2014届江苏高考数学考前指导卷(1)(含答案)
江苏省苏大附中2014届高考数学1考前指导卷苏教版
苏州大学2014届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x <a }，若A B={x |5<x <6}，则实数a 的值为 ． 2．设(1＋2i)2=a +b i(,a b ∈R )，则ab ＝ ．3．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝ ．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．5．从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是________．6．已知函数2()a y x a x=+∈R 在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =________． 7．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．8．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为 ．9．在△ABC 中，若AB ＝1，3,||||AC AB AC BC =+=，则BA →·BC→|BC →|＝ ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．11．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，则该三棱锥P ABC -的体积为 .12．已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是 ．13．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．14．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝ca ＋b ＋b c的最小值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值．16．如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知AB =1，BC = 2，CD = 4，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥AB ． （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）已知点F 在棱PD 上，且PB ∥平面FAC ，求DF ：FP ．A B C D F P17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （1）若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．18．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P 作直线l ，使得l 与椭圆C 有 且只有一个公共点，设l 与y 轴的交点为A ，过点P 作与l 垂直的直线m ，设m 与y 轴的交点为B ，求证：△PAB 的外接圆经过定点．19．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x．(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －mx有解，求实数m 的取值范围．20．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有33()n n S S 成立，求数列{a n }的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合． (ⅰ)求a 1，a 2的值；(ⅱ)求数列{a n }的通项公式．苏州大学2014届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．6 2．12 3．π2 4．x 220－y 25＝1 5．126．07．108．(1, ＋∞) 9．12 10．533或－ 3 11．1112．(－1,1) 13．214．2－12二、解答题15．(1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π4．(2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎪⎫cos A －352＋435．所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．16．证明（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD = AB ， PA ⊥AB ，PA ⊂平面PAB ，∴ PA ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ．连结AC BD O =，∵AB = 1，BC = 2，CD = 4， ∴12AB BC BC CD ==． ∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ，∴Rt ABC ∆∽Rt BCD ∆． ∴BDC ACB ∠=∠．∴90ACB CBD BDC CBD ∠+∠=∠+∠=︒． 则AC ⊥BD ．∵AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ．（2）∵PB //平面FAC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面FAC= FO ，∴FO ∥PB ，∴DF DOPF OB=. 又∵AB //CD ，且14BO AB OD CD ==，∴DF ：FP=4:1. 17．(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足：当x ∈[10,1 000]时，①f (x )在定义域[10,1 000]上是增函数；②f (x )≤9恒成立；③P FDCBA Of (x )≤x5恒成立．对于函数模型f (x )＝x150＋2．当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9，所以f (x )≤9恒成立．但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增；要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥9823；要使f (x )≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥1925．综上所述，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．18．(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程22221x y a b +=，得y ＝±2b a ．由题意知22b a＝1，即a ＝2b 2，又e ＝ca＝32， 所以a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立0022,1,4y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0．由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0．又220014x y +=，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－4x y ． 所以直线l 方程为0014x xy y +=，令x =0，解得点A 01(0,)y ,又直线m 方程为00043y y x y x =-,令x=0，解得点B 0(0,3)y -, △PAB 的外接圆方程为以AB 为直径的圆方程，即2001()(3)0x y y y y +-+=．整理得：220013(3)0x y y y y +-+-=，分别令2230,0,x y y ⎧+-=⎨=⎩ 解得圆过定点(3,0)±．19．(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)，1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减．(2)由题意：e x<x －m x有解，即e x x <x －m 有解，因此只需m <x －e xx ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e xx ，h ′(x )＝1－e xx －ex2x＝1－e x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x ，因为x ＋12x≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x>1， 所以1－e x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0．故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0．20．(1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为33()n n S S =对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝2a 1＋d 3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0． 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2．当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，33()n n S S =成立；当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以33()n n S S =．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1．(2)(ⅰ)记A n ＝{1,2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1．对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1,2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3． (ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n +1，a n +1＋i ，|a n +1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数． 所以，S n +1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1．又S n +1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫S 1＋12·13n -－12＝12·3n －12．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12·3n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12·13n -－12＝13n -，而a 1＝1也满足a n ＝13n -．所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝13n -．。
2014年江苏高考数学试题含答案(WORD版)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的侧面积公式：cl S =圆柱侧，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长.圆柱的体积公式：Sh V =圆柱，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .2.已知复数2)i 25(+=z （i 为虚数单位），则z 的实部为 ▲ .3.右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ .4.从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ .5.已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0ϕπ≤<)，它们的图象有一 个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ▲ .注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
（第3题）6.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7.在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若21a =， 4682a a a +=，则6a 的值是 ▲ .8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积 分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ， 则21V V 的值是 ▲ . 9.在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ . 10.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2（a ，b 为常数）过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12.如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ， 3=，2=⋅，则⋅的值是 ▲ .13.已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，|212|)(2+-=x x x f ．若函数a x f y -=)(在区间[3,4]-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ▲ .14.若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分） 已知),2(ππα∈，55sin =α．（1）求)4sin(απ+的值；（2）求)265cos(απ-的值．ABD CP （第12题）底部周长/cm（第6题）16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点．已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =．求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面⊥BDE 平面ABC ．17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1．（1）若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；（2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．18.（本小题满分16分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O正东方向170m 处（OC 为河岸），34tan =∠BCO ．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 19.（本小题满分16分）已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数． （1）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立．试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论．20.（本小题满分16分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”． （1）若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”； （2）设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d ．若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立．（第17题）P DC EF B A （第16题） （第18题）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两．．．．．．小题，并在．．．．相应的．．．答题区域内作答．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：D OCB ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x A 121，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1211B ，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y 2α，x ，y 为实数． 若ααB A =，求y x +的值．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
2014届高三数学考前指导
规范答题最重要
1、作图题先用2B铅笔绘出， 再用0．5毫米黑色签字笔描 清楚； 2、必须按各题号的答题区域 答题江苏省大丰高级中学 ; 陈彩余
不按规定的题号答题，答错区域
★ 专家点评：主观题阅卷是按题号进行切割并 送到阅卷老师终端进行评分的，如上15、16题 江苏省大丰高级中学 陈彩余 16题的 相互答错区域，阅 15题的老师看到的是 答案，容易被判失分，同时按考务相关规定有 可能扣分。
江苏省大丰高级中学 陈彩余
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空 题分成两种类型： 一是定量型，要求学生填写数值、数集或数 量关系，如：方程的解、不等式的解集、函 数的定义域、值域、最大值或最小值、线段 长度、角度大小等等．由于填空题和选择题 相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多 数是以定量型问题出现． 二是定性型，要求填写的是具有某种性质的 对象或者填写给定的数学对象的某种性质， 如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、 江苏省大丰高级中学 陈彩余 离心率等等．
12、解应用性问题的思路：审题尤为重 要．审题需将那些与数学无关内容抛开，以 数学的眼光捕捉信息，构建模型，同时要注 意将图形、文字、表格等语言转变为数学语 言．具体做法是：①先全面理解题意和概念 背景②透过冗长叙述，抓重点词句，提出重 点数据③综合联系，提炼数量关系，依靠数 学方法，建立数学模型(模型一般很简 单)．如此将应用问题化为纯数学问题．此外， 江苏省大丰高级中学 陈彩余 求解过程和结果不能离开实际背景．
答。
考生实际书写图像
扫描切割后的电子图像
★ 专家点评： 计算机对主观题的图像切割 是按黑色矩形框进行的，超出黑色矩形框 江苏省大丰高级中学 陈彩余 外的答案会被切掉，超出上下边界相同。
题卡破损及污损
2014年江苏高考数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（Ⅰ）一、填空题1.已知集合{}2,1,3,4A =--，{1,2,3B =-2.已知复数2(52)Z i =-（i 为虚数单位）3.右图是一个算法流程图，则输出的n4.从1,2,3,6这四个数中一次随机地取为 。
5.已知函数cos y x =与函数sin(2y x φ=+点，则ϕ的值是 。
6.某种树木的底部周长的取值范围是[直方图如图所示，则在抽测的60的底部周长小于100 cm..7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2a 8642a a a =+，则6a 的值是 。
8.设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S =，则12VV 的值是 。
9.在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 。
10.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 。
11. 在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += 。
底部周长 cm第6题图12.如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 。
13.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 。
14.若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 。
二、简答题 15.（14分）已知sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，。
2014年江苏省高考数学试卷(含答案)
2014年江苏省高考数学试卷解析参考版答案仅供参考一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上)．【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}A B =-．【考点】集合的运算【答案】21【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． 【考点】复数的概念．【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解．220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =【考点】程序框图．【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 【考点】古典概型．【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．6.【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=． 【考点】频率分布直方图．【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =,则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．【考点】等比数列的通项公式．【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、,22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．【考点】圆柱的侧面积与体积．【答案】2555【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=．【考点】直线与圆相交的弦长问题．【答案】2(2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<． 【考点】二次函数的性质．【答案】2- 【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -,则452b a +=-①,又2'2b y ax x =-,所以7442b a -=-②,由①②解得1,1,a b =-⎧⎨=-⎩所以b=—2，a+b=—3．【考点】导数与切线斜率．【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+,3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-, 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-, 即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=． 【考点】向量的线性运算与数量积．【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点,则有1(0,)2a ∈．【考点】函数的零点,周期函数的性质,函数图象的交点问题．62- 【解析】由已知sin 22sin A B C =及正弦定理可得22a b c +=，2222222(2cos 22a b a b a b cC abab++-+-==223222262262a b ab ab ab +---=≥=,当且仅当2232a b =即23a b =时等号成立，所以cos C 62- 【考点】正弦定理与余弦定理．二、解答题 (本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】（1）1010-;（2)33410+-． 【解析】（1）由题意2525cos 1()55α=--=-， 所以2252510sin()sincos cossin ()444252510πππααα+=+=⨯-+⨯=-． （2）由（1)得4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=, 所以5553314334cos(2)cos cos 2sin sin 2()666252510πππααα+-=+=-⨯+⨯-=-． 【考点】同角三角函数的关系,二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．【答案】证明见解析．【解析】(1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA DEF ⊄平面,DE DEF ⊂平面,所以//PA DEF 平面．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥,所以PE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ABC ⊥平面,又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】线面平行与面面垂直．【答案】（1）2212x y +=；(2)12． 【解析】(1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b ,2222BF b c a =+==又41(,)33C ，∴22241()()3312b+=，解得1b =．∴椭圆方程为2212x y +=． （2)直线2BF 方程为1x yc b +=，与椭圆方程22221x y a b +=联立方程组,解得A 点坐标为2322222(,)a c b a c a c -++,则C 点坐标为2322222(,)a c b a c a c ++,133222232222F C b b a c k a c a c c c a c +==+++,又AB b k c =-，由1F C AB ⊥得323()12b b a c c c ⋅-=-+，即42242b a c c =+,∴222224()2a c a c c -=+，化简得12c e a ==． 【考点】（1）椭圆标准方程；（2）椭圆离心率．【答案】（1）150m ；(2)10m ． 【解析】yx（1)如图,以,OC OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则(170,0)C ，(0,60)A ,由题意43BC k =-，直线BC 方程为4(170)3y x =--．又134AB BC k k =-=，故直线AB 方程为3604y x =+，由4(170)33604y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得80120x y =⎧⎨=⎩,即(80,120)B ，所以22(80170)120150BC =-+=()m ； （2）设OM t =,即(0,)M t (060)t ≤≤，由(1）直线BC 的一般方程为436800x y +-=,圆M 的半径为36805t r -=,由题意要求80,(60)80,r t r t -≥⎧⎨--≥⎩，由于060t ≤≤,因此36805t r -=6803313655t t -==-，∴313680,53136(60)80,5t t t t ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---≥⎪⎩∴1035t ≤≤，所以当10t =时,r 取得最大值130m ，此时圆面积最大．【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离,点到直线的距离．【答案】(1）证明见解析;（2)13m ≤-；（3)当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<,当a e =时,11a e e a --=，当a e >时，11a e e a -->．【解析】（1)证明：函数()f x 定义域为R ，∵()()xx f x e e f x --=+=,∴()f x 是偶函数．（2）由()1xmf x em -≤+-得(()1)1x m f x e --≤-，由于当0x >时，1x e >,因此()2x x f x e e -=+>，即()110f x ->>，所以11()11x x x x e e m f x e e -----≤=-+-211x x x e e e -=+-,令211x x xe y e e-=+-，设1xt e =-,则0t <，21(1)11t t t y t t -+==+-,∵0t <,∴12t t+≤-(1t =-时等号成立）,即1213y ≤--=-，103y -≤<，所以13m ≤-．(3）由题意，不等式3()(3)f x a x x <-+在[1,)+∞上有解，由3()(3)f x a x x <-+得330x x ax ax e e --++<，记3()3x x h x ax ax e e -=-++，2'()3(1)x x h x a x e e -=-+-，显然'(1)0h =，当1x >时，'()0h x >（因为0a >),故函数()h x 在[1,)+∞上增函数，()(1)h x h =最小，于是()0h x <在[1,)+∞上有解，等价于1(1)30h a a e e =-++<，即11()12a e e>+>．考察函数()(1)ln (1),(1)g x e x x x =---≥，1'()1e g x x-=-，当1x e =-时,'()0g x =,当11x e <<-时，'()0g x >,当1x e >-时'()0g x <，即()g x 在[1,1]e -上是增函数,在(1,)e -+∞上是减函数,又(1)0g =，()0g e =，11()12e e +>，所以当11()2e x e e+<<时，()0g x >，即(1)ln 1e x x ->-，11e x x e -->，当x e>时，()0g x <，，即(1)ln 1e x x -<-,11e x xe --<,因此当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e e a --=，当a e >时，11a e e a -->．【考点】（1）偶函数的判断；(2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．【答案】(1）证明见解析；(2）1d =-；(3)证明见解析．【解析】(1）首先112a S ==，当2n ≥时,111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩,所以对任意的*n N ∈，2n n S =是数列{}n a 中的1n +项，因此数列{}n a 是“H 数列”．（2）由题意1(1)n a n d =+-,(1)2n n n S n d -=+，数列{}n a 是“H 数列”，则存在*k N ∈，使(1)1(1)2n n n d k d -+=+-，1(1)12n n n k d --=++，由于(1)*2n n N -∈，又*k N ∈,则1n Z d -∈对一切正整数n 都成立,所以1d =-．（3)首先,若n d bn =（b 是常数)，则数列{}n d 前n 项和为(1)2n n n S b -=是数列{}n d 中的第(1)2n n -项，因此{}n d 是“H 数列”，对任意的等差数列{}n a ，1(1)n a a n d =+-（d 是公差)，设1n b na =，1()(1)n c d a n =--，则n n n a b c =+,而数列{}n b ，{}n c 都是“H 数列”，证毕．【考点】（1）新定义与数列的项,(2)数列的项与整数的整除；（3)构造法．。
2014年苏州市高考数学考前指导卷
．
π 2 x sin （0≤x≤1）的最小值为 g(θ)，则对一切 θ [0, ] ，g(θ)的最大值 x 2 2 cos
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要的文字说明、 ．．．．．．．． 证明过程或演算步骤．
15．如图，三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 的侧面AA 1 B 1 B为正方形，侧面BB 1 C 1 C为菱形，∠CBB 1 = 60°，AB⊥B 1 C． （1）求证：平面AA 1 B 1 B⊥平面BB 1 C 1 C； C C1 （2）若AB＝2，求三棱柱ABC A 1 B 1 C 1 的体积．
20．已知函数 f ( x) x3 3 x 2 ax (a R ) ， g ( x) | f ( x) | ．
（1）求以 P 2, f (2) 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若 g ( x) ≤ kx 对一切 x[0，2]恒成立，求 k 的最小值 h(a) 的表达式； （3）设 a > 0，求 y g ( x) 的单调增区间．
要使竹篱笆用料最省，只需其长度 PQ 最短，所以 PQ 2 x 2 y 2 2 xy cos120 x y xy
2 2
(200 1.5 y )2 y 2 (200 1.5 y ) y 1.75 y 2 400 y 40000 （ 0 y
当y
400 ） 3
200 21 800 200 时， PQ 有最小值 ，此时 x ． 7 7 7 答：（Ⅰ）当 AP AQ 100 米时，三角形地块 APQ 的面积最大为 2500 3 平方米； 200 800 （Ⅱ）当 AP 米 , AQ 米时，可使竹篱笆用料最省． 7 7
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
数学_2014年江苏省泰州市高考数学考前指导试卷(含答案)
2014年江苏省泰州市高考数学考前指导试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ={1, 2}，集合B ={1, a, 3}，且A ⊆B ，则实数a 的值为________．2. 已知复数(1+i)⋅(1−bi)为实数，则实数b 的值为________．3. 为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是10，则n 的值为________．4. 已知命题p:x =1且y =1，命题q:x +y =2，则命题p 是命题q 的________条件．5. 如图是一个算法的流程图，输出的结果是________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，D 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，E 是满足不等式组{x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0的点(x, y)构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是________．7. 设E ，F ，G ，H 是三棱锥A −BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC =BD =1，则EG 2+FH 2的值为________．8. 已知质点P 在半径为10cm 的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1rad/s ，设A(10, 0)为起始点，记点P 在y 轴上的射影为M ，则10π秒时点M 的速度是________cm/s ．9. 用[x]表示不超过x 的最大整数．已知f(x)=x +[x]的定义域为[−1, 1)，则函数f(x)的值域为________．10. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω>0)向右最少平移1个单位长度后为偶函数，则ω的最小值为________．11. 已知正项等比数列{a n }满足：a 6=a 5+2a 4，若存在两项a m ，a n 使得√a m a n =2a 1，则1m +4n 的最小值为________．12. 已知以T =4为周期的函数f(x)={m√1−x 2，x ∈(−1,1]1−|x −2|,x ∈(1,3]，其中m >0．若方程3f(x)=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________． 13. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√32，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β，则cos(α−β)cos(α+β)=________．14.如图，直线l 1，l 2交于点A ，点B 、C 在直线l 1，l 2上，已知∠CAB =45∘，AB =2，设CD →=λAB →，点P 为直线l 2上的一个动点，当λ=________时，|2PB →+PD →|的最小值是3√2．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c ，已知sinC +cosC =1−sin C2，（1）求sinC 的值；（2）若△ABC 外接圆面积为(4+√7)π，试求AC →⋅BC →的取值范围．16.如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，且C 1C =2，点P 是侧棱C 1C 的中点． （1）求证：AC 1 // 平面PBD ； （2）求证：A 1P ⊥平面PBD ；（3）求三棱锥A 1−BDC 1的体积V ．17. 在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 分米(1≤t ≤32)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C 1是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y =cosx −1），此时记门的最高点O 到BC 边的距离为ℎ1(t)；曲线C 2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记门的最高点O 到BC 边的距离为ℎ2(t)．（1）试分别求出函数ℎ1(t)、ℎ2(t)的表达式；（2）要使得点O 到BC 边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时，最大值是多少？18. 如图，过椭圆L 的左顶点A(−3, 0)和下顶点B 且斜率均为k 的两直线l 1，l 2分别交椭圆于C ，D ，又l 1交y 轴于M ，l 2交x 轴于N ，且CD 与MN 相交于点P ，当k =3时，△ABM 是直角三角形． （1）求椭圆L 的标准方程；(2)(I)证明：存在实数λ，使得AM →=λOP →；(II)求|OP|的取值范围．19. 设非零数列{a n }满足a n a n+2=a n+12+λ(−1)n+1(n ∈N +)．（1）当λ=0时，求证：a n−m a n+m =a n 2，(n >m 且m ，n ∈R +)． （2）当a 1=1，a 2=2，λ=3，求证：a n+2=a n +3a n+1．20. 已知函数f(x)=ke x ，g(x)=1k lnx ，其中k >0．若函数f(x)，g(x)在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行． （1）求k 的值；（2）是否存在直线l ，使得l 同时是函数f(x)，g(x)的切线？说明理由．（3）若直线x =a(a >0)与f(x)、g(x)的图象分别交于A 、B 两点，直线y =b(b >0)与ℎ(x)的图象有两个不同的交点C 、D ．记以A 、B 、C 、D 为顶点的凸四边形面积为S ，求证：S >2．选修4-1：几何证明选讲 三．[选做题]在以下四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. （选做题）如图，PA 与⊙O 相切于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B ，C 两点，求证：∠DPB =∠DCP ．四、选修4-2：矩阵与变换22. 如图矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，求变换T 所对应的矩阵M ．五、选修4-4：坐标系与参数方程23. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为{x =−√3ty =1+t (t,t ∈R)．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．六、选修4-5：不等式选讲24. 若不等式|a −1|≥x +2y +2z 对满足x 2+y 2+z 2=1的一切实数x 、y 、z 恒成立，求a 的取值范围．七．[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B ，且AB =AC =A 1B =2． （1）求棱AA 1与BC 所成的角的大小；（2）在棱B 1C 1上确定一点P ，使AP =√14，并求出二面角P −AB −A 1的平面角的余弦值． 26. 设函数f(x)=(1−x)e x −1．（1）证明：当x >0时，f(x)<0；（2）设a 1=1，a n e a n+1=e a n −1，证明对任意的正整数n ，总有a n+1<a n ．2014年江苏省泰州市高考数学考前指导试卷答案1. 22. 13. 1004. 充分不必要5. 636. 14π7. 1 8. 109. [−2, −1)∪[0, 1) 10. 3π411. 73 12. (√153，√7) 13. 35 14. 1或−515. 解：（1）由sinC +cosC =1−sin C2得，2sin C2cos C2=2sin 2C2−sin C2...2分 ∵ sin C2>0，∴ sin C2−cos C2=12 (∗)…4分将(∗)式两边同时平方得，1−sinC =14⇒sinC =34...7分（2）由(∗)式知，sin C 2>cos C 2，从而C 2>π4，从而C 为钝角，∴ cosC =−√74．…9分 根据正弦定理，c =2RsinC ，从而c 2=4R 2sin 2C =94(4+√7)…11分根据余弦定理，又c 2=94(4+√7)=a 2+b 2−2ab ⋅(−√74)≥2ab(1+√74)， ∴ 0<ab ≤92，因此，AC →⋅BC →=abcosC ∈[−9√78, 0)，即AC →⋅BC →范围为∈[−9√78, 0)．…14分．16. （1）证明：连接AC，AC∩BD=O，连接OC1，则O是AC的中点，∵ 点P是侧棱C1C的中点，∴ AC1 // OP，∵ AC1⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，∴ AC1 // 平面PBD；（2）证明：CP=1，CB=1，在Rt△BCP中，PB=√2，同理可知，A1P=√3，A1B=√5所以A1P2+PB2=A1B2，则A1P⊥PB，同理可证，A1P⊥PD，由于PB∩PD=P，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴ A1P⊥平面PBD．（3）解：易知三棱锥A1−BDC1的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即AB×AD×A1A−4×13×(12AB×AD)×A1A=13×1×1×2=23．17. 解：（1）对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y=cosx−1，所以点D的坐标为(t, cost−1)…所以点O到AD的距离为1−cost，而AB=DC=3−t，则ℎ1(t)=(3−t)+(1−cost)=−t−cost+4(1≤t≤32)…对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2=−94y，即y=−49x2，所以点D的坐标为(t,−49t2)…所以点O到AD的距离为49t2，而AB=DC=3−t，所以ℎ2(t)=49t2−t+3(1≤t≤32)…（2）因为ℎ1′(t)=−1+sint<0，所以ℎ1(t)在[1,32]上单调递减，所以当t=1时，ℎ1(t)取得最大值为3−cos1…又ℎ2(t)=49(t−98)2+3916，而1≤t≤32，所以当t=32时，ℎ2(t)取得最大值为52…因为cos1>cosπ3=12，所以3−cos1<3−12=52，故选用曲线C 2，当t =32时，点O 到BC 边的距离最大，最大值为52分米… 18. （1）解：由题意，∵ 当k =3时，△ABM 是直角三角形，左顶点A(−3, 0)和下顶点B ∴ 0+b−3=−13， ∴ b =1，∴ 椭圆L 的标准方程为x 29+y 2=1；(2)(I)证明：设两直线l 1，l 2的方程分别为y =k(x +3)和y =kx −1，其中k ≠0，则M(0, 3k)，N(1k , 0)．y =k(x +3)代入椭圆方程可得(1+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−9=0， 方程一根为−3，则由韦达定理可得另一根为3−27k 21+9k 2， ∴ C(3−27k 21+9k 2, 6k 1+9k 2)． 同理D(18k 1+9k2, 9k 2−11+9k 2)∵ 两直线l 1，l 2平行，∴ 可设MP →=tMN →，CP →=tCD →，从而可得P(31+3k, 3k 1+3k)∴ OP →=(31+3k , 3k1+3k)∵ AM →=(3, 3k)，∴ 存在实数λ=1+3k ，使得AM →=λOP →； (II)∵ OP →=(31+3k , 3k1+3k )，∴ 消去参数可得P 的轨迹方程为x +3y −3=0， ∴ |OP|的最小值为d =√10=3√1010∴ |OP|的取值范围为[3√1010, +∞)． 19. 证明：（1）当λ=0时，a n a n+2=a n+12，所以{a n }是等比数列，设公比为q ，则a n−m a n+m =a 1q n−m+1⋅a 1q n +m−1=a n 2，得证．…4分（2）由条件知a 3=a 22+3a 1=7，…6分由a n a n+2=a n+12+λ(−1)n+1得a n+2−a n a n+1=a n+2a n −a n2a n+1a n =a n+12−a n+1a n−1a n+1a n=a n+1−a n−1a n，…14分所以数列{a n+2−a n a n+1}是常数列，则a n+2−a n a n+1=a 3−a 1a 2=3，整理即得a n+2=a n+3a n+1．...16分．20. （1）解：f(x)，g(x)与坐标轴的交点分别为(0, k)，(1, 0)，由f(x)=ke x，g(x)=1k lnx，得f′(x)=ke x，g′(x)=1kx，由题意知f′(0)=g′(1)，即k=1k，又k>0，所以k=1．...2分（2）解：假设存在直线l同时是函数f(x)，g(x)的切线，设l与f(x)，g(x)分别相切于点M(m, e m)，N(n, lnn)(n>0)，则l:y−e m=e m(x−m)或表示为y−lnn=1n(x−n)，则e m=1n，且e m(1−m)=lnn−1，要说明l是否存在，只需说明上述方程组是否有解．…4分由e m=1n得n=e−m，代入e m(1−m)=lnn−1，得e m(1−m)=−m−1，即e m(1−m)+m+1=0，令ℎ(m)=e m(1−m)+m+1，因为ℎ(1)=2>0，ℎ(2)=−e2+3<0，所以方程e m(1−m)+m+1=0有解，则方程组有解，故存在直线l，使得l同时是函数f(x)，g(x)的切线．...8分（3）证明：设A(x0, e x0)，B(x0, lnx0)，则AB=|e x0−lnx0|，设F(x)=e x0−lnx0，∴ G(x)=F′(x)=e x0−1x0，∴ G′(x)=e x0+1x02>0，即G(x)在(0, +∞)上单调递增，又G(0.5)=√e−2<0，G(1)=e−1>0，故G(x)在(0, +∞)上有唯一零点，设为t∈(0.5, 1)，则e t−1t=0，因此t=−lnt，当x∈(0, t)时，F′(x)=G(x)<G(t)=0，∴ F(x)在(0, t)上单调递减；当x∈(t, +∞)时，F′(x)=G(x)>G(t)=0，∴ F(x)在(t, +∞)上单调递增，因此F(x)≥F(t)=e t−lnt=1t+t，由于t∈(0.5, 1)，∴ F(x)=1t+t>2，则AB=|e x0−lnx0|>2．…14分设C(x1, e x1)，D(x2, lnx2)，则e x1=lnx2，令e x1=lnx2=u，则x1=lnu，x2=e u，∴ CD=|x2−x1|=|e u−lnu|>2，故S=12AB⋅CD>12⋅2⋅2=2．...16分．21. 证明：因为PA与圆相切于A，所以DA2=DB⋅DC，因为D为PA中点，所以DP=DA，所以DP2=DB⋅DC，即PDDC =DBPD．…因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，所以∠DPB=∠DCP．…22. 解：由矩形OABC 变换成平行四边形OA ′B ′C ′可以看成先将矩形OABC 绕着O 点旋转90∘， 得到矩形OA ′′B ′′C ′′，然后再将矩形OA ′′B ′′C ′′作切变变换得到平行四边形OA ′B ′C ′． 故旋转变换矩阵为：M =[cos90∘−sin90∘sin90∘cos90∘]=[0−110]切变变换：[x y ]→[x′y′]=[x −x +y ]=[10−11][xy ]∴ 切变变换矩阵为N =[10−11]∴ 矩阵MN =[10−11][0−110]=[0−111]23. 曲线C 的普通方程是x 23+y 2=1． 直线l 的普通方程是x +√3y −√3=0． 设点M 的坐标是(√3cosθ,sinθ),Ml 的距离是d =|√3cosθ+√3sinθ−√3|2=√3|√2sin(θ+π4)−1|2．−√2≤√2sin(θ+π4)≤√2,sin(θ+π4)=−1,θ+π4=2kπ−π2(k ∈Z),θ=2kπ−3π4(k ∈Z)，d 取得最大值． √3cosθ=−√62,sinθ=−√22． ,M(−√62,−√22),.(10) 24. 解：由柯西不等式9=(12+22+22)⋅(x 2+y 2+z 2)≥(1⋅x +2⋅y +2⋅z)2 即x +2y +2z ≤3，当且仅当 x1=y2=z2且x 2+y 2+z 2=1取等号， 即 x =13，y =23，z =23时，x +2y +2z 取得最大值3．∵ 不等式|a −1|≥x +2y +2z ，对满足x 2+y 2+z 2=1的一切实数x ，y ，z 恒成立， 只需|a −1|≥3，解得a −1≥3或a −1≤−3， ∴ a ≥4或a ≤−2．即实数的取值范围是(−∞, −2]∪[4, +∞)．25. 解：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系， 则C(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(0, 2, 2)，B 1(0, 4, 2)，AA 1→=(0,2,2)，BC →=B 1C 1→=(2,−2,0)．cos⟨AA 1→，BC →>=|AA 1→|⋅|BC →|˙=−4√8⋅√8=−12， 故AA 1与棱BC 所成的角是π3．（2）设B 1P →=λB 1C 1→=(2λ,−2λ,0)， 则P(2λ, 4−2λ, 2)．于是AP =√4λ2+(4−2λ)2+4=√14⇒λ=12（λ=32舍去）， 则P 为棱B 1C 1的中点，其坐标为P(1, 3, 2)． 设平面P −AB −A 1的法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AB →=0˙⇒{x +3y +2z =02y =0⇒{x =−2zy =0故n 1→=(−2, 0, 1)．而平面ABA 1的法向量是n 2→=(1, 0, 0)， 则cos <n 1→，n 2→>=|n 1→|⋅|n 2|→˙=√5，故二面角P −AB −A 1的平面角的余弦值是2√55． 26. 证明：（1）因为f(x)=(1−x)e x −1， 所以f′(x)=−e x +(1−x)e x =−xe x ，当x >0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调递减， 因此f(x)<f(0)=0． …2分 （2）首先用数学归纳法证明a n >0．①当n =1时，a 1=1>0，∴ a n >0成立． ②假设n =k 时，a k >0． 那么当n =k +1时，a n ea n+1=ea n−1，则ea k+1=e a k −1a k，…4分当x >0时，由不等式e x −1>x 得e x −1x>1．所以e a k+1>1，a k+1>0．由①②可知对任意的正整数n ，总有a n >0．由（1）知(1−a n )e a n −1<0，所以e a n −1<a n e a n ．由a n e a n+1=e a n −1知a n e a n+1<a n e a n ，所以a n+1<a n ． …10分．。
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2014届江苏高考数学考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x <a }，若A B={x |5<x <6}，则实数a 的值为 ． 2．设(1＋2i)2=a +b i(,a b ∈R )，则ab ＝ ．3．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝ ．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．5．从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是________．6．已知函数2()ay x a x=+∈R 在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =________．7．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．8．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为 ．9．在△ABC 中，若AB ＝1，|||AC AB AC BC =+=，则BA →·BC→|BC →|＝ ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．11．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，则该三棱锥P ABC-的体积为 .12．已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是 ．13．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．14．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b ＋bc的最小值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值．16．如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知AB =1，BC = 2，CD = 4，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ．（1）求证：BD ⊥平面P AC ；（2）已知点F 在棱PD 上，且PB ∥平面F AC ，求DF ：FP ．A B C D F P17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．18．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P 作直线l ，使得l 与椭圆C 有 且只有一个公共点，设l 与y 轴的交点为A ，过点P 作与l 垂直的直线m ，设m 与y 轴的交点为B ，求证：△P AB 的外接圆经过定点．19．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x ．(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －mx有解，求实数m 的取值范围．20．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有33()n n S S 成立，求数列{a n }的通项公式； （2）对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a 1，a 2的值；(ⅱ)求数列{a n }的通项公式．参考答案一、填空题1．6 2．-12 3．π2 4．x 220－y 25＝1 5．126．0 7．108．(1, ＋∞) 9．12 10．533或－ 31112．(－1,1) 13．2 14．2－12二、解答题15．(1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π4．(2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435． 所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．16．证明（1）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB 平面ABCD = AB ， P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ，∴ P A ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ．连结AC BD O =，∵AB = 1，BC = 2，CD = 4， ∴12AB BC BC CD ==． ∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ， ∴Rt ABC ∆∽Rt BCD ∆． ∴BDC ACB ∠=∠．∴90ACB CBD BDC CBD ∠+∠=∠+∠=︒．则AC ⊥BD ．∵AC PA A =，∴BD ⊥平面P AC ．（2）∵PB //平面F AC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面F AC= FO ，∴FO ∥PB ，∴DF DOPF OB=. 又∵AB //CD ，且14BO AB OD CD ==，∴DF ：FP=4:1. 17．(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足：当x ∈[10,1 000]时，①f (x )在定义域[10,1 000]上是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x5恒成立．对于函数模型f (x )＝x150＋2．当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9，所以f (x )≤9恒成立．但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增；要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥9823；要使f (x )≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥1925．综上所述，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．P FDCBA O18．(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程22221x y a b +=，得y ＝±2b a ．由题意知22b a＝1，即a ＝2b 2，又e ＝c a ＝32， 所以a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． (2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立0022,1,4y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0． 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0．又220014x y +=，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－004x y ． 所以直线l 方程为0014x x y y +=，令x =0，解得点A 01(0,)y ,又直线m 方程为00043y y x y x =-,令x=0，解得点B 0(0,3)y -,△P AB 的外接圆方程为以AB 为直径的圆方程，即2001()(3)0x y y y y +-+=．整理得：220013(3)0x y y y y +-+-=，分别令2230,0,x y y ⎧+-=⎨=⎩解得圆过定点(．19．(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)，1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x <x －mx有解，即e x x <x －m 有解，因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e x x －e x 2x＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ， 因为x ＋12x≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1，所以1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0．故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0．20．(1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为33()n n S S =对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝(2a 1＋d )3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0． 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2．当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，33()n n S S =成立；当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以33()n n S S =．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1．(2)(ⅰ)记A n ＝{1,2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1．对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1,2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3．(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n +1，a n +1＋i ，|a n +1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数． 所以，S n +1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1．又S n +1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12·13n -－12＝12·3n －12． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12·3n －12－⎝⎛⎭⎫12·13n -－12＝13n -，而a 1＝1也满足a n ＝13n -． 所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝13n -．。