浙江大学2010-2011数学分析(1)(baidu-答案)
微积分1试卷(10年)浙江大学
y (10 ) (u v) (10 ) u (10 ) x 10 u ( 9) 1 x
2 3 2 [ x x o( x 2 )] [ x x o( x 3 )] x o( x 2 ) 3 2 6 解 2：原式 lim 3 lim 2 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 3
n 1
13、设 f ( x) 在 (,) 上存在二阶导数， f (0) 0, f ( x) 0, 证明：(1) f ( x) 至多有两 个零点，至少有一个零点；(2) 若 f ( x) 的确有两个零点，则此两零点必反号（注： f ( x) 的零 点就是方程 f ( x) 0 的根）.
S (n ) S ( x) S ((n 1) ) 2n S ( x) 2(n 1) , , 即 (n 1) x n x x x 2n 2 2(n 1) 2 S ( x) 2 , lim , 令 x , 则由夹逼准则， lim 而 lim . n ( n 1) x n n x
1 0 1 1
7、
x sin t 10
8、 | u n |
2 0
3 5 1 sin 2 t cos 2 t dt 10 2 ( sin 2 t sin 4 t ) dt 10 (1 ) . 0 4 8 2 2
1 1 ~ ( ), 故级数 | un | 发散. n (1 a n ) n n n 1
《微积分 I》期末试卷(2010-2011 学年秋冬学期)
浙江大学 2010–2011 学年秋冬学期 《 微积分(I)》课程期末考试试卷
1 至 9 题及 14 题每题 6 分，10 至 13 题每题 10 分. 1、求曲线 ln( y x) cos( x y ) x 上点 x 0 处的切线方程.
2010年全国高考数学浙江卷文科全解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q =(A){|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- (C){|14}x x <<-(D){|21}x x -<<解析：{}22＜＜x x Q -=,故答案选D ，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题 （2） 已知函数 1()log (1),f x x =+若()1,f α= α=(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析：α+1=2，故α=1，选B ，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题 （3） 设i 为虚数单位，则51ii-=+ (A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i解析：选C ，本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题 （4） 某程序框图所示，若输出的S=57，则判断框内为 (A) k >4? (B) k >5? (C) k >6? (D) k >7?解析：选A ，本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简单运算，属容易题(5)设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = (A)-11(B)-8 (C)5(D)11解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选A ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式 （6）设0＜x ＜2π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故x sin 2x ＜x sinx ，结合x sin 2x 与x sinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题x+3y-3≥0，（7）若实数x,y 满足不等式组合 2x-y-3≤0，则x+y 的最大值为 x-y+1≥0，（A ）9 （B ）157 （C ）1 （D ）715解析：将最大值转化为y 轴上的截距，可知答案选A ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题（8）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（A ）3523cm 3 （B ）3203cm 3（C ）2243cm 3（D ）1603cm3 解析：选B ，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 （9）已知x 是函数f(x)=2x +11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0解析：选B ，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣=7a ,则该双曲线的渐近线方程为 （A ）x ±3y=0 （B ）3x ±y=0 （C ）x ±2y =0 （D ）2x ±y=0解析：选D ，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题非选择题部分（共100分）二，填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙大数学真题讲义答案解析
浙大数学真题讲义答案解析浙江大学数学真题讲义答案解析近年来，越来越多的学生选择考取浙江大学，尤其是数学专业。
而要成功考入浙大数学专业，掌握并掌握浙江大学数学真题讲义的答案解析是非常重要的。
本文将针对浙大数学真题讲义的答案进行解析，帮助学生更好地备考。
一、考察基础知识浙江大学数学真题讲义中，一些题目会考察学生的基础知识。
例如，有一道选择题：1. 设f(x)为定义在实数域上的实值函数，满足f(x+1)=f(x)，且对于任意实数x，都有f(x^2+2x+1)=f^2(x+1)，则f(2021)的值是多少？答案解析：首先，根据题意，我们可以知道f(x)是一个周期函数，周期为1。
我们可以尝试找到f(1)的值。
由于f(x+1)=f(x)，代入x=0，得到f(1)=f(0)。
再代入x=-1，得到f(1)=f(-1)。
由此可知f(0)=f(-1)。
二、推理和演绎能力除了基础知识的考察外，浙大数学真题讲义还会涉及到推理和演绎能力的考察。
以下是一道涉及推导和演绎的题目：2. 设函数f(x)满足f(0) = 0，f'(x) = 1/3[f(x^3)+2]，则f(1)的值是多少？答案解析：根据题意，我们需要找到函数f(x)的原函数，并利用已知条件求解f(1)。
由于f(0) = 0，f'(x) = 1/3[f(x^3)+2]，我们可以猜测f(x)的原函数是x^3。
三、综合应用能力浙大数学真题讲义既会考察基础知识，又会考察推理和演绎能力，还会涉及到综合应用能力。
以下是一道综合应用能力的题目：3. 设序列{an}满足a1 = 1，an+1 = √[an + 3(1 + an)].其中，n为自然数。
求lim(n->∞)an/√[6n]的值。
答案解析：首先，我们可以通过计算得到a2 = 4/3，a3 = 25/18，a4 = 124/81，a5 = 697/486。
观察这些值，可以发现an/√[6n]的值趋于1/3。
2010年高考数学浙江卷理科全解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理解析一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则 （A ）p Q ⊆ （B ）Q P ⊆（C ）Rp Q C ⊆（D ）RQ P C ⊆解析：{}22＜＜x x Q -=，可知B 正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位 （A ） k ＞4? （B ）k ＞5? （C ） k ＞6? （D ）k ＞7?解析：选A ，本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简 单运算，属容易题（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题 （4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故x sin 2x ＜x sinx ，结合x sin 2x 与x sinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题（5）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 （A ）2z z y -= （B ）222z x y =+（C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+解析：可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错，B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错，C 项，y z z 2≥-，故C 错，D 项正确。
浙江大学08-09学年《数学分析》(下)-毕业前试卷(baidu)
诚信考试 沉着应考 杜绝违纪浙江大学2008–2009学年 夏 学期《数学分析（下）》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___笔__入场 考试时间： 2009 年 6 月 23 日,所需时间： 120 分钟考生姓名： _____学号： 专业： ______考生承诺：“我确认本次考试是完全通过自己的努力完成的。
”考生签名：一、 计算下列各题——级数理论：（共28分） 1、（6%）将函数1()3f x x =-展开成关于)1(-x 的幂级数，并确定其收敛区间.2、 （6%）判别级数111(2)nnn a a∞-=+-∑的敛散性.3、（6%）求幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛区域及和函数。
4、（10%）将函数)20()(2π<<=x x x f 展开成Fourier 级数；并证明：.61211222π=++++ n二、 计算下列各题——多元函数微分学：（共20分）5、（6%）求曲面222y x z +=上点（1，1，3）处的切平面方程和法线方程。
6、（6%）设333),,(z y x z y x f ++=，求：).()(gradf rot gradf iv d gradf ，，7、（8%）设22().x z z z f x y y x x y ∂∂=∂∂∂，，求：，三、 计算下列各题——多元函数积分学：（共36分）8、（8%）221{()0101}.Dx y d D x y x y σ+-=≤≤≤≤⎰⎰计算二重积分，其中，，.9、（8%）计算三重积分2222||1||()x y z z x y dV ++≤+⎰⎰⎰。
10、22(-20(20)4ABCydx xdy I ABC A y B x y-==+⎰计算，其中是由点，）沿，，再 沿直线到点(22).C --，（10%）11、 （10%）333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中2221(0)x y z z ∑++=≥是上半球面的上侧.四、 证明题：（共16分）12、 （6%）证明：存在00δ>以及在00()δδ-，内具有连续导数的函数()f x ，满足：(0)0f =， 且对一切00()x δδ∈-，，2()sin((()))f x x f x =+。
2011年浙江师范大学数学分析考研试题答案
2011年浙江师范大学数学分析考研试题答案一．计算题1.0x 2dt sin2xx e -x lim2x0t→⎰=0x dt x2te -x lim3x 02→⎰=0x 2x 6e -1limx 2→=0x x122xe -lim 2x→=-612.2n ）（！≥nn ，当n ≥10时，有∆=≤≤n n3n 30n ）（！np →0，其中p=103n 3≤<1,所以0n 3nlim =+∞→！x3.y y x x 1x y y xx y x x y x x x z ln ln x x xx x x x x x x ++=∂∂∂∂=∂∂=∂∂+∙）（）（）（）（ =）（y x 1x y ln ln x x ++ ）（x x y x yy z ∂∂=∂∂1-x 1x 1-x x y x xy x +== dt t t t x d x x x dx x x osx I tx ⎰=⎰⎰+-+-=+==∙1cos cos 1)1(cos cos cos 1sin c .423cos 2223dt ⎰⎰++=1t t-dt 1t t 22321I I -=∆ 1221))1ln((21)111(211112112122c u u du u du u u dt t t I u t ++-=+-=+-++=⎰⎰=⎰=122))cos 1ln(cos 21c x x ++-=（ ()222222)cos 1ln(211ln 21112111212c x c v dv v dt t I vt ++=++=++=⎰=⎰=所以为任意常数其中c c )cos 1ln(cos 212221++-=-=x x I I I 5.π()⎰++=Lydy x dx y y I cos sin()()()()[]d xx x x x x x x x ⎰--+-+-=πππππ02222cos sin ()()()321020222cos )sin(I I I dxx x x x dx x x dx x x ++=--+-+-=⎰⎰⎰πππππππ()()()()333022322021613121)(2cos sin sin 0ππππππππππππ=-=-==∴-=----=-=⎰⎰⎰dx x x I I I dx x x x x x x x dx x x I二.简答题1.（1）M x f X x X M >>>∃>∀)(,0,0 时，有当 （2）()00*)(,,*,0,0εδδε≥-+∈∃>∀>∃A x f a a x 但2.（1）偏导数存在，则函数不一定可微（2）f(x,y)在定义域的一点()00,y x 处可微，则f （x,y ）的偏导数在该点关于x,y 的偏导数存在。
浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案
浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！ 考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim .x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2.(122)().f x y z gradf =，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x f r x r r r xf f y zgradf ∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为： 4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.C C C Cx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的 211.n Fourier n +∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n nn nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R n x f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n n x n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n n n n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n n n n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n nn n n n t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n nt t n n t x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z z z f x y f x x x y ∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：， 12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x xz y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()112 1.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 34440443444442004113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v u u v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110000cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22z z x y z z z u x x u z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xe dx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 2220000011cos 2000(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d e d d e d e d e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327S SS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.S xdydz ydzdx zdxdy a x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zx xy yz zx xy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy a a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42C xdy ydx x C A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从 (2).BD ππ-点沿直线到点，22222222222222222222022224.44(4)4(0).444410arc 42C C DA L DA LL y x P y x Q P Q x y x y y x y xDA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂∙====++∂+∂∙+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：2220224221122332222222221tan 2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y y dxdyA A A A A A A D L y x P y x Q P Q C L x y x y y x y xP Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222022202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A A Dxdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nx u x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nx x n n n n nx n N n nx f x n nx n nx n g x n n n ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin 22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211n k n n x n x kx x n nx n nx Dirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数. 2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dy f x f x f x x dx ==+++=满足，且并计算的值 22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ∙=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos()x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy++=∙+++===''+++-=-+'在两边同时对求导，且当时，则：。
2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)
2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)暨 南 大 学 考 试 试 卷一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。
共8小题，每小题2分，共16分）暨南大学《高等数学I 》试卷A 答案及评分（经济学院内招生用）1．2cos limx x tdt x→=⎰2．x →∞-= 03. 极限lim 2sin2n nn x→+∞=x(0x 为不为的常数）4. 函数20 1()2 1 121 2x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪+≤⎩的间断点是1x =5．设x y a =，则函数的n 阶导数()n y =(ln )n x a a ；6．若21()11x x f x ax x ⎧≤=⎨->⎩ 当a = 2 时，函数)f x （ 在1x =处可导. 7．已知某工厂生产某种商品，该产品的边际成本函数()3C x '=+，其固定成本为2000（元）则总成本为()20003C x x =++（元）， 8. 1sin dx x =⎰ln csc cot x x c -+二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。
共8小题，每小题2分，共16分）1.下列数列中收敛的是（ C ）(A) {}(1)n n - (B) 1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(C)212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ (D) {}(1)n -2.若1lim(21)1x x →-=，则对于任意给定的0ε>，存在（B ）当01x δ<-<时总有(21)1x ε--<成立(A) δε= (B) 2εδ=(C) 3δε= (D) 4δε=解：31232lim lim 12112xx x x x x x x →∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭ …………2分 312lim 112xx x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………………3分 32123lim 121lim 12xx xx e x e e x →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………………5分2．(1ln lim xx x →+∞+解：()(11ln ln ln 1x xxx e++=……………………………1分而((ln 1lim ln lim lim1ln ln x x x x x x xx→+∞→+∞→+∞+===…………4分于是()1ln 1lim xx x e e →+∞+==………………………………5分3.sin 0x x x-→解：sin x x x -→03sin lim12x x x x →-= ………………………………………………2分21cos lim32x x x →-= ………………………………………………4分sin 1lim33x x x →== ………………………………………5分4．确定常数 a , b ,的值, 使 02 sin 1lim.2ln(1)d xx ba x xt t→-=+⎰解0sin 0x ax x →-→时,0.b ∴=………………………………2分原式=0022sin sin lim lim ln(1)d ln(1)d x x x x ba x x a x x t t t t →→--=++⎰⎰…………………………3分002200cos cos 1limlim ln(1)2x x a x a x x x →→--===+（） ………………………4分故lim cos x a x →-（）=0，从而1a = ………………………5分四、计算题（共4小题,每题6分,共24分）1．由方程1y y xe =+确定的函数()y f x =可导，求y '及 1x y =-''。
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浙江大学20 10 -20 11 学年 秋冬 学期
《 数学分析（Ⅰ）》课程期末考试试卷（A ）
诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！
做在试卷纸上的一律无效！
请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！
考生姓名： 学号： 所属院系： _
一、 计算下列极限：
（21分，每题7分）
1. (2)(1)(2)
2
2(2)(1)
2002
(1)lim lim 1.
(2)(1)(2)(1)1
(2)(2)(1)ln(12)ln(1)ln(12)ln(1)lim ln lim lim 1.x x x x x
x x x x x x
x u u x x e x x x x x y x x x u u u u u y u u u ++-++⋅
+-+→+∞→+∞→+∞→→⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭
⎛⎫== ⎪
-+⎝⎭-++-+⎛⎫
=-=-+= ⎪⎝⎭记，令：，则：因此2lim .(2)(1)x
x x e x x →+∞⎛⎫= ⎪-
+⎝⎭
，
2. 220002
220011(2)(1)ln(1)3(1)1lim lim lim .2444(1())(())ln(1)32lim lim .arctan 224
x x x x x x x
x x x e x e xe x x x x x x x x o x x o x xe x x x x →→→→→++
+-
-+++•====++--+-+•==原式
3.
2
20
20
11000000.2sin 22
lim
lim lim 13.3
x n
x n
n n x x x x ax a n x x x n a ax anx an x +
+++
--→→→→≠>===⇒==⎰
⎰由于时，与是等价无穷小量，则：，，
二、 导数及应用：（21分，每题7分）
1.
21
22
x a y a
'==
2.
4
2sin 2cos 0) 2.
t dy
dy t dt dx dx t dt y π=
-•===-•+=切点
3. 2
2
21()()x t f x x t e dt -=-⎰求函数的极值.
2
22
2
2
2
2
2
22
4
2
2
22
2
1
1
1
21
1
1231
101
1
max 00
()().()2()24()010 1.(1)(1)40(0)20.
11
(0)(122x x x t t t x x t t x
t t t f x x t e dt x
e dt te dt
f x x e dt f x e dt x e f x x x x f f e f e dt f te dt e ----------=-=-'''==+'=⇒=-==''''''-==>=-<==-=-⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰则：
，令：，，，因此，1min )(1)0.
e f -±=，。