江苏省东台市创新学校2020学年高二数学12月月考试题 文(无答案)
江苏省盐城市东台创新学校2020年高三数学文期末试卷含解析
江苏省盐城市东台创新学校2020年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A．66条B．72条C．74条D．78条参考答案：B考点：直线与圆的位置关系；计数原理的应用．专题：数形结合．分析：先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有3个，依圆的对称性知，圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有12个点任取2点确定一条直线，利用计数原理求出直线的总数，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax+by﹣1=0不经过原点，如图所示上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线利用总数减去12，再减去6即可得到满足题意直线的条数．解答：解：当x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有（1，7）、（5，5）、（7，1），根据题意画出图形，如图所示：根据圆的对称性得到圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C122=66条，过每一点的切线共有12条，上述直线中经过原点的有6条，如图所示，则满足题意的直线共有66+12﹣6=72条．故选B点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及计数原理的运用．根据对称性找出满足题意的圆上的整数点的个数是解本题的关键．2. 过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为A． B．- C． D．参考答案：D3. 设集合M={y|y=2x，x<1），N=（x|y=ln（1--x），y∈R），则M N=A．（0，1）B．（一∞，1） C（O，2）D．（一∞，2）参考答案：A4. 已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件参考答案：5.定义行列式运算：将函数向左平移m个单位（m>0），所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B． C．D．参考答案：答案：D6. 若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）A.0B.4C.5D.6参考答案：B7. 设变量x，y满足则x＋2y的最大值和最小值分别为() A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1参考答案：B8. 设z=+2i，则|z|=（）A．0 B．C．1D．参考答案：C解答：∵，∴，∴选C9. 的展开式的常数项是（）A．－3 B．－2 C．2 D．3参考答案：D10. 点A，B，C，D在同一球面上，，若四面体ABCD体积最大值为3，则这个球的表面积为A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π参考答案：D由体积最大得高为3，得二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设实数的取值范围是参考答案：12. f（x）=，则不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0的解集是．参考答案：{x|﹣≤x≤}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据分段函数f（x），讨论x≥2与x＜2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0的解集情况，求出对应的解集即可．【解答】解：∵f（x）=，∴当x≥2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0化为x2﹣1+x﹣2≤0，即x2+x﹣3≤0，解得﹣≤x≤，又＜2，此时不等式的解不满足条件；当x＜2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0化为x2+1+x﹣2≤0，即x2+x﹣1≤0，解得﹣≤x≤，又＜2，∴此时不等式的解满足条件；综上，原不等式的解集是{x|﹣≤x≤}．故答案为：{x|﹣≤x≤}．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．13. 数列lg1000，lg（1000?cos60°），lg（1000?cos260°），…lg（1000?cos n﹣160°），…的前项和为最大？参考答案：10【考点】数列与函数的综合．【分析】根据题设可知数列的通项a n=3+（n﹣1）lg，且数列单调递减，进而根据等差中项的性质可求得当n≤10时，a n＜0，可知数列的前10项均为正，从第11项开始为负，故可知数列前10项的和最大．【解答】解：依题意知．数列的通项a n=3+（n﹣1）lg，数列单调递减，公差d＜0．因为a n=3+（n﹣1）lg＜0时，n≤10，所以得当n≤10时，a n＜0，故可知数列的前10项均为正，从第11项开始为负，故可知数列前10项的和最大．故答案为：10．【点评】本题主要考查了等差数列的性质、数列与函数的综合．解题的关键是利用等差数列通项的性质，从题设隐含的信息中求得数列正数和负数的分界点．14. 如果双曲线的渐近线与撒物线相切，则双曲线的离心率为__________.参考答案：3略15.参考答案：略16. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取名学生．参考答案：40【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取名．故答案为：40【点评】本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．17. 学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B【点评】本题考查了合情推理的问题，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省盐城市东台镇中学2020年高二数学理测试题含解析
江苏省盐城市东台镇中学2020年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数的极小值为a，则下列判断正确的是A. B.C. D.参考答案：D【分析】对函数求导，利用求得极值点，再检验是否为极小值点，从而求得极小值的范围. 【详解】令，得，检验：当时，，当时，，所以的极小值点为，所以的极小值为，又．∵，∴，∴．选D.【点睛】本题考查利用导数判断单调性和极值的关系，属于中档题.2. 在一次射击比赛中，“某人连续射击了8次，只有4枪中靶，且其中3枪是连续命中的”，则这一事件发生的概率是A. B. C. D.参考答案：A3. 有5件产品．其中有3件一级品和2件二级品．从中任取两件，则以0.7为概率的是（）A．至多有1件一级品 B．恰有l件一级品 C．至少有1件一级品 D．都不是一级品参考答案：A4. 若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）参考答案：B【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．5. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则A．B．C．D．参考答案：C6. 曲线y＝x3－2在点(1，－)处切线的倾斜角为()A．30° B．45° C．135° D．150°参考答案：B7. 已知函数f（x）=|x﹣2|+1，g（x）=kx．若函数y=f（x）﹣g（x）有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．（2，+∞）参考答案：B【考点】54：根的存在性及根的个数判断；52：函数零点的判定定理．【分析】由题意整除两个函数的图象，由临界值求实数k的取值范围．【解答】解：由题意，作图如图，函数y=f（x）﹣g（x）有两个零点，就是方程f（x）=g（x ）有两个不等实数根可化为函数f （x ）=|x ﹣2|+1与g （x ）=kx 的图象有两个不同的交点， g （x ）=kx 表示过原点的直线，斜率为k ， 如图，当过点（2，1）时，k=，有一个交点， 当平行时，即k=1是，有一个交点， 结合图象可得，＜k ＜1； 故选：B ．8. 已知条件p ：k=；条件q ：直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相切，可得：=1，解得k 即可判断出结论．【解答】解：由直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相切，可得： =1，解得k=．∴p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．9. f(x)的定义域为R ，f(－1)=2，对任意x ∈R ，f′(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为( ) A ．(－1，1) B ．(－∞，－1) C ．(－1，+∞) D ．(－∞，+∞)参考答案：C 10. 已知中，，，，那么角等于（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案： C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知i 是虚数单位，计算。
2020届江苏省盐城市东台创新高级中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2020届江苏省盐城市东台创新高级中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【详解】1,2A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(1,1)B =-，A∩B=1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.2．复数112i+（i 是虚数单位）的实部为____． 【答案】15【解析】先利用复数的乘除运算化简复数，再利用复数的概念求解. 【详解】因为复数()()1121212121255i i i i i -==-++-， 所以其的实部为15， 故答案为：15【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为____． 【答案】100.【解析】试题分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值． 详解：分层抽样的抽取比例为701=350050， 总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×150=100．故答案为100．点睛：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．分层抽样适用于总体内的个体间有明显差异，将特性相同的分为一类.4．执行如图所示的流程图，则输出S的值为____．【答案】19.【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得k=2，S=0满足条件k＜10，执行循环体，S=2，k=3满足条件k＜10，执行循环体，S=5，k=5满足条件k＜10，执行循环体，S=10，k=9满足条件k＜10，执行循环体，S=19，k=17此时，不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为19．故答案为19．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.5．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为__________． 【答案】【解析】利用列举法：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，共4种结果，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，有（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种结果，故甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为，故答案为． 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ. 其中正确命题的序号是_______． 【答案】①③ 【解析】【详解】已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，对于①，若//αβ，得到直线l ⊥平面β，所以l m ⊥，故①正确；对于②，若αβ⊥直线l 在β内或者l β//，则l 与m 的位置关系不确定；对于③，若//l m ，则直线m α⊥，由面面垂直的性质定理可得αβ⊥，故③正确；对于④，若l m ⊥，则α与β可能相交，故④错误，故答案为①③. 【点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定. 7．函数24y x =-的值域是 _____.【答案】[0,2]【解析】先确定偶次根式被开方数范围，再确定函数值域. 【详解】2404[0,2]x y ≤-=≤∴故答案为：[0,2] 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．函数()ln f x x x =的单调减区间是______． 【答案】1(0,)e【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写成区间形式，可得到函数ln y x x =的单调减区间. 详解：函数的定义域为0x >，'ln 1y x =+，令ln 10x +<，得10,x e<<∴函数ln y x x =的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.9．用半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________cm【解析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可. 【详解】由题得, 半圆形纸片弧长为2cm π,设圆锥的底面半径为r ,则221r r cm ππ=⇒=,=.【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.10．已知(,2),(2,1),,a x b a b =-=的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是_________． 【答案】()(),44,1-∞--【解析】根据向量夹角公式列不等式，由此求得x 的取值范围. 【详解】设两个向量的夹角为θ，依题意可知θ为钝角， 则cos 0122x θ<⎧⎨⨯≠-⨯⎩，即cos 04x θ<⎧⎨≠-⎩，由cos 04a b a bx θ⋅==<⋅+得1x <，由于4x ≠-，所以实数x 的取值范围是()(),44,1-∞--.故答案为：()(),44,1-∞--【点睛】本小题主要考查根据向量夹角求参数，属于中档题.11．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，且a ，2b，c 成等差数，则b 的最大值为_________． 【答案】2【解析】利用a ，2b，c 成等差数列，可得b a c =+，可得2226a b c ++=，结合2222()()a c a c ++，可得b 的最大值．【详解】 解：a ，2b，c 成等差数列， b a c ∴=+，， 2226a b c ∴++=， 2226a c b ∴+=-，2222()()a c a c ++， 222(6)b b ∴-， 24b ∴，2b ∴，b ∴的最大值为2．故答案为：2． 【点睛】本题考查长方体的结构特征，考查等差数列的性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦____． 【答案】9-或19-. 【解析】试题分析：设这两条直线的斜率分别为k 和k -，则它们的方程分别为10kx y k --+=和10kx y k +--==，即231030k k -+=，解得13k =或3，所以219k -=-或9-；【考点】1．直线与圆的位置关系；2．点到直线的距离公式； 13．若数列{}n a 满足()1122n n na a a n -++≥≥，则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为____． 【答案】(,4]-∞【解析】由等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，得到4(1)n b n d =+-，再根据数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则11211n n n b b b n n n -++≥-+恒成立，即4(2)44(1)211n d nd n dn n n+-++-+≥-+恒成立，再化简转化为()()222410d n n ⎡⎤---≥⎣⎦恒成立求解.【详解】因为等差数列{}n b 的公差为d ，14b =， 所以1(1)4(1)n b b n d n d =+-=+-，因为数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，所以11211n n n b b bn n n -++≥-+恒成立， 即4(2)44(1)211n d nd n dn n n+-++-+≥-+，恒成立，所以444211d d d d d d n n n ---⎛⎫+++≥+ ⎪-+⎝⎭，恒成立， 即444211d d d n n n ---⎛⎫+≥ ⎪-+⎝⎭，恒成立， 因为2n ≥，所以()()110n n -+>， 两边同乘以()()110n n n -+>，得()()()()()()()41412411d n n d n n d n n -++--≥--+，即()()222410d n n ⎡⎤---≥⎣⎦，恒成立，所以()240d -≥， 解得4d ≤，所以d 的取值范围为(,4]-∞ 故答案为：(,4]-∞ 【点睛】本题主要考查数列新定义，数列与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间()1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是____．【答案】()11,3,795⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据已知条件判断出()f x 的周期，由此画出()f x 的图象，将()g x 在区间()1,9-内恰有三个不同零点，转化为(),log(1)af x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，结合0a >或01a <<进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】依题意，()f x 为R 上的偶函数，且()()22f x f x -=+， 所以()()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=-+=-=， 所以()f x 是周期为4的周期函数.由于[]0,2x ∈时，()22xf x =-，由此画出()f x 在区间()1,9-上的图象如下图所示.令()()log (1)0a g x f x x =-+=，得()log (1)a f x x =+.故()g x 在区间()1,9-内恰有三个不同零点，即(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点.当1a >时，画出(),log (1)a f x y x =+图象如下图所示，由图可知，要使(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，则()()log 21237log 612a aa ⎧+<⎪⇒<<⎨+>⎪⎩.当01a <<时，画出(),log (1)a f x y x =+图象如下图所示，由图可知，要使(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，则()()log 41111log 81195a a a ⎧+>-⎪⇒<<⎨+<-⎪⎩.综上所述，实数a 的取值范围是()11,3,795⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：()11,3,795⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性和零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.二、解答题15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . (1) 若2cos 6sin A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值； (2) 若1cos ,33A b c ==，求sin C 的值． 【答案】（1）60； （2）13.【解析】分析：（1）利用二倍角公式求得cos 23A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，进而利用诱导公式求得sin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭A π的值；（2）先利用余弦定理求得a 和c 的关系，进而根据cos A 求得sin A ，最后利用正弦定理求得sin C 的值.详解：（1）若2cos 6sin A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31sin cos 2cos 22A A A ⋅+⋅=， 变形可得33sin cos 2A A ⋅=， 即sin 3cos A A =，则tan 3A =， 则,603A A π=∴=.(2)222222101cos 263b c a c a A bc c +--===,228c a ∴=,22a c ∴=,由正弦定理可得22222sin sin 1cos 3C A A ==-=, 1sin 3C ∴=. 点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及两角和与差的正弦公式，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．在如图多面体中，DF ⊥底面BEFC ，////AD EF BC ，12BE AD EF BC ===，G 是BC 的中点．（1）//AB 平面DEG ； （2）EG ⊥平面BDF ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）利用平行四边形的判定定理即可得到四边形ADGB 是平行四边形，利用其性质即可得到//AB DG ，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用平行四边形的判定定理可得四边形AEFD 是平行四边形，得到//DF AE ，由AE ⊥底面BEFC ，利用线面垂直的性质可得DF ⊥底面BEFC ．得到DF EG ⊥．再证明四边形BEFG 是菱形，即可得到EG BF ⊥，利用线面垂直的判定即可得到结论． 【详解】证明：（1）////AD EF BC ，12AD EF BC ==，G 是BC 的中点． //AD BG ∴，=AD BG∴四边形ADGB 是平行四边形，//AB DG ∴，AB ⊂/平面DEG ，DG ⊂平面DEG ．//AB ∴平面DEG ；（2）//AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，//DF AE ∴， AE底面BEFC ，DF ⊥∴底面BEFC ．DF EG ∴⊥．连接FG ，12EF BC =，G 是BC 的中点，//EF BC ， ∴四边形BEFG 是平行四边形，又BE EF =，∴四边形BEFG 是菱形，BF EG ∴⊥．DFBF F =，DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDFEG ∴⊥平面BDF ．【点睛】熟练掌握平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定与性质定理、线面垂直的判定与性质定理、菱形的判定与性质定理是解题的关键． 17．已知向量(sin ,cos ),(cos ,cos )(0)m x x n x x ωωωωω==>，设函数()f x m n =⋅，且()f x 的最小正周期为π． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间上3[0,]4π上的取值范围．【答案】（1）3[,],88k k k Z ππππ-++∈；（2）11[,]222--． 【解析】（1）利用向量数量积的坐标运算、降次公式和辅助角公式化简()f x ，根据()f x 的最小正周期求得ω，进而利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（2）利用三角函数图象变换求得()g x 的解析式，利用三角函数值域的求法，求得函数()y g x =在区间上3[0,]4π上的取值范围. 【详解】 （1）()211cos 2sin cos cos sin 222x f x =m n x x x x ωωωωω+⋅=⋅+=+12242x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=， ∵222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈∴3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间是3[,],88k k k Z ππππ-++∈，（2）1()sin(2)242f x x π=++，纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到11())242f x x π=++，向下平移1个单位，得到1())242g x x π=+-，3[0,],[,]444x x ππππ∈∴+∈sin()[0,1]4x π∴+∈， 21121sin()[,]242222x π∴+-∈--，()g x 的取值范围为121[,]222--． 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间、值域的求法，属于中档题. 18．如图，扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB 为23π，半径OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段DB 组成，其中D 在线段OB 上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，观光道路最长？ 【答案】（1）3cos sin ,0,3CD πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】（1）利用θ表示CD 的长度的关键是在COD ∆中正确利用正弦定理； （2）首先将道路长度()L θ表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得6πθ=时，观光道路最长.【详解】(1)在△OCD 中，由正弦定理，得＝＝＝， 所以CD ＝sin＝cos θ＋sin θ，OD ＝sin θ，因为OD <OB ，即sin θ<1，所以sin θ<，所以0<θ<，所以CD ＝cos θ＋sin θ，θ的取值范围为.(2)设观光道路长度为L (θ)， 则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长 ＝1－sin θ＋cos θ＋sin θ＋θ＝cos θ－sin θ＋θ＋1，θ∈，L ′(θ)＝－sin θ－cos θ＋1，由L ′(θ)＝0，得sin ＝，又θ∈，所以θ＝，列表： θL ′(θ) ＋ 0 －L (θ) 增函数极大值减函数所以当θ＝时，L (θ)达到最大值，即当θ＝时，观光道路最长． 【点睛】该题考查的是有关已知三角函数模型的应用问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦定理，函数的性质，辅助角公式，三角函数的最值问题，正确应用公式是解题的关键.19．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）3椭圆C 与y 轴交于,A B两点，且2AB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）点P 横坐标08(,2]5x ∈，EF 的最大值2．【解析】【详解】（1）由题意可得，1b =，3c e a ==， 得22134a a -=， 解得24a =， 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为，同理得直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-，令0y =， 则2220200164(4)(1)y x x x -+=-， 因为220014x y +=，所以2020114y x -=-， 所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈． 设交点坐标12(,0),(,0)x x ，则120825x x x -=-0825x <≤）， 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2． 【考点】直线与圆位置关系，两直线交点20．已知非零数列{}n a 满足11a =，112N n n n n a a a a n *++=-∈（）. （1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若关于n 的不等式222121113111log (1)log (1)log (1)nm n n n a a a ++⋅⋅⋅+<-++++++有解，求整数m 的最小值；（3）在数列11(1)n n a ⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中，是否存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的,r s ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）存在，4,3s r ==或6,5s r ==.【解析】（1）由条件可得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由等比数列的定义即可得证；（2）由等比数列的通项公式求得，112n na +=，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；（3）假设存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得s ，r 的方程，解方程可得所求值. 【详解】解：（1）证明：由112n n n n a a a a ++=-，得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）可得，112n na +=，则221log 1log 2n n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=+ 故111312m n n n n++⋯+<-+++， 设111()12f n n n n n=++⋯++++， 则1111111(1)()23212212f n f n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=++⋯++-++⋯+ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭11111021*******n n n n n =+-=->+++++， 所以()f n 单调递增，则min 1()(1)2f n f ==，于是132m <-，即 72m >， 故整数m 的最小值为4；（3）由上面得，121n n a =-， 设11(1)2(1)n n n n nb a =+--=--， 要使得1,,r s b b b 成等差数列，即12s r b b b +=， 即132(1)22(1)ssr r ++--=--，得122(1)2()31sr s r +=-----，1,230(1)(1)s r s r ≥+∴----≥， 1(1)1(1)1s r s r =+⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩， 故s 为偶数，r 为奇数，36,4,3s s r ≤<∴==或6,5s r ==.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性求得最值，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式的性质，是一道难度较大的题目.。
江苏省盐城市东台实验中学高二数学理月考试卷含解析
江苏省盐城市东台实验中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是定义在上的偶函数，且，若在上单调递减，则在上是（）A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数参考答案：D略2. 函数的图象是（）参考答案：D略3. 设是向量，命题“若，则”的逆否命题是【】.A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则参考答案：C4. 化简的结果为（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】利用两角差的正弦公式可化为.【详解】原式.选D.【点睛】本题主要考查角的变换及两角差的正弦公式，属基础题．5. 与圆及圆都外切的动圆的圆心在（）A、一个圆上B、一个椭圆上C、双曲线的一支上D、一条抛物线上参考答案：C6. 若正实数满足，则+的最小值是（A）4 （B）6 （C）8 （D）9参考答案：D略7. 平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．参考答案： B 略8. 已知符号函数，那么的大致图象是（ ）参考答案：D9. 已知数列{an}，{bn}满足，且an ，是函数的两个零点，则等于( ) A ．24B ．32C ．48D ．64参考答案：D 略10. 直线l 的方程为，则直线l 的倾斜角为（ ）A. B. C. D.参考答案：C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若i 是虚数单位，则复数的虚部为________.参考答案：【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数为的形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为，所以复数的虚部为，所以本题答案为.【点睛】本题考查复数的除法运算、实部与虚部的概念，解题的关键在于计算要准确，属基础题.12. 已知双曲线的两条近线的夹角为,则双曲线的离心率为_参考答案：213.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，若定点，则的最小值为 ．参考答案：14. 已知为等差数列，为其前项和，若，当取最大值时，．参考答案：3或415. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为，外接球体积为，则____.参考答案：设正四面体的棱长为，高为，四个面的面积为，内切球半径为，外接球半径为，则由，得；由相似三角形的性质，可求得，所以考点：类比推理，几何体的体积.16. 设满足约束条件：则的最小值为▲ .参考答案：8略17. 点P是抛物线上任意一点，则点P到直线距离的最小值是；距离最小时点P的坐标是．参考答案：（2，1）设，到直线的距离为，画出的图象如下图所示，由图可知，当时有最小值，故的最小值为，此时点的坐标为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年江苏省盐城市东台创新学校高三数学文联考试卷含解析
2020-2021学年江苏省盐城市东台创新学校高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. B. C. D.参考答案：A2. 设函数f（x）=sin（2）+cos（2），且其图象关于直线x=0对称，则A．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数参考答案：【知识点】三角函数的图像与性质 C3C由题意已知函数为，因为其图象关于直线x=0对称，所以，又因为，所以，即函数为，所以的最小正周期为，且在上为减函数，故选择C.【思路点拨】根据其图象关于直线x=0对称以及的范围，可得，即可求得.3. 已知x2+y2＝10, 则3x+4y的最大值为（）A 5B 4C 3D 2参考答案：A4. 过抛物线焦点F的直线l交C于A，B两点，在点A处的切线与x，y轴分别交于点M，N.若的面积为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】先设，再求出点处的切线方程，进而求出，坐标，得到的面积，即可求出点坐标，求出的长.【详解】因为过抛物线的焦点的直线交于，所以设，又，所以，所以点处的切线方程为：,令可得，即；令可得，即,因为的面积为，所以，解得，所以.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的性质，只需先求出点坐标，即可根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解，属于常考题型.5. 已知是关于的方程的两个根，则A.B． C. D．参考答案：C6. 若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7. 设集合A={0，1，2}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】根据题意直接得出A∩B={0，1}，即有2个元素．【解答】解：因为B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}=（﹣1，2），且A={0，1，2}，所以，A∩B={0，1}，因此，A与B的交集中含有2个元素，故选：C．8. 已知向量则等于( )A．3 B. C. D.参考答案：B略9. 将一个长、宽、高分别为3、4、5的长方体截去一部分后，得到的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．48 C．30 D．60参考答案：B由题得几何体原图就是在一个长3宽4高5的长方体的上面割去了一个底面是直角三角形的棱柱,所以.故选B.10. 称为两个向量间的距离。
江苏省东台市创新学校2020学年高二数学3月月考试题理(无答案)
东台市创新高级中学2020学年度第二学期第一次月考高二(理科)数学试卷一、填空题(满分14X 5分=70分)1 .排歹u 数 A2°0= ______ .2. 函数y j x 「的导数y _____________ .3. 已知i 是虚数单位，则严15 _______4. 若复数z 满足(3 4i)z 5，则z 的虚部为 ______________1445. C n C n ,则 n=6、 如图，直线I 是曲线y f(x)在x 5处的切线，贝U f (5) f (5) _______ .7、 (x -)8的展开式中X 2的系数为 ___________X8、 复数」一的共轭复数为_1 - i -------------9、 在证明函数f(x) 2x 1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定 义是小前提;③函数f(x) 2x 1满足增函数的定义是小前提；④函数 f(x) 2x 1满足增函数的定义是 大前提.其中正确的命题的序号 ____________________10、 从6名短跑较好的同学中选 4人参加4 100m 接力赛，其中甲乙两人必须入选，且乙只能亲手接过甲传 来的棒，则不同的选派方法共有 ____________ 种。
11、 有三个家庭每个家庭三个人共计 9人做成一排，如果要 求每个家庭都在一起，共有 ________ 种排法(用阶 乘的形式表示)。
21 612、 (1 x x )(x -)的展开式中的常数项为 __________________ .x13 .已知点A(X 1, a x1), B(X 2, a x2)是函数y a x (a > 1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段ABx |X 2为 X 2aa ~2~总是位于 A , B 两点之间函数 图象的上方，因此有结论 > a 2成立•运用类比思想方法可2知，若点 A(x 1, sin x 1), B(x 2, sin x 2)是函数 y sin x(x (0,))的图象上任意不同两点，则类似地有结论 __________________________ 成立.14•函数f(x)的定义域为R , f( 1) 2 , f (x)为f (x)的导函数，已知y f (x)的图象如图所示，贝U f (x)>2x 4的解集为__________________ .二、解答题(满分90分)215、 ( 14分)m取何实数值时，复数z= m一口 + (m22m 15)i是实数？是纯虚数？m 316、 (14分)从4名男生,3名女生中选出三名代表,(1)不同的选法共有多少种?(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种？17、( 15分)(1)在(1 —x)5+ (1 —x)6+ (1 —x) 7+ (1 —x)8的展开式中，求含X3的项的系数(2)若(2 —x)6展开式中第二项小于第一项，但不小于第三项，求x的取值范围。
江苏省东台市创新学校2020学年高二数学下学期期末模拟试题(无答案)
东台市创新高级中学2020学年度第二学期高二数学期末模拟试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为___▲_____． 2.若,为虚数单位),则=____▲____ 3.若向量,且,则实数=____▲____4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是. ___▲___5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为____▲____6. 已知函数f(x)= ()2f π'sinx+cosx ，则()4f π= ▲ . 7.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S 的值为____▲____8.已知四边形为梯形, ,为空间一直线,则“垂直于两腰”是“垂直于两底”的___▲___条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个)9. 当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为____▲____．10. 已知双曲线22221y x a b -=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合， 5，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．11．曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．12．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点，AB =3，则C 的实轴长为 ▲ . 13. 在△ABC 中，若AB =1，AC 3，||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ，则||BA BC BC ⋅u u u r u u u r u u u r = ▲ ． 14. ．定义在实数集上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，又α，β是锐角三角形的两内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)已知命题p ：不等式a 2－5a －3≥3恒成立；命题q ：不等式x 2＋ax ＋2＜0有解；若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)（文科）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++（1） 求角A 值；求C B cos sin 3-的最大值（理科）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值.17. (本小题满分14分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．(1) 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2) 设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式；18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，MF 1为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△MF 1F 2面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f （x ）=x 3-ax 2-3x.（1）若f （x ）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x=-31是f （x ）的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值20. (本小题满分16分)（文科）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；20理科如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B AM C 的平面角的大小．东台创新高级中学2020学年度第二学期高二数学期末模拟答题纸一 填空1：2: 3：4：5：6: 7：8：9：10:11：12：13：14:二解答题15题（14分）16题（14分）17题（14分）18题（16分）19题（16分）20 题（16分）。
江苏省盐城市东台市创新学校高二数学上学期第二次月考试卷 文(含解析)
2014-2015学年江苏省盐城市东台市创新学校高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、填空题1．命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是．2．不等式的解为．3．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值是．4．“x＞1”是“x2＞1”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．某工厂生产产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验，则这种抽样的方法为．6．以下伪代码运行时输出的结果B是．A←3B←A×AA←A+BB←B+APrint B．7．如图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为．8．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中是命题的是．9．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率．10．焦点在y轴上，离心率是，焦距是8的椭圆的标准方程为．11．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在分析：根据命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．从而得到答案．解答：解：∵命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．2．不等式的解为{x|x＞1或x＜0} ．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．解答：解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}点评：本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出3．已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值是 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过y轴的截距最小，即z取最大值，从而求解．解答：解：先根据约束条件画出可行域，目标函数z=2x﹣y，z在点B（3，0）处取得最大值，可得z max=2×3﹣0=6，故最大值为6，故答案为6；点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．5．某工厂生产产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验，则这种抽样的方法为系统抽样法．考点：系统抽样方法．专题：阅读型．分析：根据系统抽样的特点，样本是在总体个数比较多的情况下，遵循一定的规则，具有相同的间隔，得到的一系列样本．解答：解：工厂生产的产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验，这是一个系统抽样；故答案为：系统抽样法．点评：本题考查系统抽样方法，考查抽样方法是哪一个抽样，主要观察个体得到的方法是不是符合系统抽样．本题是一个基础题．6．以下伪代码运行时输出的结果B是21 ．A←3B←A×AA←A+BB←B+APrint B．考点：伪代码．专题：算法和程序框图．分析：执行伪代码，依次写出A，B的值即可．解答：解：执行伪代码，有A=3B=9A=12B=21输出B的值为21．故答案为：21．点评：本题主要考察了算法和伪代码的应用，属于基础题．7．如图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据已知，计算出正方形ABCD和△EBC的面积，代入几何概型概率计算公式，可得答案．解答：解：∵正方形ABCD的边长为2，∴正方形ABCD的面积为4，又∵△EBC为正三角形．∴△EBC的面积为：=，故向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率P=，故答案为：点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解．8．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中是命题的是②④．考点：复合命题的真假．专题：常规题型；简易逻辑．分析：由题意，命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0为真命题；命题q：若a＞b，则为假命题，例如：a=1，b=﹣1；再由且，或非判断真假．解答：解：命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0为真命题；命题q：若a＞b，则为假命题，例如：a=1，b=﹣1；故①p且q为假，②p或q为真，③¬p为假，④¬q为真，故其中是真命题的是②④；故答案为：②④．点评：本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．9．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题；压轴题．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6=36个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，∴故答案为：点评：本题考查古典概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型．10．焦点在y轴上，离心率是，焦距是8的椭圆的标准方程为=1 ．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆的标准方程为，a＞b＞0，由已知得，由此能求出椭圆方程．解答：解：设椭圆的标准方程为，a＞b＞0，由已知得，解得a=8，c=4，b2=64﹣16=48．∴椭圆的标准方程为=1．故答案为：=1．点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要注意椭圆性质的合理运用．11．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在点评：本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．14．设椭圆C：=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到直线l：x=的距离的最小值为+2 ．考点：椭圆的简单性质．专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆C：=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），可得=1，利用椭圆几何量之间的关系，设=t，等式可转化为t2a4﹣（t2+1）a2+5=0，有正根的问题求解，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．解答：解：∵椭圆C：=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），∴可得=1设椭圆的中心到直线l：x=的距离为d=椭圆的焦距为2c，同时可设=t，∴c=ta2∴b2+4a2=a2b2∴5a2﹣c2=a2（a2﹣c2）∴5a2﹣（ta2）2=a2∴t2a4﹣（t2+1）a2+5=0有正根，∴即只需△=（t2+1）2﹣20t2≥0，且t＞0时，方程有解∴t2t+1≥0∴t≥+2，或0＜t≤﹣2椭圆C：=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），∴椭圆的中心到准线x=＞1∴椭圆的中心到准线的距离的最小值+2，故答案为：+2，点评：本题综合考查椭圆的标准方程与性质，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有一定的技巧．二、解答题15．已知p：（）2≤4，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）分别求出命题p、命题q所表示的不等式的解集A，B；（2）若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：（1）解二次不等式即可，（2）运用充分必要条件与集合的包含关系，得出不等式求解即可．解答：解：（1）∵p：（）2≤4，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．∴A={x|﹣2≤x≤10}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）}={x|1﹣m≤x≤1+m}（2）∵￢p是￢q的必要不充分条件∴q是p的必要不充分条件，令p命题对应的集合为P，q对应的集合为Q，即P⊊Q，在1+m≥10，且1﹣m≤﹣2，即m≥9且m≥3，所以m≥9故实数m的取值范围：m≥9点评：本题考查了复合命题，充分必要条件与集合的包含关系，属于容易题．16．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．17．已知不等式ax2﹣2ax﹣3＜0的解集是A（1）若A=（﹣1，3）时，求a的值；（2）若A等于实数集时，求实数a的范围．考点：一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：本题（1）根据不等式的解集，得到相应方程的根据，由韦达定理可得系数a的值；（2）对二镒项系数进行分类讨论，结合对应函数的图象，求出系数a满足的条件，得到本题结论．解答：解：（1）∵不等式ax2﹣2ax﹣3＜0的解集是A，A=（﹣1，3），∴方程ax2﹣2ax﹣3=0的两根据分别为﹣1，3，且a＞0．∴由韦达定理知：﹣1×3=﹣，∴a=1．（2）∵不等式ax2﹣2ax﹣3＜0的解集是A，A=R，∴当a=0时，﹣3＜0恒成立，适合题意；当a≠0时，a＜0，△＜0，∴﹣3＜a＜0．∴﹣3＜a≤0．点评：本题考查了函数、方程、不等式的关系，考查了根据与系数的关系韦达定理，本题难度不大，属于基础题．18．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，短轴的一个端点为P．（1）若长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）若∠F1PF2为直角，求椭圆的离心率；（3）若∠F1PF2为锐角，求椭圆的离心率的范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据方程为，a2=b2+c2，P（0，±b）结合（1）长轴长为4，焦距为2，得a=2，c=1（2）b=c（3）c＜b求解计算解答：解：∵椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，短轴的一个端点为P．∴方程为，a2=b2+c2，P（0，±b）（1）∵长轴长为4，焦距为2，∴a=2，c=1，b=，∴方程为+=1，（2）∵∠F1PF2为直角∴b=c，a2=b2+c2，a2=2c2，e==，即椭圆的离心率，（3）∵∠F1PF2为锐角，∴c＜b，a2=b2+c2，c2＜a2﹣c2，2c2＜a2，∴椭圆的离心率的范围为（0，）点评：本题考查了椭圆的方程，几何性质，属于计算题，难度不大．19．如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB=36米，AD=20米．记三角形花园AMN的面积为S．（Ⅰ）问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；（Ⅱ）若S不超过1764平方米，求DN长的取值范围．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（Ⅰ）由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM，从而AN，AM用DN表示，利用三角形的面积公式表示出面积，再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得．（Ⅱ）由S不超过1764平方米，建立不等式，从而可求DN长的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设DN=x米（x＞0），则AN=x+20．因为DC∥AB，所以△NDC∽△NAM所以，所以，即．所以…（4分）=，当且仅当x=20时取等号．所以，S的最小值等于1440平方米．…（8分）（Ⅱ）由得x2﹣58x+400≤0．…（10分）解得8≤x≤50．所以，DN长的取值范围是．…（12分）点评：本题考查将实际问题转化成数学问题的能力，考查解不等式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．20．已知椭圆C：=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数a的值，已知b=1，进而可得答案；（2）根据题意，可得椭圆的方程，变形可得y2=1﹣；而|PA|2=（x﹣2）2+y2，将y2=1﹣代入可得，|PA|2=﹣4x+5，根据二次函数的性质，又由x的范围，分析可得，|PA|2的最大与最小值；进而可得答案；（3）设动点P（x，y），类似与（2）的方法，化简可得|PA|2=（x﹣）2++5，且﹣m≤x≤m；根据题意，|PA|的最小值为|MA|，即当x=m时，|PA|取得最小值，根据二次函数的性质，分析可得，≥m，且m＞1；解可得答案．解答：解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；则a=2；椭圆的焦点在x轴上；则c=；则椭圆焦点的坐标为（，0），（﹣，0）；（2）若m=3，则椭圆的方程为+y2=1；变形可得y2=1﹣，|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=﹣4x+5；又由﹣3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得，x=﹣3时，|PA|2=﹣4x+5取得最大值，且最大值为25；x=时，|PA|2=﹣4x+5取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为5，|PA|的最小值为；（3）设动点P（x，y），则|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=（x﹣）2﹣+5，且﹣m≤x≤m；当x=m时，|PA|取得最小值，且＞0，则≤m，且m＞1；解得1＜m≤1+．点评：本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可．。
江苏省盐城市东台创新高级中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题
江苏省盐城市东台创新高级中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = .2．复数112i+（i 是虚数单位）的实部为____． 3．某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为____．4．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为____．5．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为__________．6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ. 其中正确命题的序号是_______．7．函数y =_____.8．函数()ln f x x x =的单调减区间是______．9．用半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________cm10．已知(,2),(2,1),,a x b a b =-=的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是_________． 11．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，且a ，2b，c 成等差数，则b 的最大值为_________．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦____． 13．若数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -++≥≥，则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为____． 14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间()1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是____．二、解答题15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . (1) 若2cos 6sin A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值； (2) 若1cos ,33A b c ==，求sin C 的值． 16．在如图多面体中，DF ⊥底面BEFC ，////AD EF BC ，12BE AD EF BC ===，G 是BC 的中点．（1）//AB 平面DEG ；（2）EG ⊥平面BDF ．17．已知向量(sin ,cos ),(cos ,cos )(0)m x x n x x ωωωωω==>，设函数()f x m n =⋅，且()f x 的最小正周期为π． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间上3[0,]4π上的取值范围．18．如图，扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB 为23π，半径OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段DB 组成，其中D 在线段OB 上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； (2)当θ为何值时，观光道路最长？19．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）C 与y 轴交于,A B两点，且2AB =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．20．已知非零数列{}n a 满足11a =，112N n n n n a a a a n *++=-∈（）. （1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若关于n 的不等式222121113111log (1)log (1)log (1)nm n n n a a a ++⋅⋅⋅+<-++++++有解，求整数m 的最小值；（3）在数列11(1)nna⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中，是否存在首项、第r项、第s项(16r s<<≤)，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的,r s；若不存在，请说明理由.参考答案1．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】1,2A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(1,1)B =-，A∩B=1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.2．15【分析】先利用复数的乘除运算化简复数，再利用复数的概念求解. 【详解】 因为复数()()1121212121255i i i i i -==-++-， 所以其的实部为15， 故答案为：15【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．100. 【解析】试题分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值．详解：分层抽样的抽取比例为701=350050， 总体个数为3500+1500=5000， ∴样本容量n=5000×150=100． 故答案为100．点睛：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．分层抽样适用于总体内的个体间有明显差异，将特性相同的分为一类.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得k=2，S=0满足条件k＜10，执行循环体，S=2，k=3满足条件k＜10，执行循环体，S=5，k=5满足条件k＜10，执行循环体，S=10，k=9满足条件k＜10，执行循环体，S=19，k=17此时，不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为19．故答案为19．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.5．2 3【分析】利用列举法：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，共4种结果，由古典概型概率公式可得结果.【详解】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，有（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种结果，故甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为4263=，故答案为23．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn=求得概率.6．①③已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，对于①，若//αβ，得到直线l ⊥平面β，所以l m ⊥，故①正确；对于②，若αβ⊥直线l 在β内或者l β//，则l 与m 的位置关系不确定；对于③，若//l m ，则直线m α⊥，由面面垂直的性质定理可得αβ⊥，故③正确；对于④，若l m ⊥，则α与β可能相交，故④错误，故答案为①③. 【点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定. 7．[0,2] 【分析】先确定偶次根式被开方数范围，再确定函数值域. 【详解】2404[0,2]x y ≤-=≤∴故答案为[0,2] 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．1(0,)e【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写成区间形式，可得到函数ln y x x =的单调减区间.详解：函数的定义域为0x >，'ln 1y x =+，令ln 10x +<，得10,x e<<∴函数ln y x x =的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.9【分析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可. 【详解】由题得, 半圆形纸片弧长为2cm π,设圆锥的底面半径为r ,则221r r cm ππ=⇒=,=.【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题. 10．()(),44,1-∞--【分析】根据向量夹角公式列不等式，由此求得x 的取值范围. 【详解】设两个向量的夹角为θ，依题意可知θ为钝角，则cos 0122x θ<⎧⎨⨯≠-⨯⎩，即cos 04x θ<⎧⎨≠-⎩，由cos 04a b a bx θ⋅==<⋅+得1x <，由于4x ≠-，所以实数x 的取值范围是()(),44,1-∞--.故答案为：()(),44,1-∞--【点睛】本小题主要考查根据向量夹角求参数，属于中档题. 11．2 【分析】利用a ，2b，c 成等差数列，可得b a c =+，可得2226a b c ++=，结合2222()()a c a c ++，可得b 的最大值． 【详解】 解：a ，2b，c 成等差数列， b a c ∴=+，， 2226a b c ∴++=， 2226a c b ∴+=-，2222()()a c a c ++， 222(6)b b ∴-， 24b ∴，2b ∴，b ∴的最大值为2．故答案为：2． 【点睛】本题考查长方体的结构特征，考查等差数列的性质，考查基本不等式的运用，属于中档题． 12．9-或19-. 【解析】试题分析：设这两条直线的斜率分别为k 和k -，则它们的方程分别为10kx y k --+=和10kx y k +--==，即231030k k -+=，解得13k =或3，所以219k -=-或9-；考点：1．直线与圆的位置关系；2．点到直线的距离公式；13．(,4]-∞ 【分析】由等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，得到4(1)n b n d =+-，再根据数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则11211n n n b b b n n n -++≥-+恒成立，即4(2)44(1)211n d nd n dn n n+-++-+≥-+恒成立，再化简转化为()()222410d n n ⎡⎤---≥⎣⎦恒成立求解.【详解】因为等差数列{}n b 的公差为d ，14b =， 所以1(1)4(1)n b b n d n d =+-=+-， 因为数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列， 所以11211n n n b b b n n n -++≥-+恒成立， 即4(2)44(1)211n d nd n dn n n+-++-+≥-+，恒成立，所以444211d d d d d d n n n ---⎛⎫+++≥+ ⎪-+⎝⎭，恒成立， 即444211d d d n n n ---⎛⎫+≥ ⎪-+⎝⎭，恒成立， 因为2n ≥，所以()()110n n -+>， 两边同乘以()()110n n n -+>，得()()()()()()()41412411d n n d n n d n n -++--≥--+，即()()222410d n n ⎡⎤---≥⎣⎦，恒成立，所以()240d -≥， 解得4d ≤，所以d 的取值范围为(,4]-∞故答案为：(,4]-∞ 【点睛】本题主要考查数列新定义，数列与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．()11,3,795⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据已知条件判断出()f x 的周期，由此画出()f x 的图象，将()g x 在区间()1,9-内恰有三个不同零点，转化为(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，结合0a >或01a <<进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】依题意，()f x 为R 上的偶函数，且()()22f x f x -=+， 所以()()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=-+=-=， 所以()f x 是周期为4的周期函数.由于[]0,2x ∈时，()22xf x =-，由此画出()f x 在区间()1,9-上的图象如下图所示.令()()log (1)0a g x f x x =-+=，得()log (1)a f x x =+.故()g x 在区间()1,9-内恰有三个不同零点，即(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点.当1a >时，画出(),log (1)a f x y x =+图象如下图所示，由图可知，要使(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，则()()log 212log 612a a a ⎧+<⎪⇒<<⎨+>⎪⎩当01a <<时，画出(),log (1)a f x y x =+图象如下图所示，由图可知，要使(),log (1)a f x y x =+在区间()1,9-上有3个不同的交点，则()()log 41111log 81195a a a ⎧+>-⎪⇒<<⎨+<-⎪⎩.综上所述，实数a 的取值范围是()11,3,795⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：()11,3,795⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性和零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.15．（1）60； （2）13.分析：（1）利用二倍角公式求得cos 23A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，进而利用诱导公式求得sin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭A π的值；（2）先利用余弦定理求得a 和c 的关系，进而根据cos A 求得sin A ，最后利用正弦定理求得sin C 的值. 详解：（1）若2cos 6sin A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin cos 2cos 2A A A +⋅=，变形可得3sin cos 2A A =，即sin A A =，则tan A = 则,603A A π=∴=.(2)222222101cos 263b c a c a A bc c +--===,228c a ∴=,a ∴=,由正弦定理可得sin 3C A ===, 1sin 3C ∴=. 点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及两角和与差的正弦公式，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 16．（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）利用平行四边形的判定定理即可得到四边形ADGB 是平行四边形，利用其性质即可得到//AB DG ，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用平行四边形的判定定理可得四边形AEFD 是平行四边形，得到//DF AE ，由AE ⊥底面BEFC ，利用线面垂直的性质可得DF ⊥底面BEFC ．得到DF EG ⊥．再证明四边形BEFG 是菱形，即可得到EG BF ⊥，利用线面垂直的判定即可得到结论． 【详解】证明：（1）////AD EF BC ，12AD EF BC ==，G 是BC 的中点． //AD BG ∴，=AD BG∴四边形ADGB 是平行四边形，//AB DG ∴，AB ⊂/平面DEG ，DG ⊂平面DEG ．//AB ∴平面DEG ；（2）//AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，//DF AE ∴， AE底面BEFC ，DF ⊥∴底面BEFC ．DF EG ∴⊥．连接FG ，12EF BC =，G 是BC 的中点，//EF BC ， ∴四边形BEFG 是平行四边形，又BE EF =，∴四边形BEFG 是菱形，BF EG ∴⊥．DFBF F =，DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDFEG ∴⊥平面BDF ．【点睛】熟练掌握平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定与性质定理、线面垂直的判定与性质定理、菱形的判定与性质定理是解题的关键．17．（1）3[,],88k k k Z ππππ-++∈；（2）11[,]222--．【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算、降次公式和辅助角公式化简()f x ，根据()f x 的最小正周期求得ω，进而利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（2）利用三角函数图象变换求得()g x 的解析式，利用三角函数值域的求法，求得函数()y g x =在区间上3[0,]4π上的取值范围. 【详解】 （1）()211cos 2sin cos cos sin 222x f x =m n x x x x ωωωωω+⋅=⋅+=+12242x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=， ∵222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈∴3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间是3[,],88k k k Z ππππ-++∈，（2）1()sin(2)242f x x π=++，纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到11()sin()242f x x π=++，向下平移1个单位，得到1())242g x x π=+-， 3[0,],[,]444x x ππππ∈∴+∈sin()[0,1]4x π∴+∈，111)[,]242222x π+-∈--，()g x 的取值范围为11[,]222--． 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间、值域的求法，属于中档题.18．（1）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）3π 【分析】（1）利用θ表示CD 的长度的关键是在COD ∆中正确利用正弦定理；（2）首先将道路长度()L θ表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得6πθ=时，观光道路最长.【详解】(1)在△OCD 中，由正弦定理，得＝＝＝，所以CD ＝sin＝cos θ＋sin θ，OD ＝sin θ，因为OD <OB ，即sin θ<1，所以sin θ<，所以0<θ<， 所以CD ＝cos θ＋sin θ，θ的取值范围为.(2)设观光道路长度为L (θ)， 则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长 ＝1－sin θ＋cos θ＋sin θ＋θ ＝cos θ－sin θ＋θ＋1，θ∈，L ′(θ)＝－sin θ－cos θ＋1， 由L ′(θ)＝0，得sin ＝，又θ∈，所以θ＝，列表：所以当θ＝时，L (θ)达到最大值，即当θ＝时，观光道路最长．【点睛】该题考查的是有关已知三角函数模型的应用问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦定理，函数的性质，辅助角公式，三角函数的最值问题，正确应用公式是解题的关键.19．（1）2214x y +=（2）点P 横坐标08(,2]5x ∈，EF 的最大值2．【详解】（1）由题意可得，1b =，2c e a ==， 得22134a a -=， 解得24a =， 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为，同理得直线PB 的方程为0011y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点04(4,)y x ， 所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-，令0y =， 则2220200164(4)(1)y x x x -+=-， 因为220014x y +=，所以2020114y x -=-，所以28(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈．设交点坐标12(,0),(,0)x x，则12x x -=0825x <≤）， 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2． 考点：直线与圆位置关系，两直线交点20．（1）证明见解析；（2）4；（3）存在，4,3s r ==或6,5s r ==.【分析】 （1）由条件可得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由等比数列的定义即可得证； （2）由等比数列的通项公式求得，112n na +=，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；（3）假设存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得s ，r 的方程，解方程可得所求值. 【详解】解：（1）证明：由112n n n n a a a a ++=-， 得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得，112n na +=，则221log 1log 2n n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=+ 故111312m n n n n++⋯+<-+++， 设111()12f n n n n n=++⋯++++， 则1111111(1)()23212212f n f n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=++⋯++-++⋯+⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭11111021*******n n n n n =+-=->+++++，所以()f n 单调递增，则min 1()(1)2f n f ==，于是132m <-，即 72m >， 故整数m 的最小值为4； （3）由上面得，121n n a =-， 设11(1)2(1)n n n n nb a =+--=--， 要使得1,,r s b b b 成等差数列，即12s r b b b +=， 即132(1)22(1)ssr r ++--=--，得122(1)2()31sr s r +=-----，1,230(1)(1)s r s r ≥+∴----≥， 1(1)1(1)1s r s r =+⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩， 故s 为偶数，r 为奇数，36,4,3s s r ≤<∴==或6,5s r ==.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性求得最值，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式的性质，是一道难度较大的题目.。
江苏省东台市创新学校高三数学12月月考试题
江苏省东台市创新学校2015届高三12月月考数学试题数 学一、填空题：（共14小题，每题5分，满分70分）1．已知集合{}0,1,3M =，{}3,N x x a a M ==∈，则M N I = ▲ ． 2．若复数1i1ia +-为纯虚数，i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ． 3．已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．4．命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．5．已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是 ▲ ．6．若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线的渐近线方程是2y x =±，且经过点，则该双曲线的方程是 ▲ ．8．若1cos()33απ-=，则sin(2)απ-6的值是 ▲ ．9．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ▲ ． 10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若各条棱长均为2，且M 为11AC 的中点，则三棱锥1M AB C -的体积是 ▲ ． 11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()f x x x =+，则关于x 的不等式()2f x <-的解集是 ▲ ．12．已知光线通过点()3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点()2,6N ， 则反射光线所在直线的方程是 ▲ ． 13．如图，已知ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=o ，D 是BC的中点，若向量14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，且AM u u u u r的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅u u u u r u u u u r的取值范围是 ▲ ．14．已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ▲ ．ABC1A1B1CM(第10题图)二、解答题 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π∠=． （1）若2a =，b =c 的值； （2）若tan A =，求tan C 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且PB PD =．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB 为直径，且2AB =km,O 为圆心，C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且CD∥AB ．现在准备从A 经过C 到D 建造一条观光路线，其中A 到C 是圆弧»AC ，C 到D 是线段CD .设rad AOC x ∠=，观光路线总长为km y .（１）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （２）求观光路线总长的最大值.18．已知函数()e x f x =（其中e 是自然对数的底数），2()1g x x ax =++，a ∈R ． （1）记函数()()()F x f x g x =⋅，且0a >，求()F x 的单调增区间；（2）若对任意12,x x ∈[]0,2，12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，求实数a的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C2212412x y +=,设00(,)R x y 是椭圆C 上的任一点，从原点O 向圆R ：()()22008x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q . （1）若直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12210k k +=；(第17题图)O(第16题图)（3）试问22OP OQ+是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．20．已知数列{}n a是等差数列，其前n项和为S n，若410S=，1391S=．（1）求nS；（2）若数列{M n}满足条件：11tM S=，当2n≥时，nn tM S=－1ntS-，其中数列{}n t单调递增，且11t=，nt*∈N．①试找出一组2t，3t，使得2213M M M=⋅；②证明：对于数列{}n a，一定存在数列{}n t，使得数列{}n M中的各数均为一个整数的平方．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是cos,1sin,xyαα=⎧⎨=+⎩（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．23．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，已知90BAC∠=o，1AB AC==，13AA=，点E，F分别在棱1BB，1CC上，且1113C F C C=，1BE BBλ=，01λ<<．（1）当13λ=时，求异面直线AE与1A F所成角的大小；OyPQ g Rx(第19题图)1A1C（2）当直线1AA 与平面AEF时，求λ的值．24．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N *，都有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =．（1）求1a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明．数学答题纸一、填空题：（共14小题，每题5分，满分70分）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、二、解答题 15、16、17、(第16题图)18、19、20、2015届高三年级摸底考试数学附加题答题纸21、22、 23、FEB 11A CBA1C （第23题图）24、一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．{}0,3 2．1 3．二 4．x ∀∈R ，||0x > 5．36． 29 7．2214y x -= 8． 79- 9．2 102311．(2,)+∞ 12．660x y --= 13．()2,6- 14．(],2-∞-二、解答题 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．．（2）因为πA B C ++=，tan 3A =， tan 3B =所以tan tan()C A B =-+ ……………………………9分tan tan 1tan tan A BA B +=-- ……………………………11分233331233+==-⋅． 所以33tan C =． ……………………………………14分 16．（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ ……2分 又因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以BD PO ⊥ ……………………………………4分又因为AC PO O =I 所以BD APC ⊥平面，又因为PC APC ⊂平面 所以BD PC ⊥（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以//BC AD …………………………9分 因为,AD PAD BC PAD ⊂ ⊄平面平面．所以//BC PAD 平面 ………………………………………11分又因为BC PBC ⊂平面，平面PBC I 平面PAD l =．所以//BC l ． ………………………………………………14分17．(1)由题意知，»1AC x x =⨯=， …………………………………2分 2cos CD x =， …………………………………5分 因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，所以02x π<<所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………………………………………7分 (2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-， ………………………………9分(第16题图)PBC ADO令()0f x '=，得6x π=， ………………………………………………11分 列表x(0，6π) 6π (6π，2π) ()f x ' ＋0 － f (x ) 递增极大值 递减所以函数()f x 在π6x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分即()66f ππ=答：观光路线总长的最大值为6π+ ……………………………14分18．（1）因为()()2()()e 1x F x f x g x x ax =⋅=++，所以()()()e 11x F x x a x '=⎡++⎤+⎣⎦， ……………………2分 令()0F x '>，因为0a >，得1x >-或()1x a <-+， ……………………5分 所以()F x 的单调增区间为(),1a -∞--和()1,-+∞； ……………………6分 （2）因为对任意12,x x ∈[]0,2且12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，不妨设12x x >，根据()e x f x =在[]0,2上单调递增，所以有1212()()()()f x f x g x g x ->-对12x x >恒成立，……………………8分 所以211212()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +>+⎧⎨->-⎩对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，所以()()f x g x +和()()f x g x -在[]0,2都是单调递增函数，………………11分 当()()0f x g x ''+≥在[]0,2上恒成立，得()e 20x x a ++≥在[]0,2恒成立，得()e 2x a x -+≥在[]0,2恒成立，因为()e 2x x -+在[]0,2上单调减函数，所以()e 2x x -+在[]0,2上取得最大值1-， 解得1a -≥． ………………………………13分 当()()0f xg x ''-≥在[]0,2上恒成立，得()e 20x x a -+≥在[]0,2上恒成立，即e 2x a x -≤在[]0,2上恒成立，因为e 2x x -在[]0,ln 2上递减，在[]ln 2,2上单调递增， 所以e 2x x -在[]0,2上取得最小值22ln 2-，所以22ln 2a -≤， ……………………………15分 所以实数a 的取值范围为[]1,22ln 2--． ………………………16分19．（1）由圆R 的方程知，圆R的半径的半径r =因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR ==，即220016x y +=，①………………………………………1分又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，②……………………………………2分联立①②，解得00x y ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩ ……………………………………………………3分所以所求圆R的方程为((228x y ±+±=． ………………………4分（2）因为直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，与圆R 相切，=,化简得22210010(8)280x k x y k y --+-=………………6分 同理222020020(8)280x k x y k y --+-=，……………………………………………7分 所以12,k k 是方程2220000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，2122088y c k k a x -⋅===-…………………………8分因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-， 所以21220141282x k k x -==--，即12210k k +=． ………………………………10分 （3）22OP OQ +是定值，定值为36，……………………………………………11分 理由如下：法一：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立122,1,2412y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212122112124,1224.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩………………………………………12分 所以2221112124(1)12k x y k ++=+，同理，得2222222224(1)12k x y k ++=+，…………13分 由1212k k =-，所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221224(1)24(1)1212k k k k ++=+++ 22112211124(1())24(1)211212()2k k k k +-+=+++- 2121367212k k +=+ 36= ………………………………………………………15分(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=，综上：2236OP OQ +=． ……………………………………………………16分 法二：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y , 因为12210k k +=，所以1212210y y x x +=,即2222121214y y x x =， ……………12分 因为1122(,),(,)P x y Q x y 在椭圆C 上，所以221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ……………………………………………13分 所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，整理得221224x x +=， 所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2236OP OQ +=． ……………………………………………………15分 (ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=，综上：2236OP OQ +=． ………………………………………………16分 20．（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由410S =，1391S =，得11434102*********a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分解得111a d =⎧⎨=⎩，所以21(1)22n n n n nS na d -+=+=……………………………………………4分 （2）①因为111M S ==，若22,t =221312M S S =-=-=，()33332132t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()331342t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分若23,t =231615M S S =-=-=，()33333162t t t M S S +=-=-，因为2213M M M =⋅，所以()3316252t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分若24,t =2411019M S S =-=-=，()333341102t t t M S S +=-=-，因为2213M M M =⋅，所以()33110812t t +-=，()331182t t +=，解得313t =， 所以24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分②由①知11t =，213t =+，23133t =++，则11M =，223M =，239M =，一般的取213113332n n n t --=++++=L ， ………………………13分此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222n n n t S ---⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，则n M ＝n t S －1n t S -＝()112131313131112222322n n n n n ---⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，（第21—A 题图）所以n M 为一整数平方．因此存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．……16分数学Ⅱ部分21．【选做题】A ．(选修4—1：几何证明选讲)因为BE 切⊙O 于点B ，所以CBE ∠60BAC =∠=o ，因为2BE =，4BC =，由余弦定理得EC =．………4分 又因为2BE EC ED =⋅，所以ED =，…………………8分所以CD EC ED =-=-=． ………………10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， ……4分 又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦② …6分 根据①②，则有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,, …………………………………………………8分从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……………………………10分 C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）由cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩得cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)1x y +-=， …………4分 因为曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆．得2sin ρθ=．即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………………………10分 D ．（选修4－5：不等式选讲）因为11,ax ax a a -+--≥ ……………………………5分 所以原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ 所以20.a a 或≥≤所以实数a 的取值范围为(][),02,-∞+∞U ． ………………………10分 22．建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．（1）因为AB =AC =1，1AA =3，13λ=， 所以各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ． (1,0,1)AE =u u u r ，1(0,1,1)A F =-u u u u r． …………2分因为1AE A F ==u u u r u u u u r ,11AE A F ⋅=-u u u r u u u u r，所以111,1cos 2AE A F AE A F AE A F⋅===-r u u u u ru u r u u ru u u r u u u u r ．所以向量AE u u u r 和1A F u u u u r 所成的角为120o ， 所以异面直线AE 与1A F 所成角为60o ． ……………4分 （2）因为(1,0,3)E λ，(0,1,2)F ，所以(1,0,3),(0,1,2)AE AF λ==u u u r u u u r．设平面AEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0AE ⋅=u u u r n ，且0AF ⋅=u u u rn ． 即30x z λ+=，且20y z +=．令1z =，则3,2x y λ=-=-．所以(3,2,1)λ=--n 是平面AEF 的一个法向量． ………6分又1(0,0,3)AA =u u u r，则111,cos AA AA AA ===u u u ru u r g u u u r n n n 又因为直线1AA 与平面AEF ，=12λ=． ………………10分23．（1）因为11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+ ，24a =当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+， 解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． ………………………………2分当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =． …………………………………………………4分 （2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =………………………………5分 下面用数学归纳法证明．1º当1n =，2，3时，由（1）知2n a n =均成立．……………………………6分 2º假设()3n k k =≥成立，则2k a k =， 由条件得()22111111212k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭， A所以()()23121111k k k k k k a k k k ++-+<<-+-， ………………………………………8分 所以()()2212111111k k k a k k k k +++-<<++-+- …………………………9分 因为3k ≥，21011k k k +<<-+，1011k <<-，又1k a *+∈N ，所以()211k a k +=+．即1n k =+时，2n a n =也成立．由1º，2º知，对任意n *∈N ，2n a n =． ……………………………………10分。
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东台市创新高级中学2020学年度第一学期第四次月考
数学(文科）试题
一、填空题（每小题5分，满分共70分
1、命题“∃x＜2，x2＞4”的否定是．
2、若复数z=-1+3i则|z|= ．
3.命题“若α为锐角，则sin0
α>”的否命题是．
4．抛物线y=x2的准线方程是．
5.函数f(x)=1+cosx的导数是．
6.已知椭圆
22
2
1
25
x y
m
+=（0
m>）的左焦点为()
1
F4,0
-，则m=.
7．在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．
8.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线⊂
a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为
9. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的
概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为．
10.如图，它是一个算法的流程图，最后输出的 k为．
11.已知i为虚数单位，若复数z=，则复数z的实部
与虚部的和是．
12.已知函数x e
y=在点P处的切线经过原点，则此
切线的方程为．
13.等比数列{a n}中，有
成立．类似地，在等差数列{b n }中，有 成立．
14．函数f （x ）=+x 3
（x ∈R ），其导函数为 f ′（x ），则f （2020）+f ′（2020）+f （﹣2020）﹣f ′（﹣2020）= ．
二、 解答题（满分共90分）
15、（本小题满分15分) 已知复数i 2
321+-=ω
（1）分别计算 ω2 和ω
+11的值；
（2）在复平面内,复数ω对应的向量为
,复数ω2对应的向量为.求向量对应的复数z 及复数z
的模
16、（本小题满分15分) 观察下列三角形数表，假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N)，
(1)依次写出第六行的所有6个数字；
(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式，并利用递推关系式求出a n 的通项公式（可以不证明）．
17．（本小题满分15分)
已知双曲线的焦点是，渐近线方程为y=±x，求双曲线的两条准线间的距离
18．（本小题满分15分)
某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB折痕为AB′，AB′交DC于点P，当凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
19.(本小题满分15分)
已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
求证：点M恒在椭圆C上；
20．（本小题满分15分)
已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）
（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m﹣1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．。