2020-2021无锡滨湖区无锡市太湖格致中学高三数学上期末一模试题(及答案)

（1）求数列 {an } 的通项公式．
（2）若数列{an bn} 的首项为1，公比为 q 的等比数列，求{bn}的前 n 项和 Sn ．
25．在公差不为 0 的等差数列{an} 中， a1 ， a3 ， a9 成公比为 a3 的等比数列，又数列{bn}
满足 bn
2an , n 2k 1,
(k
2n, n 2k,
2020-2021 无锡滨湖区无锡市太湖格致中学高三数学上期末一模试题(及答案)
一、选择题
1．若正实数 x ， y 满足 1 4 1，且 x y a2 3a 恒成立，则实数 a 的取值范围为
xy
4
（）
A． 1, 4
B． 1,4
C． 4,1
D． 4,1
2．等比数列
an
的前
n
项和为
Sn
，若 S3 =2，S6 =18
ab
时， cosC __________；
15．设函数
f
(x)
x2
1 ，对任意
x
2 3
,
，
f
x m
4m2
f
(
x)
f
(x 1) 4 f
(m) 恒
成立，则实数 m 的取值范围是 .
y2 16．已知变量 x, y 满足约束条件{x y 4 ，则 z 3x y 的最大值为____________．
因为直线 x y 1a 0,b 0 过点 1,1 ,所以 1 + 1 1 ,因此
ab
ab
(4a b)( 1 + 1) 5 b + 4a 5 2 b 4a 9 ,当且仅当 b 2a 3时取等号,所以选
ab
ab
ab
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不
出 a5 的值.
【详解】
当 n 1 时， S1 2a1 1 ，即 a1 2a1 1，解得 a1 1；
当 n 2 时，由 Sn 2an 1 ，得 Sn1 2an1 1，两式相减得 an 2an 2an1 ，得 an 2an1 .
所以，数列an是以1为首项，以 2 为公比的等比数列，则 a5 1 24 16 ，
6
m 2n 6
2n m 2 6 2
4
时取等号.
故选 C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个
条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的
形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
令 n 1 ，由 a1 S1 可求出 a1 的值，再令 n 2 ，由 Sn 2an 1 得出 Sn1 2an1 1 ，两
式相减可得出数列 an 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求
2 （当且仅当 4x
y ，即 4x y 时取等号）
y 4x
y 4x
y 4x
x y 4 a2 3a 4 ，解得： a 1, 4
4
本题正确选项： B 【点睛】 本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从 而求得最值.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出 S10 . S5
x y 1
17．已知数列 an 的首项 a1 2 ，且满足 anan1 2n n N* ，则 a20 =________．
18．已知锐角三角形的边长分别为 1，3， a ，则 a 的取值范围是__________．
19．已知数列an、bn 满足 bn ln an ， n N* ，其中bn是等差数列，且
所以
，
，再由正弦定理即可求出 AB. ，
即
，
故选 D. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，属于中档题.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
①根据正弦定理可得到结果；②根据 A B 或 A B , 可得到结论不正确；③可由余弦 2
∴不等式 f（x）≤5 的解集为[﹣2，4]，
故选 B．
点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的
值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每
段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
4．C
解析：C
【解析】
【详解】
3．B
解析：B 【解析】
分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．
详解：由于
f
x
3x2loxg2 x1,,
x x
0 0
，
当 x＞0 时，3+log2x≤5，即 log2x≤2=log24，解得 0＜x≤4， 当 x≤0 时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，
③ bsin B C a sin B 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 2
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， b c 6， a 2 6 ， . 求 ABC 的面积.
22．等差数列an中， a7 4, a19 2a9 . (1)求 an 的通项公式；
N*)
．
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）求数列{bn}的前 2n 项和 T2n ． 26．在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且 2a2 2c2 2b2 3ac 0 . （1）求 cos B 的值；
（2）求
sin
2B
4
的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
∴A 3
故选 C 【点睛】 此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本 题的关键．
7．C
解析：C 【解析】
∵正项等比数列 an 的公比为 3，且 aman 9a22
∴ a2 3m2 a2 3n2 a22 3mn4 9a22 ∴mn 6
∴ 1 (m n)( 2 1 ) 1 (2 m 2n 1) 1 (5 2) 3 ，当且仅当 m 2n 4
x 3y 4 0 13．已知变数 x, y 满足约束条件{x 2 y 1 0 , 目标函数 z x ay (a 0) 仅在点 (2, 2)
3x y 8 0 处取得最大值，则 a 的取值范围为_____________． 14．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边为 a,b, c ，若 c2 3absin C ，则当 b a 取最大值
∴等差数列 an 为递减数列，
又 a10 1， a9
∴ a9 0 ， a10 0 ，
∴ a9 a10 0 ，
又
S18
18a1
2
a18
0 ， S17
17 a1
2
a17
17a9
0
，
∴ Sn 0 成立的正整数 n 的最大值是 17，
故选 C． 【点睛】 本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．
2
2 3tanB 2
即 asinB b c tanB ，a
bc
，
3tanB 1
3sinB cosB
∴ 3sinAsinB sinAcosB sinB sinC sinB sin A B
∴ 3sinA cosA 1
∴
sin
A
6
1 2
，
∴ A 或 5 （舍） 66 6
等腰三角形；③若 acosB bcos A c ，则 ABC —定为直角三角形.以上结论中正确的
个数有（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
12．已知函数
f
(x)
1 2
x
，则不等式
f
a2 4
f (3a) 的解集为(
)
A． (4,1)
B． (1, 4)
C． (1, 4)
D． (0, 4)
二、填空题
A． 6
B． 4
C． 3
D． 2
7．已知正项等比数列
an
的公比为 3 ，若 aman
9a22 ，则
2 m
1 2n
的最小值等于（
）
A．1
B． 1 2
C． 3 4
D． 3 2
8．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an 1 n N* ，则 a5 等于（ ）
A． 16
【详解】
设等比数列an的公比为 q （公比显然不为 1），则
a1 1 q6
S6 1 q
S3 a1 1 q3
1 1
q6 q3
1 q3
9
，得 q
2，
1 q
a1 1 q10
因此， S10 1 q S5 a1 1 q5
1 q10 1 q5
1 q5
1 25
33 ，故选
C.
1 q
【点睛】 本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一 般在求解等比数列问题时，有如下两种方法： （1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公 式或求和公式来进行计算； （2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
故选：B. 【点睛】
本题考查利用
Sn
来求通项 an
，一般利用公式 an