带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦)

磁
场
作半径为r的圆周运动： A(x,y) r 2 mv v = qvB = m r r qB v b 设半径为r的圆轨道上运动的粒子， a a R x O P 在点A (x，y)离开磁场，沿切线飞向R 点。由相似三角形得到： y－b a－x y x 同时，A作为轨迹圆上的点，应满足方程： x2+(y－b)=r2 消去(y-b)，得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界 x (a－x) 的函数方程为： y= r2－x2
强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发 射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带 电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。 已知重力加速度大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 y 应强度的大小与方向。 （2）请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 粒 R 交的区域，并说明理由。 发 v / O 射 C （3）若这束带电磁微粒初速度变为 装 置 2v，那么它们与x轴相交的区域又在 O x 哪里？并说明理由。
2 mvn B qd
n=1，2，3，…
磁透镜
O
M
z
谢 谢 听 讲！
y 1
P (x,y)
v0
O
θ r
r
x
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
2 m2v0 1 2 r2 S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 eB
圆形磁场的两个特殊规律 磁聚焦和磁发散现象
解： （1）如图所示，设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运 动的轨道半径为R， 由R=d ，qv0B = mv02/R 可得 B=mv0/qd，磁场方向垂直纸面向外。 （2）设沿CN运动的离子速度大小为v， 在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t 由 vcosθ = v0， 得v = v0/cosθ。 R′=mv/qB = d/cosθ。 设弧长为s，t=s/v，s=2(θ+α) R′ 离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T= 2π m /Bq， (3) CM=MNcotθ 由正弦定理得
第三章 磁场
§6、带电粒子在磁场中的运动
（磁聚焦）
带电粒子在直边界磁场中的运动
当带电粒子从同一边界入射出 ——对称性 射时速度与边界夹角相同
例、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如
图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）
解析：(1) 带电微粒所受重力和电场力平衡。由 Eq=mg，可得E=mg/q，方向沿y轴正方向。 带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。如图（a), 轨迹半径为r=R，由Bqv=mv2/r得，B=mv/qR, 方向垂直于纸面向外。
y y P v θ O/ O O 图 (a) x 图 (b) R
v A
C
On
x2 + (r－y)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然， 磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何 关系得 mv 1 1 Smin 2( r 2 r 2 ) ( 1)( 0 ) 2
4 2 2 eB
解2: 磁场上边界如图线1所示。 设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ， 得: x2 + (y－r)2 = r2。
2( ) 得：t = v0
MN d = R sin( ) sin
R′=mv/qB = d/cosθ。
以上3式联立求解得 CM=d cotα
例、如图，在直角坐标系 xOy 中，点M(0，1)处不断向 +y 方向
发射出大量质量为 m、带电量为 –q 的粒子，粒子的初速度 大小广泛分布于零到 v0之间。已知这些粒子此后所经磁场的 磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿 +x 方向经过 b 区域，都沿 －y的方向通过点 N(3，0)。 （1）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积； （2）若其中速度为 k1v0 和 k2v0 的两个粒子同时到达 N 点 (1>k1>k2>0)，求二者发射的时间差。
M
R
v A
C
O/ O 图 (a)
x
x
图 (b)
(3)带电微粒在y轴右方(X> O)的区域离开磁场并做 匀速直线运动．靠近上端发射出来的带电微粒在穿出 磁场后会射向X轴正方向的无穷远处，靠近下端发射 出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以， 这束带电微粒与X轴相交的区域范围是X> 0．
y 装带 置点 微 粒 发 射
y
D
C
v0 O x
A
B
解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于 BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上， 故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a，得B= mv0/ea。 （2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。 设某射中A点的电子速度方向与BA的延长线夹角为θ D 的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中圆弧 Ap的圆心为O，pq垂直于BC边 ，圆弧Ap的半径仍为a， 在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中，p点的 A 坐标为(x，y)，则 x=asinθ，y=acosθ。 C E pq F B O
y
v0 O x
解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
圆周运动
2 v0 mv0 ev0 B m r= r eB v0 所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 O O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆 心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分 之一圆周上，如图所示。
y
O1 O2 O3 O5 O4
x
由图可知，a、b、c、d 等点就是各电 子离开磁场的出射点，均应满足方程
当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时,存在两条特殊 规律: 1、从磁场边界上以相同速度平行入射的相同 粒子,又会聚焦于磁场边界上的同一点。 2、反之,从磁场边界上某点向四周发射速率相 同的粒子,其出射方向都平行于入射点的切线方向.
磁聚焦概括：
一点发散成平行 (磁发散）
平行会聚于一点 （磁聚焦）
例1、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内有与y对称思想
v0
-2H
v0

解析：本题考查磁聚焦和磁扩散的应用．首先分析在第 二象限的磁场情况，为使电子汇聚于O点，由磁聚焦原 理可知，磁场圆应与x轴相切于o点，建立以01 为圆心， 半径为R的磁场区域，所有平行于X轴的电子以运动半径 R=mv/eB 进入磁场区域，必汇聚于0点．为使电子不 过 Y轴，边界H 的电子从A点进入磁场，在0 点并与Y 轴相切出磁场，易得到R=H．不难得到第二象限最小的 磁场区域如图B2=mv/eH，面积为S2=( -2)H2/2 同理可知在第一象限：BI= mv/2eH，方向垂直纸面 向里，面积为SI=2( 一2)H2 ． 在第三象限：B3= mv/eH，方向垂直纸面向外，面积 为S3=( -2)H2/2． 在第四象限：B4= mv/2eH ，方向垂直纸面向外， 面积为Siv=2(一2)H2 ．
例3、如图所示，在 xOy平面上－H < y< H的范围内有一
片稀疏的电子，从 x 轴的负半轴的远外以相同的速率 v0 沿 x 轴正向平行地向 y 轴射来，试设计一个磁场区域，
使得：(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点 O；
(2)这一片电子最后扩展到 －2H<y<2H 范围内，继续沿 x 轴正向平行地以相同的速率 v0向远处射出。已知电子的 电量为 e，质量为 m，不考虑电子间的相互作用。
y (mv0/qB) 2 v0 1 M N O 1 2 3 x(mv0/qB) a b c
例、（1975 IPHO试题）质量均为m的一簇粒子在P点以同一
速度v向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场B 将这些粒子聚焦于R点，距离PR=2a，离子的轨迹应是轴 y 对称的。试确定磁场区域的边界。
解答：在磁场B中，粒子受洛仑兹力作用
O/
R
R Q
x
(2)这束带电微粒都通过坐标原点。 如图（b)所示，从任一点P水平进入磁场的 带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，圆 心位于其正下方的Q点，设微粒从M 点离开磁 场．可证明四边形PO’ MQ是菱形，则M 点就是坐 标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点0．
y
y
R
P v
R Q
θ O/ O
例、如图，在xOy平面内，有以O′(R，0)为圆心，R为半径的圆
形磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直xOy平面向外， 在 y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场 强度大小为E。在坐标原点O处有一放射源，可以在xOy平面 内向 y 轴右侧（x >0）发射出速率相同的电子，已知电子在 y 该磁场中的偏转半径也为 R， E 电子电量为 e，质量为 m。 不计重力及阻力的作用。 R （1）求电子射入磁场时的速度大小； （2）速度方向沿x轴正方向射入磁场 的电子，求它到达y轴所需要的时间； O O′ x （3）求电子能够射到y轴上的范围。
例、(2008· 重庆高考)如图为一种质谱仪工作原理示意图。在
以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布 着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分 别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于M，且 OM=d。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出， 这些离子在CM方向上的分速度均为v0。若该离子束中比 荷为q/m的离子都能会聚到D，试求： （1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运 动的离子为研究对象）； （2）离子沿与CM成 θ 角的直线 CN进入磁场，其轨道半径和在 磁场中的运动时间； （3）线段CM的长度。