《大学物理AI》作业 No.04 机械能 、机械能守恒定律(参考解答)

3
（5）由以上分析可知，结论 3 是对的。 3、一个内壁光滑的圆形细管，正绕竖直光滑固定轴 OO 自由转动。管是刚性的，转动惯量为 J。环的
半径为 R，初角速度为 0 ，一个质量为 m 的小球静止于管内最高点 A 处，如图所
示，由于微扰，小球向下滑动。试判断小球在管内下滑过程中：
（1）地球，环与小球系统的机械能是否守恒？
以 N 和 N 作功为零，满足机械能守恒。
（2）不守恒。小球在下落过程中，受到重力和管壁的作用力，这两个力的合力不为零，所以小球的动 量会不断变化。
（3）守恒。小球与环组成的系统，受到的外力为重力和通过轴的支持力，这两个力的方向都与 OO 轴 的方向平行，因此对 OO 轴力矩为零。因此整个系统角动量守恒。
答：（1）错。砖块要在皮带上滑动一段距离才能最终获得与皮带相同速度，两者之间有相对位移，所 以摩擦力做功代数和不为零。 （2）错。驱动力只对皮带做功，不能改变砖块的动能； （3）对。因皮带匀速运动，根据动能定理，驱动力的功与摩擦力对皮带的功之和为零； （4）错。砖块的动能是摩擦力做功的结果。摩擦力对砖块作功数值上要大于摩擦力对皮带做的功，因 此也不等于驱动力对皮带做的功。
2(F mg)2
（
）。（以原点 O 为势能零点，弹簧伸长都在弹性限度内考虑）
k
解：设物体到达的最远距离为 x, 根据动能定理： x (F kx mg) d x 0 ， 0
填空题 8 图
即：
Fx

1 2
kx 2

mgx

0，
x

2(F
mg) k
，此时弹性势能为：
Ek max
1、理解质点、质点系的动能概念，会计算定轴转动刚体的转动动能； 2、理解功的概念，熟练掌握变力作功的计算； 3、理解保守力作功的特点，掌握保守系统的势能计算方法，掌握保守力与势能的关系； 4、掌握质点、质点系、定轴转动刚体的动能定理和功能原理，并且熟练进行有关计算； 5、掌握机械能守恒条件，熟练应用机械能守恒定律求解有关问题； 6、能联合运用动量守恒、角动量守恒、机械能守恒定律求解力学综合性问题，掌握分析求解力学综合 问题的基本方法。
0t5 5 t 10
0 ~ 5
秒内应用动量定理
5
8tdt
0
mv5
0
得 v5

4 52 5
20 (m s1 )
5 ~ 10
秒内再应用动量定理
10
20dt
5
mv10 mv5
v10

20
(10 5

5)

v5

20

20

40
(m s1)
根据质点的动能定理，10 秒内变力的功为
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题
1.根据质点、质点系、定轴转动刚体的动能定义及其与动量或角动量的关系填写下表：
答：（1）不正确。不受外作力的系统，它的动量守恒，但机械能并不一定守恒，比如存在非保守内力 作功时系统的机械能就不守恒；（2）不正确。合外力为零，但合外力作功不一定为零，所以机械能不 一定守恒；（3）正确。因为同时满足动量守恒和机械能守恒的条件。
2.一水平传送带受电动机驱动，保持匀速运动。现在传送带上轻轻放置一砖块，则在砖块刚被放上到与 传送带共同运动的过程中，下列说法哪一个是正确的？并说明理由（包括你认为不正确的也说明理由）。 （1）摩擦力对皮带做的功与摩擦力对砖块做的功等值反号； （2）驱动力的功与摩擦力对砖块做的功之和等于砖块获得的动能； （3）驱动力的功与摩擦力对皮带做的功之和为零。 （4）驱动力的功等于砖块获得的动能； （5）以上结论都不对。
（2）小球的动量是否守恒？
（3）小球与环组成的系统对 OO 轴的角动量是否守恒？
回答让述问题，并说明理由。
简答题 3 图
答：（1）守恒。因为整个系统，外力的功为零，非保守内力是小球与管壁的作用力与反作用力 N 和 N 。
在小球下滑过程中，小球受壁的压力 N 始终与管壁垂直，也始终与小球相对管壁的速度方向垂直，所
（2）小球与杆碰撞的过程中满足角动量守恒
mv球l J ，
J

J杆

J
球＝
1 3
ml
2

ml 2

4 3
ml 2
＝ 3 4l
2 gl (1
cos 1 )

3 4
2g(1 cos1) l
（3）小球与杆整体从 B 摆到 C 的过程中满足机械能守恒，仍假设 B 所在处为重力势能零点，则可得：
A

1 2
mv120

0

1 2
5 402

4000 (J)
8.如图所示，倔强系数为 k 的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量为 m 的物
体，物体与桌面间的摩擦系数为

。物体静止在坐标原点
O，此时弹簧长度为原长。
若物体在不变的外力 F 作用下向右移动，则物体到达最远位置时系统的弹性势能 E p
《大学物理 AI》作业 No.04 机械能 机械能守恒定律
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 ______
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求****************************
三、计算题
1、一链条总长为 l ，质量为 m，放在桌面上，并使其一端下垂，下垂一端的长度为 a。设链条与桌面之
间的滑动摩擦系数为 ，令链条由静止开始运动，则
(1) 到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
la
o
a
(2) 链条离开桌面时的速度是多少？
x
计算题 1 图
解：(1) 以桌面为坐标原点，竖直向下为 x 轴正方向。在某一时刻，竖直下垂的长度为 x ，桌面对链条

1 2
kx 2

2(F
mg)2 k
9.如图所示，静止在光滑水平面上的一质量为 M 的车上悬挂一长为 l、质量为 m 的小球。开始时，摆线 水平，摆球静止于 A 点。突然放手，当摆球运动到摆线呈铅直位置的瞬间，摆球相对于地面的速率为
2gl
（
）。
1 m / M
解设摆：线以在m铅和直M位为置研时究球对对象地，速在度水为平v方，向车上对不地受速外度力为作V用, ，方系向统如水图平所方示向, 动则量有守恒。 0 mv MV （1）
A C
B
（2）小球与杆下端发生完全非弹性碰撞后拥有的共同角速度的大小； （3）二者最后能摆动的最大角度2。
计算题 2 图
解：（1）小球从初态 A 摆到最低点 B 满足机械能守恒，假设 B 所在处为重力势能零点，则可得
mgl(1
cos1)

1 2
mv球2
v球＝ 2gl(1 cos1)
mv 2

1 2
mv02
式中 v0 0, Ap 为重力作的功，
Ap

m xg d x 1 mg(l 2 a 2 )
al
2l
由 m (l a)2 1 mg(l 2 a 2 ) 1 mv 2 得：
2l
2l
2
链条离开桌面时的速率为 v g [(l 2 a2 ) (l a)2 l
4.对质点系来说，其动能的增量等于（质点系内所受外力和内力作功的代数和），其机械能的增量等于 （质点系外力作功和非保守内力作功的代数和）。
5.对于一个系统来说，其动量守恒的条件是（合外力为零），角动量守恒的条件是（外力矩之和为零）， 机械能守恒的条件是（外力作功与非保守内力作功之和为零）。
6.有一劲度系数为 k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为 m 的小球。先使弹簧为原长，而小球恰好
研究对象
质点 （质量 m）
质点系
（质量 M，质心速度 vc ，各质 点相对质心速度为 vi ）
定轴刚体
（转动惯量 J ）
动能表达式
（ Ek

1 2
mv 2
）
（ Ek

1 2
Mvc 2

i
1 2
mvi2
）
（
Ek

1 2
J 2
）
与动量（p）或角动量（L） 的关系
（ Ek

p2 2m
）
（ Ek
解：（1）由于线的张力过轴，小球受的合外力矩为 0，角动量守恒。
J00 J mr020 mr 2 ， r r0 / 2
J00J
40
计算题 3 图
（2）由动能定理W

Ek
Ek0 ，W

1 2
J2

1 2
J
2
00

1 2
m(
r0 2
)2
(40
)2

1 2
mr0202

p2 2M

i
1 2
mvi2
）
质点系内力的冲量之和为（零）、质点系内力的角冲量之和为（零）、质点系内力的作功之和（不能 确定）。（选填项：零，不为零，不能确定）