整式的乘法与除法提高题
17.整式的乘法与除法(含答案)-
17.整式的乘法与除法知识纵横指数运算律是整式乘除的基础,有以下4个:a m·a n=a m+n,(a m)n=a nm,(ab)n=a n b n,a m÷a n=a m-n,学习指数运算律应注意:1.运算律成立的条件;2.运算律字母的意义:既可以表示一个数,也可以是一个单项式或者多项式;3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展,•方法与多位数除以多位数的演算方法相似,基本步骤是:1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列,如有缺项,要留空位;2.确定商式,竖式演算式,同类项上下对齐;3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止.例题求解【例1】(1)如果x2+x-1=0,则x3+2x2+3=________. (第14届“希望杯”邀请赛试题)(2) (“祖冲之杯”邀请赛试题)把(x2-x+1)6展开后得a12x12+a11x11+……+a2x2+a1x+a0,则a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=_______.思路点拨(1)把高次项用低次多项式表示;(2)我们很难将(x2-x+1)6的展开式写出,因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的,事实上,上列等式在x的允许值范围内取任何一个值代入计算,等式都成立,考虑用赋值法解.解:(1)4 提示:x2=1-x,原式=x·x-2+2x3+3=x(1-x)+2x2+3=x2+x+3=1-x+x+3=4.(2)365 提示:令x=1,由已知等式得a12+a11+…+a2+a1+a0=1 ①令x=-1,由已知等式得a12-a11+…+a2-a1+a0=729 ②①+②,得2(a12+a10+…+a2+a0)=730,即a12+a10+…+a2+a0=365【例2】已知25x=2000,80y=2000,则11x y+等于( ).A.2B.1C. 12D.32(第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨因x、y为指数，我们目前无法求x、y的值，11x y+=x yxy+，其实只需求出x+y、•xy的值或它们的关系,自然想到指数运算律.解:选B 提示:25xy=2000y①,80xy=2000x②,①×②得(25×80)xy=2000x+y,得xy=x+y.【例3】设a、b、c、d都是自然数,且a5=b4,c3=d2,a-c=17,求d-b的值.(上海市普陀区竞赛题) 思路点拨设a5=b4=m20,c3=d2=n6,这样a,b可用m的式子表示,c、d可用n的式子表示,减少字母的个数,降低问题的难度.解:提示:设a5=b4=m20,c3=d2=n6(m,n为自然数),则a=m4,b=m5,c=n2,d=n3,由已知得m4-n2=17,即(m2+n)(m2-n)=17因17是质数m2+n、m2-n是自然数,且m2+n>m2-n故22171m nm n⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得m=3,n=8,所以,d-b=n3-m5=83-35=269【例4】已知x2-xy-2y2-x-7y-6=(x-2y+A)(x+y+B),求A、B的值.思路点拨等号左右两边的式子是恒等的,它们的对应项系数对应相等,从而可以通过比较对应项系数来解.解:A=-3,B=2 提示:展开比较对应项的系数,得到关于A、B的等式.【例5】是否存在常数p、q使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除?如果存在,求出p、q•的值,否则请说明理由.思路点拨由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数),•根据“被除式＝除式×商式”，运用待定系数法求出p、q的值，所谓p、q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解.解:提示:假设存在满足题设条件的p、q值,设(x4+px2+q)=(x2+2x+5)(x2+mx+n),•即x 4+px 2+q=x 4+(m+2)x 3+(5+n+2m)x 2+(2n+5m)x+5n,得20522505m n m p n m n q +=⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 解得25625m n p q =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 故存在常数p,q 且p=6,q=25,使x 4+px 2+q 能被x 2+2x+5整除.学力训练一、基础夯实1. (2003年河北省中考题)如图,是某住宅的平面结构示意图,图中标注了有关尺寸(墙体厚度忽略不计,单位:米),房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖,•如果他选用地砖的价格是a 元/米2,则买砖至少需要_______元(用含a 、x 、y 的代数式表示).4x2y4yy2xx 卫生间厨房客厅卧室2.若2x+5y -3=0,则4x ·32y =_______. (2002年绍兴市竞赛题)3.满足(x -1)200>3300的x 的最小正整数为_______. (2003年武汉市选拨赛试题)4.a 、b 、c 、d 都是正数,且a 2=2,b 3=3,c 4=4,d 5=5,则a 、b 、c 、d•中,•最大的一个是__________. (“英才杯”竞赛题)5. (2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)化简4322(2)2(2)n n n ++-得( ).A.2n+1-18 B.-2n+1 C. 78 D. 746.已知a=255,b=344,c=533,d=622,那么a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是( ). A.a<b<c<d B.a<b<d<cC.b<a<c<dD.a<d<b<c (北京市“迎春杯”竞赛题)7.已知a 是不为0的整数,并且关系x 的方程ax=2a 3-3a 2-5a+4有整数根,则a•的值共有( ). A.1个 B.3个 C.6个 D.9个 8.计算(0.04)2003×[(-5)2003]2得( ). A.1 B.-1 C.200315 D.-200315 (2003年杭州市中考题)9.已知6x 2-7xy -3y 2+14x+y+a=(2x -3y+b)(3x+y+c),试确定a 、b 、c 的值.10.设a 、b 、c 、d 都是正整数,并且a 5=b 4,c 3=d 2,c-a=19,求a-b 的值. (江苏省竞赛题)11.已知四位数29x y =2x ·9y ,试确定29x y -x(x 2y-1-x y-1-1)的值. (北京市竞赛题)二、能力拓展12.多项式2x3-5x2+7x-8与多项式ax+bx+11的乘积中,没有含x4的项,也没有含x3•的项,则a2+b=________.13.若多项式3x2-4x+7能表示成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,则a=____,b=_____,•c=______.14.若(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a2+a4=________. (2003年北京市竞赛题)15.如果多项式(x-a)(x+2)-1能够写成两个多项式(x-3)和(x+b)的乘积,那么a=___,b=_____.16.若a=2255,b=3344,c=5533,d=6622,则a、b、c、d的大小关系是( ).A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.a>d>b>c17.已知a1,a2,a3,……,a1996,a1997均为正数,又M=(a1+a2+……+a1996)·(a2+a3+……+a1997)，N=(a1+a2+•……+a1997)(a2+a3+……+a1996),则M与N的大小关系是( ).A.M=NB.M<NC.M>ND.关系不确定18.若3x3-x=1,则9x4+12x3-3x2-7x+1999的值等于( ).A.1997B.1999C.2001D.2003 (北京市竞赛题)19.已知关于x的整系数二次三项式ax2+bx+c,当x取1,3,6,8时,•某同学算得这个二次三项式的值分别为1,5,25,50.经检验,只有一个结果是错误的,这个错误的结果是( ).A.当x=1时,ax2+bx+c=1B.当x=3时,ax2+bx+c=5C.当x=6时,ax2+bx+c=25D.当x=8时,ax2+bx+c=5020.已知3x2-x-1=0,求6x3+7x2-5x+1999的值.21.已知a是方程2x2+3x-1=0的一个根,试求代数式543223395131a a a a aa+++-+-的值.22.已知2a·5b=2c·5d=10,求证:(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).三、综合创新23.是否存在整数a、b、c,满足(98)a·(109)b·(1615)c =2?若存在,求出a、b、c的值;若不存在,•说明理由.24.当自然数n的个位数分别为0,1,2,……,9时,n2,n3,n4,n5的个位数如表所示(1)从所列的表中你能发现什么规律?(2)若n为自然数,和数1981n+1982n+1983n+1984n不能被10整除,那么n必须满足什么条件?答案1.11axy2.83.7 提示:(x-1)2>334.b5.C6.D 提示:a=(25)11,b=(34)11,c=(53)11,d=(62)11,只需比较25,34,53,62的大小7.C 提示:x=2a2-3a-5+4a,a│4 8.A 9.a=4,b=4,c=1提示:•参见例5•10.75711.提示:由条件得2│29x y且9│29x y,则y的值可能为0,2,4,6,8,9│(x+y)+•11,又0≤x+y≤18,x+y=7,或x+y=16,逐一验证可得x=5,y=2,故原式=2592-5(53-5-1)=•1997.12.26 提示:x4、x3的系数分别为2b-5a,7a-5b+22,由2b-5a=0及7a-5b+22=0•得a=4,b=1013.3,-10,14 14.-120 令x=±1代入 15.-2,1 16.A 提示:作商比较17.C 提示:设a2+a3+…+a1996=x,则M=(a1+x)(x+a1997)=a1x+x2+a1a1997+a1997x.，N=(a1+x+a1997)x=a1x+x2+•a1997x, M-N=a1a1997>018.D提示:原式=(3x3-x-1)(3x+4)+200319.C 提示:由整除性质知:(n-m)[(an2+bn+c)-(am2+bm+c)],但(6-1)(25-1),(•8-6)(50-25),(8-1)│(50-1).20.2002 提示:原式=(2x+3)(3x2-x-1)+200221.提示:2a2+3a-1=0,3a-1=-2a2原式=23322 (231)(21)5553122 a a a a a aa a+-+-+==---22.提示:由已知有2a·5b=10=2×5,得2a-1·5b-1=1,故(2a-1·5b-1)d-1=1d-1. 同理可得(2c-1·5d-1)b-1=1b-1,从而2(a-1)×(d-1)·5(b-1)(d-1)=2(c-1)(b-1)·5(d-1)(b-1),即2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1),故(a-1)(d-1)=(c-1)(b-1)23.原式可化为32a·2-3a·2b·5b·3-2b·24c·3-c·5-c=2, 即2-3a+b+4c·32a-2b-c·5b-c=21×30×50故341220a b ca b cb c-++=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩,解得a=3,b=2,c=224.(1)以下解答仅供参考:①n5的个位数与n的个位数相等;②个位数是0,1,5,6的自然数的任何次幂,其个位数不变;③个位数是4,9的自然数的乘方,其个位数字交替变化;④任何自然数,乘方后的奇偶性不变等.(2)分n=4k,4k+1,4k+2,4k+3为讨论(k为自然数)当n=4k时,1981n、1982n、1983n、1984n的个位数字分别为1,6,1,6,则1981n+•1982n+1983n+1984n的个位数字为4,故10(1981n+1982n+1983n+1984n);当n=4k+1时,1981n、1982n、1983n、1984n的个位数字分别为1,•2,•3,•4,•则1981n+1982n+1983n+1984n的个位数字为0,故10│(1981n+1982n+1983n+1984n),同理,当n=4k+2、4k+3时,10│(1981n+1982n+1983n+1984n)故当且仅当n=4k,即n是4的倍数时,和数1981n+1982n+1983n+1984n不能被10整除.。
(完整版)《整式的乘除》提高测试题加答案(可编辑修改word版)
整式的乘除 提高测试（二）选择题（每小题 2 分，共计 16 分）13．计算（－a ）3·（a 2）3·（－a ）2 的结果正确的是……………………………（） （A ）a 11 （B ）a 11 （C ）－a 10 （D ）a 1314．下列计算正确的是………………………………………………………………（）（A ）x 2（m ＋1）÷x m ＋1＝x 2 （B ）（xy ）8÷（xy ）4＝（xy ）2 （C ）x 10÷（x 7÷x 2）＝x 5 （D ）x 4n ÷x 2n ·x 2n ＝1 15．4m ·4n 的结果是……………………………………………………………………（ ） （A ）22（m ＋n ） （B ）16mn （C ）4mn （D ）16m ＋n 16．若 a 为正整数，且 x 2a ＝5，则（2x 3a ）2÷4x 4a 的值为………………………（）5 （A ）5（B ）（C ）25 （D ）10217． 下列算式中， 正确的是 ……………………………………………………………… （ ）（A ）（a 2b 3）5÷（ab 2）10＝ab 5 （B ）（ 1 ）－2＝1＝ 13329（C ）（0.00001）0＝（9999）0（D ）3.24×10－4＝0.000032418．（－a ＋1）（a ＋1）（a 2＋1）等于………………………………………………（ ）（A ）a 4－1 （B ）a 4＋1 （C ）a 4＋2a 2＋1 （D ）1－a 4（四）计算（每小题 5 分，共 10 分） 23．9972－1001×999．1111122．（1－22 ）（1－32 ）（1－42 ） (1)92 ）（1－102）的值．（五）解答题（每小题 5 分，共 20 分）23．已知 x ＋ 1 ＝2，求 x 2＋ 1 x x 2，x 4＋ 1x4 的值．a 2b 2 24．已知（a －1）（b －2）－a （b －3）＝3，求代数式－ab 的值．225．已知 x 2＋x －1＝0，求 x 3＋2x 2＋3 的值．⎨26．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含 x 2，x 3 项，求 p 、q 的值．13, 【答案】B ．14【答案】C ． 15【答案】A ．16 【答案】A ．17 【答案】C ．18 【答案】D ．（四）计算（每小题 5 分，共 10 分）23．9972－1001×999．【提示】原式＝9972－（1000＋1）（1000－1）＝9972－10002＋1＝（1000－3）2－10002＋1 ＝10002＋6000＋9－10002＋．【答案】－5990．1 1 1 1 1 22．（1－22）（1－32）（1－42 ） (1)92）（1－102）的值．【提示】用平方差公式化简，1 1 11 1 1 11原式＝（1－ ）（1＋ ）（1－ ）（1＋ ）…（1－ ）（1＋ ）（1－）（1＋）＝21 32 4 32339 10 11 1 9 910101111 · · · · …· ··＝ ·1·1·1·…·． 【答案】．2 23 3 48 9 102 1020（五）解答题（每小题 5 分，共 20 分）23．已知 x ＋ 1＝2，求 x 2＋ 1x x 2，x 4＋ 1x4 的值．【提示】x 2＋ 1 x2 ＝（x ＋ 1）2－2＝2，x 4＋ 1 xx 4＝（x 2＋ 1x2 ）2－2＝2．【答案】2，2．(a - b )2 124．【答案】由已知得 a －b ＝1，原式＝＝ ，或用 a ＝b ＋1 代入求值．2225．已知 x 2＋x －1＝0，求 x 3＋2x 2＋3 的值．【答案】4．【提示】将 x 2＋x －1＝0 变形为（1）x 2＋x ＝1，（2）x 2＝1－x ，将 x 3＋2x 2＋3 凑成含（1），（2）的形式，再整体代入，降次求值．26．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含 x 2，x 3 项，求 p 、q 的值． 【答案】展开原式＝x 4＋（p －2）x 3＋（q －2p －3）x 2－（3p ＋28）x －3q ，x 2、x 3 项系数应为零，得⎧ p - 2 = 0 ⎩q - 2 p - 3 = 0.∴ p ＝2，q ＝7．。
整式乘除复习总结练习(有知识点填空、基本题)
初二数学整式的乘除复习练习§14.1幂的运算§14.1.1同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法公式：m n a a ∙= （m 、n 均为正整数） 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 ，指数 。
2、公式逆用：m na +=（m 、n 均为正整数） 一、填空题1.计算：103×105= .2.计算：（a －b ）3·（a －b ）5= .3.计算：a·a 5·a 7= .4. 计算：a(____)·a 4=a 20.（在括号内填数）二、选择题1.32x x ∙的计算结果是（ ） A.5x ； B.6x ； C.8x ； D.9x . 2.下列各式中，①824x x x =∙，②6332x x x =∙，③734a a a =∙，④1275a a a =+，⑤734)()(a a a =-∙-.正确的式子的个数是( )A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.三、解答题1、计算：62753m m m m m m ∙+∙+∙；2、已知8=m a ，32=n a ，求n m a+的值.§14.1.2幂的乘方1、幂的乘方公式：)(a m n = （m 、n 均为正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数 ，指数 。
2、公式逆用：mna =（ ）m =( )n （m 、n 均为正整数）一、选择题1．计算（x 3）2的结果是（ ）A ．x 5B ．x 6C ．x 8D ．x 92．下列计算错误的是（ ）A ．a 2·a=a 3B ．（ab ）2=a 2b 2C ．（a 2）3=a 5D ．－a+2a=a二、填空题1．12x =( )2 =( )6 =( )3 =( )4 2．（a 3）4=_____．3．若x 3m =2，则x 9m =_____． §14.1.3积的乘方1、积的乘方公式：)(ab n = （n 为正整数）积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂 。
人教版初中数学《整式的乘法》专题突破含答案解析
专题07 整式的乘法一、单选题1．（2021·福建长乐·八年级期中）计算()42x的结果是（）A．6x B．8x C．10x D．16x【答案】B【分析】根据幂的乘方公式，即可求解．【详解】解：()42x=8x，故选B．【点睛】本题主要考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方等于底数不变指数相乘，是解题的关键．2．（2021·福建省福州延安中学八年级期中）下列运算正确的是（）A．x2+x＝x3B．x2+x3＝5x C．x2•x3＝x5D．（x2）3＝x5【答案】C【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案即可得出选项．【详解】解：A、22+=+，故此选项错误；x x x xB、2323x x x x+=+，故此选项错误；C、235=，故此选项正确；x x x·D、()326=，故此选项错误；x x故选：C．【点睛】题目主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2021·贵州黔西·七年级期中）已知多项式2x³－8x²＋x－1与多项式3x³＋2mx²－5x＋3的和不含二次项，则m 的值为（）A ．－4B ．－2C ．2D ．4【答案】D【分析】先把两多项式相加，令x 的二次项为0即可求出m 的值．【详解】解：2x ³－8x ²＋x －1+3x ³＋2mx ²－5x ＋3=325(28)42x m x x +--+，依题意：280m -=，解得：4m =，故选择：D【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2021·湖北江汉·八年级期中）若128m a =，8n a =，则m n a -值是（）A ．120B ．－120C ．16D ．116【答案】C【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．【详解】解：∵如果128m a =，8n a =，∴128168m m n n a a a -===．故选：C ．【点睛】此题主要考查了同底数幂除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．5．（2021·全国·八年级单元测试）若2x ﹣5是多项式4x 2+mx ﹣5（m 为系数）的一个因式，则m 的值是（ ）A ．8B ．﹣6C ．﹣8D ．﹣10【答案】C根据题意可得设4x 2+mx -5=（2x -5）（kx +b ），进而解出k 、b 再根据m=2b -5k 即可得出答案．【详解】解：∵2x -5是多项式4x 2+mx -5（m 为系数）的一个因式，设4x 2+mx -5=（2x -5）（kx +b ），∴2kx 2+（2b -5k ）x -5b =4x 2+mx -5，∴2k =4，5b =5，解得k =2，b =1，∴m=2b -5k =-8．故选：C ．【点睛】本题考查因式分解的应用，根据题意得出另一个因式并让每一项系数一一对应是解答本题的关键．6．（2021·全国·七年级单元测试）如图是一个由5张纸片拼成的一个大长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张大正方形纸片大小一样，面积记为S 1，另外两张长方形纸片大小一样，面积记为S 2，中间一张小正方形纸片的面积记为S 3，则这个大长方形的面积一定可以表示为（ ）A ．123S S +B ．124S S +C ．14S D ．24S 【答案】A【分析】设S 3的边长为x ，S 2的长为y ，则S 1的边长为y -x ，S 2的宽为y -2x ，然后根据长方形面积公式结合整式混合运算的运算法则进行分析计算．【详解】解：设S 3的边长为x ，S 2的长为y ，则S 1的边长为y -x ，S 2的宽为y -2x ，∴大长方形的长为2y -x ，大长方形的宽为2y -3x ，∴S 大长方形=（2y -x ）（2y -3x ）=4y 2-6xy -2xy +3x 2=3（x2-2xy+y2）+（y2-2xy），又∵S1=（y-x）2=y2-2xy+x2，S2=y（y-2x）=y2-2xy，∴S大长方形=3S1+S2，故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，掌握多项式乘多项式的运算法则，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2结构是解题关键．7．（2021·福建省福州延安中学八年级期中）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（）A．13B．16C．20D．37【答案】B【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【详解】解：（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，∵（x＋p）（x＋q）＝x2＋mx＋36，∴p＋q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，则p＋q＝13，36＝1×36，则p＋q＝37，36＝2×18，则p＋q＝20，36＝3×12，则p＋q＝15，36＝6×6，则p＋q＝12，∴p＋q不可能为16，即m不可能为16．故选：B．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是理解清楚题意，求得m与p＋q，pq的关系．8．（2021·全国·七年级期中）如图，长为50cm，宽为x(cm)的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y(cm)．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x 的变化而变化，则定值y 为( )A ．5B ．253C ．252D ．10【答案】B【分析】根据图中的关系先分别表示出A 长方形的长、宽及B 长方形的长、宽，再根据长方形的面积公式表示出阴影A 的面积及阴影B 的面积，然后作差得到关于x 、y 的式子，根据“不会随着x 的变化而变化”得50-6y =0，求解即可得出答案．【详解】解：由题意可知A 长方形的长为（50-3y ）cm ，宽为（x -2y ）cm ，B 长方形的长为3y cm ，宽为x -50+3y ，∴阴影A 的面积为（50-3y ）（x -2y ）=50x -100y -3xy +6y 2，阴影B 的面积为3y （x -50+3y ）=3xy -150y +9y 2,∴阴影A 的面积-阴影B 的面积=（50x -100y -3xy +6y 2）-（3xy -150y +9y 2）=（50-6y ）x +50y -3y 2，∵阴影A 与阴影B 的面积差不会随着x 的变化而变化，∴50-6y =0解之：253y =．故答案为：B ．【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用以及一元一次方程的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式．9．（2021·全国·八年级专题练习）下列计算中，错误的个数是（ ）．①326(3)6x x =；②5521010(5)25a b a b -=-；③3328()327x x -=-；④23467(3)81x y x y =；⑤235x x x ×=A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方的知识求解即可求得答案．【详解】解：①（3x 3）2=9x 6，故①错误；②（-5a 5b 5）2=-25a 10b 10，故②错误；③3328()327x x -=-，故③正确；④234812(3)81x y x y =；故④错误；⑤235x x x ×=；故⑤正确；①②④错误．故选择：B【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘法及幂的乘方等知识，熟记法则是解题的关键．10．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，长为(cm)y ，宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，下列说法中正确的是（ ）①小长方形的较长边为15y -；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为5x y -+；③若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；④当15x =时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④【答案】A【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y -15）cm ，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A ，B 的较短边长，将其相加可得出阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为（2x +5-y ）cm ，说法②错误；③由阴影A ，B 的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误．【详解】解：①∵大长方形的长为y cm，小长方形的宽为5cm，∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；②∵大长方形的宽为x cm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：A．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．二、填空题11．（2021·江苏阜宁·七年级期中）按照如图的操作步骤，若输入x 的值为－3，则输出的值是_______．【答案】17【分析】根据题目中程序流程图按顺序计算即可．【详解】解：当3x =-时；()239-=；9327⨯=；271017-=．故答案为：17．【点睛】本题考查根据程序流程图进行代数式求值，正确列出代数式并计算是解题关键．12．（2021·北京·清华附中朝阳学校八年级期中）5x a =，3y a =，则x y a -=____．【答案】53【分析】根据同底数幂除法的逆运算求解即可．【详解】解：∵5x a =，3y a =，∴53x x y y a a a -÷==，故答案为：53．【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆运算，解题关键是熟记同底数幂除法法则，熟练运用它的逆运算解答．13．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级月考）已知9310a =⨯，3210b =⨯，则⋅=a b________．【答案】12610⨯【分析】根据整式的乘法：系数乘以系数，同底数的幂相乘，可得答案．【详解】解：939312(310)(210)3210610a b +⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯，故答案为：12610⨯．【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握系数乘以系数，同底数的幂相乘是解题的关键．14．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）若二项式3x +a 与x +2相乘，化简后结果中不出现一次项，则a 的值是 ___．【答案】-6【分析】利用多项式乘以多项式法则将已知多项式化简，合并同类项后令一次项系数等于0，即可求出a 的值．【详解】解：（3x +a ）（x +2）=3x 2+6x +ax +2a =3x 2+（a +6）x +2a ，∵此多项式不含x 的一次项，∴a +6=0，即a =-6．故答案为：-6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，解决这类问题的方法是：不含哪一项，就合并同类项后让这一项的系数等于0．15．（2021·山东沂南·七年级期中）已知9个小球，把它们分别标号为1，2，…9，现从中随机摸取两个小球，按照下面的操作步骤，若输入第一个小球上的数字a （记第二个小球上的数字为b ），输出的值为63，则=a ______．【答案】4【分析】根据题意列出代数式，结合a 和b 只能为1,2,3…9中任意一个数字，从而推导得到满足条件的a 的数值，【详解】解：由题意知：()52363a b ++=化简得：1048a b +=∵a 可以取1,2,3…9中任意一个数字∴ 10a 可能为10、20、30、40又∵b 只可取1,2,3…9中任意一个数字∴10a 只能为40此时：4,8a b ==故答案为：4．【点睛】．本题考查代数式的值，根据题意列出等量关系，进行分类讨论是解题的关键．16．（2021·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级月考）某车间一天生产零件12000套，若将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有6个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担200元，在交款时，又有8个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担500元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是____元．【答案】12【分析】设一开始每人分担x 元，一开始销售商的个数为y 个，根据题意列出方程组，化简后解出方程的解，再求出每个经销商拿的零件套数与成本，故可求解．【详解】设一开始每人分担x 元，一开始销售商的个数为y 个，根据题意得()()()()200620050068xy x y xy x y ⎧=+-⎪⎨=++--⎪⎩化简得2006120007001498000y x y x --=⎧⎨--=⎩解得80030x y =⎧⎨=⎩∴一开始每人分担800元，一开始销售商的个数为30个所以现在每个销售商分担1500元，销售商的个数为16个则每个经销商分得零件套数为12000÷16=750套，每套成本为1500÷750=2元∴销售商每套零件想获得10元的利润，售价应为10+2=12元．故答案为：12．【点睛】此题主要考查方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程组．17．（2021·上海松江·七年级期中）已知220x x +-=，那么代数式3231x x ++的值等于______．【答案】5【分析】根据220x x +-=可得22x x =-+，22x x +=，由此代入即可求得答案．【详解】解：∵220x x +-=，∴22x x =-+，22x x +=，∴323223121x x x x x ++=+++2()2(2)1x x x x =++-++2241x x =-++5=，故答案为：5．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及代数式求值，熟练掌握整体代入求值是解决本题的关键．18．（2021·北京十四中八年级期中）如果n x y =，那么我们规定(),x y n =．例如：因为239=，所以()3,92=．根据上述规定，()2,8=_______，若(),16m p =，(),5m q =，(),m t r =，且满足p q r +=，则t =______．【答案】380【分析】由328=，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得p q r m ,m ,m t ===165，根据同底数幂的运算及已知p +q =r ，即可求得t 的值．【详解】∵328=∴(2，8)=3故答案为：3；由规定得：p q r m ,m ,m t===165∴p+q m =⨯=16580∵p +q =r∴r m =80∴t =80故答案为：80【点睛】本题考查了同底数幂的运算，关键理解题意，能熟练进行同底数幂的运算．三、解答题19．（2021·四川·成都实外七年级期中）计算下列各题：（1）13513 1.252488+-+；（2）（34-）×（﹣113）﹣8÷4；（3）32﹣36×（5721293--）；（4）﹣32﹣（﹣2）3×|14-|＋（﹣1）2014【答案】（1）6；（2）1-；（3）69；（4）6-【分析】（1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可；（2）按照有理数的乘除混合运算法则计算即可；（3）按照乘法分配律先分配，然后再进行计算即可；（4）按照幂的计算和绝对值的计算法则进行化简即可．【详解】解：（1）原式=1351 1.2532488⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0+6=6（2）原式=34243⎛⎫⎛⎫-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=12-=-1（3）原式=572 323636361293 -⨯+⨯+⨯32152824 =-++ 172824=++69=（4）原式=()19814---⨯+()921=---+6=-【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，幂的乘方和绝对值的运算，牢记运算法则并能准确计算是解题的重点．20．（2021·福建省福州延安中学八年级期中）计算：（1）（x2y3）4+（﹣x）8（y6）2；（2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．【答案】（1）2x8y12；（2）y﹣3x．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再合并同类项；（2）原式先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式求出结果即可．【详解】解：（1）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y12；（2）原式＝（9x2y3﹣27x3y2）÷9x2y2 ＝9x2y3÷9x2y2﹣27x3y2÷9x2y2 ＝y﹣3x．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方（a m）n＝a mn和积的乘方（ab）m＝a m b m，多项式除以单项式的运算法则是解题关键．21．（2021·全国·七年级单元测试）计算（1）3m2•（2m2n）2÷6m5；（2）a（3a﹣1）＋（1﹣a）（3a＋2）；（3）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2＋3a2b）；（4）﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）＋2mn]．【答案】（1）2mn2；（2）2；（3）3a2b﹣ab2；（4）mn【分析】（1）先计算乘方，再从左往右计算，即可求解；（2）先算乘法，再合并同类项，即可求解；（3）先去括号，再合并同类项，即可求解；（4）先去括号，再合并同类项，即可求解．【详解】（1）解：3m2•（2m2n）2÷6m5＝3m2•4m4n2÷6m5＝12m6n2÷6m5＝2mn2；（2）解：a（3a﹣1）+（1﹣a）（3a+2）＝3a2﹣a+3a+2﹣3a2﹣2a＝2；（3）解：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2＋3a2b）＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b，＝3a2b﹣ab2；（4）解：﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）＋2mn]＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn，＝mn．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．22．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学八年级期中）如图，学校有一块长为（2a＋b）米，宽为（2a－b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；（2）若a＝5，b＝2 ，请你计算出绿化的总面积；【答案】（1）2-；（2）6044a ab【分析】（1）长方形地块的长与宽分别减小b米后的长方形面积就是要绿化的总面积，最后化简即可；（2）把a与b的值代入（1）中化简后的代数式中，求值即可．【详解】（1）长方形地块的长、宽分别减小b米后的长方形长为2a+b-b=2a(米)，宽为2a-b-b=(2a-2b)米，从而要绿化的总面积为：2a(2a-2b)=(4a2-4ab)平方米；即绿化的总面积为(4a2-4ab)平方米；（2）当a=5，b=2时，2⨯-⨯⨯=（平方米）．4545260【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，正确表示去掉路宽后的长方形的长与宽是关键．23．（2021·上海黄浦·七年级期中）有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（a＞b），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角阴影部分矩形QPCG的面积为 （用含a、b的代数式表示），左上角阴影部分矩形AFQE的面积为 （用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．①用a、b、x的代数式表示AE②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？【答案】（1）2a ，24312b b b ⨯=，22712a ab b ++（2）①4AE x b a =+-；②30a b -=【分析】(1)右下角的图形为边长为a 的正方形，左上角图形为长方形，其长宽分别为4b ，3b ，分别计算面积，找到矩形ABCD 的长宽分别为a +4b ，a +3b 计算面积即可.(2) ①AE =FQ ，PC =HG ，有FQ =HG +FH -QG ，从而得到AE ；②把S 表示出来，令与相乘的因式为零，即可得到S 与BC 长度无关.【详解】(1) 右下角的图形为边长为a 的正方形，面积为2a .左上角图形为长方形，其长宽分别为4b ，3b ，面积为24312b b b ⨯= .矩形ABCD 的长宽分别为a +4b ，a +3b ，面积为()()2243712a b a b a ab b ++=++故答案为：2a ，24312b b b ⨯=，22712a ab b ++(2) ①∵AE =FQ ，PC =HG ，有FQ =HG +FH -QG∴AE =PC +FH -QG即AE =x +4b -a②图2中，右下角的矩形长宽分别为x ，a ，则面积为xa .左上角矩形长宽分别为x +4b -a ，3b ，则面积为3b （x +4b -a ）.则34S xa b x b a =-+-（）整理得到，()2231233123S xa bx b ab x a b b ab=--+=--+当BC 的长度变化时，S 始终保持不变，则30a b -=时成立.【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式是解题的关键．24．（2021·江苏滨湖·七年级期中）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解决下列问题．（1）在图4中，黑色瓷砖有 块，白色瓷砖有 块；（2）已知正方形白色瓷砖边长为1米，长方形黑色瓷砖长为1米，宽为0.5米．现准备按照此图案进行装修，瓷砖无需切割，恰好能完成铺设．已知白色瓷砖每块100元，黑色瓷砖每块50元，贴瓷砖的费用每平方米15元．请回答下列问题：①铺设图2需要的总费用为 元；②铺设图n 需要的总费用为多少元？（用含n 的代数式表示）【答案】（1）20；20；（2）①1380； ②2115345230n n ++．【分析】（1）通过观察发现规律得出，第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +，将4n =代入即可求解；（2）①求得图2的白瓷砖的块数和黑色瓷砖的块数，然后再求得占用的面积，根据费用求解即可；②求得图n 的白瓷砖的块数和黑色瓷砖的块数，然后再求得占用的面积，根据费用求解即可；【详解】解：（1）通过观察图形可知，1n =时，黑色瓷砖的块数为8，白色瓷砖的块数为22n =时，黑色瓷砖的块数为12，白色瓷砖的块数为63n =时，黑色瓷砖的块数为16，白色瓷砖的块数为12则第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +当4n =时，黑色瓷砖的块数为20，白瓷砖的块数为20故答案为20，20（2）①图2，黑色瓷砖的块数为12，白色瓷砖的块数为6，所占用的面积为1210.561112⨯⨯+⨯⨯=（平方米）所需的费用为1250610012151380⨯+⨯+⨯=（元）故答案为1380②第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +占用的面积为4(1)10.5(1)112(1)(1)(1)(2)n n n n n n n n +⨯⨯++⨯⨯=+++=++所需的费用为24(1)50(1)10015(1)(2)115345230n n n n n n n +⨯++⨯+⨯++=++故答案为2115345230n n ++【点睛】此题考查了图形类规律的探索问题，涉及了列代数式，整式的乘法等运算，解题的关键是根据前面图形，找到规律．25．（2021·湖北江汉·八年级期中）（1）已知2x 2＋6x ＝3，求代数式x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）的值；（2）如果多项式4x 2＋kx －7被4x ＋3除后余2，求k 的值．【答案】（1）214；（2）-9【分析】（1）由已知可得：332x x +=，然后把多项式分别按(3),(1)(3)x x x x +++展开即可求得代数式的值；（2）由题意可凑得商为3x -，则计算(43)(3)2x x +-+即可求得k 的值．【详解】（1）由2x 2＋6x ＝3，得2332x x +=∴x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）=223321(3)(32)2224x x x x ⎛⎫+++=⨯+= ⎪⎝⎭；（2）∵多项式4x 2＋kx －7是二次多项式，除式4x+3是一次多项式∴多项式4x 2＋kx －7被4x ＋3除，则商应为一次多项式∵多项式4x 2＋kx －7的二次项系数为4∴商的一次项系数为1∵多项式4x 2＋kx －7的常数项为-7，余数为2∴商的常数项为-3∴商为3x -∴4x 2＋kx －7=2(43)(3)2497x x x x +-+=--∴k =-9【点睛】本题考查了整体法求代数式的值，多项式乘以多项式，(1)的计算需要一定的技巧，能够根据已知条件对相乘的多项式适当的组合以便运用条件；（2）则要凑，要求对多项式的乘法及除法熟练．26．（2021·北京·101中学八年级期中）（知识回顾）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式6351ax y x y -++--的值与x 的取值无关，求a 的值．通常的解题思路是：把x 、y 看作字母，a 看作系数，合并同类项。
专题12.2整式的乘除法【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三[含答案]
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专题12.2整式的乘除法【十大题型】【华东师大版】【题型1由整式乘除法求代数式的值】【题型2由整式乘除法求字母的值】【题型3利用整式乘除法解决不含某项问题】【题型4利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】【题型5利用整式乘除法解决污染问题】【题型6利用整式乘除法解决误看问题】【题型7整式乘除法的应用】【题型8整式乘除法中的规律问题】【题型9整式乘除法中的新定义问题】【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】知识点：整式的乘法、除法1．单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．2．单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．【注意】（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．3．多项式与多项式相乘（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．4．单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．5．多项式除以单项式多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【注意】（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．【题型1 由整式乘除法求代数式的值】【例1】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）1．已知210a a +-=，则代数式()()()222a a a a +-++值为 ．【变式1-1】（23-24八年级·福建泉州·期中）2．若3a b -=，4ab =-，则()()22a b -+值为 .【变式1-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）3．如果()()5612a a -+=，那么2228a a --+的值为 ．【变式1-3】（23-24八年级·福建·期中）4．已知2310x x --=，则代数式3102019x x -+值为 ．【题型2 由整式乘除法求字母的值】【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）5．已知(x +a )(x +b )=2x +mx +12，m 、a 、b 都是整数，那么m 的可能值的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8【变式2-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）6．若()()2133x x x mx +-=+-，则m 值是 ．【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）7．不论x 为何值，()()()2222222x x a x ax x a x a x a ++=+++=+++,226()()x x a x kx ++=++，则k = ．【变式2-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）8．关于x 的整式21A x =+，它的各项系数之和为∶213+=(常数项系数为常数项本身)．已知B 是关于x 的整式，最高次项次数为2，系数为1．若(3),B x C C ×+=是一个只含两项的多项式，则B 各项系数之和的最大值为 ．【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】【例3】（23-24八年级·山东聊城·期末）9．已知多项式236M x ax =-+，3N x =+，且MN A =，当多项式A 中不含x 的2次项时，a 的值为（ ）A ．1-B ．13-C ．0D ．1【变式3-1】（23-24八年级·河南商丘·期末）10．已知关于x 的多项式ax b -与232x x ++的乘积的展开式中不含x 的二次项，且一次项系数为5-，则a 的值为（ ）A ．13-B ．13C ．-3D ．3【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）11．小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：2(32)()x x x a +--．(1)小万在做题时不小心将x a -中的x 写成了2x ，结果展开后的式子中不含x 的二次项，求a 的值；(2)小鹿在做题时将232+-x x 中的一个数字看错成了k ，结果展开后的式子中不含x 的一次项，则k 的值可能是多少？【变式3-3】（16-17八年级·四川成都·期末）12．已知(x 2+mx +1)(x 2﹣2x +n )的展开式中不含x 2和x 3项．(1)分别求m 、n 的值；(2)化简求值：(m +2n +1)（m +2n ﹣1）+（2m 2n ﹣4mn 2+m 3）÷（﹣m ）【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】【例4】（23-24八年级·湖南常德·期中）13．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式6351ax y x y -++-- 的值与x 的取值无关，求a 的值”，通常的解题方法是：把x y 、看作字母，a 看作系数合并同类项，因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式()365a x y =+-+，所以30a +=，则3a =-．理解应用：(1)若关于x 的多项式()22335m x m x ---的值与x 的取值无关，求m 值；(2)已知()()()213153A x x x y =+--+，2324B x xy -=+，且26A B -的值与x 的取值无关，求y 的值．【变式4-1】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）14．已知23A x x a =+-，B x =-，3235C x x =++，若A B C ×+的值与x 的取值无关，当4x =-时，A 的值为（ ）A ．0B ．4C ．4-D ．2【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中）15．若代数式()()()223236x x m x x ++-+的值与x 的取值无关，则常数m = ．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）16．若代数式()()()2253334x kx xy k x y x ----的值与y 无关，则常数k 的值为（ ）A ．2B ．―2C ．4-D ．4【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】【例5】（23-24八年级·贵州遵义·期末）17．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：()()4322222246643x y x y x y x y xy y -+¸-=-+-■，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）A ．3218x y -B ．3218x y C ．322x y -D ．3212x y 【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）18．右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代数式；（2）若被污染的代数式的值不小于4，求x 的取值范围.【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）19．小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是338x y -及中间的“¸”，污染后习题形式如下：33(8x y -)¸，小明翻看了书后的答案是“22436x y xy x -+”，你能够复原这个算式吗?请你试一试．【变式5-3】（23-24八年级·上海奉贤·期中）20．小红准备完成题目：计算（x 2x +2）（x 2﹣x ）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x 2+3x +2）（x 2﹣x ）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】【例6】（23-24八年级·山东菏泽·期中）21．某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（ ）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【变式6-1】（23-24八年级·江西萍乡·期中）22．小颖在计算一个整式乘以3ac 时，误看成了减去3ac ，得到的答案是12333--bc ac ab ，该题正确的计算结果应是多少？【变式6-2】（23-24八年级·江西九江·阶段练习）23．已知A B 、均为整式，()()221222A xy xy x y =+--+，小马在计算A B ¸时，误把“¸”抄成了“-”，这样他计算的正确结果为22x y -．(1)将整式A 化为最简形式．(2)求整式B ．【变式6-3】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）24．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：()()23x a x b ++，由于甲抄错为()()23x a x b -+，得到的结果为261110x x +-；而乙抄错为()()2x a x b ++，得到的结果为22910x x -+．(1)你能否知道式子中的a ，b 的值各是多少？(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案．【题型7 整式乘除法的应用】【例7】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）25．有总长为l 的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a ．(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l ，a 的代数式表示）．②当10030l a ==，时，求园子的面积．(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l ，a 的代数式表示）．【变式7-1】（23-24八年级·重庆·期末）26．某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）27．一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上地板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a 元/平方米，地板的价格(10)a -元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？【变式7-3】（23-24八年级·全国·专题练习）28．某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、2a ；配件②是一个正方体，其棱长为a(1)生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？(2)若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【题型8 整式乘除法中的规律问题】【例8】（23-24八年级·四川成都·期中）29．观察：下列等式()()2111x x x -+=-，()()23111x x x x -++=-，()()324111x x x x x -+++=-…据此规律，当()()65432110x x x x x x x -++++++=时，代数式20242x -的值为 ．【变式8-1】（23-24八年级·广东揭阳·期中）30．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年11月份的日历，我们任意用一个22´的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为 ．(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．【变式8-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）31．“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进行研究．小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．例如：()24261002346´=´´+´，结果为624；()42481004528´=´´+´，结果为2016；小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．例如：()456510046525´=´´++，结果为2925；()357510037525´=´´++，结果为2625；(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算6367´的速算过程；(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字母的等式表示该规律．友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．【变式8-3】（23-24八年级·福建宁德·期中）32．下图揭示了()n a b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过451天是星期 ．……1()a b a b+=+ (222)()2a b a ab b +=++……()3322333a b a a b ab b +=+++……()4a b +=【题型9 整式乘除法中的新定义问题】【例9】（23-24八年级·陕西榆林·期末）33．【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m ，n ，规定：()m n mn m n =-e ．例如：()1212122=´´-=-e ．【问题推广】（1）先化简，再求值：()()a b a b +-e ，其中12a =，1b =-；【拓展提升】（2）若()2p q q p x y x y x y x y =-e e ，求p ，q 的值【变式9-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）34．定义a bad bc c d =-，如131423224=´-´=-．已知21112x A nx x +=-，1111x x B x x +-=-+（n 为常数）(1)若4B =，求x 的值；(2)若A 中的n 满足12222n +´=时，且2A B =+，求3843x x -+的值．【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期末）35．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi + (a 、b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：()()()()253251372i i i i -++=++-+=+；()()()()()()2121212212213i i i i i i i ii i+´-=´+´-+´+´-=+-+-=+--=+根据以上信息，完成下列问题:(1)计算：3i ， 4i ；(2)计算：()()134i i +´-；(3)计算：23452023i i i i i i ++++++L 【变式9-3】（23-24八年级·内蒙古乌兰察布·期末）36．定义：()L A 是多项式A 化简后的项数，例如多项式223A x x =+-，则()3L A =，一个多项式A 乘多项式B 化简得到多项式C （即C A B =´），如果()()()1L A L C L A ££+．则称B 是A 的“郡园多项式”如果()()L A L C =，则称B 是A 的“郡园志勤多项式”．(1)若2A x =-，3B x =+，则B 是不是A 的“郡园多项式”？请判断并说明理由；(2)若2A x =-，24B x ax =++是关于x 的多项式，且B 是A 的“郡园志勤多项式”，则a =_____；(3)若23A x x m =-+，2B x x m =++是关于x 的多项式，且B 是A 的“郡园志勤多项式”，求m 的值．【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】【例10】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）37．教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“Ä”，对于任意有理数a ，b ，c ，d ，规定()(),,a b c d ad bc Ä=-，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：()()1,32,414232Ä=´-´=-．请解答下列问题：(1)填空：()()2,34,5-Ä=______；(2)若()()221,15,2x nx x +-Ä-的代数式中不含x 的一次项时，求n 的值；(3)求()()31,22,3x x x x +-Ä+-的值，其中2410x x -+=；(4)如图1，小长方形长为a ，宽为b ，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，其中5AB =，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为1S ，右上角长方形的面积为2S ．当122320S S -=，求()()2,63,36a b b b a b +-Ä--的值．【变式10-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）38．小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶(1)用含a ，b 的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．(2)当224592a b +=，48ab =时，求阴影部分面积．【变式10-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）39．如图，长为(cm)y ，宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm ．(1)小长方形的较长边为 cm （用代数式表示）；(2)阴影A 的一条较短边和阴影B 的一条较短边之和为(24)x y -+cm ，是 的（填正确/错误）；阴影A 和阴影B 的周长值之和与x （填有关/无关），与y （填有关/无关）；(3)设阴影A 和阴影B 的面积之和为S 2cm ，是否存在x 使得S 为定值，若存在请求出x 的值和该定值，若不存在请说明理由．【变式10-3】（23-24八年级·上海青浦·期中）40．如图所示，有4张宽为a ，长为b 的小长方形纸片，不重叠的放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． 2EF GH =(1)用含a、b的代数式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代数式表示区域①、区域②的面积；(3)当a=12，92b=时，求区域①、区域②的面积的差．1．2-【分析】由已知得21a a +=，然后对所求式子展开后进行变形，再整体代入计算即可．【详解】解：∵210a a +-=，∴21a a +=，∴()()()()22222242242142a a a a a a a a a +-++=-++=+-=´-=-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．―2【分析】本题主要考查代数式的值及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题先把所求整式进行展开，然后再代值求解即可．【详解】解：∵3a b -=，4ab =-，∴()()22a b -+()24ab a b =+--464=-+-2=-；故答案为：―2．3．28-【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出218a a --=-，再根据()--+=--+2222828a a a a 进行求解即可．【详解】解：∵()()5612a a -+=，∴2306512a a a -+-=，∴218a a --=-，∴()--+=--+=-´+=-2222828182828a a a a ，故答案为：28-．4．2022【分析】由x 2−3x−1=0，变形x 2=3x+1，利用此等式进行降次，化简整体代入计算即可．【详解】由x 2−3x−1=0，变形x 2=3x+1，x 2-3x=1，x3−10x+2019，=x(3x+1)-10x+2019，=3x2-9x+2019，=3(x2-3x)+2019，=3+2019，=2022．故答案为：2022．【点睛】本题考查代数式的值，关键是把条件等式变形会降次，会整体代入求值．5．C【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得a+b=m，ab=12，再进行分类讨论，从而解决此题．【详解】解：(x+a)(x+b)=2x+bx+ax+ab=2x+(a+b)x+ab．∵(x+a)(x+b)=2x+mx+12，∴a+b=m，ab=12．∵m、a、b都是整数，∴当a=1时，则b=12，此时m=a+b=1+12=13；当a=-1时，则b=-12，此时m=a+b=-1-12=-13；当a=2时，则b=6，此时m=a+b=2+6=8；当a=-2时，则b=-6，此时m=a+b=-2-6=-8；当a=3时，则b=4，此时m=a+b=3+4=7；当a=-3时，则b=-4，此时m=a+b=-3-4=-7；当a=12时，则b=1，此时m=a+b=12+1=13；当a=-12时，则b=-1，此时m=a+b=-12-1=-13；当a=6时，则b=2，此时m=a+b=6+2=8；当a=-6时，则b=-2，此时m=a+b=-6-2=-8；当a=4时，则b=3，此时m=a+b=4+3=7；当a=-4时，则b=-3，此时m=a+b=-4-3=-7．综上：m=±13或±8或±7，共6个．故选：C．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本题的关键．6．2-【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出22323x x x mx -=+--是解题的关键．根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m 的值即可得到答案．【详解】解：∵()()2133x x x mx +-=+-，∴22333x x x x mx +--=+-，∴22323x x x mx -=+--，∴2m =-．故答案为：2-．7．5【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出a 的值以及a 与k 的关系，然后可得答案．本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】∵2222222()()()x x a x ax x a x a x a ++=+++=+++，又∵226()()x x a x kx ++=++，∴22226()x a x a x kx +++=++，2a k \+=，26a =，3a \=，325k \=+=．故答案为：5．8．7【分析】本题考查整式的定义，多项式乘多项式，解二元一次方程．根据题意对整式B 的表述，可设2(x ax b a B =++、b 为待求的常数），计算(3)B x ×+，整理后得到关于x 的三次四项式．由于条件说乘积是只有两项，故有两项的系数为0，需分3种情况讨论计算，列得关于a 、b 的方程组，据此求解即可．【详解】解：B Q 是关于x 的整式，最高次项次数为2，二次项系数为1，\设2b B x ax =++，a 、b 为常数，(3)B x \+2()(3)x ax b x =+++322333x ax bx x ax b=+++++32(3)(3)3x a x a b x b =+++++，Q 乘积是一个只含有两项的多项式，①3030a a b +=ìí+=î，解得：39a b =-ìí=î，239B x x \=-+，各项系数之和为1397-+=；②3030a b +=ìí=î，解得：30a b =-ìí=î，23x B x \=-，各项系数之和为132-=-；③3030a b b +=ìí=î，解得：00a b =ìí=î，2x B \=．各项系数之和为1；∵712>>-；则B 各项系数之和的最大值为7．故答案为：7．9．D【分析】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．【详解】解：∵()()2=363MN x ax x -++322=36+3918x ax x x ax -+-+()()32336918x a x a x =+-+-+∴()()32336918A MN x a x a x ==+-+-+∵多项式A 中不含x 的2次项时，∴330a -=∴1a =故选D ．10．C【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x 的二次项，则二次项的系数为0．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为5-的要求建立方程组，即可求解．【详解】解：()()232ax b x x -++；3223232ax ax ax bx bx b =++---；()()323322ax a b x a b x b =+-+--；∵多项式ax b -与232x x ++的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为5-；∴3025a b a b -=ìí-=-î；解得：31a b =-ìí=-î，∴3a =-；故选：C ．11．(1)2a =-(2)1k =或6-【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键．（1）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为0，即可求出答案，（2）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为0，即可求出答案．【详解】（1）解：()()2232x x x a +--42323322x ax x ax x a =-+--+4323(2)32x x a x ax a =+-+-+Q 展开后的式子中不含x 的二次项，20a \+=，解得2a =-；（2）解：①若将232+-x x 中的3看成k ，2(2)(2)x kx x +-+3222224x x kx kx x =+++--32(2)(22)4x k x k x =+++--，Q 展开后的式子中不含x 的一次项，220k \-=，1k \=．②若将232+-x x 中的2-看成k ，2(3)(2)x x k x +++3222362x x x x kx k =+++++325(6)2x x k x k =++++，Q 展开后的式子中不含x 的一次项，60k \+=，解得6k =-．③若指数2看作k ，当0k =时，原式(132)(2)x x =+-+2352x x =+-不符合题意；④若指数2看作k ，当1k =时，原式(32)(2)x x x =+-+2464x x =+-，不符合题意；1k =或6-．12．（1）m 的值为2，n 的值为3（2）2mn +8n 2﹣1；83【分析】（1）先将题目中的式子化简，然后根据()()2212x mx x x n ++-+的展开式中不含2x 和3x 项，可以求得m 、n 的值；（2）先化简题目中的式子，然后将m 、n 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）()()2212x mx x x n ++-+=4x ﹣23x +n 2x +m 3x ﹣2m 2x +mnx +2x ﹣2x +n=4x +（﹣2+m ）3x +（n ﹣2m +1）2x +（mn ﹣2）x +n∵()()2212x mx x x n ++-+的展开式中不含2x 和3x 项，∴20210m n m +=ìí+=î﹣﹣，解得23m n =ìí=î，即m 的值为2，n 的值为3；（2）（m +2n +1）（m +2n ﹣1）+（22m n ﹣4m 2n +3m ）÷（﹣m ）=[（m +2n ）+1][（m +2n ）﹣1]﹣2mn +42n ﹣2m =2m 2n +（）﹣1﹣2mn +42n ﹣2m =2m +4mn +42n ﹣1﹣2mn +42n ﹣2m =2mn +82n ﹣1当m =2，n =3时，原式=2×2×3+8×23﹣1=83．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．13．(1)35m =(2)23y =【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与x 的取值无关，即可求出答案；（2）先把A 进行化简，然后计算26A B -，结合多项式的值与x 的取值无关，即可求出答案．【详解】（1）解：223(35)m x m x ---22335m x m mx=--+2(53)23m x m m =-+-，Q 其值与x 的取值无关，530m \-=， 解得：35m =， 即：当35m =时，多项式223(35)m x m x ---的值与x 的取值无关；（2）解：(21)(31)(53)A x x x y =+--+Q ，2324B x xy -=+，2262[(21)(31)(53)]6(24)3A B x x x y x xy \-=+---+-+222(623153)121824x x x x xy x xy =-+----+-2212826121824x x xy x xy =----+-12826xy x =--4(32)26x y =--；26A B -Q 的值与x 无关，320y \-=，即23y =．【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．14．B【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出A B ×的值是多少，然后用它加上C ，求出A B C ×+的值是多少，最后根据A B C ×+的值与x 的取值无关，可得x 的系数是0，据此求出a 的值，最后代入求值即可．【详解】解：23A x x a =+-Q ，B x =-，3235C x x =++，A B C\×+()()()232335x x a x x x =+--+++3232335x x ax x x =--++++5ax =+，A B C ×+Q 的值与x 的取值无关，2233A x x a x x \=+-=+，当4x =-时，()()24344A =-+´-=，故选：B ．15．3【分析】此题考查整式的混合运算，先运算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并，进而根据与x 的取值无关得到260m -=，解方程即可．【详解】解：()()()()222232366262612262x x m x x x mx x m x x m x m ++-+=+++--=-+，∵代数式的值与x 的取值无关，∴260m -=，解得3m =，故答案为：3．16．A【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y 的取值无关，可知关于y 的项的系数为0，从而可以求得k 的值．【详解】解：()()()2253334x kx xy k x y x ----2222225334912kx x y kx y kx x y x =--++-222239612kx y kx x y x =-++-()22236912k x y kx x =-++-∵关于y 的代数式：()()()2253334x kx xy k x y x ----的值与y 无关，∴360k -+=，解得2k =，即当2k =时，代数式的值与y 的取值无关．故选：A.17．B【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解．【详解】解： ( −4x 2y 2+3xy −y ) • (−6x 2y )=24x 4y 3−18x 3y 2+6x 2y 2，∴■=18x 3y 2．【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键．18．（1）24x --；（2）4x £-．【分析】（1）根据题意，被墨水污染的代数式=()2()(252236)x x x x ++－－－，再结合整式的乘法法则及加减法则解题，注意运算顺序；（2）由（1）中结果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解题．【详解】解：（1）由已知可得，()2()(252236)x x x x ++－－－2224510236x x x x x =-+---+=24x -- ；（2）由已知可得，244x -³-28x ³-解得4x £-．【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．复原后的算式为()()3322286122x y x y x y xy -+-¸-【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可．【详解】解：338x y -Q 对应的结果为：224x y ，\除式为：3322842x y x y xy -¸=-，根据题意得：()()223322243628612x y xy x xy x y x y x y -+×-=-+-，\复原后的算式为()()3322286122x y x y x y xy -+-¸-．【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键．20．（1）43222x x x x +--；（2）1【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可；（2）设一次项系数为a ，计算()()222x ax x x ++-，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得a 的值，即原题中被遮住的一次项系数．【详解】解：（1）（x 2+3x +2）（x 2﹣x ）433223322x x x x x x=-+-+-43222x x x x=+--（2）设一次项系数为a ，()()222x ax x x ++-4332222x x ax ax x x=-+-+-()()432122x a x a x x=+-+--Q 答案是不含三次项的10a \-=1a \=【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．21．A【分析】设这个多项式为M ，根据题意可得221M x x =-+-，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【详解】解：设这个多项式为M ，∵计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，∴224321M x x x +=+-，∴222321421M x x x x x =+--=-+-，∴正确的结果为()()22432214484x x x x x x -+-=-+-，故选A ．22．222-abc a bc【分析】本题主要考查了整式乘法运算，根据一个整数减去3ac ，得到的答案是12333--bc ac ab ，得出这个整式为123333bc ac ab ac --+，然后用3ac 乘这个整式得出结果即可．【详解】解：根据题意得：1233333æö--+ç÷èøac bc ac ab ac12333æö=-ç÷èøac bc ab 222=-abc a bc ．故该题正确的计算结果应是222-abc a bc ．23．(1)22x y xy --；(2)B xy =-．【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可；（2）根据题意可得22A y B x -=-，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．【详解】（1）()()221222A xy xy x y =+--+，22222222x y xy xy x y =-+--+，22x y xy =--；（2）由题意，得22A yB x -=-由（1）知22A x y xy =--，∴2222x y xy B x y ---=-，∴B xy =-．24．(1)5a =-，2b =-(2)261910x x -+【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到2311b a -=①，29b a +=-②，解关于①②的方程组即可求出a 、b 的值；（2）把a 、b 的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为()()23x a x b -+，得到的结果为261110x x +-，那么()()()222362361110x a x b x b a x ab x x -+=+--=+-，可得2311b a -=①乙抄错为()()2x a x b ++，得到的结果为22910x x -+，可知()()()222222910x a x b x b a x ab x x ++=+++=-+可得29b a +=-②，解关于①②的方程组，可得5a =-，2b =-；（2）正确的式子：()()22041253265106191x x x x x x x --=+-=+--【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问题的关键．25．(1)①()2a l a -；②1200(2)增大；22al a a-+【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键．（1）①先用l 和a 的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把100l =，30a =代入①中的代数式进行计算即可；（2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积．【详解】（1）解：①Q 总长为l ，宽为a ，\园子的长为：()2l a -，\园子的面积为：()2a l a -；故答案为：()2a l a -；②当100l =，30a =时，()222a l a al a -=-230100230=´-´30002900=-´30001800=-1200=；（2）解：Q 园子的宽不变，长增加了，。
整式的运算基础练习题
整式的运算基础练习题整式的运算是数学中的一个重要分支，它涉及到各种基本运算规则，如加法、减法、乘法和除法等。
下面是一些关于整式运算的基础练习题，可以帮助大家巩固和加深对整式运算的理解。
1、单项式的加法1)计算：2x + 3x = __x2)计算：5a - 2a = __a答案：(1)5x；(2)3a2、多项式的加法1)计算：2x - 3x + 4x = __x2)计算：5a + 2b + 3a = __a + __b答案：(1)3x；(2)8a；2b3、单项式的乘法1)计算：2x × 3x = __x²2)计算：5a × 4b = __ab²答案：(1)6x2(2)20ab24、多项式的乘法1)计算：(2x + 3y) × (x - y) = __x² - __xy + __y²2)计算：(3a - 2b) × (4a + 5b) = __a×__b² + __a×__b - __a ×__b² - __a×__b答案：(1)x2xy+3y2(2)12a×4b+5a×2b−3a×5b−2a×4b即48ab+10ab−15ab−8ab，最终结果为45ab。
整式的运算测试题一、选择题1、下列哪个选项是整式？（）A. 2/3B. 4x/3yC. x + 2yD. √22、下列哪个选项是整式的乘法？（）A. 3(x + y)B. 4x^2yC. (x + 2y)(x - 2y)D. x + 2y = 03、下列哪个选项是整式的除法？（）A. (x + y)/2B. (x + 2y)(x - 2y)C. x \div 2yD. 2x^2 - x = y二、填空题1、如果 a和 b是整数，那么 a + b的值是____。
2、如果 x和 y是整数，那么 x - y的值是____。
初二数学上册综合算式专项练习题整式的乘法与除法混合运算与乘方运算
初二数学上册综合算式专项练习题整式的乘法与除法混合运算与乘方运算在初二数学上册中，整式的乘法与除法混合运算与乘方运算是一个重要的知识点。
正确掌握这些知识点能够帮助学生在解决各种实际问题时应用数学的思维方式和方法。
在本文中，我们将结合一些综合算式的专项练习题来详细介绍整式的乘法与除法混合运算和乘方运算的方法及应用。
一、整式的乘法与除法混合运算整式的乘法与除法混合运算是指在一个算式中既有乘法又有除法的运算。
在进行混合运算时，我们要注意乘法和除法的运算顺序，先乘后除，遵循“先算乘法，后算除法”的原则。
示例1：计算算式：2x^2x^3÷(−3x)(−5x^2x^5)×(−2x^2x^4)÷(−3x^2x^2)解：按照“先算乘法，后算除法”的原则，将乘法和除法分别进行。
首先，对乘法进行计算：2x^2x^3×(−5x^2x^5)×(−2x^2x^4)＝2×(−5)×(−2)×x^2×x^2×x^2×x^3×x^5×x^4＝40x^2x^12接下来，对除法进行计算：40x^2x^12÷(−3x)(−3x^2x^2)＝40x^2x^12÷x^2÷x÷x^2＝40x^9所以，算式2x^2x^3÷(−3x)(−5x^2x^5)×(−2x^2x^4)÷(−3x^2x^2)的结果为40x^9。
通过这个示例，我们可以看出，在整式的乘法与除法混合运算中，我们需要注意运算顺序，分别计算乘法和除法，最后得出结果。
二、整式的乘方运算整式的乘方运算是指对整式进行平方、立方或更高次幂的运算。
在整式的乘方运算中，我们需要用到一些乘方公式。
1. 平方公式：(x+x)^2=x^2+2xx+x^22. 立方公式：(x+x)^3=x^3+3x^2x+3xx^2+x^33. 乘方运算的性质：(x×x)^x=x^x×x^x示例2：计算x=4时，(2x+3x)^4的乘方运算。
初二数学整式的乘除的练习题
初二数学整式的乘除的练习题练习题一：计算下列各式的值：1. $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4$，当$x=2$时；2. $3x^3 - 4x^2 + 2x - 6$，当$x=-1$时；3. $2a^2b - 3ab^2 - ab + 4ab^2$，当$a=-3$，$b=2$时；4. $4mn + 3m^2n^2 - 2mn^3$，当$m=-2$，$n=3$时；5. $(2x+3)(x-1)$，当$x=4$时；练习题二：展开下列各式，并合并同类项：1. $(x+2)(x-3)$；2. $(3x-1)(x+4)$；3. $(2a+3b)(a-2b)$；4. $(2x+1)(3x-2) + (x-4)(2x+1)$；5. $(4-3x)(5x+1) - (3-2x)(4x-5)$；练习题三：完成下列整式的乘法或除法：1. $(2x^2 + 3x - 5) \times (4x + 2)$；2. $(3a^2 - 2a + 1) \times (2a+3)$；3. $(5x^2 - 3x + 1) \times (3x^2 + 2x - 4)$；4. $(6m^3 + 2m^2 - 4m - 3) \div (3m+1)$；5. $(9n^4 - 3n^3 + 5n^2 + 2n - 6) \div (3n-2)$；练习题四：解决下列问题：1. 小明用三个数$a+1$，$a$，$a-1$的和表示另一个数，若小明选择$a=2$，求这个数；2. 已知$x^2 - 5x + 6 = 0$，求方程的两个根；3. 某汽车从A地开往B地，AB两地间距离为120公里。
如果汽车一直以每小时60公里的速度行驶，求到达B地需要的时间；4. 三个连续的整数的和是96，求这三个整数；5. 小华用一个数的平方除以6，然后再加上10，等于3。
求这个数。
练习题五：判断下面的等式是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请举一个反例：1. $(2x + 3)(x - 1) = 2x^2 + x - 3$；2. $(a + b - c)(a - b + c) = a^2 - b^2 - c^2$；3. $(x - 2)^2 = x^2 - 4$；4. $(4 - x)^3 = x^3 - 4^3$；5. $(3x - 4)^2 = 9x^2 - 16$；以上是初二数学整式的乘除的练习题，希望能够帮助你巩固知识点，提高你的数学能力。