分布函数的估计与检验

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2.60 2.51 2.50 2.41 2.22 2.31
2.25 2.20 2.19 2.15 2.00
试估计概率:
P{2 X 2.5} P{ X 2.5}
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解: 将数据从小到大排列为:
1.92 2.22 2.51 2 2.25 2.57 2.12 2.31 2.6 2.15 2.31 2.71 2.19 2.41 2.75 2.2 2.5
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Pirson-Fisher定理：
若n充分大时，H0成立条件下，有
ˆi ) (ni np 2 ~ ( k r 1) ˆi np i 1
2 n k 2
其中r是被估计的参数的个数。
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卡方拟合检验法步骤：
1）提出分布假设:
H0 : F ( x) F0 ( x); H1 : F ( x ) F0 ( x )
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例1.6 从某张随机数表中随机地抽得20个数 据如下：
0.54 0.81 0.71 0.21 0.31 0.40 0.46
0.17 0.64
0.62 0.51
0.63 0.68
0.99 0.50
0.87 0.60
0.14 0.78
0.12
试在显著性水平0.05下,是否可认为该张随机 表中的数服从区间(0,1)上的均匀分布? 见P124
n
lim P{| Fn ( x ) F ( x ) | } 0
所以,当n足够大时, 可用经验分布函数 估计总体的理论分布函数:
F ( x ) Fn ( x )
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例1.2 对某一总体进行了17次独立观测，得 到以下数据：
2.57 2.31 2.12 1.92 2.75 2.71
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例1.5 在测量了12000个豆粒的厚度，测量结 果按大小分为16个组分别记数，如果如下表：
区间 频数
<7.00 32 [7,7.25) 103 [7.25,7.5) [7.5,7.75) [7.5,8.0) [8.0,8.25) 239 624 1187 1650
区间
频数 区间 频数
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计算Dn值时,可采用下式:
Dn sup Fn ( y ) F ( y ) ~ K ( x )
y
max Fn ( x( k ) ) F0 ( x( k ) ) , Fn ( x( k 1) ) F0 ( x( k ) )
1 k n
(1) (2) max d k , dk 1 k n
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例1.7 某工厂生产一种220伏25瓦的白炽灯 泡,其光通量用X表示,X为一随机变量,现从总 体抽取容量为120的样本,进行一次观察,得到 120个数据,如下表。试检验假设: H0 : X服从正态分布 解: 120个数据中最小值为190,最大值为224, 按从小到达顺序排列数据, 并统计每个数值 出现的频数, 计算其经验分布函数值与目标 函数值,并列入计算表(P126):
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x0 x0
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Kolmogonov检验法步骤：
1）提出分布假设:
H0 : F ( x) F0 ( x); H1 : F ( x ) F0 ( x )
2）显著性水平？样本容量？ Dn, k / n 3）H0的拒绝域：
Dn Dn,
4）判断：列出K氏检验计算表，计算Dn值, 并与临界值比较得结论

其中
Dn sup Fn ( y ) F ( y )
y
k 2 k 2 x 2 (1) e K ( x ) k 0
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x0 x0
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二 分布拟合检验
分布检验假设:
H0 : F ( x) F0 ( x); H1 : F ( x ) F0 ( x )
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李裕奇
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一 经验分布函数
二 分布拟合检验
一 经验分布函数
经验分布函数是总体分布函数最为 直观、方便实用的估计 定义1.1 设X为一随机变量，其分布函数F(x) 未知，现对X进行n次观测，记
vn ( x)
#
X1 , X 2 ,
, X n x
vn ( x ) Fn ( x ) x n 称为经验分布函数
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4）判断：列出卡方检验计算表:
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 合计
ni 35 16 15 17 17 19 11 16 30 24 200
pi 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1
npi ni- npi 20 15 20 -4 20 -5 20 -3 20 -3 20 -1 20 -9 20 -4 20 10 20 4 200 0 西南交通大学
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性质1.1 对于每一样本XI,X2,… Xn，Fn(x)是一 分布函数，且为阶梯函数。
0 x X (1) Fn ( x ) k / n X ( k ) x X ( k 1) 1 x X ( n)
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例1.1 对某一总体进行了17次独立观测，得 到以下数据：
3）H0的拒绝域： 2

2 0.001
(13) 34.53
4) 列出卡方检验计算表 ( P123) 按概率分布计算相应的概率值:
ai 1 x ai x ˆ i P ai X ai 1 p s s 7 8.512 ˆ 1 P X 7 p 2.45 0.6163
1 2.45 1 0.9929 0.0071
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2 Kolmogonov检验法
基本思想:
利用服从Kolmogonov分布函数的统计 量进行分布检验
nDn n sup Fn ( y) F ( y) ~ K ( x)
y

其中
k 2 k 2 x 2 (1) e K ( x ) k 0
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解： 1）提出分布假设:
H0:豆粒厚度服从正态分布;
H1:豆粒厚度不服从正态分布
H0真, 取值的概率估计值应为
ˆ ( x) f
1 2 s
e

( x x )2 2 s2
2）显著性水平为0.01 , 样本容量为12000 分类数k=16, r=2, k-r-1=13
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[8.25,8.5) [8.5,8.75) [8.75,9.0) [9.0,9.25) [9.25,9.5) [9.5,9.75)
1883 1930 1638 [10.25,10 .5) 57 1130 >10.5 32 737 437
[9.75,10) [10,10.25) 221 110
计算出平均值8.512,标准差0.6163, 试问可否认 为豆粒厚度的分布为正态的(显著性水平0.001)
11 2 9 P{2 X 2.5} Fn (2.5) Fn (2) 17 17 17 11 6 P{ X 2.5} 1 Fn (2.5) 1 17 17
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进一步结果: Glivenko 定理: 对任意的x , 有下式成立:
P lim Dn 0 1
2.57 2.31 2.12 1.92 2.75 2.71
2.60 2.51 2.50 2.41 2.22 2.31
2.25 2.20 2.19 2.15 2.00
试写出X的经验分布函数。
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性质1.2 对于固定的x，vn(x)=nFn(x) ，Fn(x) 是样本XI,X2,… Xn ，为随机变量，且vn(x)服 从参数为n，F(x)的二项分布。
分布拟合检验方法是检验试验结果与理论 分布是否吻合,是否一致的方法,:如 概率纸拟合法,卡方拟合检验法, Kolmogonov 分布检验方法等
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1 卡方拟合检验法
基本思想:
1) 首先把X的一切可能值的集合A进行划 分,使其满足:
A
k i 1
Ai
Ai Aj i j 1, 2,
E(vn ( x)) nF ( x) E( Fn ( x )) F ( x )
1 D( Fn ( x )) F ( x )[1 F ( x )] n
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性质1.3 对于固定的x，任意的正数ε，有
n
lim P{| Fn ( x ) F ( x ) | } 1
例1.3 在使用仪器进行测量时,最后一位数字 是按仪器的最小刻度用肉眼估计的,下表记录 了200个测量数据中0,1,2,…,9等10个数字出 现在最后一位的次数,试问在估计最后一位数 字时有无系统误差?
X
ni
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
35 16 15 17 17 19 11 16 30 24
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解： 1）提出分布假设: H0: 无系统误差; H1:有系统误差 H0真, 即总体X均匀取值, 其取值的概率应为
P X i 0.1
2）显著性水平为0.01 , 样本容量为200 分类数k=10, r=0, k-r-1=9 3）H0的拒绝域： 2

2 0.01
(9) 21.67


其中