概率论与数理统计》第二次平时测试题答案

鲁东大学2010-2011学年第二学期
2009级 数学与应用数学、统计学、信息与计算科学专业 本 科 卷 A 参考答
案与评分标准
课程名称 概率论与数理统计
课程号（2111900） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）
一、填空题：本题共6小题，每空2分，满分20分。

1、1，3；
2、61，21；
3、13αβ+=，0α≥，0β≥， 29，1
9
；4、2
2
2
1(,)2x y f x y e π+-=；5、
5/7；6、2
/2
t
e -。

二、单项选择题：本题共4小题，每题3分，满分12分。

1、D ； 2、C ； 3、B ； 4、C 。

三、计算题：本题共6小题，满分68分。

1、在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次任取一只。

有放回抽样，我们定义随机变量,X Y 如下：
0,1,X ⎧=⎨
⎩若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品；0,1,Y ⎧=⎨⎩
若第二次取出的是正品
若第二次取出的是次品。

（1）试写出X 和Y 的联合分布列；（2）求X 的边际分布列；（3）求{0|0}P Y X ==。

（14分） 解：有放回抽样情况，由于每次取物是独立的。

由独立性定义知。

{,}{}{}P X i Y j P X i P Y j =====
101025{0,0}121236P X Y ===
⋅=， 1025
{0,1}121236
P X Y ===⋅=
， 2105{1,0}121236P X Y ===⋅=， 221
{1,1}121236
P X Y ===⋅=
，………………………………（6分） 或写成
（2）由边际分布与联合分布的关系，知
所以，X 的边际分布列为
………………………………………（4分）
（3）{0,0}25/365
{0|0}{0}5/66
P X Y P Y X P X =====
===。

………………………………………（4分）
2、设(,)X Y 在曲线2
y x =，y x =所围成的区域G 内服从均匀分布，求联合概率密度和X 的边际概率密度。

（8分）
解：据题意知，区域G 的面积为21
1
6
x
G x
S dydx ==
⎰
⎰， 由于(,)X Y 在区域G 内服从均匀分布，
故(,)X Y 的概率密度函数为1
,(,)6,(,)(,)0,0,G x y G x y G
S f x y ⎧∈∈⎧⎪==⎨⎨
⎩⎪⎩
其它其它。

………………………（4分） 226,016(),01
()(,)0,0,
x x X dy x x x x f x f x y dy +∞
-∞
⎧≤≤⎧-≤≤⎪
===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰
其它其它。

………………………（4分）
3、设随机变量(,)X Y 的概率密度为()
1(),0,0,(,)20
,.x y x y e
x y f x y -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩其他
求Z X Y =+的密度函数。

（8分） 解：()(,)Z f z f x z x dx ∞
-∞
=
-⎰
，由(,)f x y 的表达形式知，当0,0,x y >>时(,)0f x y ≠，
即当0,0x z x >->，也即0x z <<时，(,)0f x y ≠， ………………………………………（4分）
所以，200,0
()(,)11,022
z Z z z
z f z f x z x dx ze dz z e z ∞
---∞
<⎧⎪
=
-=⎨=≥⎪⎩⎰
⎰。

……………………………………（4分） 4、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(2),0,0
(,)0,
x y ce x y f x y +⎧>>=⎨⎩其它，
（1）确定常数c ；（2）求联合分布函数(,)F x y ；（3）求条件概率密度函数|(|)X Y f x y ；（4）求
{2|1}P X Y <<；
（5）求{}P Y X ≤。

（22分） 解：（1）由概率密度函数的完备性，得(2)0
1
1(,)2
x y f x y dxdy ce dxdy c ∞∞
∞
∞
-+-∞-∞
=
==⎰⎰
⎰
⎰
，
解得2c =； ………………………………………（4分） （2）(2)002,0,0(,)(,)0,x y
x y x y
e
dxdy x y F x y f x y dxdy other
-+-∞-∞
⎧>>⎪=
=⎨
⎪⎩⎰⎰⎰⎰
2(1)(1),0,00,x y e e x y other
--⎧-->>=⎨
⎩； ………………………………………（4分） （3）(2)02,0,0()(,)0,00,0
x y y Y e
dx y e y f y f x y dx y y ∞
-+-∞
-∞
⎧⎧>>⎪=
==⎨⎨
≤⎩⎪≤⎩⎰⎰
……………………………………（3分） 当0y >时，2|2,0
(,)(|)()0,0
x X Y Y e x f x y f x y f y x -⎧>==⎨
≤⎩； ………………………………………（3分） （4）2
1
(2)40
010
2{2,1}
{2|1}1{1}
x y y dx e dy
P X Y P X Y e P Y e dy
-+--<<<<=
=
=-<⎰
⎰⎰
；……………………………（4分）
（5）(2)20
{}(,)22(1)1/3x x y x x y x
P Y X f x y dxdy dx e dy e e dx ∞∞-+--≤≤=
==-=⎰⎰⎰⎰⎰。

……………（4分）
5、设(,)X Y 的概率密度为212,01
(,)0,y y x f x y other ⎧≤≤≤=⎨⎩
，求(),()E X E XY 。

（8分）
解：12
004()(,)125x E X xf x y dxdy dx x y dy ∞∞
-∞-∞
=
=⋅=⎰⎰⎰⎰，………………………………………（4分） 1
20
1
()(,)122
x
E XY xyf x y dxdy dx xy y dy ∞∞
-∞-∞
=
=⋅=
⎰⎰⎰⎰。

………………………………………（4分） 6、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。

现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。

（8分）
解：令i X 表示第i 只元件的寿命，1,2,
,16i =，据题意知，
~(0.01)i X e ，()100i E X =，2()100i D X =，1216,,
,X X X 相互独立同分布，…………………（3分）
所求概率为
16
16
1
16100
{1920}1i
i i X
P X P =-⨯>=>
≈∑∑。

…（5分）。