动态法测量杨氏模量教案资料
实验四 动态悬挂法测定工程材料的杨氏模量
〈三〉实验原理
根据棒的横振动方程
4 y S 2 y 0 4 2 x EJ t
求解该方程，对园棒得
l 3m 2 E 1.6067 4 f d
（1）
式中l为棒长，d为棒的直径，m为棒的质量。如果在实验 中测定了试样在不同温度时的固有频率f，即可以计算出试 样在不同温度时的杨氏模量E 在国际单位制中杨氏模量的单位为牛顿· 米-2
实验四 动态悬挂法测定工程 材料的杨氏模量
• 杨氏模量是工程材料的一个重要物理参 数。它标志着材料抵抗弹性变形的能力 按国标的测量方法是“动态悬挂法”。 其基本方法是将一根截面均匀的试样悬 挂在两只传感器下面，再来能割断自由 的条件下，使左自由振动。实验时监测 出试样振动时的固有基频，并根据试样 的几何尺寸，密度等参数，测得材料的 杨氏模量。
〈五〉讨论问题
• 1.试从分析误差，计论试样的长度l、直径d、质量 m、共振频率f分别应该采用什么规格的仪器测量？ 为什么？ 2.估算本实验的测量误差。可从以下几个方面考 虑：①仪器误差限。②悬挂点偏离节点引起的误 差。③炉温分布不均匀和温度测量不准确引起的 误差。④因操作者技术不熟练引起的误差。
பைடு நூலகம்
• 由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传 感器Ⅰ上：通过传感器Ⅰ 把电信号转变成机械 振动，再由悬线把机械振动传给式样，使试样 受迫作横振动。试样的另一端的悬线把试样的 机械振动传给传感器Ⅱ，这是机械振动又转变 成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。 • 当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时， 式样发生共振。这时示波器上的波形突然增大， 读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。 根据（1）式，即可以计算出该温度下的杨氏 模量。不断改变加热炉的温度，可以测出在不 同温度时的杨氏模量。
实验二动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量
实验二 动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数, 它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化, 对脆性材料无法进行测量。
目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量,也是国家标准指定的一种测量方法。
其基本操作是: 将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振, 一只拾振）下面。
在两端自由的条件下, 使之作自由振动。
测出试样的固有基频, 并根据试样的几何尺寸、密度等参数, 测得材料的杨氏模量。
一、实验目的1.用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
2.培养学生综合应用物理仪器的能力。
3.学习确定试样节点处共振频率的方法。
二、仪器与用具动态杨氏模量实验仪（包括试样、杨氏模量测试台、信号发生器）, 存贮示波器, 电子天平, 螺旋测微器, 游标卡尺三、实验原理对于一根水平放置的细棒, 以水平方向为 轴, 竖直方向为轴, 由棒的横振动方程:044222=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂x yS EJ t y ρ （2.1）用分离变量法解以上方程对圆形棒得: 。
2436067.1fd m l E = （2.2）上两式中, 为杨氏模量, 为棒长, 为棒的直径, 为棒的质量, 为棒的截面积, 为棒的密度。
如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率 , 即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量 。
在国际单位制中杨氏模量的单位为（ ）。
本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号, 加在传感器I （激振）上。
通过传感器I 把电信号转变成机械振动, 再由悬线把机械振动传给试样, 使试样受迫作横向振动。
试样另一端的悬线把试样的振动传给传感器II （拾振）, 这时机械振动又转变成电信号。
该信号经放大后送到示波器中显示。
当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时, 试样不发生共振, 示波器上几乎没有信号波形或波形很小。
动态法测定金属杨氏模量(精)
f共 2
成立条件：d<<L ，实际不能满足的，应加一个修正系数T1。
所以：
E
1.6067
L3m d4
f共 2T1
径长 比d/L
修正 系数T1
0.01 1.001
表1 径长比与修正系数的对应关系
0.02 1.002
0.03 1.005
0.04 1.008
0.05 1.014
0.06 1.019
0.08 1.033
E 4FL0
d 2L
动态法
4
x4
ρS EJ
2
t 2
0
2. 测量方法不同 ………..
E
1.6067
L3m d4
f共 2
静态法：光杠杆放大原理，把及其微小
的形变放大来测量。
动态法：外推法，把不在测量范围内的点 通过已测数据绘制曲线，再将曲 线按原规律延长到待求值范围， 在延长线部分求出所要的值。
三、实验原理
在本实验中，通过棒作弯曲振动求出的是共振频率，
物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概
念，二者之间的关系为： f固 f 共
1 1 4Q 2
其中Q为试样的机械品质因数.一般悬挂法测杨氏模 量时,Q值的最小值约为50,所以共振频率和固有频率相比 只偏低0.005%,故实验中都是用 f共 代替 f固。
动态法测定金属杨氏模量
一、课题引入
？杨氏模量是工程材料的重要参数，它是描述材料刚性特
征的物理量，它反应材料形变(应变)与内应力之间的关系。
杨氏模量的测量方法：静态法(丝状)和动态法(棒状)。
静态法简单原理：F E L SL
缺点：①不能很真实地反映材料内部结构的变化 ②对于脆性材料不能用拉伸法测量 ③不能测量材料在不同温度下的杨氏模量
动态法测量金属的杨氏模量
振源
接收
回主页
特殊点
基频振动
特殊点
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特殊点
特殊点
一次谐频振动
特殊点
特殊点
特殊点
特殊点
二次谐频振动
特殊点
杨氏模量的介绍：
杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的物理量，仅取 决于材料本身的物理性质。一条长度为L、截面积为S的金 属丝在力F作用下伸长ΔL。F/S叫应力，其物理意义是金属 数单位截面积所受到的力；ΔL/L叫应变，其物理意义是金属 丝单位长度所对应的伸长量。应力与应变的比叫杨氏模量。
凹槽，悬线可以挂在这些小凹槽上以防止测试棒发生左右 移动 问题二：实验中发现测试棒放置时支撑点磨损导致测试棒 不水平 改进措施:设计实验装置时可将支撑点改装成可上下调动。 问题三：电子仪器在运行过程中会产生机械振动，会对共 振频率的测量产生影响 改进措施：将信号发生器与示波器放在另一张桌子上面
0
x 4 EJ t 2
用分离变量法解方程，于是上式的通解为：
y(x,t) (B1chKx B2shKx B3 cosKx B4 sin Kx)Acos(t )
式中：
1
K 4 EJ
S
2
上式称为频率公式。频率公式对任意形状的截面、不 同边界条件的试样都成立，我们只要用特定的边界条件定 出常数K，代入特定截面的惯量矩J，就可以得到具体条件 下的计算公式了。
l 4S
2
则杨氏模量为： E 1.9978 103 l 4S 2 7.8870 102 l 3m f 2
J
J
该公式适用于各种形状的金属棒（如横截面为圆形、
方形、三角形、多边形金属棒等）对于不同的金属棒,其惯
动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量
动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
目前工程技术上常用“动态悬挂法”测量杨氏模量。
其基本方法是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下面。
在两端自由的条件下，使之作自由振动。
测出试样的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模量。
【实验目的】1. 用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
2. 学习确定试样节点处共振频率的方法。
【实验要求】1. 用外延法求出节点处的共振频率。
2. 测定室温下金属材料的杨氏模量。
【实验原理】根据棒的横振动方程044222=∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂xy S EJ t y ρ (1) 用分离变量法解该方程，对圆形棒得 2436067.1f dm l E = (2) 上两式中，E 为杨氏模量，l 为棒长，d 为棒直径，S 为棒截面积，ρ为棒的密度，m 为棒的质量，f 为棒横振动的固有频率，J 为极性矩。
由式（2）可知，测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f 及各力学参数，即可计算出它在不同温度时的杨氏模量。
测量时可采用图（1）的示意装置。
本实验只计算室温下的杨氏模量，故不用加热炉。
实验中有两个问题需加注意。
1. 式（2）给出杨氏模量E 的计算公式中的f 是棒横振动的基频，在实验中要加以判断。
2. 从图1中看到测试棒横振动的激发与拾振是通过悬丝与换能器连接的。
若连接点不在棒横振动的波节上，则横振动的方程不满足。
若连接点就在波节上，则不能激发与拾取试样的振动。
因此为测定固有频率，一般可采用外延测量法来计算固有频率。
具体做法如下：按照方程（1）的解，测试棒时应对基频的横振动的两个波节分别在0.224 l 与0.776 l 。
见图2。
(a) 先将激振与拾振的两悬丝分别连接在棒0.1l 与0.9 l 上，寻找其共振频率f 1。
(b) 将两悬丝逐渐从每间隔0.02 l 间距向里推进，分别寻找出对应的频率f 2、f 3……。
动态法测量金属的杨氏模量
公式中l 为金属杆旳长度；m 为金属杆旳质量；d 为金属棒旳直径，
都较轻易测量，f 是金属杆旳固有频率。（怎样测量 f 成为试验旳关键）
注：f 不是金属棒旳共振频率，而是金属棒旳固有频率。
固有频率与共振频率旳区别和联络：
固有频率是金属棒本身固有旳属性，一旦金属棒做好之后，其固有 频率也同步拟定。不会因外部条件变化而轻易变化。
振动旳固有频率取决于它旳几何形状、尺寸、质量以及它旳杨氏模量。
E 7.8870102 l3m f 2 J
假如试验中测出一定温度下（如室温）测试棒旳固有频率、尺寸、 质量、并懂得其几何形状，就能够计算测试棒在此温度时旳杨氏模量。
公式中Ｊ表达测试棒旳惯量距,主要与金属杆旳几何形状有关, 其惯
量距公式为：
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课题引入
• 杨氏模量，它是沿纵向旳弹性模量，也是材料力学中旳名词。 1823年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到旳成果而命名。根据胡克定律，在物体旳弹 性程度内，应力与应变成正比，比值被称为材料旳杨氏模量， 它是表征材料性质旳一种物理量，仅取决于材料本身旳物理性 质。杨氏模量旳大小标志了材料旳刚性，杨氏模量越大，越不 轻易发生形变。
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固有频率不至一种，而是有多种。分别相应着不同旳振 动形式，分别为基频固有频率（一般所说旳固有频率），1阶 固有频率，2阶固有频率，... ...
本试验采用基频振动形式，因为该振动形式相对简朴。
特殊点
基频振动形式
特殊点
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试验原理
动态法测量杨氏模量旳原理：在一定条件下（l >> d）,试样
f共2 f固2 2
动态法测杨氏模量
动态法测杨氏模量班级：姓名：学号：一．实验原理：实验原理1．杆的弯曲振动基本方程：对一长杆作微小横振动时可建立如下方程：（1）式中E为杨氏模量。
I为转动惯量，ρ为密度。
对二端自由的杆，其边界条件为：：；用分离变数的试探解：以及上述边界条件带入（1）得超越方程ChHCosH=1 （2）解这个超越方程。
经数值计算得到前n个H的值是，， n>2.因振动频率若取基频可推导对圆棒于是有：（3）同理对b为宽度，h为厚度的矩形棒有：（4）式中：尺寸用m，质量用Kg，频率用Hz为单位。
计算出杨氏模量E的单位为N/m22．理论推导表明，杆的横振动节点与振动级次有关，Hn值第1，3，5……数值对应于对称形振动，第2，4，6……对应于反对称形振动。
最低级次的对称振动波形如图3所示。
图3 二端自由杆基频弯曲振动波形表1 振动级次――－节点位置―――频率比表中L为杆的长度由表1可见，基频振动的理论节点位置为0.224L（另一端为0.776L）。
理论上吊扎点应在节点，但节点处试样激发接收均困难。
为此可在试样节点和端点之间选不同点吊扎，用外推法找出节点的共振频率。
不作修正此项系统误差一般不大于0.2％。
推荐采用端点激发接收方式非常有利于室温及高温下的测定。
3．须注意（3）式是在d<<1时推出，否则要作修正，E（修正）=KE（未修正），当材料泊松比为0.25时，K值如下表：径长比d/L 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10修正系数K 1.002 1.008 1.019 1.033 1.051二．实验目的1.测量材料在常温下的杨氏模量；2.测量材料在不同温度下的杨氏模量；三．实验所用仪器函数信号发生器，换能器，温控器，示波器，加热炉。
四．实验数据记录及数据处理常温下共振频率试棒参数：f 1 f2 f3 f/Hz764 765 764 764E=215GPa高温（变温条件）下杨氏模量的测量 试棒参数：t/C 50 100 150 200 250 300 f/Hz762755 747 740 734 726 E/GPa 214210206 202198194t-E 图18018519019520020521021522050100150200250300系列1五．思考题对于相同材料的，长度和截面积都相等的圆截面试样和方截面试样，哪一种共振频率更高？答：方截面试样的共振频率更高。
实验四动态杨氏模量测量
实验四动态杨氏模量测量实验四：动态杨氏模量测量一、实验目的1.学习和掌握动态杨氏模量测量的原理和方法。
2.通过实验，观察和分析金属材料的动态杨氏模量随频率和温度的变化规律。
3.培养实验操作技能和数据分析能力。
二、实验原理动态杨氏模量测量是一种研究材料力学性能的重要方法。
它通过在材料上施加一定频率和振幅的振动，测量材料的应变，从而计算出动态杨氏模量。
动态杨氏模量（E）与应变（Ɛ）和振动频率（f）之间的关系可以用以下公式表示：E = (f² × d²)/(2π² × f² × d²) × (1/Y)其中，d是振幅，Y是材料的密度。
三、实验步骤1.准备实验器材：动态杨氏模量测试仪、金属材料样品、加热炉、温度计、天平、振动器等。
2.将金属材料样品放置在加热炉中，加热至指定温度。
3.将加热后的样品取出，迅速放入动态杨氏模量测试仪中。
4.设置振动器的频率，启动测试仪，记录样品的应变数据。
5.重复以上步骤，在不同温度下进行测量。
四、实验数据分析1.将实验得到的应变数据与振动频率数据进行拟合，得到动态杨氏模量的值。
2.分析动态杨氏模量随温度和频率的变化规律。
一般来说，随着温度的升高，动态杨氏模量会降低；随着频率的增加，动态杨氏模量也会降低。
3.将不同温度下的动态杨氏模量数据进行线性拟合，得到材料的热膨胀系数。
4.根据热膨胀系数可以进一步分析材料的热性能和稳定性。
五、实验结论通过本次实验，我们成功地掌握了动态杨氏模量测量的原理和方法，并观察了金属材料的动态杨氏模量随频率和温度的变化规律。
实验结果表明，随着温度的升高和频率的增加，金属材料的动态杨氏模量均有所降低。
这些结果对于进一步研究材料的力学性能和热性能具有重要意义。
同时，本次实验也锻炼了我们的实验操作技能和数据分析能力。
六、实验讨论与建议1.在实验过程中，应尽量保持温度的稳定，避免温度波动对实验结果的影响。
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实验四 动态法测定材料杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。
动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。
本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。
一、实验目的1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。
3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。
二、实验原理长度L 远远大于直径d （L>>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）： 用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y =代入方程（1）得： 2244d d 1d d 1t TT YJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为4K ，于是得：0d d 444=-X K xX0d d 422=+T s YJK tT ρ 这两个线形常微分方程的通解分别为：Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=) cos()(ϕω+=t A t T于是解振动方程式得通解为：) cos()sin cos (),(4321ϕω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y其中式（2）称为频率公式：214⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s YJ K ρω (2）该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。
我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。
如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：033=∂∂-=∂∂-=xy YJ x M F弯矩 ： 022=∂∂=x yYJ M 即0x d Xd 0x 33==0x d Xd lx 33==0x d Xd 0x 22==0x d Xd lx 22==将通解代入边界条件，得到1cos =KLchKL ，用数值解法求得本征值K 和棒长L 应满足：ΛΛ420.20 ,279.17 ,137.14 ,9956.10 ,8532.7 ,7300.4 ,0=KL ,由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。
将第二个根作为第一个根，记作L K 1。
一般将7300.4 1=L K 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。
在上述L K n 值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”, 第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。
图1给出了当4 ,3 ,2 ,1n =时的振动波形。
由1n =图可以看出，试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为L 224.0和L 776.0处。
理论上悬挂点(支撑点)应取在节点处，但由于悬挂(支撑点)在节点处试样棒难于被激振和拾振，为此，可以在节点两旁选不同点对称悬挂(支撑)，用外推法找出节点处的共振频率。
将第一本征值L7300.4K =代入（2）式，得到自由振动的固有频率（即基频）： ()21447300.4⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s l YJ ρω 解出杨氏模量：243109978.1ωρJsL Y -⨯=232108870.7f Jm L ⨯⨯=-对于圆棒： ⎰==22)4d (s s d y J 式中d 为圆棒的直径。
得到杨氏模量的表达式为： 2436067.1f dm L Y ⨯= （3）上式即为（1）式的解。
式中L 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。
如果在实验中测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨氏模量Y 。
在国际单位制中杨氏模量的单位为（2-Nm）。
本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。
为了测出该频率，实验时可采用如图2所示装置。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I（激振）上。
通过传感器I把电信号转变成机械振动，再由悬线(支撑刀)把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。
试样另一端的悬线(支撑刀)把试样的振动传给传感器II（拾振），这时机械振动又转变成电信号。
该信号经放大后送到示波器中显示。
当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。
当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。
这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。
根据（3）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。
图3动态杨氏模量测试台三、实验仪器1．FB2729A 型动态杨氏模量实验仪 1套； 2．通用双踪示波器1台；3．天平、游标卡尺、螺旋测微计等。
四、实验内容先按图4把实验仪器连接好，通电预热10分钟，再按下述步骤进行实验。
1．测定试样的长度L 、直径d 和质量m ，每个物理量各测5次。
2．在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量参考值分别为：211102-⨯Nm 和211102.1-⨯Nm ，实验前可先按公式（1）估算出共振频率f ，以便于寻找共振点。
3．“悬挂法”：把试样棒用细棉线挂在测试台上，悬挂点的位置放在L 9635.0L 0365.0和处测量一组数据,再分别挂在L 901.0L 099.0和,L 8385.0L 1615.0和,L 776.0L 224.0和，L 7135.0L 2865.0和, L 651.0L 349.0和共测量6组数据,一一记录在表1中。
(具体位置金属棒上已用刻度线标注)。
4．把信号发生器的输出与测试台的悬挂法-输入相连，测试台的悬挂法-输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。
5．把示波器触发信号选择开关设为“内置”， Y 轴增益置于最小档（或左边第二档），Y 轴极性置于“AC ”。
6．鉴频与测量：先将两悬线挂在离试样端部mm 30处，待试样稳定后，调节信号发生器频率旋钮，寻找试样棒的共振频率1f 。
当示波器荧光屏上出现共振现象时，即正弦波幅度突然变大时，再微调信号发生器频率旋钮，使波形振辐达到极大值。
鉴频就是对试样共振模式及振动级次的鉴别，所以它是准确测量操作中重要的一步。
在进行频率扫描时，我们发现试棒不只在一个频率处发生共振现象，而我们使用的公式（3）只适用于基频共振的情况。
所以我们要确定试样是在基频频率下产生的共振。
我们用阻尼法来鉴别：如果用手沿试样棒的长度方向轻触棒的不同部位，同时观察示波器，如果手指触到的是波节处，则示波器上的波形幅度不变，如果手指触到的是波腹处，则示波器上的波形幅度变小，当发现试棒上仅有两个波节时，那么这时的共振就是基频频率下的共振，记下这一频率f 1。
7．因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器的显示屏上出现最大的信号。
8．记录室温下的共振频率f ，求出材料的杨氏模量Y 。
9．本实验用铜棒和钢棒各做一次。
10. “支撑式”：把试样棒从悬挂线上取下，轻放于测试台支撑式的激、拾振器的橡胶支撑刀上。
把信号发生器的输出与测试台的支撑式-输入相连，测试台的支撑式-输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。
11. 其余同“悬挂法”步骤。
五、数据与结果将所测各物理量的数值代入公式（3），计算出该试样棒的杨氏模量Y 。
再利用不确定度传递估算相对不确定度Y E 和不确定度Y E Y Y ⨯=∆写出实验结果表达式：Y Y Y ∆±=1．估算金属棒的长度L 、直径d 、和质量m 的测量值及其不确定度。
)mm (L L ∆±；mm)(d d ∆±；)g (m m ∆±2．由公式（3）分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量 )(2-⋅∆±m N Y Y （已知信号发生器的频率不确定度为： 当Hz 1.0f ,Hz 1000f =∆<，当Hz 1f ,Hz 1000f =∆≥2222)2()()4()3(ffm m d d L L Y Y ∆+∆+∆+∆=∆ 附：铜试样棒的基频共振频率：Hz 780~680杨氏模量为：)( 102.1~1211-⨯≈Nm Y 铜不锈钢试样棒的基频共振频率： Hz 1100~1000杨氏模量为：)( 1010.2~95.1211-⨯≈Nm Y 钢六、注意事项1．试样棒不可随处乱放，保持清洁，拿放时应特别小心。
2．悬挂试样棒后，应移动悬挂横杆上的振，拾振器到既定位置，使二根悬线垂直试样棒。
3．更换试样棒要细心，避免损坏激振，拾振传感器。
4．实验时，试样棒需稳定之后可以进行测量。
【思考题】1． 试讨论：试样的长度L 、直径d 、质量m 、共振频率f 分别应该采用什么规格的仪器测量？为什么？2． 估算本实验的测量误差。
提示：可从以下几个方面考虑： （1）仪器误差限；（2）悬挂/支撑点偏离节点引起的误差。
七、数据表格表1 悬挂/支撑点位置与共振频率数据记录(以mm 160L =计算悬挂/支撑点)表2被测试样的参数与共振基频记录表3 几种固体材料的杨氏模量的参考值【附录】需要说明的二个问题：1． 当测试样品不满足L d <<时，公式（3）需要乘以一个修正系数1T ，有关内容可参考金属材料的国家标准（912005 T /GB -中说明）。
2． 物体的固有频率固f 和共振频率共f 是两个不同的概念，他们之间的关系是：2411Q f f +=共固 式中，Q 为试样的机械品质因素。
对于悬挂法测量，一般Q 的最小值为50，把该值代入公式，共共共固f f Q f f 00005.15041141122≈⨯+=+=，可见，共振频率与固有频率相比只相差十万分之五（%005.0）。
本实验中只能测量出试样的共振频率，由于相差很小，所以用共振频率代替固有频率是合理的。