动态法测杨氏模量实验报告讲解

动态法测量杨氏模量一、 实验目的1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。

3. 了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。

学会用示波器观察判断样品共振的方法。

4. 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。

二、 实验原理：在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。

如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量。

根据杆的横振动方程式02244=∂∂+∂∂t y EJ S x y ρ （1） 式中ρ为杆的密度，S 为杆的截面积，⎰=s dS y J 2 称为惯量矩（取决于截面的形状），E 即为杨氏模量。

如图1所示，长度L 远远大于直径d （L >>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为02244=∂∂+∂∂t EJ yS x yρ （1） 棒的轴线沿x 方向，式中y 为棒上距左端x 处截面的y 方向位移，E 为杨氏模量，单位为Pa 或N/m 2；ρ为材料密度；S 为截面积；J 为某一截面的转动惯量，⎰⎰=s ds y J 2。

横振动方程的边界条件为：棒的两端(x =0、L )是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。

用分离变量法求解方程（1），令)()(),(t T x X t x y =，则有224411dt T d T EJ S dx X d X ∙-=ρ （2） 由于等式两边分别是两个变量x 和t 的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。

假设此常数为K 4，则可得到下列两个方程0444=-X K dx Xd （3） 0422=+T SEJ K dt Td ρ （4） 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为图1 细长棒的弯曲振动⎩⎨⎧+=+++=)cos()(sin cos )(4321ϕωt b t T Kx a Kx a shKx a chKx a x X （5） 于是可以得出)cos()sin cos (),(4321ϕω+∙+++=t b Kx a Kx a shKx a chKx a t x y （6） 式中214⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=S EJ K ρω （7）式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。

如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到1cos =∙chKL KL (8)采用数值解法可以得出本征值K 和棒长L 应满足如下关系K n L =0，4.730，7.853，10.996，14.137， (9)其中第一个根K 0L =0对应试样静止状态；第二个根记为K 1L =4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a ）所示；第三个根K 2L =7.853所对应的振动状态如图2（b ）所示，称为一次谐波。

由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L 和0.776L 。

将基频对应的K 1值代入频率公式，可得到杨氏模量为232243108870.7109978.1f Jm L J SL E --⨯=⨯=ωρ （10） 如果试样为圆棒(d <<L )，则644d J π=，所以式（10）可改写为 2436067.1f d m L E = （11）同样，对于矩形棒试样则有2339464.6f bh mL E =矩 （12）式中m 为棒的质量，f 为基频振动的固有频率，d 为圆棒直径，b 和h 分别为矩形棒的宽度和高度。

如果圆棒试样不能满足d <<L 时，式（11）应乘上一个修正系数T 1，即(a) n =1 (b) n =2图2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形12436067.1T f d mL E = （13）上式中的修正系数T 1可以根据径长比d/L 的泊松比查表1得到。

表1 径长比与修正系数的对应关系由式（10）～（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。

本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f 固和共振频率f 共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为2411Q f f +=共固 （14）上式中Q 为试样的机械品质因数。

一般Q 值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。

动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所示。

由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发射换能器（激振器）2上，使电信号变成机械振动，再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振动传给试样3，使试样受迫作横振动，机械振动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给接收换能器（拾振器）4，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器5显示。

当信号源的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很小，只有试样发生共振时，示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即为试样的共振频率。

测出共振频率，由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。

这一实验装置还可以测量不同温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以改变试样的温度。

图32．李萨如图法观测共振频率实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。

激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X 和Y 通道，示波器处于观察李萨如图形状态，从小到大调节信号发生器的频率，直到出现稳定的正椭圆时，即达到共振状态。

这是因为，拾振器和激振器的振动频率虽然相同，但是当激振器的振动频率不是被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形（正椭圆），只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调节到试样的固有频率达到共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形（正椭圆）。

3．外延法精确测量基频共振频率理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在0.224L和0.776L的两个节点处。

但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。

实验时由于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。

悬挂点偏离节点越远（距离棒的端点越近），可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自由这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。

由于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。

为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。

所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据。

外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否则不能使用。

本实验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点（即节点）所对应的共振频率即试样的基频共振频率。

4．基频共振的判断实验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。

另外，根据实验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会出现几个共振峰，以致在实验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式（11）～（13）只适用于基频共振的情况。

因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键。

对此，可以采用下述方法来判断和解决。

（1）实验前先根据试样的材质、尺寸、质量等参数通过理论公式估算出基频共振频率的数值，在估算频率附近寻找。

（2）换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号变化或消失。

（3）试样发生共振需要一个孕育过程，共振峰有一定的宽度，信号亦较强，切断信号源后信号亦会逐渐衰减。

因此，发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。

（4）试样共振时，可用一小细杆沿纵向轻碰试样的不同部位，观察共振波振幅。

波节处波的振幅不变，波腹处波的振幅减小。

波形符合图2（a）的规律即为基频共振。

（5）用听诊器沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小，并符合图2（a）的规律。

对一些细长棒状（或片状）试样，有时能直接听到波腹和波节。

（6）当输入某个频率在显示屏出现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形仍然很少变化，说明这个共振频率不属于试样。

悬丝共振时可明显看见悬丝上形成驻波。

（7）试样振动时，观察各振动波形的幅度，波幅最大的共振是基频共振；出现几个共振频率时，基频共振频率最低。

四、实验数据及数据分析处理实验数据如下：拟合为数学图像为：在X/L=0.224处用内插法求出节点 位置的基振频率f=742hz, Δf 仪=1HZ根据公式9.479E+10 N/M2 查表可得，修正系数为T=1.008经过修正的杨氏模量的公式为E=TE=9.555E+10 n/m2 不确定度的计算:忽略修正值的不确定度,则0.23%2.2e+8 n/m2E=E0±U(E)=(0.9479±0.0022)e+11 n/m2 k=2学生姓名：刘义均 学号：5502312066 =⨯=E E u E u r c )()(。