函数与方程思想在高中数学中的应用
函数与方程思想在高中数学中的应用
作者：陈江华
来源：《读与写·教育教学版》2014年第03期
摘要：函数与方程思想是中学数学的基本思想，主要根据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点，纵观历年高考试卷，每年每套高考试题都有出现。
关键词：函数方程解析几何数列不等式
中图分类号：G633.6文献标识码： C文章编号：1672-1578（2014)3-0120-01
在高中数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支撑，很多方程的问题也需要用函数的知识和方法去解决。
对于函数y=f（x）当y=0时就转化为方程f（x）=0也可以把函数y=f（x）看作方程y-f（x）=0函数与方程可相互转化。
1 函数与方程思想在函数问题中的应用
例1，已知实数f（x）=2x+3，x
x2
+ɑx，x≥1，若f（f(0)）=3ɑ，则实数ɑ=。
解：∵ f（f(0)）=f（3）=9+ɑ
∴ 9+ɑ=3ɑ
∴ɑ=6
评注：本例考查了分段函数与复杂方程的有关内容，体现了函数与方程的转化，突出了函数与方程思想的应用。
2 函数与方程思想在方程问题中的应用
例2，如果方程2cos2x-sinx+2ɑ=0在（0，]上有解，求ɑ的取值范围。
解：把方程变形为2ɑ=-2cos2x+sinx
设f（x）=-2cos2x+sinx，x∈（0，]显然当且仅当2ɑ属于
f（x）的值域时，2ɑ=f（x）有解。
∵ f（x）=-2（1-sin2x）+sinx
= 2（sinx+）2-
且由x∈（0，]知sinx∈（0，1]易求得f（x）的值域为（-2，1]
故ɑ的取值范围是（-1，]
评注：研究含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题时，往往分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域。
3 函数与方程思想在解析几何中的应用
例3，已知椭圆+y2=1，若点O和点F为曲线的中心和右焦点，点P为椭圆上任意一点，则P·P的最大值为。
解：由题意，得F（1，0），设点P（x0，y0），则有+y=1，解得 y=1-。
∵ P=（x0-1，y0）P=（x0，y0）
∴ P·P= x0（x0-1）+y0
= x0（x0-1）+1-
= -x0+1
又因为-≤x0≤
所以当x0=-时，P·P取得最大值：
-（-）+1=2+
评注：解析几何是高考的重点内容之一，本题以椭圆和向量为背景考查了函数与方程的思想，先选择恰当的变量建立目标函数再用函数的知识来解决，突出了对重要知识，重要的数学思想方法的考查。
4 函数与方程思想在数列、不等式中的应用
例4，已知ɑn=，数列{ɑn}的前n项和2Sn=+恒成立，求ɑ的取值范围。
解：由错位相减法知, Sn=6- （n∈N*）
又因为 Sn+1-Sn=
6--
6-
=+
=
=>0
所以（Sn）min=S1=1
设t=，则t2+t-2≤0 解得-2
所以-21或ɑ
评注：本例采用函数的思想，用研究函数的单调性的方法研究数列的单调性，求出的最小值，结合不等式恒成立，进一步用函数与方程思想使问题解决。
参考文献：
[1]柳斌.数学思想录[M].江苏教育出版社,1998.
[2]罗增儒著.数学解题学引论[M].陕西师大出版社.
[3]任志鸿.十年高考.南方出版社，2014.
作者简介：陈江华，男，1984年11月出生，硕士研究生学历，中级教师。
高中数学思想与逻辑11种数学思想方法总结与例题讲解.doc
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种情况讨论(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1 x 4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.【分析】于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为.小结：分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
高中数学论文800字三篇
高中数学论文800字三篇第一篇：论数学中的变换思想在解题中的应用摘要变换思想在高中数学解题中具有重要作用，本文通过具体例题分析，探讨了变换思想在函数、几何和代数等领域中的应用，旨在提高学生解决数学问题的能力。
关键词变换思想，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，变换思想是一种重要的解题方法。
通过对问题进行合理的变换，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。
本文将从函数、几何和代数三个方面，分析变换思想在高中数学解题中的应用。
2. 变换思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一。
在解决函数问题时，变换思想可以有效地将问题简化。
例如，在求解函数的极值问题时，可以通过换元法将函数转化为简单的一次函数或二次函数，进而求解。
3. 变换思想在几何解题中的应用几何问题是高中数学中的另一个重要部分。
变换思想在几何解题中的应用也十分广泛。
例如，在解决几何证明问题时，可以通过添加辅助线、变换图形位置或形状等方式，将问题转化为已知几何定理或公式，从而简化问题。
4. 变换思想在代数解题中的应用代数问题是高中数学的另一个重要内容。
在解决代数问题时，变换思想同样可以发挥重要作用。
例如，在求解方程组时，可以通过变换方程组的形式，将其转化为已知解法形式的方程组，从而简化问题。
5. 结论变换思想在高中数学解题中具有重要作用。
通过运用变换思想，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率。
因此，在日常研究中，学生应加强对变换思想的研究和应用，提高自己的数学解题能力。
第二篇：论高中数学中的分类讨论思想在解题中的应用摘要分类讨论思想是高中数学解题中常用的一种方法。
本文通过对具体例题的分析，探讨了分类讨论思想在数列、函数、几何等领域的应用，以期提高学生解决数学问题的能力。
关键词分类讨论，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，分类讨论思想是一种重要的解题方法。
通过对问题进行合理的分类讨论，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。
高中数学重要数学思想
一、高中数学重要数学思想一、函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、数形结合思想数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。
这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。
因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
高中数学 函数与方程思想
g(1)＝1，又
g(1e)＝e13＋3，g(e)＝e3－3，
且 g(1)<g(e)， e
故函数 g(x)＝x3－3lnx 在 x∈[1，e]上的最大值为 g(e)＝e3－3，故函数 g(x)＝x3－3lnx 在 e
区间[1，e]上的值域为[1，e3－3]． e
则有 1≤a＋1≤e3－3，则有 0≤a≤e3－4，
2
66
4
∵f(π)＝π－cosπ＝π， 2 4 24
∴在区间(－π，7π)上有且只有一个实数 x＝π满足 f(x)＝π.
66
2
4
当 x≤－π时，有 1x≤－ π ，－cosx≤1，
6
2 12
∴x≤－π时，f(x)＝1x－cosx≤－ π ＋1<π，
6
2
12 4
由此可得当 x≤π时，f(x)＝π没有实数根．
所以有 x≤－y，故选 B.
规律总结
函数与方程思想在不等式问题中的应用要点
1．在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利 用函数的最值解决问题．
2．要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函 数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
1．已知函数 f(x)＝1x－cosx，则方程 f(x)＝π所有根的和为( C )
2
4
A．0
B．π 4
C．π 2
D．3π 2
[解析] ∵f(x)＝1x－cosx，∴f ′(x)＝1＋sinx.
2
2
当 x∈(－π，7π)时， 66
∵sinx>－1，∴f ′(x)＝1＋sinx>0，
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解高中数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题;2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题;3、直观化原则，即将抽象总是具体化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、 B、 C、 D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合 A= ，B= ，若B A，求实数 a 取值的集合.解 A= ：分两种情况讨论(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：(i) B={-1}，则 =-1，a=-1(ii)B={1}，则 =1， a=1.(二级分类)综合上述所求集合为 .例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1≤x≤4的一切x值都有f(x)≥ 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.【分析】于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为 .小结：分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
函数与方程的思想详解
专题函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A. 0B. １C. ２D. ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k 可得出答案为A.3. 设t ＝|x 2－1|(t≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13， 又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案： 点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３ 解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ .所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB| |FM|. |FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S ＝12|AB| |FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x 2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i ＝１，２，……)的表达式； (２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f(x)的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得 f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14. 归纳得f()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 .解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
人教版高中数学必修一第三章函数的应用3.1函数与方程(教师版)【个性化辅导含答案】
函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
函数与方程的思想在高中数学中的应用
函数与方程的思想在高中数学中的应用作者：陈少婉来源：《广东教育·高中》2017年第01期函数与方程的思想是高中数学的基本思想之一，是通过建立函数或方程，运用函数的图像、性质等去分析问题，解决问题；更重要的是产生函数或方程的方法，能上升到思想高度主动思考问题.运用函数与方程的相互转化解决零点问题、构建函数解决不等关系问题与最值问题、利用方程的思想解决消参求值问题以及切点弦问题等等，是近年高考的热点和重难点.下面举例说明函数与方程的思想在高中数学解题中的应用.一、零点问题中的函数与方程思想函数的零点问题是近几年高考题的高频考点和重难点.许多函数问题要用方程的知识与方法来支持；许多方程的问题，需要用函数的知识与方法去解决.函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，方程问题的函数视角就是利用函数的图像、性质来研究方程的根及范围问题.1.1.与函数的零点或方程的根或函数图像的交点个数问题例题1.1.（1）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，那么函数y=f （x）的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（）A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个综上所述，原方程有4个实根.点评：函数零点问题的解题思路主要有两个方向，一是算出来，即利用方程求根，运用方程的思想求解，二是画出来，即转化为函数图像与轴的交点问题或者两个函数图像的交点问题，运用函数的思想以及数形结合的思想求解.在解题过程中，函数与方程相互转化.本题根据分段函数不同区间的特征，综合运用解方程、构造函数，讨论单调性等方法求解.1.2求参数的值或取值范围问题例题1.2. 已知函数f（x）=|x2-1|，g（x）=x2+ax+2，x∈R，若函数h（x）=f（x）+g （x）+2在（0，2）上有两个零点x1，x2求实数a的取值范围.点评：运用函数的思想转化零点问题，构造的函数不同，解法也不同，但用到的思想方法是相同的，在解题中要注意函数与方程的相互转化.1.3.借助零点，考查导数探究函数的性质例题1.3. 设函数f（x）=e2x-alnx.（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数；值范围，体现了函数的思想.解题时要注意自变量c的取值范围，即函数定义域的确定.三、立体几何中的函数方程思想函数方程思想不仅在代数解题中发挥着重要的作用，而且在立体几何中也有着巧妙的应用.在立体几何的动点问题、最值问题和逆向问题中，通常要运用函数与方程的思想求解.3.1利用函数的图像及性质解决立几中动点的轨迹问题例题3.1. 如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上. 过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N. 设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图像大致是（）点评：本题是一道立体几何与函数图像相结合的题目，主要考查了函数图像的变化.由于题目中给出了自变量和因变量，如能求出函数解析式，问题即可获解.因此，可根据几何体的特征和条件分析两个变量的变化情况，通过M，N，P作底面的垂线作出M，N在平面ABCD 内的正投影，保持其长度不变，从而把空间问题平面化，建立一次函数模型.3.2利用方程的思想解立体几何逆向题例题3.2. 如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上.（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.解析：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A（0，0，0），B1（3，0，6），D（0，6，0），D1（0，3，6），Q（6，m，0），其中m=BQ，0≤m≤6.点评：本题是一道立体几何逆向题.通过设定变量m，λ利用二面角PQDA的余弦值为以及PQ∥平面ABB1A1的条件建立等量关系，求出变量m，λ的值，体现了方程的思想.3.3运用函数的思想解决立几中的最值问题例题3.3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.解析：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则各点的坐标为B （1，总之，作为高中数学基础知识的重要内容，数学思想与数学方法属于教学中的重点，也是学生学习过程中的难点.通过思想与方法的学习能够真正理解数学的价值和意义.函数与方程的思想是高中数学的基本思想方法之一，也是高考的重中之中，是掌握许多数学知识的基础. 运用函数与方程的思想方法去解题，才举一反三，融会贯通，才能俯瞰题目，达到“一览众山小”的境界.函数与方程思想的运用在高中数学中无处不在，在解题中应注意体会，归纳总结，形成方法和能力.责任编辑徐国坚。