信号的分解 iS
解
iS
(t
)
I
m
0
0tT 2
T t T 2
Im
T/2 T
t
a0
1 T
T 0
iS
(t )
dt
1 T
T /2
奇谐波函数： f (t) f (t T ) f (t) 2
a2k b2k 0
t
14
3. 信号的频谱 各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化
的分布图称为信号的频谱。
振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频 率变化的图形称为相位谱。
Um V
5 10
10 2
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
电子示波器内的水平扫描电压锯齿波自动控制计算机等领域的脉冲电路中的脉冲信号和方波信号脉冲电流方波电压非正弦周期电路的分析把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号称为非正弦周期信号的各次谐波
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 §13-3 有效值、平均值和平均功率 §13-4 非正弦周期电流电路的计算
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2
sin ktd(t) 0
2
cos ktd(t) 0
k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin 2 ktd(t) 2 cos2ktd(t)
交流电的有效值和平均值定义与计算
交流电的有效值和平均值交流电流的有效值按电流的热效应来规定，定义为：因此，有效值也叫均方根值．有效值的意义是：在一个周期的时间，交流电流通过电阻R产生的热量与稳恒电流通过同一个电阻产生的热量相等．或者说，就电流通过电阻产生的热量说，（变化）与（稳定）等效．类似地，交流电压、交流电动势的有效值定义为：不同波形的交流电，有效值与最大值的关系不同．对正弦交流电，，由定义得：=即正弦交流电的有效值等于最大值被除．对下图所示的方波说，由定义显然可得有效值与最大值相等．对下图所示的三角波和锯齿波说，由定义可得有效值等于最大值被除．．交流电在一个周期的平均值为零，而技术上应用的交流电的平均值是指在一个周期交流电的绝对值的平均值．也等于交流电在正半个周期的平均值．即：= ，= ，=不同波形的交流电，平均值与最大值的关系不同．对正弦交流电，由定义得：= = = 0×637Im正弦交流电的有效值与平均值之比为：．对于方波：对于三角波、锯齿波，由定义得：=交流电的有效值与平均值是两个不同的概念，一般说，有效值比平均值大．实用上用得最多的交流电是正弦交流电．交流电的最大值、有效值、平均值中，有效值用得最多．这是因为我们在讨论交流电的平均功率时很自然地要引用有效值的概念．对正弦交流电，设：，则：= ==所以：==由此可见，从计算交流电的平均功率上看，交流电的有效值与稳恒电流的值相当．我们常用磁电式电表指针偏转的角度正比于通过偏转线框的电流强度．对单向脉动电流说，指针偏转角度正比于电流的平均值．在磁电式电表上加接整流二极管用来测量交流电流时，电表真正测量的是交流电流的平均值．因为有效值用得最多，几乎所有的交流电表的表盘都是按“有效值”来刻度的，这一点我们应该特别注意．电磁式电表指针偏转的角度正比于电流的平方，这是与磁电式电表不同的地方．。
非正弦周期函数的有效值和平均功率
iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
30第三十讲 拉普拉斯变换的定义和基本性质
设：L[ f ( t )] = F ( S )
L[e −αt f ( t )] = F ( S + α )
例１４－５ １４－
证： L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = e − st0 F ( s )
L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = ∫ f (t − t0 )ε (t − t0 )e − st dt
= F1 ( S ) F2 ( S )
证明
证： L[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] =
∫
∞
0
∫
t
t f (t − ξ ) f (ξ )dξ dt e ∫ 1 2 0
频域导数性质
L[ f (t )] = F ( s)
L[ f / (t )] = sF ( s ) − f (0 − )
设：L[ f ( t )] = F ( S )
dF ( S ) L[− t f ( t )] = dS
证明
例１４－３ １４－
证： L f / (t ) = SF (S ) − f (0 − ) 设： u = e − st
第十四章 线性动态 电路的复频域分析
§１４－１ 拉普拉斯变换的定义 １４－ §１４－２ 拉普拉斯变换的基本性质 １４－ 重点： 重点： 拉普拉斯变换； １、拉普拉斯变换； 拉普拉斯反变换； ２、拉普拉斯反变换； ３、拉普拉斯变换的基本性质。 拉普拉斯变换的基本性质。
一、知识回顾
１、有效值、平均值和平均功率 有效值、 ２、谐波分析法 １３－ ３、作业讲解：Ｐ341 １３－６ 作业讲解：
f (t ) = ε (t )
F ( s ) = L[ f (t )] = ∫ ε (t )e dt = ∫ e − st dt
电流有效值和平均值
电流有效值和平均值电流是电荷在电路中流动时所带电荷的量度。
在电路中，我们常常会提到电流的有效值和平均值，这两个概念对于理解电流的性质和应用非常重要。
电流的有效值是指交流电流中等效于相同功率的直流电流值。
在交流电路中，电流的大小是随时间变化的，通过对电流的波形进行采样和计算，可以得到电流的有效值。
有效值的计算方法是将电流的每个采样点的平方值求平均后再开平方根。
这是因为交流电流的波形是正弦波形，它的平方和的平均值等于平方根的平方。
在电路设计和分析中，有效值常常用来计算电流通过电阻、电容或者电感时的功率损耗。
例如，在家庭用电中，我们常常使用交流电，而电器的功率通常是以有效值来标识的。
通过使用有效值，我们可以更准确地计算电器的功耗，并且可以更好地设计电路以满足功率要求。
另一方面，电流的平均值是指电流波形在一个周期内的平均值。
对于直流电流来说，平均值等于电流的值。
但对于交流电流来说，由于其波形的周期性变化，平均值并不等于电流的值。
交流电流的平均值计算方法是将电流波形在一个周期内的面积除以周期的长度。
平均值在某些特定情况下非常有用。
例如，在交流电路中，平均值可以用于计算电压和电流的相位差。
此外，平均值也可以用来计算电路中的功率因数，即有用功与视在功的比值。
功率因数对于电路的效率和运行稳定性非常重要。
总结起来，电流的有效值和平均值是电流波形的两个重要的量度。
有效值用于计算功率损耗和电器功耗，平均值用于计算相位差和功率因数。
通过准确理解和应用这两个概念，我们可以更好地设计和分析电路，提高电路的效率和稳定性。
对于电流的研究和应用，这两个概念是不可或缺的。
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
交流电的有效值和平均值定义和计算
交流电的有效值和平均值交流电流的有效值按电流的热效应来规定，定义为：因此，有效值也叫均方根值．有效值的意义是：在一个周期的时间内，交流电流通过电阻R产生的热量与稳恒电流通过同一个电阻产生的热量相等．或者说，就电流通过电阻产生的热量说，（变化）与（稳定）等效．类似地，交流电压、交流电动势的有效值定义为：不同波形的交流电，有效值与最大值的关系不同．对正弦交流电，，由定义得：=即正弦交流电的有效值等于最大值被除．对下图所示的方波说，由定义显然可得有效值与最大值相等．对下图所示的三角波和锯齿波说，由定义可得有效值等于最大值被除．．交流电在一个周期内的平均值为零，而技术上应用的交流电的平均值是指在一个周期内交流电的绝对值的平均值．也等于交流电在正半个周期内的平均值．即：= ，= ，=不同波形的交流电，平均值与最大值的关系不同．对正弦交流电，由定义得：= = = 0×637Im正弦交流电的有效值与平均值之比为：．对于方波：对于三角波、锯齿波，由定义得：=交流电的有效值与平均值是两个不同的概念，一般说，有效值比平均值大．实用上用得最多的交流电是正弦交流电．交流电的最大值、有效值、平均值中，有效值用得最多．这是因为我们在讨论交流电的平均功率时很自然地要引用有效值的概念．对正弦交流电，设：，则：= ==所以：==由此可见，从计算交流电的平均功率上看，交流电的有效值与稳恒电流的值相当．我们常用磁电式电表指针偏转的角度正比于通过偏转线框的电流强度．对单向脉动电流说，指针偏转角度正比于电流的平均值．在磁电式电表上加接整流二极管用来测量交流电流时，电表真正测量的是交流电流的平均值．因为有效值用得最多，几乎所有的交流电表的表盘都是按“有效值”来刻度的，这一点我们应该特别注意．电磁式电表指针偏转的角度正比于电流的平方，这是与磁电式电表不同的地方．。
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kt
sin
ptd(t)
0
2
0
π
cos
kt
cos
ptd(t
)
0
2π
0
sin
kt
sin
ptd(t)
0
k p
返回 上页 下页
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t) I 0 I km cos(k1t k ) k 1
则有效值:
I 1 T i 2 tdtT0Fra bibliotek1 T
T 0
I
0
k 1
I km
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 2
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(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57 mV
U3
12.47 2
89.2
mV
U1
5000 2
00 mV
U5
4.166 2
89.53mV
u U0 u1 u3 u5
1.57 5000sint 12.47sin(3t 89.2 ) 4.166sin(5t 89.53 ) mV
②对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各 谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、L 相于短路。）
③将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
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2. 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
(k uk ik )
Uk
U km 2
, Ik
I km 2
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P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
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13.4 非正弦周期电流电路的计算
1. 计算步骤
①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号；
μA
1
1
0.33k
31C 3106 1000 1012
iS 3
R C
u
31L 3106 103 3kΩ
L
Z
(31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC 3) XC 3)
374.5
89.190
U3
IS 3
Z
(31 )
33.3
106 2
374.5
89.190
12.47 89.20 mV 2
返回 上页 下页
4.非正弦周期交流电路的平均功率
u(t) U 0 U km cos(k1t uk )
k 1
i(t) I 0 I km cos(k1t ik )
k 1
P
1 T
T
0
u
idt
利用三角函数的正交性得：
P U0I0 Uk Ik cosk k 1
P0 P1 P2 ......
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t) I 0 I km cos(k1t k ) k 1
其平均值为：
1T
I av T
i(t) dt
0
正弦量的平均值为：
1
I av T
T 0
Im
cos(1t) dt
4I m T
T
4 0
cos(1t
)dt
4Im T
T
sin(1t) 4
0
0.898I
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(d)五次谐波作用
is 5
100 5
sin
5 106t
μA
1
1
0.2k
51C 5 106 1000 1012
iS 5
R
Cu
51L 5 106 103 5kΩ
L
Z
(51 )
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U5 Is5 Z (51) 20 106
100 3
sin
3
106 t
μA
is 5
100 5
sin 5 106t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5μA
IS0
Ru
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 1.57mV
返回 上页 下页
（b)基波作用 is1 100sin106t μA
Ik
I km 2
cos(k1t k )dt
0
1 T
T
0
2 I km
cos(kt
k
k )Iqm
q
cos(qt
q
)dt
0
返回 上页 下页
I
I
2 0
k 1
I
2 km
2
I
2 0
I
2 k
k 1
I
I2 0
I2 1
I2 2
结论 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分
量有效值平方和的方根。
返回 上页 下页
1
1
1kΩ
1C 106 1000 1012
iS1
R
Cu
1L 106 103 1kΩ
L
XL>>R
Z (1)
(R R
jX L ) ( jX C ) j( X L X C )
50kΩ
U1
I1
Z
(1）
100 106 2
5000
5000 2
00
mV
返回 上页 下页
(c)三次谐波作用
is 3
100 sin 3 106t 3
返回 上页 下页
例2
iR
uS = [10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t)
+28.28 cos(51t)+20.20 cos(71t)
uS
+15.71 cos(91t) + ] V, 试求 i 和P。
3
C j9.45
解：分析步骤
①分解；已是级数形式。
cos
k1t
k
2
dt
返回 上页 下页
I
1
T
T 0
I
0
k 1
I km
cos
k1t
k
2
dt
1
T
T 0
I 02dt
I2 0
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t
k )dt
1 2
2 0
I
2 km
cos 2
(k1t
k
)d(1t )
I
2 km
2
I
2 k
1T T 0 2I 0 I km
设：
100 A
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率： 2π 2 3.14 10 6 rad/s
T 6.28 106
返回 上页 下页
电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5μA is1 100sin106t μA
is 3
iS
R
Cu
解 (1) 方波信号的展开式为：
L
iS
Im 2
2Im π
(sin t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
t
0 T/2 T
代入已知数据： Im 157μA, T 6.28μs
返回 上页 下页
直流分量：
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 3.14
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0
π
sin
ktd
(t
)
0
2
0
π
cos
ktd(t
)
0
② sin2、cos2 在一个周期内的积分为。 k整数
2
0
π
sin
2
ktd(t
)
π
2
0
π
cos2ktd(t
)
π
返回 上页 下页
③三角函数的正交性
2π
0
cos