最新人教版中考数学复习解题指导：第32讲 轴对称与中心对称
中考数学考前知识点命题点精讲4 轴对称与中心对称
重合
对称轴
重合
对称轴
轴对称图形
轴对称
轴对称 的性质
（1）对应点的连线被对称轴___________；（2）对应线段_______，对应角_______；（3）若对应线段或延长线有交点，则它们的交点在_________上；（4）成轴对称的两个图形_______
常见的轴 对称图形
线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、正 （ ,且 是整数）边形、圆等
对称中心
平分
1. 将下列图形的对应序号填写在相应横线上.
（1） 是轴对称图形的有_________________；
①②④⑤⑧⑨⑫
（2） 是中心对称图形的有_______________；
②③⑧⑨⑩⑪
（3） 是轴对称图形但不是中心对称图形的有___________；
①④⑤⑫
（4） 既是轴对称图形又是中心对称图形的有_________；
②⑧⑨
（5） 只有1条对称轴的图形有_______；对称轴超过2条的图形有___________.
⑤⑫
①②④⑨
2. 如图， 与 关于 所在直线对称.
第2题图
（1） 若 ，则 _____；
（2） 线段 与直线 的位置关系是___________________；
第七章 图形的变化
命题点4
轴对称与中心对称
考试要求
1.通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
2.了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
3.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
4.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
人教版初三数学：中心对称与中心对称图形--知识讲解
中心对称与中心对称图形--知识讲解【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：中心对称与中心对称图形的区别与联系】1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称和中心对称图形【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例3及练习】1.（2015春•鄄城县期末）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确；对称点到对称中心的距离相等，故③正确；故①②③④都正确．故选D．【总结升华】中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.举一反三【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】2. 我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.【答案与解析】【总结升华】线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是重要的几种对称几何图形，要了解其性质特点更要熟记.类型二、作图3. 已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.【答案与解析】【总结升华】解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件. 举一反三【高清课堂：高清ID 号： 388635 关联的位置名称（播放点名称）：例5及练习】【变式】如图①， 1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．【答案】图①：13O O 或24O O 或AC 或BD;图②：5O M 或4O A类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明1o 2o3o 4oCB D A 图① 图② 1o 2o 3o 4o 5o A BC E D4.（2014春•青神县校级月考）已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．【答案与解析】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；（2）解：∠F=∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，∴∠F=∠MCD．【总结升华】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．举一反三【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例4及练习】【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．【答案】4.附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式 半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n °的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n °的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)CBAO【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）A EB C F P【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：28028=.3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
人教数学九年级上册-中心对称知识讲解人教版
专题23.4 中心对称（知识讲解）【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：特别说明：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称图形与轴对称图形的识别1．1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念分析判断即可．解：A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意．故选：A．【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的知识，理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．举一反三：【变式1】习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；故符合题意的是选项B；故选：B．【点拨】本题主要考查中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．【变式2】下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．解：A 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项错误；B 、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B 选项正确；C 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C 选项错误；D 、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 选项错误．故答案为B ．【点拨】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心旋转180度后与原图重合．类型二、利用中心对称图形作图2．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以ABC A 下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作关于点对称的；ABC A O A B C '''V （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上ABC A A 的．A B C '''V【分析】（1）分别作出A ，B ，C 三点关于O 点对称的点，，，然后顺次连接即可得A 'B 'C '；A B C '''V（2）计算得出AB=AC=5，再根据旋转作图即可．解：（1）如图1所示；（2）根据勾股定理可计算出AB=AC=5，再作图，如图2所示．【点拨】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．举一反三：【变式1】如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．【分析】根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．【点拨】本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.【变式2】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2；（2）△A 2B 2C 2与△ABC 是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）画图见分析；（2）（0，2）.解：分析：（1）根据中心对称和平移性质分别作出变换后三顶点的对应点，再顺次连接可得；（2）根据中心对称的概念即可判断．详解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2即为所求；（2）由图可知，△A 2B 2C 2与△ABC 关于点（0，2）成中心对称．【点拨】本题考查了中心对称作图和平移作图，熟练掌握中心对称的性质和平移的性质是解答本题的关键. 中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.类型三、利用中心对称图形性质求值3.如图，与关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且ABO A CDO △AF =CE ．求证：FD =BE．【分析】根据中心对称得出OB =OD ，OA =OC ，求出OF =OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB =OD ，OA =OC ．∵AF =CE ，∴OF =OE ．∵在△DOF 和△BOE 中，，BOE OB OD DOF OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD =BE ．举一反三：【变式1】如图，在中，D 为BC 上任一点，交AB 于点ABC A //DE AC 交AC 于点F ，求证：点关于AD 的中点对称．//E DF AB ，E F，试题分析：根据题意推知四边形AEDF 是平行四边形，则该四边形关于点O 对称．证明：如图，连接EF 交于点O ．交AB 与交AC 于F ，//DE AC //E DF AB ，四边形AEDF 是平行四边形，∴点关于AD 的中点对称．∴E F ，【变式2】如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接BE．(1)图中哪两个图形成中心对称；(2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．【答案】（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）8．【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8．【点拨】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．类型四、坐标系中的中心对称图形4、在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出PB1+P C1的最小值为 ．【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析；（3【分析】（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A2、B2，即可得到△A2B2C；（3）作C1（或B1）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解．解：（1）（2）如图所示（3）如图，作C 1点关于x 轴的对称点C 4在Rt ΔC 4DB 1中，C 4B 1=举一反三：【变式1】已知点P （x ，y ）的坐标满足方程（x+3），求点P 分别关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标．【答案】点P 关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），（3，4）．【分析】先根据非负数的性质通过方程式求得、的值，即得到点的坐标，然后x y P 求点分别关于轴，轴以及原点的对称点坐标.P x y解：由题意，得x+3=0，y+4=0，解得x=﹣3，y=﹣4，P 点的坐标为（﹣3，﹣4），点P 关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），（3，4）．【点拨】本题是一道小综合题，涉及了非负数性质、点的坐标及点关于轴、轴以x y 及原点的对称的性质，是考查学生综合知识运用能力的好题.【变式2】在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O 的对称点为点C ．（1）若A 点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC ．设AB 与y 轴的交点为D ，则= ；ADOABC S S D D （2）若点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则△ABC的形状为．【答案】（1）；（2）直角三角形．14【分析】（1）由A 点的坐标为（1，2），根据关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，求出B 、C 的坐标，继而得到点D 的坐标，在坐标轴上描出A 、B 、C ，顺次连接A 、B 、C 三点可得到△ABC ；根据各点的坐标可得到AD 、OD 、AB 、BC 的长度，然后利用三角形面积公式即可得到答案；（2）点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则B 点坐标为（−a ，b ），C 点坐标为（−a ，−b ），则AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，至此结合x 轴与y 轴的位置关系就不难判断出△A BC 的形状.解：（1）∵A 点的坐标为（1，2），点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O的对称点为点C ，∴B 点坐标为（-1，2），C 点坐标为（-1，-2），连AB ，BC ，AC ，AB 交y 轴于D 点，如图，D 点坐标为（0，2），∴S △ADO =OD •AD =×2×1=1，S △ABC =BC •AB =×4×2=4，12121212∴=；ADO ABC S S A A 14（2）点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则B 点坐标为（-a ，b ），C 点坐标为（-a ，-b ），AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，AB =2|a |，BC =2|b|，∴△ABC 的形状为直角三角形．【点拨】本题考查了关于原点对称的坐标特点：点P (a ，b)关于原点的对称点P′的坐标为(–a ，–b )．也考查了关于x 轴、y 轴对称的坐标特点以及三角形的面积公式．类型三、中心对称图形的综合运用5、已知：如图，三角形ABM 与三角形ACM 关于直线AF 成轴对称，三角形ABE 与三角形DCE 关于点E 成中心对称，点E 、D 、M 都在线段AF 上，BM 的延长线交CF 于点P ．（1）求证：AC=CD ；（2）若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；(2)∠F=∠MCD.理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，∴∠F=∠MCD.【点拨】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.举一反三：【变式1】如图，已知点A（2，3）和直线y=x，（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B 、C 的坐标；（2）若点D 是点B 关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD 的形状，并说明理由．【答案】（1）B （3，2），点C （﹣2，﹣3）；（2）四边形ABCD 是矩形．理由见分析.【分析】（1）依据关于直线y =x 的对称点的坐标特征以及关于原点的对称点的坐标特征，即可得到B （3，2），C （﹣2，﹣3）；（2）先依据轴对称和中心对称的性质，得到四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC =BD ，即可得出四边形ABCD 是矩形．解：（1）∵A （2，3），∴点A 关于直线y =x 的对称点B 和关于原点的对称点C 的坐标分别为：B （3，2），C （﹣2，﹣3）；（2）四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵B （3，2）关于原点的对称点为D （﹣3，﹣2）．又∵点B 点D 关于原点对称，∴BO =DO ．同理AO =DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵A 关于直线y =x 的对称点为B ，点A 关于原点的对称点C ，∴AC =BD ，∴四边形ABCD 是矩形．【点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．【变式2】（1）画图：图①为正方形网格，画出绕点顺时针旋转后的图ABC A O 90 形．（2）尺规作图：在图②中作出四边形关于点对称的图形（不写作法，保留ABCD O 作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．【分析】（1）连结OA 、OB 、OC ，将OA 、OB 、OC 绕着点O 顺时针旋转90°得OD ，OE ，OF ，顺次连接即可；（2）连结AO 、BO 、CO 、DO 并延长，在延长线上截取A′O=AO ，B′O=BO ，C′O=CO ，D′O=DO ，顺次连接即可．解：（1）连结OA 、OB 、OC ，将OA 、OB 、OC 绕着点O 顺时针旋转90°得OD ，OE ，OF ，顺次连结DE ，EF ，FD ，如图①，则为所求；DEF A（2）连结AO 、BO 、CO 、DO 并延长，在延长线上截取A′O=AO ，B′O=BO ，C′O=CO ，D′O=DO ，顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A ，'如图②，四边形为所求．A B C D ''''【点拨】本题考查旋转作图，中心对称作图问题，掌握旋转作图与中心对称作图的方法与步骤是解题关键．。
中考数学专题复习9.1图形的轴对称与中心对称课件新人教版
中考总复习 9.1 提高 No.13
E
中考总复习 9.1 提高 No.13
F G
选择填空题答案
中考总复习 9.1 答案
9.1 课中检测
1. D 2. C 9.1 课后检测 1-5 DCABA
中考总复习 9.1 课后 No.7
中考总复习 9.1 课后 No.8
中考总复习 9.1 课后 No.9
中考总复习 9.1 课后 No.10
A2
C1
A1 B2 B1 C2
既是轴对称 也是中心对称
中考总复习 9.1 课后 No.11
P
P
P
中考总复习 9.1 提高 No.12
中考总复习 9.1 提高 No.13
B1
C1
A1
A2
C2
B2
中考总复习 9.1 课中 No.4
E′
中考总复习 9.1 课后
中考总复习 9.1 课后 No.1
D
中考总复习 9.1 课后 No.2
C
中考总复习 9.1 课后 No.3
A
中考总复习 9.1 课后 No.4
B
中考总复习 9.1 课后 No.5
A
中考总复习 9.1 课后 No.6
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D
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C
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2025年中考数学总复习第一部分考点梳理第32课时对称
A
B
C
D
考点1
考点2
考点3
考点4
例2：下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既 是轴对称图形又是中心对称图形的是( C )
A
B
C
D
考点1
考点2
考点3
考点4
例3：如图，在8×8的方格纸中，P，Q为格点，△ABC的顶点 均在格点上，请按要求画图.
考点1
考点2
考点3
考点4
(1)在图①中画出格点△DEF，点A，B，C的对应点分别为D， E，F，使得△DEF与△ABC关于线段PQ成轴对称.
A'B＋d
值为AB
（一）
（二）
（三）
（四）
(四)图形的折叠 1.位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称； 2.折叠前后的两个图形全等，对应边、角、线段、周长、 面积均相等；
3.折叠前后，对应点的连线均被折痕垂直平分.
（一）
（二）
（三）
（四）
考点1 轴对称与中心对称[8年3考] 类型1：概念及画图 例1：第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图 所示的巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是 [2024漳州二模4分]( B )
心，而且被对称中心平分；
一个图形，对称中心是 (2)中心对称的两个图形是全
图形自身或内部的点 等图形.
（一）
（二）
（三）
（四）
1.请画出如图所示的正多边形的一条对称轴，是中心对称图形 的再画出对称中心.
解：如图.(所画实线为对称轴，对称轴不唯一)
（一）
（二）
（三）
（四）
2.如图，请画出△ABC关于x轴、y轴、原点对称的三角形.
【中考一轮复习】图形的变换---轴对称与中心对称课件
5.如图,将△ABC折叠,使点A与BC边中点D重合,
折痕为MN,若AB=9,BC=6,则△DNB的周长为( A )
A.12 B.13
C.14
D.15
A
C
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
N
B
当堂训练
6.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90º,将△ABC折叠,使A点与
BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( C )
是( C ) A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米
考点聚焦---轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合, 轴对称 那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称
轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
轴对称 如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重 图形 合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.
人教版中考数学第一轮总复习
第七单元 图形的变化
§7.3 轴对称与中心对称
目录
01 轴对称与轴对称图形 02 中心对称与中心对称图形
典型例题
【例1-1】下列四个图案中，不是轴对称图案的是( B )
A．
B．
C．
D．
解：A有3条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；
B没有对称轴，不是轴对称图形，故本选项正确；
△CDA,点A,B,C的坐标分别为(-5,2),(-2,-2),(5,-2),则点D的坐
标为( A )
A.(2,2) C.(2,5)
B.(2,-2) D.(-2,5)
y
A
D
A
x
B
C
做关于对称中心的对称点.
【精品课件】2020(新增4页)教版中考数学复习解题指导：第32讲 轴对称与中心对称_21-25
弦章听了，深有感触。，”普罗米修斯回答说：“你为什么无缘无故责备我?凡是我能造的，你都具备了
第32讲┃ 回归教材
中考变式
[2010淮安] (1)观察发现 如图32－5，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一 点P，使AP＋BP的值最小． 作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′， 与直线l的交点就是所求的点P； 再如图32－6，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是 AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的 值最小．
1 又因为OA＝OE＝2CD＝2， 所以△OAE为等腰直角三角形，所以AE＝2 2. 即BP＋AP的最小值为2 2.
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4
第32讲┃ 回归教材
3)如图，找B关于AC的对称点E，连接DE并延长交AC于点P即可．
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5
主人好奇，便向心理医生问起事情的原委。猴子们顿时惊慌失措，个个手忙脚乱找洞子钻，却怎么也钻不出来，最后束手就擒，成了农人们的俘虏。 “难道你不可以在我触礁前，就预先告诉我暗礁所在吗?”小船问。
＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值；(1)观察发现
图32－7
图32－8
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2
第32讲┃ 回归教材
(3)拓展延伸 如图32－8，在四边形ABCD的对角线 AC上找一点P，使∠APB＝∠APD.保留 作图痕迹，不必写出作法．
精品课件
3
第32讲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 回归教材
(2)如图： 作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE， 连接AE交CD于一点P，连接PB，此时AP＋BP最小． 因为AD的度数为60°，点B是AD的中点， 所以∠AOB＝∠BOD＝30°. 因为B关于CD的对称点为E， 所以∠BOE＝60°， 所以△OBE为等边三角形， 所以∠BOE＝∠OEB＝60°.则∠AOE＝90°.
专题23.3 中心对称(知识讲解)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
专题23.3 中心对称（知识讲解）【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：特别说明：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称求线段、角、面积1．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．【答案】见解析.【分析】根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．【点拨】本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点．已知AC=4，BC=6.(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形；(2)根据图形说明线段CD长的取值范围.【答案】(1)所画图形如图所示见解析；(2) 1<CD<5.【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；（2）根据三角形的三边关系求解即可．解：(1)所画图形如下所示：ΔADE就是所作的图形.(2)由(1)知：△ADE≌△BDC，则CD=DE，AE=BC∴AE-AC<2CD<AE+AC，即BC-AC<2CD<BC+AC∴2<2CD<10解得：1<CD<5.【点拨】本题考查了中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中，解答第（2）问的关键是通过△ADE△△BDC ，将2CD 放在△ACE 中求解．【变式2】如图，在ABC 中，D 为BC 上任一点，//DE AC 交AB 于点//E DF AB ，交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据题意推知四边形AEDF 是平行四边形，则该四边形关于点O 对称． 证明：如图，连接EF 交于点O ．//DE AC 交AB 与//E DF AB ，交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴点E F ，关于AD 的中点对称．类型二、中心对称图形2．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，点B ，点O 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点A 关于点O 的对称点1A ；（2）连接1A B ，将线段1A B 绕点1A 顺时针旋转90°得点B 对应点1B ，画出旋转后的线段11A B ；（3）连接1AB ，求出四边形11ABA B 的面积．【答案】作图见解析；（2）作图见解析；（3）24．【分析】（1）连接AO 并延长一倍即可得到1A ；（2）由于1A B 是一个44⨯正方形对角线，再找一个以1A 为顶点的44⨯正方形，与1A 相对的点即为1B ，连接线段11A B ；（3）连接1BB ，由11111ABB A BB ABA B S SS =+四边形求出四边形面积． 解：如图所示（1）作出点A 关于点O 的对称点1A ；（2）连接1A B ，画出线段11A B ；（3）连接1BB ，过点A 作1AE BB ⊥于点E ，过点1A 作11A F BB ⊥于点F ；11111ABB A BB ABA B S SS =+四边形 1111122BB AE BB A F =⋅+⋅ 11828422=⨯⨯+⨯⨯ 24=．△四边形11ABA B 的面积是24．【点拨】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键．举一反三：【变式1】已知：如图，三角形ABM 与三角形ACM 关于直线AF 成轴对称，三角形ABE 与三角形DCE 关于点E 成中心对称，点E 、D 、M 都在线段AF 上，BM 的延长线交CF 于点P ．（1）求证：AC=CD ；（2）若△BAC=2△MPC ，请你判断△F 与△MCD 的数量关系，并说明理由．【答案】见解析【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．(1)证明：△△ABM 与△ACM 关于直线AF 成轴对称，∴△ABM ≌△ACM ，∴AB=AC ，又∵△ABE 与△DCE 关于点E 成中心对称，∴△ABE ≌△DCE ，∴AB=CD ，∴AC=CD ；(2)∠F=∠MCD.理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE ，∠CMA=∠BMA ，∵∠BAC=2∠MPC ，∠BMA=∠PMF ，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM −∠PMF=α−β，∠MCD=∠CDE −∠DMC=α−β，∴∠F=∠MCD.【点拨】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.【变式2】 如果一条抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；若抛物线2y x bx =-+（0b >）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b = ．（2）如图，△OAB 是抛物线2'y x b x =-+（'0b >）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（3）若抛物线2484y x mx m =-+-+与直线3y =交点的横坐标均为整数，是否存在整数m 的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）等腰，2；（2）存在，y ＝x 2＋；（3）抛物线与直线y ＝3交点的横坐标均为整数时m ＝2或m ＝0【分析】(1)抛物线的顶点必在抛物线与x 轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定 是等腰三角形。
中考数学必考知识点-轴对称与中心对称
中考数学必考知识点轴对称与中心对称知识点回顾知识点一：轴对称、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是的，那么就称这样的图形为轴对称图形。
这条直线称为，一定为直线。
2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成，两个图形中的对应点叫。
例1：（2009湖南株洲）下列四个图形中，不是．．轴对称图形的是A．B．C．D．解析：轴对称图形的特点就是对折后两旁部分完全重合，所以，判断图形是不是轴对称图形，关键是观察能不能找到一条直线可以对折。
四幅图案中，A、B、C都是轴对称图形；D不是。
选择D。
同步测试：1．（2009广西梧州）在下列对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（）A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D。
正六边形【答案】B2.（2009贵州黔东南州）在下列几何图形中一定是轴对称图形的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】B知识点二：轴对称图形的性质1、轴对称图形的对应线段，对应角，对应点的连线被对称轴。
轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在 上。
2、轴对称图形变换的特征是不改变图形的 和 ，只改变图形的 ，新旧图形具有对称性。
例2：（2009湖北荆门）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB =（ ） A ．40° B．30° C．20° D．10° 解析：有关折叠问题是中考常考的题型，必须要辨别清楚折叠前后图形和数量关系。
本题中，将∠A 折叠，出现了轴对称，∠CA ′D =∠A ，因为∠A =50°，所以∠CA ′D =50°。
在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =90°-∠A =40°。
∠CA ′D 是△ A ′B D 的一个外角，等于∠A ′DB 与∠B 之和，所以∠A ′DB =∠A ′DB -∠B =50°- 40°=10°。
初中中考复习之轴对称和中心对称(精编含答案)
中考复习之轴对称和中心对称一、选择题：1.下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【】． ． ． ．A ．等腰三角形B ．正五边形C ．平行四边形D ．矩形7.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A ．B ．C ．D ．8.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】9.下列图形中不是中心对称图形的是【】2A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正五边形10.下列图案中，属于轴对称图形的是【】A ．B ．C ．D ．11.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【】A 12. A ． ．13.A ．． ． 14.15.A ．B ．C ．．16.17.A ．平行四边形B ．等边三角形C ．等腰梯形D ．正方形18.下列图形中是轴对称图形的是【】19.下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A ．等边三角形B ．矩形C ．平行四边形D ．等腰梯形20.下列两个电子数字成中心对称的是【】21.下列图形中，是．中心对称图形，但不是．．轴对称图形的是【】22.下列图形中，有且只有两条对称轴的中心对称图形是【】.A.正三角形B.正方形C.圆D.菱形23.在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是【】A．B．C．D．24.下列图形：①等腰梯形，②菱形，③函数1y=的图象，④函数y=kx+b(k≠0)的图】A．25.A．．26.A27.A．B．C．28.A．B．C．D．29.岳阳楼是江南三大名楼之一，享有“洞庭天下水，岳阳天下楼”的盛名，从图中看，你认为它是【】A．轴对称图形B．中心对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形30.在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是【】31.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A．等边三角形B．平行四边形C．正方形D．等腰梯形32.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A ．B ．C．D ．ABCD34.A.4个35.36.A. B. C. D.37.直角有【】A．1种B．2种C．3种D．4种38.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】A ．B ．C ．D ．39.下列图形是中心对称图形的是【】4A．B．C．D．40.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】．B．C．D．．D．A. B. C. D.47.下列图形中，是中心对称图形的是【】A．B．C．D．48.下列图形中是中心对称图形是【】A ．B ．C ．D ．49.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有【】A．1个B．2个C．3个D．4个50.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】A51.A ．．．．52.①A53.54.A．B．C．D．55.娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【】56.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A．B．C．D．657.下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A．B．C．D．58.如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A59.A．．．60.BC、CDA61.A．B．C．62.下列哪个函数的图象不是中心对称图形【】A.y2x=- B.3yx=C．()2y x2=- D.y2x=63.下列图形是中心对称图形的是【】．(A)(B)(C)(D)864.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】A ．B ．C ．D ．二、填空题： 1.点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐2.3.是 ．4.B 作PA1.－1）B （－①的坐标；（4分）②画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标.（4分）2.阅读材料：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x可以看成点P与点A（0，1P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的，所以（10）与点A（23.（1（24.泵点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP 的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．10 ②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）．（25.（1 1、B213、23、33、43、53、63、1、52三、解答题：1、解：①如图所示，A 1（－2，1）。
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图32－2
第32讲┃ 归类示例
[解析] 连接 CD，交 MN 于 E， ∵将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处， ∴MN⊥CD，且 CE＝DE，∴CD＝2CE. ∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB， S△CMN CE 2 1 ∴ ＝ ＝ . 4 S△CAB CD ∵在△CMN 中，∠C＝90°，MC＝6，NC＝2 3， 1 1 ∴S△CMN＝ CM·CN＝ ×6×2 3＝6 3， 2 2 ∴S△CAB＝4S△CMN＝4×6 3＝24 3. ∴S 四边形 MABN＝S△CAB－S△CMN＝24 3－6 3＝18 3.
第32讲┃ 归类示例
此类作图问题的关键是根据轴对称与中心对称坐标特征 求出对称点的坐标．
第32讲┃ 回归教材
回归教材
“输气管线路最短”问题的拓展创新 教材母题 人教版八上P42探究
如图32－4，要在燃气管道l上修建一个泵站，分 别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可 使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试 一试，能发现什么规律？
第32讲┃ 归类示例 ► 类型之二 图形的折叠与轴对称
命题角度： 图形的折叠与轴对称的关系．
例 2[2012·资阳] 如图 32－2， 在△ABC 中， ∠C＝90°， 将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，已知 MN∥AB， MC＝6，NC＝2 3，则四边形 MABN 的面积是( C ) A．6 3 B．12 3 C．18 3 D．24 3
第32讲 轴对称与中心对 第33讲 平移与旋转 第34讲 投影与视图
第32讲┃轴对称与中心对
第32讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 轴对称与轴对称图形 轴对称 把一个图形沿着某一条 直线折叠，如果它能够 重合，那 与另一个图形____ 么就说这两个图形关于 这条直线对称，这条直 线叫做对称轴．折叠后 重合的点是对应点，叫 对称点 两个 轴对称图形 如果一个图形沿某一直线对 折后，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做 轴对称图形 ____________，这条直线叫 做它的对称轴．这时我们也 说这个图形关于这条直线(成 轴)对称 一个 轴对称图形是指具有特殊ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 状的________图形
区别
中心对称是指两个全等 中心对称图形是指具有特 图形之间的相互位置关 殊形状的一个图形 系
第32讲┃ 考点聚焦
联系
①如果把中心对称的两个图形看成一个整体 (一个图形)，那么这个图形是中心对称图形； ②如果把一个中心对称图形中对称的部分看 成是两个图形，那么它们成中心对称
(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都 中心对称 平分 经过对称中心，而且被对称中心________ 的性质 全等 (2)成中心对称的两个图形________
第32讲┃ 归类示例
解：(1)作图如下．⊙P′与直线 MN 相交．
(2)连接 PP′并延长交 MN 于点 Q，连接 PN、P′N， 由题意可知：在 Rt△P′QN 中，P′Q＝2，P′N＝3，由勾股定理可求出 QN ＝ 5. 在 Rt △ PQN 中， PQ ＝ 3 ＋ 5 ＝ 8 ， QN ＝ 5 ，由勾股定理可求出 PN ＝ 82＋（ 5）2＝ 69.
轴对称 的性质
第32讲┃ 考点聚焦 考点2 中心对称与中心对称图形 中心对称
中心对称图形
定义
把一个图形绕着某一点 旋转________ 180° 后，如果 它能与另一个图形 重合 ，那么就说这 ________ 两个图形关于这个点成 中心对称，该点叫做 对称中心 ________
把一个图形绕着某一点旋 转________ 180° ，如果旋转后 的图形能够与原来的图形 重合，那么我们把这个图 形叫中心对称图形，这个 对称中心 点叫做________
第32讲┃ 归类示例
图32－3
第32讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据关于y轴对称的点的横坐标互 为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后 以3为半径画圆即可；再根据直线与圆的位置 关系解答； (2)设直线PP′与MN相交于点Q，在Rt△QP′N 中，利用勾股定理求出QN的长度，在 Rt△QPN中，利用勾股定理列式计算即可求出 PN的长度．
第32讲┃ 归类示例
图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两个部分全 等．
第32讲┃ 归类示例 ► 类型之三 轴对称与中心对称有关的作图问题
命题角度： 1. 利用轴对称的性质作图； 2. 利用中心对称的性质作图； 3. 利用轴对称或中心对称的性质设计图案． 例3 [2012·广州] 如图32－3，⊙P的圆心P(－3，2)， 半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在 点M的上方． (1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接 写出⊙P′与直线MN的位置关系； (2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．
第32讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 轴对称图形与中心对称图形的概念 命题角度： 1. 轴对称的定义，轴对称图形的判断； 2. 中心对称的定义，中心对称图形的判断． 例1 [2012·丽水] 在方格纸中，选择标有序号①②③④ 中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称 图形，该小正方形的序号是( B ) A．① B．② C．③ D．④
图32－1
第32讲┃ 归类示例
[解析] 如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑 ，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图 形．
第32讲┃ 归类示例
(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形； (2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能 与自身重合的图形是中心对称图形．
定义
区别
轴对称是指________全 等图形之间的相互位置 关系
第32讲┃ 考点聚焦
联系
①如果把轴对称的两个图形看成一个整 体(一个图形)，那么这个图形是轴对称 图形；②如果把一个轴对称图形中对称 的部分看成是两个图形，那么它们成轴 对称 (1)对称点的连线被对称轴________ 垂直平分 相等 (2)对应线段________ 对称轴 (3)对应线段或延长线的交点在________ 上 全等 (4)成轴对称的两个图形________