上海市晋元高级中学2018-2019学年高二上期中考试数学试题
晋元高级中学2018-2019学年第一学期期中考试高二年级
数学学科试卷
一、填空题
1.若三个正数c b a 、、成等比数列,其中，，625625-=+=c a 则=b _______.
2.如果两条直线在同一平面上的射影是两条平行直线,则这两条直线的位置关系是______.
3.若线性方程组的增广矩阵为 ⎝⎛0a 10，⎪⎪⎭⎫b 2解为，⎩
⎨⎧==12y x 则=+b a _____. 4.三阶行列式723-235-4
61
-中-5的代数余子式的值为________.
5.在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线1CC AB 、均垂直的棱有______条.
6.在长方体1111D C B A ABCD -中,若，，211===AA BC AB 则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为________.
7.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,若732a a a ，，成等比数列,且，
1221=+a a 则=d __. 8.数列{}n a 中,n S 是前n 项和,，，1111++=-=n n n S S a a 则=n S ______.
9.已知()
()，为常数，＜＜p a a p a n n n n n 315313lim 1
1-=-+++++∞→则p 的值是______. 10.已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧•+11n n a a 的前n 项和为，12+n n 则数列{}n a 的通项公式为________.
11.若()()
，*22131211N n n f n ∈++⋯+++=由k n =到1+=k n 时,()1+k f 比()k f 增加的项数为__________.
12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形如三角形数1,3,6,10,第n 个三角形数为().2
121212n n n n +=+记第n 个k 边形数为()()，，3≥k k n N 以下列出部分k 边形数中第n 个数的表达式：
()()()().26:2
1235:4:2
12132222n n n N n n n N n n N n n n N -=-==+=
，六边形数；，五边形数；，正方形数；，三角形形数： 可以推测()k n N ，的表达式,由此计算()=2410，N ______.
二、选择题
13.已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若，484S S =则=10a （ ） A.217 B.2
19 C.10 D.12 14.b a 、是异面直线,以下四个命题,正确命题的个数是（ ）
①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ；
③至少有一条直线与b a 、都垂直； ④至少有一个平面分别与b a 、都平行。
A.0
B.1
C.2
D.3
15.关于直线m l 、及平面，、βα下列命题中正确的是（ ）
A.若，，∥m l =βαα 则m l ∥
B.若，∥，∥ααm l 则m l ∥
C.若，，∥l m l ⊥α则α⊥m
D.若，∥，ααm l ⊥则m l ⊥
16.用记号表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算,即.2
b a b a +=
⊕已知数列{}n x 满足 ()，，，3112121≥⊕==-=--n x x x x x n n n 则n n x +∞→lim 的值为（ ）
A.83
B.12843
C.31
D.256
85 三、解答题
17.等比数列{}n a 中,，，27932121==+a a a a a 前n 项和为，n S 求n S +∞
→n lim .
18.已知关于y x 、的一元二次方程组 ⎝⎛1m .2121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫m m y x m
(1)若方程组至少有一解,求m 的取值范围；
(2)讨论方程组的解的情况并求解方程。
19.在正方体''''-D C B A ABCD 中,P 为'BB 的中点,'O 为面''''D C B A 的中心。
(1)求异面直线CP B A 、'所成角的大小；
(2)求直线'BO 与平面C C AA ''所成角的大小。
20.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a 辆。
设n n b a 、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,设n n T S 、分别为n 年里投入电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.
(1)求，、n n T S 并求n 年里投入的所有新公交车的总数；n F
(2)该市计划用7年的时间完成全部更换,求a 的最小值.
21.已知数列{}n a 满足:
01,7
61211=-+⋯+++-=+n n a a a a a λ(其中0≠λ且*1N n ∈-≠，λ),n S 为数列{}n a 的前n 项和.
(1)若，312
2a a a •=求λ的值；
(2)求数列{}n a 的通项公式n a ； (3)当3
1=λ时,数列{}n a 中是否存在三项构成等差数列,若存在,请求出此三项；若不存在,请说眀理由。
上海市晋元中学2019-2020学年度高二数学第一学期期末考试(详解版)
晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 2020.01一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为4. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h＝ cm ．7．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．8．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．10. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .11. 一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .12. 已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于二．选择题（本大题共4小题，共12分）13．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件14．下列选项中不正确的是（）A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1B．如果方程Ax+By+C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0C．Ax+Bx+C＝0和2Ax+2Bx+C+1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2+B2≠0且C≠1D．（x﹣y+5）+k（4x﹣5y﹣1）＝0表示经过直线x﹣y+5＝0与4x﹣5y﹣1＝0的交点的所有直线15．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）（1）AC⊥BD（2）AC∥截面PQMN（3）AC＝BD（4）异面直线PM与BD所成的角为45°A．1 B．2 C．3 D．416．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段B 1C1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．B．C．D．三．解答题（本大题共5小题，共52分）17.（本题满分8分）已知直线l1：mx+3y+3＝0，直线l2：x+（m﹣2）y+2＝0，求当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：（1）平行；（2）垂直．18. （本题满分8分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．19. （本题满分10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．20. （本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．21.（本题满分14分）已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 2020.01一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 【答案】平行或异面 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为【答案】36π3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为【答案】 5. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为【答案】36π5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件【答案】充要6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h＝ cm ．【答案】67．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．【答案】x +1＝0或x ﹣+4＝08．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．【答案】9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．【答案】1610. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .【答案】2211.一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .12.已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于【答案】222+二．选择题（本大题共4小题，共12分）13．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件D ．“直线a 平行于平面β内的一条直线”是“直线a ∥平面β”的必要非充分条件【答案】D14．下列选项中不正确的是（ ）A ．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1B ．如果方程Ax +By +C ＝0表示的直线是y 轴，那么系数A ，B ，C 满足A ≠0，B ＝C ＝0C ．Ax +Bx +C ＝0和2Ax +2Bx +C +1＝0表示两条平行直线的等价条件是A 2+B 2≠0且C ≠1D ．（x ﹣y +5）+k （4x ﹣5y ﹣1）＝0表示经过直线x ﹣y +5＝0与4x ﹣5y ﹣1＝0的交点的所有直线【答案】D15．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）（1）AC ⊥BD （2）AC ∥截面PQMN（3）AC ＝BD （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45°A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段B 1C 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C三．解答题（本大题共5小题，共52分）17.（本题满分8分）已知直线l 1：mx +3y +3＝0，直线l 2：x +（m ﹣2）y +2＝0，求当m 为何值时，直线l 1与l 2分别有如下 位置关系：（1）平行；（2）垂直．【解析】（1）由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．经过验证可得：m＝3或﹣1都满足两条直线平行．∴m＝3或﹣1．（2）由m+3（m﹣2）＝0，解得m＝．∴m＝时两条直线相互垂直．18. （本题满分8分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．【答案】（1）A（﹣1，0），C（5，﹣6）；（2）x﹣y+1＝0．【解析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，由得，故A（﹣1，0）．由k AC＝﹣k AB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），由，得C（5，﹣6）．（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，所以l所在的直线方程为（x﹣1）﹣（y﹣2）＝0，即x﹣y+1＝0．19. （本题满分10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为30°，AP＝r，所以：，（2）∵，∴∴V C﹣OEF＝V O﹣CEF，∴，∴20. （本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．【答案】（1）arccos；（2）arccos；（3）arccos．【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，A′（2，0，2），F（2，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），＝（0，1，﹣2），＝（2，﹣1，2），设异面直线A′F与CE所成的角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．∴异面直线A′F与CE所成的角的大小为arccos．（2）＝（0，1，﹣2），A（2，0，0），B（2，2，0），D′（0，0，2），＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），设平面ABC′D′的法向量＝（x1，y1，z1），则，取x1＝1，得＝（1，0，1），设直线A′F与平面ABC′D′所成的角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝＝＝，∴直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小为arcsin．（3）A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0），＝（2，﹣1，2），＝（﹣2，2，0），＝（2，﹣1，0），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣），设平面CEF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，2，0），设二面角A﹣CE﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣CE﹣F的大小为arccos．21.（本题满分14分）已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n＝2n+2；（2）b n＝12n﹣6；（3）p＝2，q＝12.【解析】（1）∵点P n（n，S n）都在函数f（x）＝x2+3x的图象上，∴．当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，，当n＝1时，也满足．故a n＝2n+2．（2）∵A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，∴A＝{x|x＝2n+2，n∈N*}，B＝{x|x＝4n+2，n∈N*}∴A∩B＝B，又∵b n∈A∩B，∴b n∈B即数列{b n}的公差是4 的倍数又A∩B中的最小数为6，∴b1＝6，∴b8＝4k+6，k∈N*，又∵88＜b8＜93∴，解得k＝21．等差数列{b n}的公差为d，由b8＝6+7d＝90得d＝12，故b n＝12n﹣6（3）∵，∴若c1，c p，c q成等比数列，则，即．可得，所以﹣2p2+4p+1＞0，从而又p∈N*，∴p＝2，此时q＝12．故当且仅当p＝2，q＝12，使得c1，c p，c q成等比数列．。
上海市晋元高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市晋元高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．2． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A5 B4 C3 D23． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.4． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 5． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}6． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.7． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1}D ．{1，3}8． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．9． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.10．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．已知集合2{|20}A x R x x =∈+-<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+，则A B =（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．[1,1)- D ．(1,1]-12．若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则参数m 的取值范围为（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.14．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .15．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等. 16．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018-2019学年上海中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为arctan2．【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，故填：arctan2．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为﹣6．【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：（﹣1）5•＝﹣6．故答案为：﹣6．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝﹣2．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）＝﹣1，所以a＝﹣2．故答案为：﹣2．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝1．【解答】解：；∵；∴；∴x＝1．故答案为：1．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为2x+3y+3＝0．【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m ＝0，圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；故答案为：2x+3y+3＝0．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+＝0．【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．故填：3x+4y+＝0．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝3．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，解可得a＝1，b＝2；则a+b＝3；故答案为：3．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）【解答】解：∵E为AD的中点，，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），设M＝，则M T＝，（M T）T＝，所以（M T）T＝M，（1）正确；对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；M T＝，N T＝，则M T+N T＝，∴（M+N）T＝M T+N T，（2）正确；对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；M T＝，N T＝，则M T N T＝，∴（MN）T≠M T N T，（3）错误；对于（4），M＝时，M T＝，充分性成立，M T＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（4）．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．令y＝0，可得：M（2﹣，0），令y＝x，得Q．∴|MP|＝，|PQ|＝．∴u＝＝．于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．g′（k）＝，可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．∴u max＝．此时M（﹣，0）．故答案为：．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．【解答】解：如图，设，则，，，∴AB＝6，，AC＝，又，∴A，O，B，C四点共圆，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ABC＝，则．由同弧所对圆周角相等，可得，即与的夹角为；设∠OAC＝θ，则，在△AOC中，由正弦定理得：，∴OC＝，，∴＝＝＝64×＝64×（）＝64×（）＝64×（）＝64[]．∴当，即时，有最大值为．故答案为：，．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．故选：C．14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m＝•+•＝＝＝＝＝2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n＝•+•＝+＝＝＝6．故选：C．三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．【解答】解：对于增广矩阵，当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）•y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||【解答】解（1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61，∴•＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．即．…已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r＝3．故所求圆C的方程为．…（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…，得，最小值．…（16分）20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，即，解得c≥．（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，∵c＜a+b，，∴S≤＝4，下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l 的最小距离大于2，即S＞4．若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．综上2＜S＜．。
上海市复兴高级中学2018-2019学年上学期高二期中数学试卷附答案解析
上海市复兴高级中学2018-2019学年上学期高二期中数学试卷一、单选题1．与曲线()0F x y =，关于y 轴对称的曲线的方程是（）A ．()0F x y -=，B ．()0F x y -=，C ．()0F x y --=，D ．()0F y x =，2．已知平面直角坐标系内的两个向量，()()1,2,,32a b m m ==- ，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+r r r（,λμ为实数），则m 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),-∞+∞D ．()(),22,-∞+∞ 3．两直线12,l l的方程分别为0x b +=和sin 0x a θ+-=（,a b 为实常数），θ为第三象限角，则两直线12,l l 的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．不确定4．在Rt ABC ∆中,已知90,3,4,C CA CB P ∠=== 为线段AB 上的一点,且CA CB CP x y CACB =⋅+⋅ ，则11x y+的最小值为（）A ．76B ．712C．7123+D．763+二、填空题5．三阶行列式123024310中第二行第一列元素0的代数余子式是________.6．已知实数a b 、满足矩阵算式a b⎛⎝041b a -⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，则a =_____.7．若(2,8)OA = ，(7,2)OB =- ，则13AB = _________8．关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则mn =________.9．过点(-1,2)且以直线2370x y --=的法向量为方向向量的直线方程的一般式是______.10．设A (1,2),B (-3,1),若直线20x my ++=与线段AB 有公共点,则实数m 的取值范围是______.11．若直线y x b =+与曲线x =,则实数b 的取值范围是_______.12．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为____.13．区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D上的动点，点A ，O 为坐标原点，则OM OA ⋅ 的最大值为__________．14．已知集合()223M x y y x ⎧⎫=≤-+⎨⎬⎩⎭，，{|N P PA =≥()()}1010A B -，，，，则集合M N ⋂表示的图形面积为________.15．在ABC ∆中,,120CB a CA b ACB ==∠= ，，若点D 为ABC ∆所在平面内一点,且满足条件:①()()1CD CB CA R λλλ=+-∈ ；②()CD bCB aCA + ∥，则CD = ________(用a b 、表示).16．已知点A (0,-1),B (3,0),C(1,2),平面区域P 是由所有满足AM AB AC λμ=+ ()22m n λμ≤≤＜，＜的点M 组成的区域,若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为__________.三、解答题17．若a b c d 、、、成等比数列,且公比是q .(1)求a b c d 的值；(2)根据公比q 的取值,讨论方程组12ax cy bx dy +=⎧⎨+=-⎩的解的情况.18．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标.19．在平面直角坐标系xOy 中,长度为2的线段EF 的两端点E 、F 分别在两坐标轴上运动.(1)求线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴交于12A A 、两点,P 是轨迹C 上异于12A A 、的任意一点,直线1PA 交直线:3l x =于M 点,直线2PA 交直线:3l x =于N 点,求证:以MN 为直径的圆C 总过定点,并求出定点坐标.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ += 求实数t 的取值范围.21．在ABC ∆中,已知AB AC ⊥，M 是BC 的中点.(1)若AB AC = ,求向量2+ AB AC 与向量2AB AC +uu u r uuu r 的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点,且AB AC == ，求⋅+⋅ OA OB OC OA 的最小值；(3)若点P 是边BC 上的一点,且21AP m AP AC AP AB =⋅=⋅= ，，，求AB AC AP ++ 的最小值.解析上海市复兴高级中学2018-2019学年上学期高二期中数学试卷一、单选题1．与曲线()0F x y =，关于y 轴对称的曲线的方程是（）A ．()0F x y -=，B ．()0F x y -=，C ．()0F x y --=，D ．()0F y x =，【答案】A【解析】根据y 轴对称关系,横坐标互为相反数,纵坐标不变,即可求得.【详解】设(,)M x y 是所求曲线上任一点,依题意(,)M x y 关于y 轴对称的的点(,)M x y '-在曲线()0F x y =，,()0F x y ∴-=，,即为所求.故选:A【点睛】本题考查对称曲线方程,掌握曲线对称性质是解题关键,属于基本题.2．已知平面直角坐标系内的两个向量，()()1,2,,32a b m m ==- ，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+r r r（,λμ为实数），则m 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),-∞+∞D ．()(),22,-∞+∞ 【答案】D【解析】【详解】当a 与b 共线时，应有1232m m =-，解得2m =，因为平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+r r r （,λμ为实数,所以由平面向量的基本定理得a 与b 是不共线，所以m 的取值范围是()(),22,-∞+∞ ，故选D ．3．两直线12,l l 的方程分别为0x b +=和sin 0x a θ+-=（,a b 为实常数），θ为第三象限角，则两直线12,l l 的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．不确定【答案】A【解析】因为θ为第三象限角，所以1sin 10sin sin sin sin θθθθθ⨯+++=-=，所以两直线垂直.故选A.点睛：.两直线位置关系的判断：1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：12120A A B B +=；平行：1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！4．在Rt ABC ∆中,已知90,3,4,C CA CB P ∠=== 为线段AB 上的一点,且CA CB CP x y CACB =⋅+⋅ ，则11x y+的最小值为（）A ．76B ．712C ．7123+D ．763+【答案】C【解析】建立直角坐标系，确定P 坐标和线段AB 方程，得出,x y 的关系,利用基本不等式,即可求得结果.【详解】以,CA CB 所在的直线分别为,x y 轴建立直角坐标系,则(0,0),(3,0),(0,4),||3,||4C A B CA AB == ,CA CB CP x y CA CB=⋅+⋅ =(1,0)(0,1)(,)x y x y ⋅+⋅=P ∴点坐标为(,)P x y ,线段AB 方程为1(0,0)34x yx y +=>>,1177()()34124312311x y y x x x y y x y ∴+=+⋅+=++≥+,当且仅当3x =,等号成立.故选:C【点睛】本题考查了平面向量坐标运算,以及基本不等式求最值,考查了推理能力和计算能力,属于中档题,二、填空题5．三阶行列式123024310中第二行第一列元素0的代数余子式是________.【答案】2310-【解析】【详解】212323(1)1010+-=-6．已知实数a b 、满足矩阵算式a b ⎛⎝041b a -⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，则a =_____.【答案】1【解析】根据矩阵相乘法则,可得关于,a b 的方程组,解方程组即可得结果.【详解】a b ⎛⎝00414b b b a a a ⎫---=⎫⎛⎫==∴⎪⎪ ⎪⎪++=⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎭⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故答案为:1【点睛】本题考查矩阵的乘法,及二元一次方程组,属于基础题.7．若(2,8)OA = ，(7,2)OB =- ，则13AB = _________【答案】(3,2)--【解析】用向量减法的法则表示出AB ,再用坐标运算求出其坐标,进而可得结果.【详解】因为(2,8)OA = ，(7,2)OB =- ，所以111()(72,28)(3,2)333AB OB OA =-=---=-- .故答案为(3,2)--.【点睛】本题主要考查向量的减法运算，属于基础题.8．关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则mn =________.【答案】1-【解析】先由题意得到31x y =⎧⎨=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解，求出11m n =-⎧⎨=⎩，进而可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31x y =⎧⎨=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解，因此65312m n +=⎧⎨-=⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩，所以1mn =-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查系数矩阵的逆矩阵解方程组，熟记线性方程组与矩阵之间关系即可，属于常考题型.9．过点(-1,2)且以直线2370x y --=的法向量为方向向量的直线方程的一般式是______.【答案】3210x y +-=【解析】先求出直线直线2370x y --=的法向量的斜率，即可求出过点(-1,2)的直线方程.【详解】直线2370x y --=斜率为23,由已知可得所求直线的斜率为32-,所以所求的直线方程为32(1)2y x -=-+,即3210x y +-=.故答案为:3210x y +-=【点睛】本题考查直线方程的求法,属于基础题.10．设A (1,2),B (-3,1),若直线20x my ++=与线段AB 有公共点,则实数m 的取值范围是______.【答案】312m -≤≤【解析】直线20x my ++=与线段AB 有公共点,线段两端点在直线的两侧或在直线上,根据点与直线的位置关系,可得到关于m 的不等式,即可得到结果.【详解】由直线20x my ++=与线段AB 有公共点,可得(23)(1)0m m +-≤解得312m -≤≤.故答案为:312m -≤≤【点睛】本题考查线段与直线有交点问题，也可以利用数形结合思想，本题转化为求不等式的解,属于基础题.11．若直线y x b =+与曲线x =,则实数b 的取值范围是_______.【答案】2b ≤<【解析】画出图像,当直线y x b =+过点,A B 时,求出b 值;当直线y x b =+与曲线x =,求出b ,即可得出b 的取值范围.【详解】当直线y x b =+过点,A B 时,2b =,此时直线y x b=+与曲线x =;直线y x b =+与曲线相切时,b =,因此当2b ≤<y x b =+与曲线x =.故答案为:2b ≤<【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.12．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为____.【答案】－23【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212y y +=-，又11y =，∴23y =-，代入方程70x y --=，得24x =，即(4,3)B -，又1212x x +=，∴12x =-，即(2,1)A -，∴3124(2)3AB k --==---.13．区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D上的动点，点A ，O 为坐标原点，则OM OA ⋅ 的最大值为__________．【答案】4【解析】分析：先作可行域，再根据向量数量积得z DM DA y =⋅=+，视作直线，结合图像可得直线经过点B 时y 轴上的截距最大，从而z 最大．详解：由不等式组确定的平面区域如图所示，2z DM DA y =⋅=+，即2y x z =-+，首先做出直线2y x =-，将直线2y =-平行移动，当经过点B 时y 轴上的截距最大，从而z 最大．因为2,2)B ，故z 的最大值为4．点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．已知集合()223M x y y x ⎧⎫=≤-+⎨⎬⎩⎭，，{|2N P PA =≥()()}1010A B -，，，，则集合M N ⋂表示的图形面积为________.【答案】4π【解析】化简集合N ,确定出M N ⋂表示的图形,即可求出面积.【详解】设(,)P x y ,由2PA ≥得，2222(1)2(1)x y x y ++≥-+2222(1)2(1)2x y x y ∴++≥-+,22(3)8x y ∴-+≤即集合N 为以(3,0)为圆心，半径为22,集合M 为直线223y x =-+下方（包含直线）的点,而圆心(3,0)在直线上，M N ⋂表示的图形为半圆，面积为M N ⋂表示的图形21(22)42ππ⨯⨯=.故答案为:4π.【点睛】本题以集合为载体,考查了直线与圆的位置关系,属于基本题.15．在ABC ∆中,,120CB a CA b ACB ==∠= ，，若点D 为ABC ∆所在平面内一点,且满足条件:①()()1CD CB CA R λλλ=+-∈ ；②()CD bCB aCA + ∥，则CD = ________(用a b 、表示).【答案】ab a b +【解析】由①②可知,CD 为ACB ∠的角平分线，利用,,ABC BCD ACD ∆∆∆的面积关系，即可求出CD .【详解】()()1CD CB CA R λλλ=+-∈ ，(),CD CA CB CA AD ABλλ∴-=-∴= ,AD AB ∴ 共线，且有一公共点，,,A B D ∴三点共线，即D 在AB 边上.由()CB CA bCB aCA ab a b+=+ =()||||CB CA ab CB CA + ||||CB CA CB CA + 向量在ACB ∠的角平分线上，()CD bCB aCA + ∥，所以CD 为ACB ∠的角平分线.060ACD BCD ∴∠=∠=00,11sin120||sin 60(),22ABC ACD BCD S S S a b CD a b ∆∆∆=+∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+ ab CD a b ∴=+ .故答案为:ab a b+【点睛】本题考查平面向量的几何意义,考查模长,三角形的面积,常用向量所表示的几何意义熟练掌握是解题的关键,属于中档题.16．已知点A (0,-1),B (3,0),C(1,2),平面区域P 是由所有满足AM AB AC λμ=+()22m n λμ≤≤＜，＜的点M 组成的区域,若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为__________.【答案】4+【解析】设(,)M x y 作出平面区域,根据面积得出关于,m n 的等式,利用基本不等式得出最值.【详解】设(,),(3,1),(1,3)M x y AB AC == ，||||AB AC == 34cos ,sin 55||||ABAC BAC BAC AB AC ⋅∴∠==∴∠=,令2,2AE AB AF AC == ,以,AE AF 为邻边作平行四边形AENF ,令,AP mAB AQ nAC == ,以,AP AQ 为邻边作平行四边形APGQ ,AM AB AC λμ=+ ()22m n λμ≤≤＜，＜,∴符合条件的M 点组成的区域是平行四边形EIGH 如图所示.42)2)165m n --⨯=,即(2)(2)2m n -⋅-=,22(4)(4)(2)(2),244m n m n m n +-+--⋅-≤∴≤ ,解得4m n +≥+故答案为:4+.【点睛】本题考查了平面向量的几何意义,基本不等式,根据区域面积得出,m n 的关系是解题关键,属于中档题.三、解答题17．若a b c d 、、、成等比数列,且公比是q .(1)求a b cd 的值；(2)根据公比q 的取值,讨论方程组12ax cy bx dy +=⎧⎨+=-⎩的解的情况.【答案】（1）0;（2）当2q =-时,两直线重合,方程组有无数个解;当2q ≠-时,两直线平行,方程组无解.【解析】（1）由已知ad bc =,可求得a b c d 的值;（2）根据两直线的位置关系判断方程组解的个数.【详解】（1）由a b c d 、、、成等比数列,且公比是q ，,0ad bc ad bc ∴=∴-=ab ∴cd =0ad bc -=.（2）方程组12ax cy bx dy +=⎧⎨+=-⎩，由于两直线的一次项系数之比b d q a c==常数项之比为2-,故当2q =-时,两直线重合,方程组有无数个解;当2q ≠-时,两直线平行,方程组无解.【点睛】本题考查等比数列的定义和性质,二阶行列式的运算,两直线的位置关系的判定,体现了等价转化的数学思想.18．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标.【答案】（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==，A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =，由于A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,.【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中,长度为2的线段EF 的两端点E 、F 分别在两坐标轴上运动.(1)求线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴交于12A A 、两点,P 是轨迹C 上异于12A A 、的任意一点,直线1PA 交直线:3l x =于M 点,直线2PA 交直线:3l x =于N 点,求证:以MN 为直径的圆C 总过定点,并求出定点坐标.【答案】（1）221x y +=;（2）(3+或(3-.【解析】（1）设()G x y ,,把,E F 两点坐标用,x y 表示,结合两点间的距离公式,即可求得G 的轨迹C 的方程;（2）由（1）求出12A A 、两点坐标,设00(,)P x y ,分别求出直线1PA 、直线2PA 的方程,进而表示出M 、N 两点坐标,求出以MN 为直径的圆C 的方程,根据对称性,定点在x 轴上,求出圆C 与x 轴的交点,即为所求.【详解】（1）设()G x y ,,由中点坐标公式得(2,0),(0,2)E x F y,||2EF ∴==,整理得,221x y +=,∴线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程为221x y +=;（2）由（1）得,12(1,0)A A (-1,0),,设000(,),1P x y x ≠±,22001x y +=,直线1PA 方程为:00(1)1y y x x =++，令3x =,得0041y y x =+,004(3,)1y M x +,同理可求002(3,1y N x -，MN 中点坐标为0013(3,)x y -,000000423||||2||11y y x MN x x y -=-=+-∴以MN 为直径的圆C 的方程为2220020013(3)(3)()x x x y y y ---+-=令0y =，得22220002200013(3)88(3)()8x x x x y y y ----=-+==3x ∴=±,圆C 总过定点,定点坐标为(3+或(3-.【点睛】本题考查轨迹方程,考查了圆系方程以及定点问题,考查了计算能力,属于较难题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ += 求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[22-+.【解析】【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，.（1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-.设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ==而222,2BC MC d =+（）所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设()()1122,,,.P x y Q x y 因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ += ，所以……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.21．在ABC ∆中,已知AB AC ⊥ ，M 是BC 的中点.(1)若AB AC = ,求向量2+ AB AC 与向量2AB AC +uu u r uuu r 的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点,且AB AC == ，求⋅+⋅ OA OB OC OA 的最小值；(3)若点P 是边BC 上的一点,且21AP m AP AC AP AB =⋅=⋅= ，，，求AB AC AP ++ 的最小值.【答案】（1）45;（2）12-;（3）3m m +.【解析】（1）利用向量夹角公式即可求出向量2+ AB AC 与向量2AB AC +uu u r uuu r 的夹角的余弦值;（2）根据已知条件求出线段AM 的长，利用平行四边形法则得到，2OB OC OM +=uu u r uuu r uuu r,⋅+⋅ OA OB OC OA 表示成关于||OA uu r 的二次函数,求二次函数的最小值,即可求出结果;（3）先用数量积定义把AB AC AP ++ 转化为CAP ∠的三角函数的表达式,再利用基本不等式求2AB AC AP ++ 的最小值,从而得所求.【详解】（1）设向量2+ AB AC 与向量2AB AC +uu u r uuu r 的夹角为θ,由，AB AC =(2+ AB AC )222(2)224||AB AC AB AC AB ⋅+=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ,2|2|AB AC + =2(2)AB AC += 22245||AB AC AB +=uu u r uuu r uu ur |2||AB AC AB ∴+= ,同理|22||AB AC AB += (2)(2)4cos 5|2||2|ABACABAC AB AC AB AC θ+⋅+∴==++,∴向量2+ AB AC 与向量2AB AC +uu u r uuu r 的夹角的余弦值45.（2）||1AB AC AM ==∴= ，设||,(01)OA x x =≤≤ ,则||1OM x =- ,而2OB OC OM +=uu u r uuu r uuu r ,OA OB OC OA ∴⋅+⋅ =()OA OB OC ⋅+ =2OA OM ⋅ =2112(1)2()22x x x --=--当12x =时,⋅+⋅ OA OB OC OA 的最小值是12-;（3）设CAP α∠=,则2BAP πα∠=-21AP m AP AC AP AB =⋅=⋅= ，，2||cos 2||cos m AC AC m αα=⇒=⋅ 1||cos()1||2sin m AB AB m παα-=⇒=⋅ 2AB AC AP ∴++ =222222AB AC AP AB AC AC AP AP AB +++⋅+⋅+⋅2222141(6cos sin m m αα=+++2222222214cos 4sin sin cos 6()cos sin m m αααααα++=+++22222222214sin cos 936(5)6()cos sin m m m m m m αααα=++++≥++=+当且仅当222cos 12,tan ,tan sin 22αααα===时,等号成立,AB AC AP ∴++ 的最小值为3m m+.【点睛】本题考查向量的夹角,数量积的最值以及模长的最值,是向量的综合应用;考查计算能力,推理能力,属于难度大的题目.。
上海市晋元高中2018-2019学年上学期高一数学10月月考试卷附答案解析
上海市晋元高中2018-2019学年上学期10月月考高一数学试题一、单选题1．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知全集U =R ,集合{}01,2,3,4,5A =，,{|2}B x x =≥,则图中阴影部分所表示的集合（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,23．若不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，那么不等式()()2112a x b x c ax ++-+>的解集为 ( ) A ．{|21}x x -<< B ．{|21}x x x -或 C ．{|03}x x x 或D ．{|03}x x <<4．对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n =+ ；当,m n 不全为正奇数时，mn mn =，则在此定义下，集合(){,|M a b a=16,*,*}b a N b N =∈∈的真子集的个数是（ ）A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421-二、填空题5．“1x =”是“2320x x -+=”的______条件.6．设全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,9A a =-，{}5,7U A =ð，则a =_____. 7．已知集合{}{}(,)2(,)4M x y x y N x y x y =+==-=、,那么集合M N =__8．写出命题“若0a ≥且0b ≥，则0ab ≥”的逆否命题：________． 9．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆Ü，则满足这一关系的集合A 的个数为______.10．已知集合2{|1,}M y y x x R ==-∈,23{|}x N x y x-==，则MN =___________．11．若集合(){}210A x k x x k =++-=中只有一个元素，则k =______.12．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带有感冒药又带有胃药的人数最少有______人. 13．已知－≤α<β≤，则的范围为_______________．14．设关于x 的不等式210ax x a-<-的解集为S ，且2,3S S ∈∉，则实数a 的取值范围为___________． 15．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是____________.16．对于实数x ，规定[]n x =（[]x 是不超过x 的最大整数），若有() 1n x n n N *≤<+∈，例如[][][][]3 3.1 3.5 3.93====，则不等式[][]2436450x x -+<的解集是__________.三、解答题17．已知集合A={-4，2a-1，a 2}，B={a-5，1-a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )；(2){9}=A ∩B ．18．某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD 建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，则AB 的长度应在什么范围内？19．已知集合{|15}A x x =<≤，集合25{|0}6x B x x -=≥-． （1）求A B ⋂；（2）若集合{|43}C x a x a =≤≤-，且C A A ⋃=，求实数a 的取值范围．20．已知非空集合{}220A x x x p =++=. （1）求集合A 的元素之和； （2）若A R +=∅，求实数p 的取值范围.21．已知()2f x ax x a =+-，a R ∈.（1）若不等式()22312f x x x a >--+-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若 0a <，解关于x 的不等式()1f x >.解析‘上海市晋元高中2018-2019学年上学期10月月考高一数学试题一、单选题1．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据条件，分析是否成立即可。
2019年上海市晋元高级中学附属学校高二数学文联考试题含解析
2019年上海市晋元高级中学附属学校高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝()A. B. C. D.参考答案：Cξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是，本题选择C选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.2. 等差数列的前项和为，若则的值为（）A． B．50 C．55 D．110参考答案：C3. 幂函数图像过点，则= ( )A. B.2 C. D.1参考答案：B略4.参考答案：C5. 函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是()A．增函数B．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减C．减函数D．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增参考答案：A6. 函数的导数为（）A． B．C． D．参考答案：A7. “”是“”的 ( )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件参考答案：A略8. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个A．3个B．4个 C.6个D．7个参考答案：D空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有个，故选D.9. 设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＜d，则下列结论中正确的是（）A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．＞参考答案：B【考点】不等关系与不等式．【分析】利用不等式的基本性质即可选出答案．【解答】解：∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，又a＞b，∴a﹣c＞b﹣d．故答案为 B．10. 总体编号为01,02,……19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离；现已知抛物线到直线的距离等于，则实数的值为.参考答案：6略12. 已知两个命题r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对?x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围___________．参考答案：略13. 若三角形的一边长为，这条边所对的角为，另两边之比为，则此三角形的面积是________．参考答案：解析：设两边为，则，得，得三角形的面积是．14. 已知正项等比数列中，，则其前3项的和的最小值是．参考答案：15. 已知满足关系，则的取值范围是．参考答案：16. 观察下列等式照此规律，第n个等式为________．参考答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2略17. 在中，若，则。
上海市晋元高级中学2019_2020年高二数学上学期9月阶段反馈试题(含解析)
上海市晋元高级中学2019-2020年高二数学上学期9月阶段反馈试题（含解析）一、填空题1.二元一次方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为__________．【答案】125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵，故方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是125318-⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为125318-⎛⎫⎪⎝⎭.2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为____ 【答案】2或-3 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和为n S 把317S a =转化成1a 和公比q 的关系即可解出q【详解】因为等比数列{}n a 满足317S a =，所以212311111+77a a a a a a q a q a +=⇒++=，即2172-3q q q ++=⇒=或【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和为n S 以及通项式。
能够熟练的应用等比数列的前n 项和为n S 以及通项式是解决本题的关键。
本题属于基础题。
3.若22lim 2n n pn q n →∞⎛⎫-=⎪+⎝⎭，则p q +=____________ 【答案】2- 【解析】 【分析】通过极限的运算法则，推出,p q 的方程，求解，即可得出结果.【详解】由22lim 2n n pn q n →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭可得2222lim 2→∞⎛⎫--= ⎪+⎝⎭n n pn pn q n ， 即2(2)2lim 2→∞--=+n p n pnq n ， 所以202p p q -=⎧⎨-=⎩，解得24p q =⎧⎨=-⎩，因此2+=-p q .故答案：2-【点睛】本题主要考查由极限求参数的问题，熟记极限的运算法则即可，属于常考题型.4.若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为11⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=__________．【答案】3 【解析】 【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，可直接写出线性方程组为202x y mnx y +=⎧⎨+=⎩n 即把x ＝1，y ＝1，代入得2n 1m ==，，解得m n +＝3． 故答案为：3【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．5.设数列{}n a 的通项公式为,131,32nn n n a n ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 为____________【答案】(1),13214511,32432nn n n n S n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+⋅-> ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的求和公式，分13n ≤≤和3n >两种情况讨论，即可求出结果.【详解】因为,131,32nn n n a n ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，当13n ≤≤时，(1)2n n n S +=； 当3n >时，则434511122111123...6122212-⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++-+-++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭n nn S 145112432⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭n； 综上，(1),13214511,32432nn n n n S n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+⋅-> ⎪⎪⎝⎭⎩. 【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.6.已知数列{}n a 满足：11a =1=，则使25n a <成立的n 的最大值为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】1=得到关于的通项 公式后可得{}na 的通项公式，解不等式后可得使25n a <成立的n 的最大值.【详解】易知为等差数列，首项为11a =，公差为1()111n n =+-⨯=，∴2n a n =，令225n <，∴5n <，∴4n ≤.故答案为： 4【点睛】本题考查等差数列的通项的求法及数列不等式的解，属于容易题.7.观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .【答案】(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+- 【解析】 【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-.【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.8.已知函数()2xf x =，等差数列{}x a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.【答案】6- 【解析】 【分析】根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出625a =，并得出56825a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦L 的值.【详解】依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且56282255a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫++++==+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭L ，而()()()()1231061231022a a a a f a f a f a f a ++++-⋅⋅⋅⋅==L L ，因此，()()()()62123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦L .故答案为：6-.【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题. 9.在数列{}n a 中，11a =，()122nn n a a n N a *+=∈+，则22020是这个数列的第______________项．【答案】2019 【解析】 【分析】 在等式122n n n a a a +=+两边取倒数，可得出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求出数列{}n a 的通项公式，再令22020n a =，解出n 的值即为所求结果. 【详解】在等式122n n n a a a +=+两边取倒数得11211222n n n n n a a a a a +=+=+， 所以11112n n a a +-=且111a =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，以12为公差的等差数列，所以，()1111122n n n a +=+-=，21n a n ∴=+，令2212020n a n ==+，得2019n =，因此，22020是这个数列的第2019项，故答案为：2019. 【点睛】本题考查数列通项的求法，解题的关键就是利用倒数法求解，另外要熟悉等差数列定义的应用，考查分析问题和求解问题的能力，属于中等题. 10.利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项． 【答案】2k . 【解析】 【分析】分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果.【详解】当n k =时，左边11112321k =++++-…， 当1n k =+时，左边11111112321221kk k +=+++⋯+++⋯+--， 观察可知，增加的项数是1121(21)222k k k k k ++---=-=，故答案是2k .【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.11.已知四个数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比()0q q >不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q 的取值集合是_______【答案】⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】因为公比不为1，所以不能删去1a 和4a ，设{}n a 的公差为d ，分类讨论，即可得出结论。
2019年上海市晋元高级中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年上海市晋元高级中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：宁夏银川市2016_2017学年高二数学下学期第一次月考试题试卷及答案理下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数，y＝（）x是指数函数，所以y＝（）x在（0，＋∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A．大前提错误B．小前提错误 C．推理形式错误D．以上都可能【答案】A第 2 题：来源：黑龙江省牡丹江市2018届高三数学上学期期中试题理试卷及答案直线与圆相切，则实数等于（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C第 3 题：来源：四川省棠湖中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB| C．|PP1|＞|AB| D．|PP1|＜|AB|【答案】B第 4 题：来源：宁夏2017-2018学年高二数学12月月考试题理已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A．4＋2 B.－1 C. D.＋1【答案】D第 5 题：来源：贵州省黔西南州安龙县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案已知直线l过点(－1,2)且与直线y＝垂直，则直线l的方程是( )A． 3x＋2y－1＝0B． 3x＋2y＋7＝0C． 2x－3y＋5＝0D． 2x－3y＋8＝0【答案】A【解析】设与直线y＝垂直的直线方程为3x＋2y＋m＝0，把点(－1,2)代入可得－3＋4＋m＝0，∴m＝－1，故所求的直线方程为 3x＋2y－1＝0，故选A.第 6 题：来源： 2017年河南省南阳市高二数学下学期第一次月考（3月）试题试卷及答案理设函数可导，则等于（）A．B． C． D．【答案】C第 7 题：来源： 2017年高考仿真卷•数学试卷含答案(六)理科.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是( )A.[2-,1] B. C.D.[0,+∞)【答案】.B 解析圆的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心为(2,2),半径为3,由圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2,则圆心到直线l:ax+by=0的距离d≤3-2,即,则a2+b2+4ab≤0,若b=0,则a=0,故不成立,故b≠0,则上式可化为1++40,由直线l的斜率k=-,可知上式可化为k2-4k+1≤0,解得2-k≤2+,即k的取值范围为[2-,2+].故选B.第 8 题：来源：河北省沧州市盐山中学2018_2019学年高二数学6月月考试题理函数的定义域为( )A、(,)B、,1)C、(,4)D、()(【答案】D第 9 题：来源： 2017_2018学年高中数学第三章概率章末综合测评试卷及答案北师大版必修3 从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A. B． C. D.【答案】C第 10 题：来源：安徽省滁州市全椒县襄河镇2016-2017学年高二数学下学期期中试题试卷及答案理在复平面上，复数的对应点所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C第 11 题：来源：山东省菏泽市2016-2017学年高二数学上学期期末学分认定考试试题（B卷）理试卷及答案已知等差数列满足，则A. 2B. 14C.18D. 40 【答案】 C第 12 题：来源：湖南省涟源市第一中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题理若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是( )A．90 B．80 C．70 D．40【答案】C第 13 题：来源：重庆市2017届高三数学下学期第一次段考试卷及答案理（含解析）在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，+∞） B．（2，4] C．（2，+∞） D．（4，10]【答案】D【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：D．第 14 题：来源： 2015-2016学年广东省东莞市高二数学下学期期末试卷a 理（含解析）若弹簧所受的力x＞1与伸缩的距离按胡克定律F=kl（k为弹性系数）计算，且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.32J【答案】D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出F（x）的表达式，再根据定积分的物理意义即可求出．【解答】解：∵F=10N，x=10cm=0.1m∴k=100，∴W=∫100xdx=50x2|=0.32J，故选：D．第 15 题：来源：湖南省湘潭市2019届高三数学上学期第一次模拟检测试题理（含解析）以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.第 16 题：来源：广东省湛江市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题试卷及答案05若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。
晋元中学高二期中(2019.04)
晋元中学高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 已知直线l 经过(1,0)A，B 两点，那么直线l 的倾斜角为2. 已知方程22142x y m m+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为 3. 已知直线1l ：220x y -+=与直线2l ：4210x y --=平行，则1l 与2l 之间距离为4. 若椭圆上的点到焦点F 的距离的最小值为9，最大值为16，则椭圆短轴长为5. 已知直线l ：20x y +-=，则点(1,2)P 关于l 对称的点P '的坐标为6. 直线133113x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）被圆224x y +=截得的弦长为7. 已知抛物线24y x =上一点0(M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为8. 设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=(0,0)a b >>的4个焦点构成的四边形面积为 1S ，连接其4个顶点构成的四边形面积为2S ，则12S S 的最小值为 9. 已知两定点(3,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足||3||PA PB =，则点P 的轨迹所包围的 图像的面积等于10. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴，若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为4，则实数p 的值为11. 在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)，如果(,)P x y是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是12. 已知曲线C 的方程是222||2||()()18x y x y x y-+-=，若动点P 、Q 在曲线C 上，则 ||PQ 的最大值是二. 选择题13. 下列双曲线中，以12y x =±为渐近线的是（ ） A. 221164x y -= B. 221416x y -= C. 2212x y -= D. 2212y x -=14. 如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++<⎩，那么2z x y =-的最大值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 315. 设B 、C 是定点，且均不在平面α上，动点A α∈，且满足1sin 2ABC ∠=，则点A 的 轨迹为（ ）A. 圆或椭圆B. 抛物线或双曲线C. 椭圆或双曲线D. 以上均有可能16. 已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，若M 为上1C 的动点，且10CM C M ⋅=，则||CM 的最小值为（ ）A.B. C. 4D.三. 解答题17. 已知两条直线1l ：330mx y m +++=，2l ：(2)20x m y +-+=，m ∈R .（1）求1l 与2l 垂直，求m 的值；（2）求1l 与2l 平行，求m 的值.18. 已知圆O 的方程是224x y +=.（1）若过点(2,3)的直线l 为圆O 的切线，求切线l 的方程；（2）若圆O 在第一象限的弧上有一动点P ，(2,0)A ，(0,2)B ，求四边形OAPB 面积的最大值.19. 已知定点1(4,0)F -、2(4,0)F 和动点(,)M x y ，满足12||||2MF MF a +=(0)a >.（1）若4a ≥，求动点M 的轨迹及其方程；（2）若5a =，且12F MF ∠为钝角，求M 点横坐标x 的取值范围.20. 已知双曲线Γ：2214y x -=，O 为坐标原点. （1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cos θ； （2）设点D 是双曲线Γ上的动点，若动点N 满足ON ND =，求动点N 的轨迹方程；（3）过双曲线Γ右支上一点P ，作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，且P 是AB 的中点，求证：||||OA OB ⋅是一个定值.21. 已知点(,0)A a （其中0a >），1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的点，且满足2132||||||||AP AP AP AP d -=-=.（1）若1a =，1P 坐标为(1,1)-，2d =，点3P 在直线80x y +-=上，求点3P 的坐标；（2）若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上，点2P 的横坐标为2，且1a =，求证：线段 13P P 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标；（3）若1P 、2P 、3P 都在椭圆2212516x y +=上，且3d =，求实数a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. 3π 2. (2,1)- 3. 4. 245. (0,1)6.7. 68. 29.94π 10. 11. 5(,5)2 12.二. 选择题13. A 14. B 15. D 16. A三. 解答题17.（1）32m =；（2）1m =-.18.（1）20x -=或512260x y -+=；（2）max S =P .19.（1）当4a >时，2222016x y a a +=-；当4a =时，0y =（44x -≤≤）；（2）(. 20.（1）3cos 5θ=；（2）2241x y -=；（3）||||5OA OB ⋅=. 21.（1）3(4,4)P 或3(5,3)P ；（2）过定点(4,0)；（3）3a ≥或3a ≤-.。
上海市晋元高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市晋元高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．582． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ）A ．{3，4}B ．{1，2，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．∅3． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A ．BC D4． 如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个 5． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）6． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三1212111n na a a a a a +++≤+++成立的项，则能使不等式自然数的最大值为（ ）A ．9B ．8 C.7D ．5 7． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（）A．（1，1） B ．（0，3） C ．（，2） D ．（，0）8． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.9．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π10．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．15 B ．16 C ．314D ．1311．已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log zz -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 12．若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．14．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________. 15．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12n n n S λ-+<+｜对一切n N *∈恒成立，则λ的取值范围是___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力． 16．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．三、解答题（本大共6小题，共70分。