江西省赣州市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题 pdf版含答案
20.（本小题满分 12 分）
3 x 1 t 2 （ t 为参数）与圆 C ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 直 线 l : y 1 t 2 x 2 3 cos （ 为参数）相交于 A, B 两点． y 3 sin
2
8.若函数 f ( x ) x 1 x a 的最小值为 3 ，则实数 a 的值为 A. 4 B. 2 C. 2 或-4 D. 4 或 2
2017 年 6 月
9.在平面直角坐标系中以原点为极点，以 x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线
l : y kx 2 0 与曲线 C : 2 cos 相交，则 k 的取值范围是 3 3 C. k D. k R 但 k 0 4 4 10.设函数 f ( x ) log 1 x x a ，则“ a (1,5) ”是“函数 f ( x ) 在 (2,8) 上存在零点”的
x
4.曲线 C 的极坐标方程为 6sin 化为直角坐标方程后为 A. x ( y 3) 9 C. ( x 3) y 9 5.设 a log 2 3, b 3 A. c a b
0.01 2 2 2 2
B. x ( y 3) 9 D. ( x 3) y 9
（1）求直线 l 及圆 C 的普通方程； （2）已知 F (1,0) ，求 | FA | | FB | 的值．
③存在圆 O ，使得 f x
ex 1 是圆 O 的太极函数； ex 1
④直线 m 1 x 2m 1 y 1 0 所对应的函数一定是圆
O : x 2 y 1 R 2 R 0 的太极函数；
16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相 互统一的和谐美.定义： 能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 O 的一
高二数学（文科）试题
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高二数学（文科）试题
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个“太极函数”.下列有关说法中： ①对圆 O : x y 1 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数 f x sin x 1 是圆 O : x y 1 1 的一个太极函数；
14.在极坐标系中, O 是极点，设点
．
6.定义集合运算： 设集合 A 0,1 ， A B z z xy (x y ), x A, y B ． B 2,3 ， 则集合 A B 的所有元素之和为 A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
A(1, ) ， B (2, ) ，则 OAB 的面积是________． 6 2
2 2
2
2
2 , c ln ，则 2
C. a c b D. b a c
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，答案填写在答题卷上.
B. a b c
2 x ( x 0) 13.已知函数 f ( x ) log x ( x 0) ，则 f ( f (4)) 1 2
赣州市 2016～2017 学年度第二学期期末考试 高二数学（文科）试题
（考试时间 120 分钟．共 150 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每一小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上. 1.设集合 M 4, 3, 2, 1, 0,1 ， N x R x 3x 0 ，则 M I N
3.若 a, b, c R ， a b ，则下列不等式恒成立的是 A.
1 1 a b
B. a b D.
2
2
2
C. a c b cΒιβλιοθήκη a b 2 c 1 c 1
12.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足： y f ( x 1) 的图像关于 (1, 0) 点对称，且当 x 0 时恒有 f ( x 2) f ( x ) ，当 x [0, 2) 时， f ( x ) e 1 ，则 f ( 2016) f ( 2017 ) （其中 e 为自然对数的底） A. 1 e B. e 1 C. 1 e D. e 1
A. k R B. k
2
A. 3, 2, 1, 0
B. 2, 1, 0
C. 3, 2, 1
D. 2, 1
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
2.下列函数中，满足“ f ( x y ) f ( x ) f ( y ) ”的单调递增函数是 A. f ( x ) x
1 2
11.已知函数 f ( x ) sin x, x (0, 2 ) ，点 P ( x, y ) 是函数 f ( x ) 图像上的任意一点，其中
B. f ( x ) x
3
C. f ( x ) 3
x
D. f ( x ) ( )
1 2
x
O (0, 0), A(2 , 0) ，记 OAP 的面积为 g ( x ) ，则 g( x) 的图像可能是
15.直线 x a ( a 0) 分别与直线 y 3 x 3 ，曲线 y 2 x ln x 交于 A, B 两点，则 AB 的 最小值为 ．
7.已知函数 f ( x ) 的定义域是 1,1 ，则函数 g ( x ) f (2 x 1) lg(1 x ) 的定义域是 A. 0,1 B. 0,1 C. (0,1) D. 0,1
2 2
所有正确说法的序号是
．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.（本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x ) e x ax b .
中学2016-2017学年高二下期末考试数学试卷含解析
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
江西省赣州市2016-2017学年高二下学期期末考试数学文试题 含答案 精品
赣州市2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学(文科)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}4,3,2,1,0,1M =----，{}2=30N x R x x ?<，则MN =( )A ．{}3,2,1,0---B ．{}2,1,0--C ．{}3,2,1,---D ．{}2,1,-- 2.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( ) A ．()12f x x = B ．()3f x x = C ．()3xf x = D ．()12xf x 骣琪=琪桫3.若,,a b c R Î，a b >，则下列不等式恒成立的是( ) A ．11a b < B ．22a b > C ．a c b c > D ．2211a b c c >++ 4.曲线C 的极坐标方程为6sin r q =化为直角坐标方程后为( )A ．()2239x y +-= B ．()2239x y ++= C.()2239x y ++= D ．()2239x y -+=5.设2log a =0.013b =，c =( ) A ．c a b << B ．a b c << C.a c b << D ．b a c <<6.定义集合运算：(){},,A Bz z xy x y x A yB ?=+挝，设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B Å的所有元素之和为( )A ．0B ．6 C.12 D ．187.已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()()()21lg 1g x f x x =--的定义域是( ) A ．[]0,1 B ．[)0,1 C.()0,1 D ．(]0,1 8.若函数()1f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．2 C.2或4- D ．4或2-9.在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C r q =相交，则k 的取值范围是( )A ．k R ÎB ．34k ?C.34k <- D ．k R Î且0k ¹ 10.设函数()12log f x x x a =+-，则“()1,5a Δ是“函数()f x 在()2,8上存在零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要11.已知函数()()sin ,0,2f x x x p =?，点(),P x y 是函数()f x 图象上的任意一点，其中()0,0O ，()2,0A p ，记OAP △的面积为()g x ，则()'g x 的图象可能是( )A ．B ． C.D ．12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ³时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x Î时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=( )(其中e 为自然对数的底)A ．1e -B ．1e - C.1e -- D ．1e +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()()122,0log ,0x x f x x x ì£ï=í>ïî，则()()4f f = ．14.在极坐标系中，O 是极点，设点1,6A p 骣琪琪桫，2,2B p骣琪琪桫，则OAB △的面积是 ． 15.直线()0x a a =>分别与直线33y x =+，曲线2ln y x x =+交于,A B 两点，则AB 的最小值为 ．16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，下列有关说法中：①圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；③存在圆O ，使得()11x x e f x e +=-是圆O 的太极函数；④直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数.所有正确说法的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()x f x e ax b =-+.(1)若()f x 在2x =有极小值21e -，求实数,a b 的值； (2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围.18.已知函数()2,f x m x m R =--?，且()20f x +?的解集为[]1,1-. (1)求m 的值； (2)若,,a b c R Î，且222149m a b c++=，求证：22236a b c ++?. 19.设命题p ：实数x 满足1x a ->(其中0a >)；命题q ：实数x 满足2631x x --<.(1)若命题p 中1a =，且p q Ù为真，求实数x 的取值范围； (2)若p Ø是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy中，已知直线1:12x l y t ìï=ïíï=ïî(t 为参数)与圆23cos :3sin x C y q q ì=+ïí=ïî(q为参数)相交于,A B 两点. (1)求直线l 及圆C 的普通方程； (2)已知()1,0F ，求FA FB +的值.21.已知函数()f x 为二次函数，满足()02f =，且()()12f x f x x +-=. (1)求函数()f x 的解析式； (2)若方程()22x x f a =+在(],2x ??上有两个不同的解，求实数a 的取值范围.22.已知函数()ln f x x =，()()23g x f x ax x =+-，函数()g x 的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴. (1)求a 的值；(2)求函数()g x 的极小值；(3)设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，()12x x <，证明：2111k x x <<.赣州市2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学(文科)参考答案一、选择题1-5:DCDAA 6-10:DBDCC 11、12：AA二、填空题13.144 16.②④三、解答题17.解：(1)()'x f x e a =-；依题意得()()2'2021f f e ì=ïíï=-î即222021e a e a b e ì-=ïíï-+=-î， 解得21a eb ì=ïí=ïî，故所求的实数2a e =，1b =.(2)由(1)得()'x f x e a =-，因为()f x 在定义域R 内单调递增，所以()'0x f x e a =-?在R 上恒成立， 即2a e £，x R Î恒成立，因为x R Î，()0,x e ??，所以0a £，所以实数a 的取值范围为(],0-?. 18.解：(1)因为()2f x m x +=-， 所以()20f x +?等价于x m £， 由x m £有0m >且其解集为[],m m -， 因为()20f x +?的解集为[]1,1-，所以1m =. (2)由(1)得()2221491,,a b c R a b c ++=?， 由柯西不等式得：()222222222149a b c a b c a b c 骣琪++=++++琪桫()2212312336a b c ab c 骣琪匙+??++=琪桫.(另解：()222222222149a b c a b c a b c 骣琪++=++++琪桫()222222222222499414914461236a b a c b c b a c a cb 骣骣骣琪琪琪=+++++++?++=琪琪琪桫桫桫.19.解：(1)当1a =时，{}:20p x x x ><或.{}:23q x x -<<.又p q Ù为真，所以,p q 都为真， 由2023x x x ì><ïí-<<ïî或，得20x -<<或23x <<. (2):1p x a ->，所以1x a <-或()10x a a >+>， ():110p a a a ??>，所以满足条件p Ø的解集(){}110A x a x a a =-＃+>，{}:23q B x x =-<<. 因为p Ø是q 的必要不充分条件， 所以B A Ì，所以01312a a a ì>ïï+?íï-?ïî，得3a ³.20.解：(1)直线l的普通方程为10x --=， 圆C 的普通方程为()2229x y -+=. (2)将1:12x l y t ìï=ïíï=ïî代入()229x y -+=，得280t --=，设方程(*)的两根设为12,t t，则12t t +128t t =-， 所以1212FA FB t t t t +=+=-21.解：(1)因为函数()f x 为二次函数，且()02f =，故设()22f x ax bx =++， 又()()12f x f x x +-=，所以()()()()221112222f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++---=++=，所以22a =，0a b +=， 所以1a =，1b =-，所以函数()f x 的解析式为()()22f x x x x R =-+?. (2)由(1)知：方程()22x x f a =+可化为()()22222x xxa -+=+，即()()22222xxa -?=，令2x t =，因为(],2x ??，则(]0,4t Î.因为方程()22x x f a =+在(],2x ??上有两个不同的解，所以方程222t t a -?=在区间(]0,4上有两个不同的正根. 即函数222y t t =-+和直线y a =在(]0,4t Î上有两个不同的交点， 所以12a <<.22.解：(1)依题意得()2ln 3g x x ax x =+-，则()1'23g x ax x=+-. 由函数()g x 的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴得： ()'11230g a =+-=，所以1a =.(2)由(1)得()()()2211231'x x x x g x x x---+==，因为函数()g x 的定义域为()0,+?，令()'0g x =得12x =或1x =.函数()g x 在10,2骣琪琪桫上单调递增，在1,12骣琪琪桫上单调递减，在()1,+?上单调递增，故函数()g x 的极小值为()12g =-. (3)证法一：依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--， 要证2111k x x <<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211ln x x x x xx x x --<<， 令()211x t t x =>，即证()11ln 11t t t t-<<->， 令()()ln 11k t t t t =-+>，则()1'10k t t =-<，所以()k t 在()1,+?上单调递减，所以()()10k t k <=，即ln 10t t -+<，所以ln 1t t <-①令()()1ln 11h t t t t =+->，则()22111'0t h t t t t -=-=>.所以()h t 在()1,+?上单调递增，所以()()10h t h >=，即()1ln 11t t t>->② 综①②得()11ln 11t t t t -<<->，即2111k x x <<.证法二：依题意得212122112121ln ln ln ln y y x x k x kx x kx x x x x --==?=---，令()ln h x x kx =-，则()1'h x k x=-， 由()'0h x =得1x k =，当1x k >时，()'0h x <，当10x k <<时，()'0h x >， 所以()h x 在10,k 骣琪琪桫单调递增，在1,k 骣琪+?琪桫单调递减，又()()12h x h x =， 所以121x x k <<，即2111k x x <<.。
江西省赣州市2017-2018学年高二下学期小考数学(文)试题Word版含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x ﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）A ．{﹣1，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}2．设命题，则¬p 是（ ）A ．B ．C ．D ．3．“lga＞lgb”是“a＞b”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．y=x+e xC ．D ．5．cos40°sin20°+sin140°cos20°=（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数f （x ）=e x +x ﹣3的零点所在的一个区间是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7．要得到函数的图象，只需将函数y=cos4x 的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位8．设函数31log (3)()31xx f x +-⎧=⎨-⎩11x x <≥，则f （﹣6）+f （log312）=（ ） A ．6B ．7C ．8D ．99．设曲线f （x ）=2mx ﹣ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=3x ，则m 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣210．定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意的12,x x ∈，则a+b= ．14．已知函数f （x ）及其导数f′（x ），若存在x 0，使得f （x 0）=f′（x 0），则称x 0是f （x ）的一个“巧值点”．下列函数有“巧值点”的是 （填序号）①f（x ）=x 2 ②③f（x ）=lnx ④．三、解答题（共5小题，满分50分）15．设函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，定义集合A﹣B={x|x∈A且x B∉}．（1）求A﹣B；（2）若C={x|m﹣1＜x＜2m+1}，C B⊆，求实数m的取值范围．16．已知函数．（1）求f（x）最小正周期和单调区间；（2）当时，求f（x）的最大值和最小值．17．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，设g （x）=f（x）﹣kx（1）当x∈时，g（x）为单调函数，求实数k的范围；（2）当x∈时，g（x）＜0恒成立，求实数k的范围．选修4-4：坐标系与参数方程18．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．选修4-5，不等式选讲19．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．江西省赣州市2017-2018学年高二下学期小考数学（文）试题答案三、解答题（共5小题，满分60分）18．设函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，定义集合A﹣B={x|x∈A且x∉B}．（1）求A﹣B；（2）若C={x|m﹣1＜x＜2m+1}，C⊆B，求实数m的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】新定义；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）分别解不等式x2﹣2x﹣3＞0和2﹣|x|≥0可得A，B，由新定义可得A﹣B；（2）分类讨论：当C=∅时可得m﹣1≥2m+1，当C≠∅时可得，分别解得m综合可得．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＞0可解得x＜﹣1或x＞3，故A={x|x＜﹣1或x＞3}；同理由2﹣|x|≥0可解得﹣2≤x≤2，故B={x|﹣2≤x≤2}；∵集合A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴A﹣B═{x|x＜﹣2或x＞3}；（2）由题意可得C={x|m﹣1＜x＜2m+1}，C⊆B，当C=∅时可得m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；当C≠∅时可得，解得﹣1≤m≤；综合可得m≤﹣2或﹣1≤m≤．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及集合的运算和分类讨论，属基础题．19．已知函数．（1）求f（x）最小正周期和单调区间；（2）当时，求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+）+1，由周期公式可得，解2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调递增区间，同理可得单调递减区间；（2）由题意可得2x+∈[，]，当2x+=和2x+=时，函数分别取最小和大值，代值计算可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∴最小正周期T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可解得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为，k ∈Z ； 同理可得函数的单调递减区间为，k ∈Z ；（2）∵，∴2x+∈[，]，∴当2x+=即x=时，函数取最小值0，当2x+=即x=时，函数取最大值3．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值及周期性，属基础题．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+1（a ＞0），若f （﹣1）=0，且对任意实数x 均有f （x ）≥0成立，设g （x ）=f （x ）﹣kx（1）当x ∈时，g （x ）为单调函数，求实数k 的范围； （2）当x ∈时，g （x ）＜0恒成立，求实数k 的范围． 【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由题意得函数f （x ）的对称轴为x=﹣1，用待定系数法求出f （x ）的解析式，从而得g （x ）的解析式，结合g （x ）在上是单调函数，知对称轴在外，求出k 的取值范围．（2）若g （x ）=x 2+（2﹣k ）x+1，x ∈时，g （x ）＜0恒成立，则，解得实数k的范围．【解答】解：（1）∵f（x ）=ax 2+bx+1（a ＞0）， f （﹣1）=0且对任意实数x 均有f （x ）≥0成立；∴x=﹣=﹣1，且a ﹣b+1=0；即b=2a ，且a ﹣b+1=0， 解得a=1．b=2； ∴f（x ）=x 2+2x+1，∴g（x ）=f （x ）﹣kx=x 2+（2﹣k ）x+1， ∵g（x ）在上是单调函数，∴x=应满足：≥2，或≤﹣2，即k≥6，或k≤﹣2；∴k的取值范围是{k|k≤﹣2，或k≥6}．（2）若g（x）=x2+（2﹣k）x+1，x∈时，g（x）＜0恒成立，则，即解得：k＞，∴k的取值范围是{k|k＞}【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及函数单调性的应用问题，是中档题．选修4-4：坐标系与参数方程22．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程．（2）设点P（2cosα， sinα），求得点P到直线l的距离d=，tanβ=，由此求得d的最大值．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，即ρ（cosθ﹣sinθ）=2，即x﹣y﹣4=0．曲线C的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得+=1．（2）设点P（2cosα， sinα）为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离d==，tanβ=，故当cos（α+β）=﹣1时，d取得最大值为．【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题．选修4-5，不等式选讲23．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，由此求得不等式的解集．（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得，∴不等式的解集为．…（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．…【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。
江西省赣州市2016-2017学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析
2016-2017学年江西省赣州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题5分）1．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记=，=，则向量=（）A．﹣﹣ B．﹣+C．﹣D． +2．如果a＞0＞b且a+b＞0，那么以下不等式正确的个数是（）①a2b＜b3；②＞0＞；③a3＜ab2；④a3＞b3．A．1 B．2 C．3 D．43．若直线（a+1）x﹣y+1﹣2a=0与（a2﹣1）x+（a﹣1）y﹣15=0平行，则实数a 的值等于（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．不存在4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣ C．或﹣ D．5．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°则△ABC的面积等于（）A．B．或C．D．或6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=4，S4=16，数列{b n}满足b n=a n+a n，+1则数列{b n}的前9和T9为（）A．20 B．80 C．166 D．1807．已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]8．已知点（1，﹣2）和（，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，） B．（，）C．（，）D．（0，）∪（，π）9．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．10．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值（）A．2 B．﹣2 C．或﹣D．2或﹣211．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2） D．[0，1]二、填空题（每小题5分）13．△ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为．14．设x、y满足约束条件则取值范围．15．G在△ABC所在平面上有一点P，满足++=，则△PAB与△ABC的面积之比为．16．△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：（1）（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=acosB（4）有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题．三、解答题17．已知向量=（3，4），=（﹣1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与+2平行，求λ的值．18．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．19．设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．20．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（c+a，b），=（c﹣a，b﹣c），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．21．已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．22．已知等比数列{a n}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{b n}满足b n=3﹣2log2a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2n b n成立的k的取值范围．2016-2017学年江西省赣州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，记=， =，则向量=（ ）A ．﹣﹣B ．﹣+C ．﹣D ． +【分析】由向量的平行四边形法则、三角形法则可得：=，，即可得出．【解答】解：∵=，，∴==．故选：B ．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，属于基础题．2．如果a ＞0＞b 且a +b ＞0，那么以下不等式正确的个数是（ ）①a 2b ＜b 3；②＞0＞；③a 3＜ab 2；④a 3＞b 3． A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【解答】解：a 2b ﹣b 3=b （a 2﹣b 2）=b （a ﹣b ）（a +b ）＜0，∴a 2b ＜b 3．成立，∴①正确．∵a ＞0＞b 且a +b ＞0， ∴a ＞﹣b ＞0＞b ，∴＞0，＜0，a 3＞b 3．∴②，④正确，a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a﹣b）（a+b）＞0，∴a3＞ab2，成立，∴③错误．故选：C．【点评】本题主要考查不等式性质的应用，要求熟练掌握不等式的性质．3．若直线（a+1）x﹣y+1﹣2a=0与（a2﹣1）x+（a﹣1）y﹣15=0平行，则实数a 的值等于（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．不存在【分析】由（a+1）（a﹣1）﹣（﹣1）（a2﹣1）=0，化为：a2=1，解得a．再验证即可得出．【解答】解：由（a+1）（a﹣1）﹣（﹣1）（a2﹣1）=0，化为：a2=1，解得a=±1．经过验证：a=1时，两条直线不平行，舍去．∴a=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）A．B．﹣ C．或﹣ D．【分析】由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出等差d的值，进而得到a2﹣a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．【解答】解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3d=4﹣1=3，即d=1，∴a2﹣a1=d=1，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，又b12=b2＞0，∴b2=2，则=．故选A【点评】本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点5．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°则△ABC的面积等于（）A．B．或C．D．或【分析】结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内=bcsinA进行计算可求．角和公式计算A，利用三角形的面积公式S△ABC【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得sinC=b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°=bcsinA=×1××1=当C=60°时，A=90°，S△ACB=×1××=当C=120°时，A=30°，S△ABC故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，正弦定理及“大边对大角”的定理，=bcsinA=acsinB=absinC，在利用正弦定理还考查了三角形的面积公式S△ABC求解三角形中的角时，在求出正弦值后，一定不要忘记验证“大边对大角”．6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=4，S4=16，数列{b n}满足b n=a n+a n，+1则数列{b n}的前9和T9为（）A．20 B．80 C．166 D．180【分析】利用已知条件求出数列的首项与公差，求出通项公式，然后求解数列{b n}的前9和T9．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=4，S4=16，可得，解得d=2，a1=1，a n=2n﹣1，=4n．b n=a n+a n+1数列{b n}的前9和T9=4×=180．故选：D．【点评】本题考查数列的递推关系式与数列求和，考查计算能力．7．已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]【分析】已知分段函数f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分类讨论：①当x≤0时；②当x＞0时，分别代入不等式f（x）≥x2，从而求出其解集．【解答】解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选A．【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目．8．已知点（1，﹣2）和（，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，） B．（，）C．（，）D．（0，）∪（，π）【分析】设直线l的倾斜角为θ∈[0，π）．点A（1，﹣2），B（，0）．直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）经过定点P（0，﹣1）．可得k PA=﹣1，k PB=．由点（1，﹣2）和（，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，可得k PA＜a＜k PB，，tanθ≠0．即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ∈[0，π）．点A（1，﹣2），B（，0）．直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）经过定点P（0，﹣1）．k PA==﹣1，k PB==．∵点（1，﹣2）和（，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，∴k PA＜a＜k PB，∴，tanθ≠0．解得，．故选：D．【点评】本题考查了直线斜率计算公式及其应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．【分析】求出通项公式的分母，利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：===2（）．数列1，，，…，的前n项和：数列1+++…+=2（1++…）=2（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查数列求和的方法，裂项消项法的应用，考查计算能力．10．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值（）A．2 B．﹣2 C．或﹣D．2或﹣2【分析】先由向量关系推出OA⊥OB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a的值．【解答】解：由向量满足得⊥，因为直线x+y=a 的斜率是﹣1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；所以（0，2）和（0，﹣2）点都适合直线的方程，a=±2；故选D．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题．11．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】设P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选B【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断；关键是明确线段AB中点与圆上点的距离范围．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2） D．[0，1]【分析】解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）=x2+ax﹣a+1=（x+）2﹣﹣a+1．①当﹣＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②当0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min=g（﹣）=﹣﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2＜a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③当﹣＞1，即a＜﹣2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜﹣2．综上a＜1．法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．求当x∈[0，1）时，函数y=的最小值．令t=1﹣x（t∈（0，1]），则y===t+﹣2，而函数y=t+﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，y min=1．故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，由①②得a＜1．故选：A【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想．二、填空题（每小题5分）13．△ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为2x+y﹣3=0．【分析】利用斜率计算公式可得：k AB，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得k CH．再利用点斜式即可得出．【解答】解：k AB==，∴k CH=﹣2．∴AB边上的高CH所在直线的方程为：y=﹣2x+3．故答案为：2x+y﹣3=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设x、y满足约束条件则取值范围[1，5] ．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题．【解答】解：根据约束条件画出可行域，∵设k=，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域，数形结合，由图得当过A（0，4）时，z有最大值5，当过B（0，0）时，z有最小值1，所以1≤z≤5．故答案为：[1，5]．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率．属于线性规划中的延伸题15．G在△ABC所在平面上有一点P，满足++=，则△PAB与△ABC的面积之比为．【分析】将条件等价转化，化为即++﹣=，利用向量加减法的三角形法则可得到2=，得出结论．【解答】解：∵++=，∴++﹣=，即+（﹣）+=，即2+=，即2=，∴点P在线段AC上，且|AC|=3|PA|那么△PAB的面积与△ABC的面积之比是．故答案为：【点评】本题考查向量在几何中的应用、向量的加减法及其几何意义，体现了等价转化的数学思想．16．△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：（1）（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=acosB（4）有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙．【分析】若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式变形得到关于a，b及c的关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的关系式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C为60°，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，从而得到三角形为等边三角形；若（2）（4）→乙，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，再利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a= b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，从而得到三角形为等腰直角三角形；若（3）（4）→乙，利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，再利用正弦定理化简（3）中的两等式，分别表示出sinA，两者相等再利用二倍角的正弦函数公式，得到sin2B=sin2C，由B和C 都为三角形的内角，可得B=C，从而得到三角形为等腰直角三角形．三者选择一个即可．【解答】解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：证明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，变形得：a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab，则cosC==，又C为三角形的内角，∴C=60°，又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，即B=C，则A=B=C=60°，∴△ABC是等边三角形；以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，即B=C，∴b=c，由正弦定理===2R得：sinA=，sinB=，sinC=，代入得：2R•（﹣）=（a﹣b）•，整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab，∴a=b，∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，则三角形为等腰直角三角形；以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：证明：由正弦定理===2R得：sinA=，sinB=，sinC=，代入得：2R•（﹣）=（a﹣b）•，整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab，∴a=b，∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，又b=acosC，c=acosB，根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，∴=，即sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，∴2B=2C，即B=C，则三角形为等腰直角三角形．故答案为：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，勾股定理，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，属于条件开放型题，是一类背景新、解题活、综合性强、无现成模式的题型．解答此类题需要运用观察、类比、猜测、归纳、推理等多种探索活动寻求解题策略．三、解答题17．已知向量=（3，4），=（﹣1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与+2平行，求λ的值．【分析】（1）利用平面向量的数量积公式求出夹角的余弦值；（2）根据向量平行的坐标关系得到λ的方程，求值．【解答】解：向量=（3，4），=（﹣1，2）．（1）向量与夹角的余弦值==；（2）若向量﹣λ=（3+λ，4﹣2λ）与+2=（1，8）平行，则8（3+λ）=4﹣2λ，解得λ=﹣2．【点评】本题考查了平面向量数量积公式的运用以及向量平行的坐标关系；属于基础题．18．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．【分析】（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．【点评】该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．19．设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．【分析】设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y=0中得到①；把A的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程．【解答】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，∴a+2b=0，①（2﹣a）2+（3﹣b）2=r2．②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为2，圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，则根据垂径定理得：r2﹣（）2=（）2③解由方程①、②、③组成的方程组得：或∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．【点评】此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用垂径定理及对称知识化简求值，是一道中档题．学生做题时注意满足题意的圆方程有两个．20．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（c+a，b），=（c﹣a，b﹣c），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．【分析】（1）由⊥．可得=（c+a）（c﹣a）+b（b﹣c）=0，化为：c2+b2﹣a2=bc．利用余弦定理即可得出．（2）由正弦定理可得：===2，b=2sinB，c=2sinC，利用和差公式可得：a+b+c=3+2（sinB+sinC）=6sin+3，再利用三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（1）∵⊥．∴=（c+a）（c﹣a）+b（b﹣c）=c2﹣a2+b2﹣bc=0，化为：c2+b2﹣a2=bc．∴cosA==，A∈（0，π）．∴A=．（2）由正弦定理可得： ===2，∴b=2sinB ，c=2sinC ，∴a +b +c=3+2（sinB +sinC ）=3+2（sinB +sinC ）=3+2（sin （）+sinC ）=6sin +3，∵C ∈，∴∈，∴sin∈，∴a +b +c ∈（6，9]．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知直线l 的方程为（2﹣m ）x +（2m +1）y +3m +4=0，其中m ∈R ． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）当m 变化时，求点P （3，1）到直线l 的距离的最大值；（3）若直线l 分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．【分析】（1）直线l 的方程为（2﹣m ）x +（2m +1）y +3m +4=0，其中m ∈R ．化为：m （﹣x +2y +3）+（2x +y +4）=0，令，解出即可得出直线l 经过定点．（2）当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点P （3，1）到直线l 的距离的最大． （3）由于直线l 经过定点Q （﹣1，﹣2）．直线l 的斜率k 存在且k ≠0，因此可设直线l 的方程为y +2=k （x +1），可得与x 轴、y 轴的负半轴交于A （，0），B （0，k ﹣2）两点，＜0，k ﹣2＜0，解得k ＜0．可得S △OAB =××（2﹣k ）=，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）证明：直线l 的方程为（2﹣m ）x +（2m +1）y +3m +4=0，其中m ∈R ．化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令，解得，则直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．（2）解：当m变化时，PQ⊥直线l时，点P（3，1）到直线l的距离的最大==5．（3）解：由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0，因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），可得与x轴、y轴的负半轴交于A（，0），B（0，k﹣2）两点，＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．∴∴S△OAB=××（2﹣k）=≥2+=4，当且仅当k=﹣2时取等号．此时直线l的方程为：y+2=﹣2（x+1），化为：2x+y+4=0．【点评】本题考查了直线系、点斜式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知等比数列{a n}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{b n}满足b n=3﹣2log2a n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2n b n成立的k的取值范围．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，根据a1=2，a2=4（a3﹣a4），可得a2=4a2（q﹣q2），化简解得q．可得a n．利用对数的运算性质可得b n．（2）c n===．利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．（3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2n b n，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n•（2n﹣1），令d n=22﹣2n•（2n﹣1），通过作差可得：d n+1＜d n，即数列{d n}单调递减，因此n=1时d n取得最大值d1=1．根据对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2n b n成立，可得2λ2﹣kλ+2＞1，根据λ＞0．可得k＜2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），∴a2=4a2（q﹣q2），化为：4q2﹣4q+1=0，解得q=．∴a n==22﹣n．∴b n=3﹣2log2a n=3﹣2（2﹣n）=2n﹣1．（2）c n===．∴数列{c n}的前n项和S n= [2+3•22+5×23+…+（2n﹣1）•2n]，∴2S n= [22+3•23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1]，∴﹣S n==，可得：S n=．（3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2n b n，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n•（2n﹣1），令d n=22﹣2n•（2n﹣1），则d n+1﹣d n=﹣==＜0，＜d n，即数列{d n}单调递减，因此n=1时d n取得最大值d1=1．因此d n+1∵对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2n b n成立，∴2λ2﹣kλ+2＞1，∵λ＞0．∴k＜2，∵2≥2=2，当且仅当λ=时取等号．∴．即k的取值范围是．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、基本不等式的性质、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2017年7月12日。
2016-2017年江西省赣州市十四县(市)联考高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年江西省赣州市十四县（市）联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的积为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数3．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的回归系数r如下，其中变量之间线性相关程度最高的模型是（）A．模型1对应的r为﹣0.98B．模型2对应的r为0.80C．模型3对应的r为0.50D．模型4对应的r为﹣0.254．（5分）若关于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＞4的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）D．（﹣6，2）5．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝b与椭圆C交于A、B两点．若四边形ABF2F1是矩形，则椭圆C 的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知复数z＝（3a+2i）（b﹣i）的实部为4，其中a、b为正实数，则2a+b的最小值为（）A．2B．4C．D．7．（5分）如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A．18B．20C．87D．908．（5分）观察下列各式：＝，+＝，++＝…，则++…+等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，3x﹣3≤0．若（￢p）∧q是假命题，则命题q可以是（）A．抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1）B．双曲线﹣＝2的右顶点到其左、右焦点的距离之比为3C．函数f（x）＝x3﹣3x2+b在区间（﹣∞，﹣1）上无极值点D．曲线f（x）＝x3﹣3x2+5在点（1，f（1））处切线的倾斜角大于10．（5分）已知椭圆M：（x﹣2）2+y2＝4，则过点（1，1）的直线中被圆M截得的最短弦长为2．类比上述方法：设球O是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，过AC1的一个三等分点作球O的截面，则最小截面的面积为（）A．πB．4πC．5πD．6π11．（5分）“a≥2”是“直线l：2ax﹣y+2a2＝0（a＞0）与双曲线C：﹣＝1的右支无焦点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）若函数f（x）＝lnx+（a∈N）在（1，3）上只有一个极值点，则a的取值个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13．（5分）命题“若x≥1，则x2﹣4x+2≥﹣1”的否命题为．14．（5分）复数z满足（z+2i）i＝3﹣i，则|z|＝．15．（5分）函数f（x）＝﹣x﹣cos x在[0，]上的最大值为．16．（5分）从焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上取一点A（x0，y0）（x0＞）作其准线的垂线，垂足为B，若|AF|＝4，B到直线AF的距离为，则此抛物线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣5，g（x）＝|x+2|﹣2．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）﹣g（x）≥m﹣3有解，求实数m的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．19．（12分）禽流感是家禽养殖业的最大威胁．为检验某新药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行试验，得到如下丢失数据的列联表：（c ，d ，M ，N 表示丢失的数据）（1）求出a ，b ，d ，M ，N 的值，并判断：能否有99.5%的把握认为药物有效； （2）若表中服用药后患病的5只家禽分别为3只鸡和2只鸭，现从这5只家禽中随机选取2只，求这2只家禽是同一类的概率． 下面的临界值表供参考：（参考公式：K 2＝，其中n ＝a +b +c +d ）20．（12分）已知条件p ：k 2+3k ﹣4≤0；条件q ：函数f （x ）＝x 2+kx +lnx 在定义域内递增，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数k 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆G ：+＝1（b ＞0）的上、下顶点和右焦点分别为M 、N 和F ，且△MFN 的面积为4．（1）求椭圆G 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点．以AB 为底作等腰三角形，顶点为P （﹣3，2），求△P AB 的面积．22．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣lnx ，函数g （x ）＝﹣bx ，a ∈R ，b ∈R且b ≠0．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＝1，且对任意的x 1（1，2），总存在x 2∈（1，2），使f （x 1）+g （x 2）＝0成立，求实数b 的取值范围．2016-2017学年江西省赣州市十四县（市）联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝＝＝＝﹣1+i，∴共轭复数＝﹣1﹣i，∴在复平面内对应的点（﹣1，﹣1），故共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．2．（5分）用反证法证明命题“若自然数a，b，c的积为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A．a，b，c中至多有一个偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c至多有一个奇数D．a，b，c都是偶数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中一个偶数都没有”，即a，b，c都是奇数，故选：B．3．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的回归系数r如下，其中变量之间线性相关程度最高的模型是（）A．模型1对应的r为﹣0.98B．模型2对应的r为0.80C．模型3对应的r为0.50D．模型4对应的r为﹣0.25【解答】解：线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小，∵模型1的相关系数|r|最大，∴模拟效果最好．故选：A．4．（5分）若关于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＞4的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，6）B．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）D．（﹣6，2）【解答】解：由|x﹣m|+|x+2|≥|x﹣m﹣x﹣2|＝|m+2|，它的最小值等于|2+m|，由题意可得|2+m|＞4，解得m＞2，或m＜﹣6，故选：B．5．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝b与椭圆C交于A、B两点．若四边形ABF2F1是矩形，则椭圆C 的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABF2F1是矩形，∴A（﹣c，），即，⇒，椭圆C的离心率e＝．故选：D．6．（5分）已知复数z＝（3a+2i）（b﹣i）的实部为4，其中a、b为正实数，则2a+b的最小值为（）A．2B．4C．D．【解答】解：z＝（3a+2i）（b﹣i）＝3ab+2+（2b﹣3a）i，∴3ab+2＝4，∴ab＝，∴2a+b≥2＝2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故2a+b的最小值为，故选：D．7．（5分）如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A．18B．20C．87D．90【解答】解：第一次执行循环体后，S＝2，n＝2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S＝5，n＝3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S＝18，n＝4，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S＝87，n＝5，满足退出循环的条件；故输出的S值为87，故选：C．8．（5分）观察下列各式：＝，+＝，++＝…，则++…+等于（）A．B．C．D．【解答】解：＝，+＝＝，++＝…，则++…+＝，故选：C．9．（5分）已知命题p：∃x∈R，3x﹣3≤0．若（￢p）∧q是假命题，则命题q可以是（）A．抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1）B．双曲线﹣＝2的右顶点到其左、右焦点的距离之比为3C．函数f（x）＝x3﹣3x2+b在区间（﹣∞，﹣1）上无极值点D．曲线f（x）＝x3﹣3x2+5在点（1，f（1））处切线的倾斜角大于【解答】解：命题p：∃x∈R，3x﹣3≤0，是假命题，故￢p是真命题，而（￢p）∧q是假命题，故q是假命题，对于A：抛物线y＝x2化为x2＝4y，其焦点坐标为（0，1），故A是真命题；对于B：双曲线﹣＝2的右顶点为（，0），左右焦点分别为F1（，0），F2（，0），右顶点到其左、右焦点的距离之比为，故B为真命题；对于C：函数f（x）＝x3﹣3x2+b，f′（x）＝3x2﹣6x，由f′（x）＝3x2﹣6x＝0，得x＝0或x＝2．当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（0，2）时，f（x）为减函数，则函数f（x）＝x3﹣3x2+b在区间（﹣∞，﹣1）上无极值点，故C 为真命题；对于D：由f（x）＝x3﹣3x2+5，得f′（x）＝3x2﹣6x，则f′（1）＝﹣3＜﹣1，∴曲线f（x）＝x3﹣3x2+5在点（1，f（1））处切线的倾斜角小于，故D 是假命题．故选：D．10．（5分）已知椭圆M：（x﹣2）2+y2＝4，则过点（1，1）的直线中被圆M截得的最短弦长为2．类比上述方法：设球O是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，过AC1的一个三等分点作球O的截面，则最小截面的面积为（）A．πB．4πC．5πD．6π【解答】解：由题意，正方体的体对角线长为，则球心O到过AC1的一个三等分点的球O的截面的距离为＝，球的半径为，∴最小截面的圆的半径为，∴最小截面的面积为π•（）2＝6π．故选：D．11．（5分）“a≥2”是“直线l：2ax﹣y+2a2＝0（a＞0）与双曲线C：﹣＝1的右支无焦点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线l：2ax﹣y+2a2＝0（a＞0）与双曲线C：﹣＝1的右支无焦点，∴直线l的斜率不小于双曲线C的渐近线y＝x的斜率，即2a≥，∵a＞0，∴a≥1，故a≥2是a≥1的充分不必要条件，故选：A．12．（5分）若函数f（x）＝lnx+（a∈N）在（1，3）上只有一个极值点，则a的取值个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）的导数为f′（x）＝﹣，当f′（1）f′（3）＜0时，函数f（x）在区间（1，3）上只有一个极值点，即为（1﹣a）（﹣a）＜0，解得4＜a＜；当a＝4时，f′（x）＝﹣＝0，解得x＝1∉（1，3），当a＝时，f′（x）＝﹣＝0在（1，3）上无实根，则a的取值范围是4＜a＜，且a∈N，即为a＝5．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13．（5分）命题“若x≥1，则x2﹣4x+2≥﹣1”的否命题为若x＜1，则x2﹣4x+2＜﹣1．【解答】解：命题“若x≥1，则x2﹣4x+2≥﹣1”的否命题为：若x＜1，则x2﹣4x+2＜﹣1；故答案为：若x＜1，则x2﹣4x+2＜﹣1．14．（5分）复数z满足（z+2i）i＝3﹣i，则|z|＝．【解答】解：∵（z+2i）i＝3﹣i，∴z+2i＝，则z＝﹣1﹣5i，∴|z|＝．故答案为：．15．（5分）函数f（x）＝﹣x﹣cos x在[0，]上的最大值为﹣1．【解答】解：f′（x）＝﹣+sin x，∵x∈[0，]，∴sin x∈[0，]，∴f′（x）＜0，f（x）在[0，]递减，故f（x）max＝f（0）＝﹣1，故答案为：﹣1．16．（5分）从焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上取一点A（x0，y0）（x0＞）作其准线的垂线，垂足为B，若|AF|＝4，B到直线AF的距离为，则此抛物线的方程为y2＝2x．【解答】解：设B到直线AF的距离为BC＝，由|AF|＝|AB|＝4，可得sin∠BAF＝，∴cos∠BAF＝，设F到AB的距离为AD，则|AD|＝|AF|cos∠BAF＝3，∴p+|AD|＝4，∴p＝1，∴此抛物线的方程为y2＝2x．故答案为y2＝2x．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣5，g（x）＝|x+2|﹣2．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）﹣g（x）≥m﹣3有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）≤2，得|x﹣3|≤7，∴﹣7≤x﹣3≤7，解得﹣4≤x≤10，∴x的取值范围是[﹣4，10]．（Ⅱ）∵f（x）﹣g（x）≥m﹣3有解，∴|x﹣3|﹣|x+2|≥m有解，∵||x﹣3|﹣|x+2||≤|（x﹣3）﹣（x+2）|＝5，∴﹣5≤|x﹣3|﹣|x+2|≤5∴m≤5，即m的取值范围是（﹣∞，5]．18．（12分）设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．【解答】解：（1）不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6，而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，﹣3和3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式的解集为M＝[﹣3，3]．（2）要证3|a+b|≤|ab+9|，只要证9（a+b）2≤（ab+9）2，即证：9（a+b）2﹣（ab+9）2＝9（a2+b2+2ab）﹣（a2•b2+18ab+81）＝9a2+9b2﹣a2•b2﹣81＝（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，而由a，b∈M，可得﹣3≤a≤3，﹣3≤b≤3，∴（a2﹣9）≤0，（9﹣b2）≥0，∴（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立．19．（12分）禽流感是家禽养殖业的最大威胁．为检验某新药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行试验，得到如下丢失数据的列联表：（c，d，M，N表示丢失的数据）（1）求出a，b，d，M，N的值，并判断：能否有99.5%的把握认为药物有效；（2）若表中服用药后患病的5只家禽分别为3只鸡和2只鸭，现从这5只家禽中随机选取2只，求这2只家禽是同一类的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式：K 2＝，其中n ＝a +b +c +d ）【解答】解：（1）由题意，M ＝40，N ＝55，a ＝20，b ＝20，d ＝35，K 2＝≈13.1＞7.879，∴有99.5%的把握认为药物有效； （2）从这5只家禽中随机选取2只，共有＝10种方法，这2只家禽是同一类的概率＝＝0.4．20．（12分）已知条件p ：k 2+3k ﹣4≤0；条件q ：函数f （x ）＝x 2+kx +lnx 在定义域内递增，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数k 的取值范围． 【解答】解：条件p ：k 2+3k ﹣4≤0， 解得：﹣4≤k ≤1；条件q ：函数f （x ）＝x 2+kx +lnx 在定义域内递增， 函数f （x ）的定义域是（0，+∞），只需f ′（x ）＝x ++k ≥0在（0，+∞）恒成立即可， ∴k ≥[﹣（x +）]max ＝﹣2， 故q 为真时，k ≥﹣2，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假， p 真q 假时：﹣4≤k ＜﹣2， p 假q 真时：k ＞1，综上，k ∈（﹣4，﹣2）∪（1，+∞）． 21．（12分）已知椭圆G ：+＝1（b ＞0）的上、下顶点和右焦点分别为M 、N 和F ，且△MFN 的面积为4．（1）求椭圆G 的方程；（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点．以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△P AB的面积．【解答】解：（1）∵椭圆G：+＝1（b＞0），c2＝3b2﹣b2＝2b2，即c＝b，由△MFN的面积为4，则×2b×c＝4，即bc＝4，则b＝2，a2＝3b2＝12，∴椭圆G的方程为：；（2）设直线l的方程为y＝x+m，由，整理得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0＝＝﹣，y0＝x0+m＝，因为AB是等腰△P AB的底边，则PE⊥AB．∴PE的斜率k＝＝﹣1，解得m＝﹣2，此时方程①为4x2+12x＝0，解得x1＝﹣3，x2＝0，∴y1＝﹣1，y2＝2．∴|AB|＝＝33．此时，点P（﹣3，2）到直线AB：x﹣y+2＝0的距离d＝＝，∴△P AB的面积S＝|AB|•d＝，△P AB的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx，函数g（x）＝﹣bx，a∈R，b∈R 且b≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＝1，且对任意的x1（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）+g（x2）＝0成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣ax，∴x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞）∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数当a＞0时，∵f'（x）＝﹣a＝，∵f′（x）＞0，则1﹣ax＞0，ax＜1，x＜，f′（x）＜0，则1﹣ax＜0，ax＞1，x＞即当a＞0时f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．（2）则由已知，对于任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使﹣f（x1）＝g（x2），设h（x）＝﹣f（x）在（1，2）的值域为A，g（x）在（1，2）的值域为B，得A⊆B由（1）知a＝1时，h′（x）＝＜0在（1，2）1上是减函数，∴h（x）在x∈（1，2）上单调递减，∴h（x）的值域为A＝（ln2﹣2，﹣1）∵g'（x）＝bx2﹣b＝b（x﹣1）（x+1）∴（i）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，此时，g（x）的值域为B＝（b，﹣b）为满足A⊆B，又﹣b≥0＞﹣1∴b≤ln2﹣2．即b≤ln2﹣3．（ii）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，此时，g（x）的值域为B＝（﹣b，b）为满足A⊆B，又b≥0＞﹣1．∴﹣b≤ln2﹣2∴b≥﹣（ln2﹣2）＝3﹣ln2，综上可知b的取值范围是（﹣∞，ln2﹣3]∪[3﹣ln2，+∞）．。
江西省赣州市2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案
赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学(理科)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ，将正确答案填写在下表中）1.已知命题:0c ρ∃>，使方程20x x c -+=有解，则ρ-为（ ）A ．0c ∀>，方程20x x c -+=无解B ．0c ∀≤，方程20x x c -+=有解C ．0c ∃>，使方程20x x c -+=无解D ．0c ∃≤，使方程20x x c -+=有解2.若(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =- ，如果a 与b 为共线向量，则（ ）A ．1,1x y ==B ．11,22x y ==-C ．13,62x y ==- D ．13,62x y =-=3.从编号0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（ ） A ． 8 B ．10 C ．12 D ．164.下列判断中，正确的有：（ ）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在ABC ∆中，“60B ∠=︒”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件； ④“22am bm <”是“a b <”的必要不充分条件. A ．①② B ．①③ C. ①④ D ．②③5.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x y +的值为（ ）A ．8B ．10 C.11 D ．13 6.下列说法正确的是（ ）A ．若l α//，l β//，则αβ//B ．若l α//，l β⊥，则αβ⊥ C.若l α⊥，αβ⊥，则l β// D ．若l α//，αβ⊥，则l β⊥7.已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈，在区间[0,]π上任取一点0x ，则01()2f x ≥的概率为（ ） A ．23 B ．12 C. 3π D ．6π 8. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ． 0.35 B ．0.25 C. 0.20 D ．0.159.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ）A B10.如图是计算1111 (24620)++++的值得一个程序图，其中在判断框中应填入的条件是（ ）A ．10i <B ．10i > C. 20i < D ．20i > 11. 在一个封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若610AB BC AB AC ⊥==，，，13AA =，则球的体积的最大值为（ ）A ．323π B ．4π C. 6π D ．92π 12.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和椭圆222()2bx y c +=+（c 为为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ． C. 3)5 D ．3)5第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共有4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据，根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程0.750.35y x =+，那么表中m = ．14. 袋中有大小形状相同的红球，黑球各一个，现依次有放回的随机摸去3次，每次摸取一球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率15.双曲线的中心在原点，离心率等于2 ，若它的一个顶点恰好是抛物线28y x =的焦点，则双曲线的方程为 ．16.如图，圆C 内切于扇形AOB ，3AOB π∠=，若在扇形AOB 内任取一点，则该点在圆C三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）某校100名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中物理成绩的众数及a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生物理成绩的平均分和中位数（中位数要求精确到小数点后一位.18. （本小题满分12分）给出命题:(1)0a a ρ->：命题2:(23)1q y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假．求实数a 的取值范围. 19. （本小题满分12分）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a b 、分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.图中三角形阴影部分的三个顶点为（0,0）、（4,0）和（0,4）(1)若点(,)P a b 落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A ，求事件A 的概率；(2)若点(,)P a b 落在x y m += (m 为常数)上，且使此事件的概率P 最大，求m 和P 的值． 20. （本小题满分12分）已知(2,2)E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点（2，0）的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N ． （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标； （Ⅱ）求证：OM 与ON 相互垂直．21. （本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=︒，2PB BC CA ===，E 为PC 的重点，点F 在PA 上，且2PF FA =.（1）求证：BE ⊥平面PAC .（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.22. （本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y E a b b b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离（1）求椭圆E 的方程.（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =交于点Q ，试问在坐标x 轴是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．赣州市2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学理科试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.3 14.38 15.221412x y -= 16.23.三、解答题：本大题共6个小题,共70分.17.解：（1）众数是65……………………………………………………………………2分 依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =………………………4分 （2）这100名学生物理成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）………………………7分设中位数为70x + 分，则由0.005100.04100.030.5x ⨯+⨯+=解得51.73x =≈，所以这100名学生物理成绩的中位数约为71.7分…………………10分 18.解：命题p 为真(1)001a a a ⇔->⇔<<……………………………………………2分命题q 为真252104)32(2><⇔>--=∆⇔a a a 或…………………………………4分 命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假q p ,⇔中一真一假…………………………………6分当p 真q 假时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<252110a a ，得121<≤a ………………………………………………8分 当p 假q 真时，011522a a a a ≤≥⎧⎪⎨<>⎪⎩或或，得250>≤a a 或……………………………………10分 所以a 的取值范围是(]15,0,1(,)22⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭…………………………………………12分 19.解：（1）基本事件总数为6636⨯=…………………………………………………1分 当1a =时，1,2,3b =………………………………………………………………………2分 当2a =时，1,2b =…………………………………………………3分 当3a =时，1b =……………………………………………………4分 共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个点落在条件区域内， 所以1()6P A =…………………………………………………………6分 O43214321yx（2）当7m =时………………………………………………………8分共有六个点(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)在直线7x y +=上……………………10分 此时61366P ==最大………………………………………………………………………12分 20.解：（1）将()2,2E 代入22y px =，得1p =………………………………………2分所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2…………………………………………4分（2）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，因为直线l 不经过点E ，所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 方程为(2)y k x =-………………………………………………………………5分与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩消去x ，得：2240ky y k --=…………………………………………………………6分则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+=………………………………………………7分 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++ 令2x =-，得11242M y y y -=+………………………………………………………………8分 同理可得：22242N y y y -=+…………………………………………………………………9分又 (2,),(2,)M N OM y ON y =-=-，所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ ……………………………………10分121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0=………………………………11分 所以OM ON ⊥……………………………………………………………………………12分 21.证明：（1）因为BP BC =，EP EC =，所以BE PC ⊥…………………………2分 因为PB ⊥平面ABC ，所以PB AC ⊥……………………………………………………4分 又AC BC ⊥，PB BC B = ，所以AC ⊥平面PBC ，所以AC BE ⊥．又PC AC C = ……………………………5分 所以BE ⊥平面PAC …………………………………………………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系………………………………………………………7分 则(0,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,0,0)C ，(2,2,0)A ，(1,0,1)E ，224(,,)333F(1,0,1)BE =，224(,,)333BF = ……………………………………………………………8分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0224333n BE x z n BF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 令1x =，则1y =，1z =-．所以(1,1,1)n =-……………9分取平面ABC 的法向量(0,0,1)m =…………………………10分则cos ,||||m n m n m n ⋅<>===……………………11分 所以平面ABC 与平面BEF…………12分22.解：（1）228AB AF BF ++= ,即11228AF F B AF F B +++=………………2分 又11222AF F B AF F B a +=+=，所以48a =，2a =………………………………3分 因为12c a =，所以1c =，2223b a c =-=…………………………………………………4分 所以所求椭圆方程为：22143x y +=…………………………………………………………5分z yxFECBP（2）由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(43)84120k x kmx m +++-=………………………………6分所以2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=即22430k m -+=，设00(,)P x y . 则024443km k x k m =-=-+，03y m =，所以43(,)k P m m-…………………………………8分 由4y kx mx =+⎧⎨=⎩，得(4,4)Q k m +……………………………………………………………9分设存在1(,0)M x ，则0MP MQ ⋅=所以211141612430kx k k x x m m m -+-+++=，所以()211144430kx x x m-+-+=……10分 由于对m ，k 恒成立，所以1211440430x x x -=⎧⎨-+=⎩联立解得11x =………………………………………………………………………………11分 故存在定点(1,0)M 符合题意………………………………………………………………12分。
(全优试卷)江西省赣州市高二下学期期末数学试卷(文科) Word版(含解析)
2015-2016学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A．1 B．C．D．4．若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定5．设点P对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可能为（）A．（3，π）B．（3，π）C．（3，π）D．（3，π）6．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．17．下列不等式一定成立的是（）A．x2+1≥2|x|（x∈R）B．lg（x2+）＞lgx（x＞0）C．sinx+≥2（x≠kπ，k∈Z） D．＜1（x∈R）8．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆9．执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）A．B．C．D．10．设n∈N*，f（n）=1+++…+，计算知f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此猜测（）A．f（2n）＞B．f（n2）≥C．f（2n）≥D．以上都不对11．已知x＞0，y＞0，若﹣1≤lg≤2，1≤lg（xy）≤4，则lg的取值范围是（）A．[﹣1，5] B．[﹣1，4] C．（2，6）D．（0，5）12．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为．14．（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点，，O是极点，则△AOB的面积等于．15．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是．16．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣1附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
江西省赣州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含答案
赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷（答案在最后）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （）A.{}01x x << B.{}0x x < C.{1x x <或3}x > D.{}3x x <2.已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（）A.0,e 1x x x ∀≤<+B.0,e 1x x x ∀><+C.0,e 1x x x ∃≤<+ D.0,e 1x x x ∃><+3.正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（）A.1B.2C.3D.44.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B.函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C.2x =-是函数的极大值点D.2x =是函数的极大值点5.“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xx xh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（）A.()tanh 1x ≤-有解B.()tanh x 是奇函数C.()tan h x 不是周期函数D.()tan h x 是单调递增函数7.已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB的最小值为（）A.B.4C.D.8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（）A.45180a a a ++< B.使得0nS <成立的最小自然数n 是20C.910910S S > D.21222122S S a a >二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9.已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.a c b c+>+C.22a b c c> D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为1B.4a b +的最小值为4C.2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为10911.记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A.lnΩΩ0+=B.11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C.2Ω2Ω10+->D.函数()1ln e xxf x x+=-的最小值为()Ωf 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.16.已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .17.已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.18.已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a+>.19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N 次得到的数列的所有项之和记为n a ，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< .赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （）A.{}01x x << B.{}0x x < C.{1x x <或3}x > D.{}3x x <【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式，求解集合B ，再求交集即可.【详解】因为{}(){}{}2303003B x x x x x x x x =-<=-<=<<，又{}1,A x x =<所以AB = {}01x x <<.故选：A.2.已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（）A.0,e 1x x x ∀≤<+B.0,e 1x x x ∀><+C.0,e 1x x x ∃≤<+D.0,e 1x x x ∃><+【答案】D 【解析】【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】因为命题:0,e 1x p x x ∀>≥+是全称量词命题，则命题p ⌝为存在量词命题，由全称量词命题的否定得，命题p ⌝：0,e 1x x x ∃><+.故选：D.3.正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质求出4a 即可得解.【详解】由等比数列性质可知3246427a a a a ==，解得43a =，所以23137317343log log log log 2log 32a a a a a +====，故选：B4.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B.函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C.2x =-是函数的极大值点D.2x =是函数的极大值点【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.【详解】根据()y xf x '=的图象可知：当<2x -时，()0f x ¢>；20x -<<时，()0f x '<，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x ¢>.所以()f x 在()(),2,2,-∞-+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减.因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-取得极大值.故ABD 错误，C 正确.故选：C5.“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：要满足函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增，需要21021110m m m ⎧≤⎪⇒≤⎨⎪-⨯-≥⎩，因为01<，所以“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的必要不充分条件．故选：B ．6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xx xh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（）A.()tanh 1x ≤-有解B.()tanh x 是奇函数C.()tan h x 不是周期函数D.()tan h x 是单调递增函数【答案】A 【解析】【分析】考虑函数的值域可判断A ，根据函数的奇偶性定义判断B ，由复合函数的单调性分析可判断D ，由D 结合周期定义判断C.【详解】由2e e 2e 2tan ()11e e e e e 1x x x x x x x x h x -----==-=-+++，因2e 11x +>，则2221e 0x<<+，可得2111e 21x -<-<+，即tan ()(1,1)h x ∈-，故A 错误；因为tan ()h x 的定义域为R ，且e e e e tan ()tan ()e e e ex x x xx xx x h x h x -------==-=-++，所以tan ()h x 是奇函数，故B 正确；2e e 2tan ()1e e e 1x x x x x h x ---==-++，因2e x 是增函数，2e 1x+是增函数且恒为正数，则21e 1x+是减函数，故tan ()h x 是增函数，故D 正确；由D 可知函数在R 上单调递增，所以当0T ≠时，()tan tan ()h x h x T +≠，所以函数不是周期函数，故C 正确.故选：A7.已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB的最小值为（）A. B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求函数()f x 斜率为1-的切线，然后切线与直线20x y ++=的距离即为所求.【详解】因为()2ln f x x x =-，（0x >），所以()21f x x'=-，由()1f x '=-，得1x =，又()11f =，所以()f x 过()1,1点的切线为：()11y x -=--即20x y +-=.直线20x y +-=与20x y ++=的距离为：d ==.故选：C8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（）A.45180a a a ++< B.使得0nS <成立的最小自然数n 是20C.910910S S > D.21222122S S a a >【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知数列单调递减且101110110,0,0a a a a ><+>，由通项公式化简可判断A ，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B ，根据n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为递减数列即可判断C ，由,n n a S 的关系及20,22S S 的符号可判断D.【详解】由公差为10110,1a d a <<-可知，等差数列{}n a 为递减数列且101110110,0,0a a a a ><+>，对A ，45181932430a a a a a d =+++=>，故A 错误；对B ，因为10110a a +>，所以12010110a a a a +=+>，所以1202020()20a a S +>=，故B 错误；对C ，因为11(1)222nn n na dS d n a n n d -==+-+，且02d <，所以由一次函数单调性知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，所以910910S S >，故C 正确；对D ，由B 知200S >，且2111210S a =<，所以2221220S S a =+<，因为2121212120S S a S S =-，1222222222S S a S S -=，若21222122S S a a >，则212221202221S S S S S S >--，且()()212022210S S S S -->，即()()212221222120S S S S S S ->-，即2212220S S S <，而200S >，220S <，显然矛盾，故21222122S S a a >不成立，故D 错误.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9.已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.a c b c+>+C.22a b c c> D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.【详解】当0a b >>时，有11a b>，A 选项错误；a b >，则()()0a c b c a b +-+=->，得a c b c +>+，B 选项正确；a b >，2220a b a bc c c --=>，得22a bc c>，C 选项正确；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误.故选：BC10.已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为1B.4a b +的最小值为4C.2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为109【答案】ABD 【解析】【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB ，先变形2216a b +为关于ab 的二次函数求最值判断C ，利用条件变形可得()1(4)9a b ++=，转化111a b++为关于b 的式子由均值不等式判断D.【详解】由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得45a b ab +=-≥，解得01<≤，即1ab ≤，当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故A 正确；由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得2114454442a b a b ab +⎛⎫+-=-⨯≥-⨯ ⎪⎝⎭，解得44a b +≥或420a b +≤-（舍去），当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故B 正确；()()2222216(4)858956a b a b ab ab ab ab +=+-=--=--，由A 知1ab ≤，由二次函数的单调性知()22956(19)568ab --≥--=，即1ab =时，2216a b +的最小值为8，故C 错误；由45a b ab ++=可得449a b ab +++=，即()1(4)9a b ++=，所以1441999b b a +==++，所以144109999111b b a b +=+≥=++，当且仅当19b b =，即3b =，27a =时等号成立，故D 正确.故选：ABD11.记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A.lnΩΩ0+=B.11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C.2Ω2Ω10+->D.函数()1ln e xxf x x+=-的最小值为()Ωf 【答案】ACD 【解析】【分析】构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B 选项，对于A ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：根据二次函数单调性判断；对于D ：结合不等式ln 10x x --≥分析可知()1f x ≥，当且仅当1x xe =时，等号成立.【详解】构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，()0.5102g =-<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；对于选项A ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，lnΩΩ0+=，故A 正确；对于选项B ：由上可知()Ω0.5,1∈，故B 不正确；对于选项C ：2Ω2Ω1y =+-对称轴为Ω1=-，而()Ω0.5,1∈，故2Ω2Ω1y =+-单调递增，当Ω0.5=，2Ω2Ω1y =+-最小值为0.25，所以2Ω2Ω10+->，故C 正确；对于选项D ：构建()ln 1,0h x x x x =-->，则()11h x x'=-，令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；可知()h x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，则()()10h x h ≥=，可得ln 10x x --≥，当且仅当1x =时，等号成立，0t >可得ln 10t t --≥，令e x t x =，()()e ln e 10,e ln ln e 10,e ln 10,e ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x --≥-+-≥---≥--≥则()e -ln 11x x x xf x x x-=≥=，当且仅当1x xe =，即1e xx=时，等号成立，所以()f x 的最小值为(Ω)f ，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的定义得出(0)0f =，再由()g x 解析式得解.【详解】因为函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以()()()()001(1)312g g g f g =+==-=，故答案为：213.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.【答案】20242025【解析】【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可.【详解】由()1π11πsin sin 1212n n n a n n n n =+=-+++得：20241111111111101001223344520242025S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++--+-+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111112024101001122334452024202520252025⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+++-++⋅⋅⋅+=-= ⎪⎝⎭，故答案为：20242025.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.【答案】1350【解析】【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内[)0,3内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在[]1012,1012-上的零点个数.【详解】由()()12f x f x -=+可得()(3)f x f x =+，所以周期3T =，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，令()0f x =，解得()()210,1,2,33322x x =∈=∈，即一个周期内有2个零点，因为(1012)(33731)f f =⨯+，所以()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为()2233711350⨯⨯+=.故答案为：1350四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.【答案】（1）()323f x x x=+（2）最大值为4；最小值为：16-【解析】【分析】（1）根据函数的图象过点P ，得到关于,a b 的一个关系式，再根据函数在=1x -处的导数为3-，又得到关于,a b 的一个关系式，可求,a b 的值.（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.【小问1详解】因为函数()32f x ax bx =+的图象过点()1,2P -，所以2a b -+=.又因为()232f x ax bx '=+，且()f x 在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行，所以()1323f a b -=-=-'，由2323a b a b -+=⎧⎨-=-⎩得：13a b =⎧⎨=⎩，所以()323f x x x =+.【小问2详解】由（1）知：()()23632f x x x x x '=+=+，由()0f x '<⇒20x -<<，由()0f x ¢>⇒<2x -或0x >.所以()f x 在()4,2--上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，又()416f -=-，()24f -=，()00f =，()14f =，所以()f x 在[]4,1-上的最大值为4，最小值为16-.16.已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+，2n n b =（2）12n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前n 项和，求数列{}n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意：14353a a d d =-=-，345a a d d =-=-，74353a a d d =+=+，因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅⇒()()()255353d d d -=-+⇒0d =或1d =，又0d >，所以1d =，所以1532a d =-=.所以1n a n =+.对数列{}n b ：当1n =时，1122b b =-⇒120b =≠，当2n ≥时，22=-n n S b ，1122--=-n n S b ，两式相减得：122n n n b b b -=-⇒12n n b b -=，所以{}n b 是以2为首项，2为公比得等比数列，所以2nn b =.【小问2详解】由（1）知：()12nn c n =+⋅，所以：()12322324212nn T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ，两式相减得：()()231422212nn n T n +-=++++-+⋅ ()()21121241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，所以12n n T n +=⋅.17.已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()223f x x x =--（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.【小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意：01645a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，两式相减的：31a b +=若选①，则：抛物线的对称轴为：1x =，即12ba-=⇒20a b +=.所以123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--；若选②，则：抛物线的对称轴为：1x =，同上；若选③，则：423a b c -+=-，由01645423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--.综上：()223f x x x =--【小问2详解】对()g x ：()()()22l 1n 221ln 3x g x x x '=-++()()()()222213l 1n 3x x x x x +-+=++()()223ln 2231x x x x =+++-()()()()2ln 23131x x x x +-=++当(]1,2x ∈-时，由()0g x '>⇒12x <≤；由()0g x '<⇒11x -<<；所以()g x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，所以(]1,2x ∈-时，()()221log 4log 21g x g ≥=-=.当[]1,2x ∈时，()()2231f x mx x m x +=+--≥恒成立，所以2442x m x x x--≥=-在[]1,2上恒成立.观察可知，函数4y x x =-在[]1,2上单调递减，所以max4413x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，由23m -≥⇒5m ≥.所以实数m 的取值范围是：[)5,+∞18.已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a+>.【答案】（1）见解析（2）①10,2⎛⎫⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x '，分类讨论，利用()0g x '>，()0g x '<解不等式即可得解；（2）①先分析0a ≤不合题意，再求出0a >时函数()f x 在有两个极值点()1212,x x x x <的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证()1212122ln x x x x x x -<+，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证.【小问1详解】定义域为(0,)+∞.()ln 12f x x ax '=+- ，()ln 12g x x ax =+-∴，()1122axg x a x x-=-=' ，当0a ≤时，′(p >0恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，令()0g x '>，则120ax ->，解得12x a<，令()0g x '<，则120ax -<，解得12x a>，()g x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.【小问2详解】由（1）知，0a ≤时，()0f x '= 最多一个根，不符合题意，故0a >，函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，()0g x ∴=在()0,∞+有两个不同零点的必要条件是=ln12>0，解得102a <<，当102a <<，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，=ln 12>0,=−2e<0,→+∞,→−∞，∴由零点存在性定理得：()f x 在11,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭各有1个零点，a ∴的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，11ln 120x ax ∴+-=①22ln 120x ax +-=②①-②得：()1212ln ln 2x x a x x -=-，要证121x x a+>，即证1+2>12()1212122ln ln x x x x x x --<+，即证()1212122lnx x x x x x -<+，令()1201x t t x =<<，则()21ln 1t t t -<+，令()()21ln 1t R t t t -=-+，则′=1=K12r1>0，()y R t ∴=在(0,1)上单调递增，()()10R t R ∴<=，∴()21ln 01t t t --<+在(0,1)上成立，121x x a∴+>，得证.【点睛】关键点点睛：要证明不等式121x x a+>，关键点之一在于消去a 后对结论进行恰当变形，转化为证明()1212122lnx x x x x x -<+成立，其次关键点在于令()1201x t t x =<<换元，转化为证明()21ln 1t t t -<+成立.19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N 次得到的数列的所有项之和记为n a ，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< .【答案】（1）356a =（2）223nn a =+⨯（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可；（2）设出第n 次构造后得到的数列求出n a ，则得到第1n +次构造后得到的数列求出1n a +，可得1n a +与n a 关系，再利用构造法求通项即可；（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.【小问1详解】因为第二次得到数列1,5,4,7,3，所以第三次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3所以31659411710356++++++++==a ；【小问2详解】设第n 次构造后得的数列为121,,,,,3 k x x x ，则1213n k a x x x =+++++ ，则第1n +次构造后得到的数列为1112211,1,,,,,,,3,3-++++ k k k k x x x x x x x x x ，则11112211133+-=+++++++++++++ n k k k k a x x x x x x x x x ()12183131243k k n x x x x a -=+++++++-=-+ ，()1232n n a a +-=-，可得1322n n a a +-=-，126a -=，所以{}2n a -是以3为公比，6为首项的等比数列，所以1263n n a --=⨯，即223nn a =+⨯；【小问3详解】由（2）得111111163223123-==⨯<⨯⨯++n nn n a ，所以当1n =时，1115824=<a ，当2n ≥时，所以2312311111111182333n n a a a a ⎛⎫++++=++++ ⎪⎝⎭21111111511533182241232413n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-⋅<-，综上所述，1231111524n a a a a ++++< .【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.。
江西省赣州市高二下学期期末考试数学(文)试题
赣州市2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学(文科)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,所以，选D.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 下列函数中，满足“”的单调递增函数是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】A,B,C为单调递增函数只有满足，选C.3. 若，，则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】；；c=0时；因为所以，选D.4. 曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程后为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，选A.5. 设，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先和0比较，得到c最小；再与1比较，得到b最大．故选A．考点：指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小．6. 定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为( )A. 0B. 6C. 12D. 18【答案】D【解析】，选D.7. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】，选B.8. 若函数的最小值为3，则实数的值为( )A. 4B. 2C. 2或D. 4或【答案】D【解析】4或，选D.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．9. 在平面直角坐标系中以原点为极点，以轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线与曲线相交，则的取值范围是( )A. B. C. D. 且【答案】C【解析】所以，选C.10. 设函数，则“”是“函数在上存在零点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】，函数在上单调递增；时，，所以函数在上存在零点；若函数在上存在零点，则，因此“”是“函数在上存在零点”的充要条件，选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．11. 已知函数，点是函数图象上的任意一点，其中，，记的面积为，则的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，所以选A.12. 已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则( )(其中为自然对数的底)A. B. C. D.【答案】A【解析】因为的图象关于点对称，所以函数为奇函数当时恒有，所以=；，因此，选A.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数，则__________．【答案】【解析】点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14. 在极坐标系中，是极点，设点，，则的面积是__________．【答案】【解析】15. 直线分别与直线，曲线交于两点，则的最小值为__________．【答案】4【解析】时取最小值为416. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美，定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，下列有关说法中：①圆：的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数是圆的一个太极函数；③存在圆，使得是圆的太极函数；④直线所对应的函数一定是圆：的太极函数.所有正确说法的序号是__________．【答案】②④选②④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.(1)若在有极小值，求实数的值；(2)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）由极值定义得,,解方程组可得，.（2）即得在上恒成立,利用变量分离得0.试题解析：解：(1)，依题意得，即，解得，故所求的实数，.(2)由(1)得.因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即，恒成立，因为，，所以，所以实数的取值范围为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.18. 已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：) 19. 设命题：实数满足(其中)；命题：实数满足. (1)若命题中，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）...................试题解析：解：(1)当时，.，又真，所以都为真，由，得或.(2)，所以或，，所以满足条件的解集，，因为是的必要不充分条件，所以，所以，得.20. 在平面直角坐标系中，已知直线(为参数)与圆(为参数)相交于两点.(1)求直线及圆的普通方程；(2)已知，求的值.【答案】（1）直线的普通方程为，圆的普通方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）利用代入消元法可得直线普通方程；利用平方关系可得圆的普通方程（2）将直线参数方程代入圆的标准方程得.再根据参数几何意义得，最后利用韦达定理代入求值.试题解析：解：(1)直线的普通方程为，圆的普通方程为.(2)将代入，得.设方程(*)的两根设为，则：，.所以.21. 已知函数为二次函数，满足，且.(1)求函数的解析式；(2)若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先设二次函数一般式：.再根据条件，利用恒等关系求出，，（2）先化简方程得，利用换元转化为方程在区间上有两个不同的正根，再根据实根分布列充要条件，解得实数的取值范围.也可利用数形结合求解. 试题解析：解：(1)因为函数为二次函数且，故设. 又.所以，所以，，所以，，所以函数的解析式为.(2)由(1)知：方程可化为，即，令，因为上有两个不同的解，所以方程在区间上有两个不同的正根，即函数和直线在上有两个不同的交点，所以.22. 已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴.(1)求的值；(2)求函数的极小值；(3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点，，，证明：.【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，解得.（2）先求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极小值点（3）先利用斜率公式化简所证不等式，再利用换元转化为，最后根据导数分别证明及试题解析：解：(1)依题意得，则.由函数的图象在点处的切线平行于轴得：，所以.(2)由(1)得，因为函数的定义域为，令得或.函数在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，故函数的极小值为.(3)证法一：依题意得，要证，即证，因，即证，令，即证，令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以①令，则，所以在上单调递增，所以，即②综①②得，即.证法二：依题意得，令，则，由得，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，又，所以，即.。
江西省赣州市2015-2016学年高二下学期期末考试理科数
赣州市2015～2016学年度高二第二学期期末考试理科数学参考答案2016.6一、选择题：1～5. BAACA ； 6～10. CDBCB ； 11～12. DB.二、填空题：14.520x y ++=； 15.2； 16.36.三、解答题：17.解：（Ⅰ）设i(,)z a b a b =+∈R ，则2i =(2)i z a b +++……………………………1分i 22i 2i 2i 55z a b a b a b +-+==+--……………………………………………………………2分 因为2i z +和2i z -都是实数，所以20205b a b +=⎧⎪+⎨=⎪⎩……………………………………………3分解得4,2a b ==-，所以42i z =-…………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知42i z =-，所以[]222(i)4(2)i 16(2)8(2)i z a a a a +=+-=--+-………………………………6分因为复数2(i)z a +在复平面上对应的点在第四象限，所以216(2)08(2)0a a ⎧-->⎨-<⎩…………8分解得22a -<<，即实数a 的取值范围(2,2)-……………………………………………10分 18.解：（Ⅰ）由所给数据知，落在区间(]40,45内的有7个，落在区间(]45,50内的有2个，故17n =，22n =……………………………2分所以110.2825n f ==，220.0825nf ==……4分（Ⅱ）样本频率分布直方图如图100257545451530合计非足球迷足球迷合计女男5510………………………………………7分根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率为0.2， 设所取4人中，日加工零件数落在区间(]30,35的人数为ξ，则(4,0.2)B ξ:，(1)1(0)0.5904P P ξξ≥=-==…………………………………………………………10分所以该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率为0.5904…12分 19.解：（Ⅰ）由2y ax bx =+通过点(1,2)可得2a b +=…………………………………1分即2b a =-，由222y ax bxy x x⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得11a x a =+…………………………………………3分 则2y ax bx =+与22y x x =-+所围成的面积S 与a 的函数关系为132220()(2)d 6(1)x a S ax bx x x x a ⎡⎤=+--+=-⎣⎦+⎰…………………………………………6分（Ⅱ）由326(1)a S a =-+，得241(1)(3)6(1)a a a S a ++'=-⋅+…………………………………7分由0S '=得3,1a a =-=-……………………………………………………………………8分 当1a =-时，两曲线只有一个交点，不合题意……………………………………………9分 当3a <-，0S '<，当3a >-0S '>………………………………………………………10分 所以当3a =-时，S 取得极小值，即最小值，此时25b a =-=，min 98S =…………12分 20.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“足球迷”有25人，从而22⨯列联表如下：…………………………………3分将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得22() 3.030()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++…………………………………………………5分因为3.030 3.841<，所以没有0095理由认为“足球迷”与性别有关……………………6分 （Ⅱ）由频率分布直方图知抽到“足球迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“足球迷”的概率为14………………………………………………………………7分 由题意1(3,)4X B :，从而X 的分布列为：………………8分3()4E X np ==，9()(1)16D X np p =-=………………………………………………12分 21.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22134x y +=…………………………………………2分 直线l 20y -=…………………………………………………5分（Ⅱ）因为点(1,2)P 在直线l 上，把1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22134x y += 整理得：2134(4160t t +++=，0∆≥ 设方程的两个实根为12,t t ，则12t t+=9分根据t 的几何意义得：12()PA PB t t +=-+=……………………………12分22.解：（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为1(,)2-+∞…………………………………………1分 22()21bx a bf x x ++'=+…………………………………………………………………………3分由题意(0)2(1)0f f '=-⎧⎨'=⎩，解得3,12a b =-=，即32a =-……………………………………5分（Ⅱ）若12b =，则1()ln(21)12f x a x x =+++，241()42x a f x x ++'=+………………7分令241()042x a f x x ++'==+，即122x a =--………………………………………………8分因为函数定义域为1(,)2-+∞，所以420x +>（1）当11222a --≤-，即0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在1(,)2-+∞上单调递增……………………………………………………9分（2）当11222a -->-，即0a <时，①当11(,2)22x a ∈---时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间11(,2)22a ---上单调递减…………………………………………10分②当1(2,)2x a ∈--+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在1(2,)2a --+∞上单调递增……………………………………………11分综上：当0a ≥时，函数()f x 在区间1(,)2-+∞上单调递增；当0a <时，函数()f x 在区间11(,2)22a ---上单调递减，在1(2,)2a --+∞单调递增………………………………………………………………12分。