权方和不等式专题研究(最终完美版)
第九章 第4节 二维形式的权方和不等式秒杀分式最值-解析版
第九章第4节二维形式的权方和不等式秒杀分式最值-解析版在数学中，我们经常会遇到求解函数的最值问题。
当我们遇到分式不等式的最值问题时，通常情况下会使用二维形式的权方和不等式来解决。
本节将介绍如何使用二维形式的权方和不等式解决秒杀分式最值的问题。
为了更好地理解和应用二维形式的权方和不等式，我们先来了解一下什么是权方和不等式。
权方和不等式是指带有权系数的方和式的不等式。
一般形式如下：A₁x₁² + A₂x₂² + ··· + Aₙxₙ² ≥ 0 (1)其中，A₁、A₂、···、Aₙ为实数，x₁、x₂、···、xₙ为变量。
当不等式 (1) 中等号成立时，即 A₁x₁² + A₂x₂² + ··· + Aₙxₙ² = 0 时，我们称其为零和不等式。
我们知道，零和不等式的解只有一个解，即 x₁ = x₂ = ··· = xₙ = 0。
而当不等式 (1) 中等号不成立时，我们称其为非零和不等式。
接下来，我们以一个例子来说明如何使用二维形式的权方和不等式解决秒杀分式最值的问题。
假设我们要求解函数 f(x) = (x² + 1)/(x² - 1) 的最小值。
我们可以先化简该分式，得到 f(x) = 1 + 2/(x² - 1)。
现在的问题就是要求出 2/(x² - 1)的最大值。
为了解决这个问题，我们可以将 2/(x² - 1) 转化为二维形式的权方和不等式。
具体操作如下：首先，我们令 y = (x² - 1)，则 x² = y + 1。
将 x²的形式代入 2/(x² - 1) 中，得到 2/(y + 1 - 1) = 2/y。
权方和不等式(含柯西不等式的应用)(高阶拓展、竞赛适用)(教师版)-2025版高中数学一轮复习考点帮
第06讲权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式2+22+2≥B +B 2(s s s ∈s 当且仅当B =B 时，等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)2+2⋅2+2≥B +B (s s s ∈,当且仅当B =B 时，等号成立.)(2)2+2⋅2+2≥B +B (s s s ∈,当且仅当B =B 时，等号成立.)(3)++≥B +B 2(s s s ≥0,当且仅当B =B 时，等号成立.)3.扩展：12+22+32+⋯+212+22+32+⋯+2≥11+22+33+⋯+2二、权方和不等式:若,,,0a b x y >则222()a b a b x y x y ++≥+当且仅当a b x y=时取等.(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式:设1212,,,,,,,n n x x x R y y y R ++∈∈ ,若0m >或1m <-,则()()111112121212m m m m n n mm m m nn x x x x xx yyyy y y ++++++++++≥+++ ;若10m -<<,则()()111112121212m m m m n n m m m m n n x x x x x x y y y y y y ++++++++++≤+++ ;上述两个不等式中的等号当且仅当312123n nx x x x y y y y ==== 时取等注意观察这个不等式的结构特征,分子分母均为正数,且始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键,特别的,高考题中以1m =最为常见,此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.例1：若正数x ，y 满足111=+yx ，则y x 2+的最小值为______________解：()(()222111111121222x y x y x y x y ++=+=+≥+，即(()2111232x y x y +≤⇒+≥++，当且仅当122x y =时取等号，即1x =，12y =+时取等号所以y x 2+的最小值为3+例2：若0>x ，0>y ，2321=+++yx y x ，则y x 56+的最小值为______________解：()(()(22211311211343224246565x y x y x y x y x y x y x y x y +++=+=+≥++++++++即1343265x y+≥+，则13652x y +≥+()1324x y x y =++时取等号例3：已知正数,x y 满足491x y +=，则22492x x y y+++的最小值为解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x x y y x x y y x y x y⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=+≥=++++++++当且仅当944989y x x y =++时取等号.由49194,4989x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪++⎪⎩解得：17217x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，例4：若1>a ，0>b ，2=+b a ，则ba 211+-的最小值为______________解：(22211213111a b a ba b ++=+≥=+--+-，当且仅当121a b=-时取等号例5：若1>a ，1>b ，则1122-+-a b b a 的最小值为______________解：()()22222448112a b t a b t b a a b t t+++≥==++≥--+-当且仅当1122ab b a a b ⎧=⎪--⎨⎪+-=⎩时取等号，即2a b ==，所以2211a b b a +--的最小值为8例6：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则yx zx z y z y x 222222+++++的最小值为______________解：()222212222223x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++++≥=++++++++当且仅当222x y zy z z x x y==+++时取等号例7：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则zy x 941++的最小值为______________解：()222212314912336x y z x y z x y z++++=++≥=++，当且仅当123x y z ==时取等号例8：已知正数x ，y 满足1=+y x ，则2281y x +的最小值为______________解：()()3332222212181227x y x y x y ++=+≥=+当且仅当12x y=时取等号例9：求θθ22cos 4sin 1+的最小值为______________解：()()()()2221112222221214129sin cos sin cos sin cos θθθθθθ++=+≥=+当且仅当2212sin cos θθ=时取等号例10：求6cos 583sin 25)(22+++=x x x f 的最小值为______________解：()()()()22222222254585481()2sin 35cos 63752sin 325cos 610sin cos 27f x x x x x x x +=+==++++++当且仅当()()225452sin 325cos 6x x =++时取等号例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设*0,0,,0n n a b n m >>∈>N ，则()()11111123123123123m m m m m n nm m m m m n n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当123123n n a a a a b b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当1sin cos x x+取得最小值时，x 的值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12解：由题意得，sin 0,cos 0x x >>，则()()()333322221112222222131(31)48sin cos sin cos sincos x xx x x x++=+==+，当且仅当2231sin cos x x=，即1cos 2x =时等号成立，所以π3x =．例12：已知正数x ，y 满足194=+y x ，则yy x x +++22924的最小值为______________解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x xy y x x y y x yx y⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=≥=++++++++当且仅当944989y x xy=++时取等号例13：已知305432=++++v u z y x ，求222225432v u z y x ++++的最小值为______________解：()()()()()222222222222234523451234523453060123+4+515y z u v x x y z u v x y z u z ++++=++++++≥==++当且仅当x y z u v ====时取等号例14：已知0>a ，0>b ，5=+b a ，求31+++b a 的最大值为______________()()()()111222111122221313311112a b a b ----+++++=+≤==+当且仅当13a b +=+时取等号例15：求223223)(x x x x x f -+++-=的最大值为______________解：()()()()11222211221222123223()11322311x x x x f x x x x x----++-=-+++-≤=+当且仅当223223x x x x -+=+-时取等号例16：已知正数a ，b ，c 满足1=++c b a ，求131313+++++c b a 的最大值为___________解：()()()()()1112221112221212313131111313131111a b c a b c ----+++++++++++≤=++当且仅当13a b c ===时取等号例1：用柯西不等式求函数y=AB ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.【详解】由柯西不等式可得，函数y=4≤1时，即2x =时等号成立，故该的最大值为4.故选：C.例2：由柯西不等式，当24x y z++=）A ．10B ．4C ．2D【答案】D【分析】利用柯西不等式可得2(2)(424)x y z ++++≥+，即求.【详解】解：由柯西不等式，得2(2)(424)x y z ++++≥+，当且仅当2424x y z==，即82,25x z y ===时，等号成立.因为24x y z ++=，所以210≤，≤故选：D例3：已知,(0,)x y ∈+∞<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是．【答案】k >【详解】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++≤k >考点：柯西不等式例4：已知23612x y z ++=，求222x y z ++的最小值.（利用柯西不等式）【答案】14449【分析】利用柯西不等式进行求解．【详解】由柯西不等式可知：（222x y z ++）（4+9+36）2144(236)49x y z ≥++≥，22214449x y z ∴++≥，当且仅当243672,,,23649494923612x y z x y z x y z ⎧==⎪===⎨⎪++=⎩即【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．例5：已知正实数a ，b ，c ，d 满足1a b c d +++=，则1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++的最小值是．【答案】163/153【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1111a b c b c d c d a d a b++++++++++()1111133a b c d a b c b c d c d a d a b ⎛⎫⎡⎤=+++⨯+++ ⎪⎣⎦++++++++⎝⎭()()()()111113a b c b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++++++⨯+++ ⎪⎣⎦++++++++⎝⎭()2116111133≥+++=，当且仅当14a b c d ====时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.例6：已知非负实数a 、b 、c 、d 满足1ab bc cd da +++=，求证：33331.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++【答案】证明见解析【分析】利用切比雪夫不等式的推论、柯西不等式及均值不等式即可求解.【详解】不妨设0a b c d ≤≤≤≤，则22220a b c d ≤≤≤≤．记a b c d S +++=，则0S a S b S c S d -≥-≥-≥->，1111S a S b S c S d≤≤≤----．依次运用切比雪夫不等式的推论1、柯西不等式、均值不等式得到3333a b c d b c d c d a d a b a b c+++++++++++()2222222221()4a ab bc cd c a b c d a b c d S a S b S c S d ⋅⋅⋅⋅=+++≥+++⋅+++----1111S a S b S c S d ⎛⎫⋅+++ ⎪----⎝⎭()()()()()22221111148a b c d S a S b S c S d S a S b S c S d ⎛⎫⎡⎤=+++⋅-+-+-+-⋅+++ ⎪⎣⎦----⎝⎭()222221448a b c d ≥+++⋅()()()()2222222216a b b c c d d a ⎡⎤=+++++++⎣⎦1(2222)6ab bc cd da ≥+++11()33ab bc cd da =+++=，故原不等式正确．一、单选题1．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（）A ．1B ．4C．2+D．3+【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为01x <<，所以10x ->，则()121212133111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=+⋅+-=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当121x x x x-=-，即1x -时，等号成立，取得最小值3+故选：D ．2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x yyx +的最小值为（）A ．4B．C ．6D．3【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为0x >，0y >，且21x y +=，所以()112231331x x y x y xy y x x y y x y ⎛⎫=+=++=++≥+= ⎝⎭++⎪，当且仅当2x yy x =，即22x =，1y =时取等号.故选：D3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112+=y x，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y xxy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭31333222222xy xy =++≥+=+=当且仅当12112xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等.故选：C.4．（2024·四川成都·模拟预测）若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A ．45B ．23C ．1D ．2【答案】A【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+=+++=++++ ⎪⎣⎦⎣⎦++⎝⎭12431422532455a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A5．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O 为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（）A ．49B C ．79D ．1【答案】D【分析】由题可得点P 满足的圆方程227x y +=，进而()()22119x y +++=，然后利用基本不等式结合条件即得.【详解】由题意可得点P 的坐标满足227x y +=，所以，()()22119x y +++=．因此，()()222222141141111911x y x y x y ⎡⎤⎡⎤+=++++⎢⎥⎣⎦++++⎣⎦()22224111155219119x y x y ⎡⎡⎤++⎢⎢⎥=++≥+=⎢++⎢⎥⎣⎦⎣.当且仅当()222241111x y x y ++=++时，即x y ==故选:D ．6．（2024·全国·模拟预测）设正实数a ，b 满足2a b +=，则1112+++a b 的最小值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【分析】由已知可得125a b +++=，根据“1”的代换化简得出11121212512b a a b a b ++⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭.进而根据基本不等式，即可求得答案.【详解】因为2a b +=，所以125a b +++=，所以()111111212512a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭1212512b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当12,2a b a b +=++=，即31,22a b ==时，等号成立，所以1112+++a b 的最小值为45．故选：C ．7．（2021·浙江·模拟预测）已知0x >，R y ∈，且2530x xy x y +-+=，+（）AB C ．D ．【答案】C【分析】依题意得6x y +==+，进而由柯西不等式可得最大值.【详解】由2530x xy x y +-+=可得23050x x xy y --++=，即()()560x x y ++-=.由0x >可知6x y +=.由0x >，20x -≥可得02x <≤，由柯西不等式得2222124⎡⎤⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1=即12x =时，取等号.+故选：C.【点睛】关键点点睛：+之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值.8．（高三上·浙江宁波·期中）设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（）A ．2B ．92C ．132D ．9【答案】C【分析】根据题意可得2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解不等式即可求解.【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1221212213a b a b a ba b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121413a b b a a b ⎡⎤⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22212212591313a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当22a bb a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得12922a b ≤+≤所以12a b +的最大值为92；最小值为2；所以最大值和最小值之和为132.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.9．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【答案】A【分析】根据题意，()22m m n n =-+，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【详解】由20m n >>，20m n ∴->，()22m m n n =-+，()()22222233222m n n m n n m m n m nm n n m n n m n n-+-+-∴+=+=++≥---当且仅当222n m nm n n-=-，即(2m n =时等号成立.故选：A.10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数11,2x y >>，不等式()()222241211x y a y a x +≥--恒成立，则实数a 的最大值（）A ．2B ．4C ．2D ．【答案】D 【分析】首先不等式变形为2224211x y a y x ≤+--恒成立，再利用两次基本不等式求224211x y t y x =+--的最小值，即可求解a 的取值.【详解】不等式()()222241211x y a y a x +≥--恒成立，可转化为2224211x y a y x ≤+--恒成立，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，≥，=8≥=，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是111x x -=-且12121y y -=-，得2x =且1y =，此时第一次使用基本不等式()()()()221211212211211x x y y y x -+-+-+-+=--，说明两次基本不等式能同时取得，所以224211x y y x +--的最小值为8，即28a ≤，则a -≤所以实数a 的最大值为故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求224211x y t y x =+--的最值时，需变形为()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，再通过两次基本不等式求最值.二、填空题11．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n ∈+∞,，14n m+=，则9m n +的最小值为.【答案】4【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为(),0,m n ∞∈+，14n m+=，所以9191191044m m n mn n n m mn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11044⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时取等号.故答案为：412．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是．【答案】24【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+⎡⎤⎡⎤+=++-+=+++⎣⎦⎢⎥+-+-⎣⎦1224≥+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立，故答案为：2413．（2024·河南·三模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为．【答案】92【分析】,,a b c 是ABC 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.【详解】因为2a b c ++=，所以()411412a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+=⋅+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭1419552222c a b a b c ⎛+⎛⎫=⋅++≥⋅+= +⎝⎭⎝，当且仅当4c a b a b c +=+，即2a b c +=时等号成立，故41a b c ++的最小值为92．故答案为：92.14．（2024·广西河池·模拟预测）若实数10>>>a b ，且2222a b b a +=+，则111a b+-的最小值为.【答案】4【分析】根据10>>>a b ，将2222a b b a +=+化简可得20a b +-=，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【详解】由2222a b b a +=+可得()()20a b a b -+-=，因为10>>>a b ，所以0a b -≠，即20a b +-=，则11-+=a b ，则()1111112224111b a a b a b a b a b -⎛⎫+=+-+=++≥+ ⎪---⎝⎭，当且仅当11b a a b-=-，即31,22a b ==时等号成立，故111a b +-的最小值为4.故答案为：4.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是．【答案】3+3．【分析】利用“1”的巧用及基本不等式即可求解.【详解】由22x y +=，得211x y-+=，因为1x >，0y >，所以10,0x y ->>，所以121213(1)323211(1)y x y x y x y x x y ⎛⎫⎛⎫+=-++=+-+≥++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当且仅当2(1)(1)x y x y-=-，即x 2y =+所以11y x +-的最小值是3+故答案为：3+16．（2024·全国·模拟预测）已知0x y >>，621x y x y+=+-，则2x y -的最小值为．【答案】12【分析】令2a x y =+，2b x y =-，从而可得11x a b =+，11y a b =-，再根据()1323x y a b a b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式求解即可.【详解】令2a x y =+，2b x y =-，则2x y a+=，2x y b -=，且0a >，0b >，所以11x a b =+，11y a b=-．又31a b +=，所以()11111313223x y a ba b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭933612b a a b =+++≥+，当且仅当16a =，12b =，即8x =，4y =时，等号成立．故答案为：1217．（21-22高三上·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为.【答案】52/2.5【分析】将目标式转化为1421a b +-+，应用柯西不等式求141a b ++的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，1a b =-，则12122142111a b a b a b a b -+=+=+-+++，又214(1)()91a b a b +++==+，∴14912a b +≥+，当且仅当12b a +=时等号成立，∴12952122a ab +≥-=+，当且仅当1223b a +==时等号成立.∴121aa b ++的最小值为52.故答案为：52.18．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(],4∞-【分析】将2212x y x y +++变形为1414122431212x y x y x y ++-+++-=++++++，利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解.【详解】因为6x y +=，所以()()()()2222121124241212x x y y x y t x y x y +-+++-++=+=+++++1414122431212x y x y x y =++-+++-=++++++，所以1412143312912x y t x y x y ⎛⎫+++=++=++ ⎪++++⎝⎭()()()41322324991929x y x y ++=++≥+=++，等号成立当且仅当4,2y x ==，所以22min412x y x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4∞-.故答案为：(],4-∞【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到221431212x y x y x y +=++++++，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.19．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为.【答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y yx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x y x y ++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为：94.20．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为.【答案】3+3【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )332lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+21．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．【答案】2【分析】解法1、根据题意，得到22491236x y xy xy ++=+，结合基本不等式求得23(23)34x y +≤，进而求得23x y +的最大值；解法2、根据题意，得到222(96)33x y xy x +++=，利用权方和不等式得24(23)x y +≥，进而求得23x y +的最大值．【详解】解法1、由2249630x y xy ++-=，可得22491236x y xy xy ++=+，由基本不等式得2223(23)3233()2x y x y x y ++=+⋅≤+，可得23(23)34x y +≤，所以232x y +≤，当且仅当23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =⎧⎨++-=⎩，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．解法2、由2249630x y xy ++-=，可得222(96)33x y xy x +++=，因为0,0x y >>，由权方和不等式得222(3)(3)111133x y x x y x +++++≥，即24(23)x y +≥，所以232x y +≤，当且仅当3113x y x+=，即23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =⎧⎨++-=⎩，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．故答案为：2.22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三个正数,,x y z 满足31224x y z ++=，则2123x y y z+++的最小值为.【答案】22【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意,,x y z 为正数，()()312232234x y z x y y z ++=+++=，所以2123x y y z +++()()2132232314x y y z x y y z ⎛⎫++++++=⎡⎤ ⎣⎦⎝⎭()()433218423y z x y x y y z ++⎡⎤=+⎢⎥++⎣⎦1824⎡≥+=+⎢⎢⎣当且仅当()()()()22 4332,324323y z x yx y y z x y y z++=+=+ ++，)()223x y y z+=+，62331x yy z⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩时等号成立.故答案为：2+23．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cosf xx x=+，π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x=的最小值为．【答案】【分析】令πsin cos)4t x x x=+=+，可求t的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos)()sin cos sin cosx xf xx x x x+=+=，令πsin cos)4t x x x=+=+，由π2x<<，得ππ3π444x<+<，所以πsin()124x<+≤，则1t<由sin cost x x=+，得22(sin cos)12sin cost x x x x=+=+，所以21sin cos2tx x-=，则原函数可化为22244()1112t tg tt t tt===---，又函数1,y t yt==-在上单调递增，所以1y tt=-在上单调递增，故当t=时，1y tt=-取得最大值2，此时()g t取得最小值故答案为：24．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数,a b满足112121a ba ba b+++=+++，则a b+的最小值为.【分析】根据分离常量法可得112212121a ba b+=++++，结合权方和不等式计算可得(1)(1)1a b a b+-++≥，即2()2a b+≥，即可求解.【详解】0,0a b>>，111111(21)(21)112222221212121212121a ba ba ba b a b a b+++++++=+=+=++++++++，所以211221221212121211a ba b a b a b⎛⎫+⎪⎝⎭+-=+≥=+++++++，当且仅当222121a b =++即a b =时等号成立，所以(1)(1)1a b a b +-++≥，得2()2a b +≥，所以a b +≥a b +≤，即a b +。
权方和不等式高中证明
权方和不等式高中证明
对于任意实数$a_1,a_2,cdots,a_n$和$p_1,p_2,cdots,p_n$，其中 $a_i>0$，$p_i>0$，且 $sumlimits_{i=1}^np_i=1$，有
$$sumlimits_{i=1}^na_i^{p_i} geqslant
left(frac{sumlimits_{i=1}^na_i}{n}right)^{sumlimits_{i=1}^n
p_i}$$
这个不等式看起来比较复杂，但是它的应用非常广泛。
在数学竞赛中，我们经常会使用它来证明一些题目，比如在极限计算、不等式证明、几何证明等方面都可以用到。
证明权方和不等式需要使用一些基本的不等式，比如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等等。
通过巧妙地运用这些不等式，可以证明权
方和不等式。
对于权方和不等式的证明方法，不同的教材和课程会有不同的讲解方式，但是总体思路是一致的。
首先，我们需要将证明目标转化为某个中间量的不等式形式。
接着，我们运用基本的不等式来对中间量进行处理，最终得到证明目标。
总之，权方和不等式是高中数学中非常重要的一个不等式，掌握它的证明方法和应用技巧可以帮助我们更好地解决数学竞赛中的问题。
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思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)解析版
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。
权方和不等式专题强化训练及答案
14．设 x, y, z
均为正实数，且 xyz
1 ，求证：
1 x3 y
1 y3z
1 z3x
xy
yz
zx
．
15．已知 x, y, z R ，且 x y z 1．
（1）求证：
1 x2
1 y2
1 z2
27 ；
（2）若 (x2 y 2 z 2 ) x3 y3 z3 恒成立，求实数 的最大值．
172
学习数学 领悟数学 秒杀数学
16．设实数 a,b, c [0,) ，且 a b c 3 ，证明：
1 (1 a)2
1 (1 b)2
1 (1 c)2
3 4
．
第三章 不等式
17．已知 a,b, c R 且 a b c
1，求
1 a2
1 b2
8 c2
(an )m1 (bn )m
a1 a2 an m1 b1 b2 bn m
当仅当 a1 a2 an 时，等号成立. m 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
b1 b2
bn
关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为 3 次，分母为 1 次.
8．（1）已知 a,b, x, y 是正实数，求证： a2 b2 (a b)2 ，当且仅当 a b 时等号成立；
x y xy
xy
（2）求
f
(x)
1 3 sin 2
x
9 8 cos2
第九章 第4节 二维形式的权方和不等式秒杀分式最值-解析版
第5节 二维形式的权方和不等式秒杀分式最值知识与方法二维形式的权方和不等式，设x ，y 均为正数，且0m >，则()()111m m m mm m a b a b x y x y +++++≥+，当且仅当a b x y =时取等号；特别地，当1m =时，()222a b a b x y x y++≥+.提醒：①利用这一不等式，可以速求一些分式型代数式的最值，其核心仍然是凑定值；②在权方和不等式中，m 可以取任意实数，且当()1m m +的符号不同时，不等号的方向有差异，而高中数学中常用的是m 为正数的情形，尤其是1m =的情形，所以这一节只介绍m 为正数情况下的权方和不等式.典型例题【例题】已知正实数x 、y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为______. 【解析】解法1：由题意，()1414445529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =时取等号，结合1x y +=可得此时13x =，23y =，所以min149x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 解法2：由权方和不等式，()2221214129x y x y x y++=+≥=+ 当且仅当12x y =时取等号，结合1x y +=可得此时13x =，23y =，所以min149x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【答案】9【反思】上述解法2的关键是注意到分母相加为定值，所以可以直接用权方和不等式.变式1 已知正实数x 、y 满足21x y +=，则14x y+的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()141442422992942x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⋅+ ⎪⎝⎭当且仅当42x y y x =时等号成立，结合21x y +=可得此时221x -=，42y - 所以min14942x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭解法2：由权方和不等式，((2222212214181942222x y x y x yx y++=+=+≥=++当且仅当122x =时等号成立，结合21x y +=可得此时221x -=，42y -， 所以min14942x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【答案】942+变式2 已知正实数x 、y 满足141x y+=，则x y +的最小值是______. 【解析】解法1：由题意，()1444559y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭当且仅当4y x x y =时等号成立，结合141x y+=可得此时3x =，6y =，所以()min 9x y +=.解法2：由权方和不等式，()2221214121x y x y x y+=+=+≥+，从而9x y +≥， 当且仅当12x y =时取等号，结合141x y+=可得此时3x =，6y =，所以()min 9x y +=.【答案】9变式3 已知正实数x 、y 满足14112x x y+=++，则x y +的最小值是______.【解析】解法1：由题意，()()()11111412212122222122x y x y x x y x x y x x y ⎛⎫+=+=+++-=++++- ⎪++⎝⎭()()4141121121552422122212x x x y x y x y x x y x ⎡⎤++⎡⎤++=++-≥+⋅-=⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当且仅当()41221x x y x y x ++=++时取等号，结合14112x x y+=++可得2x y ==，故()min 4x y +=.解法2：由权方和不等式，()()2221214129112121221x x y x x y x x y x y +=+=+≥=+++++++++， 所以4x y +≥，当且仅当1212x x y=++时等号成立，结合14112x x y +=++可得2x y ==，故()min 4x y +=. 【答案】4变式4 函数()3410133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为______. 【解析】解法1：由题意，()()()93134133349413313313x x x x f x x x x x x x+--+=+=+=+--- ()()91391312129413225313313x x xx x x x x --=+++≥+⋅=--，当且仅当()91312313x x x x -=-时等号成立，解得：15x =，所以()min 4f x =. 解法2：由权方和不等式，()()2323234322513313313f x x x x x x x+=+=+≥=--+-， 当且仅当32313x x =-时等号成立，解得：15x =，所以()min 4f x =. 【答案】4变式5 已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214cos sin x x +的最小值为______. 【解析】解法1：()222222224cos sin 14cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x+++=+ 22222222sin 4cos sin 4cos 5529cos sin cos sin x x x xx x x x=++≥+⋅=，当且仅当2222sin 4cos cos sin x x x x=时取等号，结合22cos sin 1x x +=可得3cos x =，6sin x =， 所以2214cos sin x x+的最小值为9. 解法2：由权方和不等式，()2222222221214129cos sin cos sin cos x x x x x ++=+≥=+， 当且仅当2212cos sin x x=时取等号，结合22cos sin 1x x +=可得3cos x =，6sin x =，所以2214cos sin x x +的最小值为9. 【答案】9变式6 已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则18cos sin x x +的最小值为______. 【解析】解法1：()180cos sin 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则()()33222218sin 8cos sin cos cos sin cos sin x xf x x x x x x x-'=-⋅--⋅=， 所以()0sin 2cos tan 2f x x x x '>⇔>⇔>，()0sin 2cos tan 2f x x x x '>⇔<⇔<， 记锐角0θ满足0tan 2θ=，则05cos θ=025sin θ，且()002f x x πθ'>⇔<<，()000f x x θ'>⇔<<，所以()f x 在()00,θ上，在0,2πθ⎛⎫⎪⎝⎭上，故()()0min001855cos sin f x f θθθ==+=.解法2：由权方和不等式，()()()()333222111222222214181455cos sin cos sin cossin x xx x x x ++=+≥=+当且仅当2214cos sin x x=时取等号，结合22cos sin 1x x +=可得5cos x =，25sin x = 所以18cos sin x x +的最小值为55 【答案】55变式7 已知正数x 、y 满足1x y +=，则2218x y+的最小值为______.【解析】解法1：()()2222222818181x y x y y x x y y x y ++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设yt x=，由题意，0t >，且()2222181181t x y t ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭，设()()()2211810f t t t t ⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭， 则()()()()3232181121161t t f t t t t t +-⎛⎫⎛⎫'=+++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()02f t t '>⇔>，()002f t t '<⇔<<，从而()f t 在()0,2上，在()2,+∞上，故()()min 227f t f ==，所以2218x y +的最小值为27. 解法2：由权方和不等式，()()3332222212181227x y x y x y ++=+≥=+， 当且仅当12x y =时取等号，结合1x y +=可得13x =，23y =， 所以2218x y +的最小值为27.【答案】27强化训练l.（★★★）已知正实数a 、b 满足122a b+=，则2a b +的最小值为______.【解析】解法1：由题意，()1121221229225522222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 当且仅当22b a a b =时等号成立，结合122a b +=可得32a b ==，所以2a b +的最小值为92. 解法2：由权方和不等式，()222121212222a b a b a b +=+=+≥+，从而922a b +≥， 当且仅当122a b =时等号成立，结合122a b +=可得32a b ==，所以2a b +的最小值为92.【答案】922.（★★★）已知0x >，0y >，且1x y +=，则121xx y ++的最小值为______. 【解析】解法1：由题意，0x >，，0y >，且1x y +=，所以1y x =-，且01x <<，01y <<，故()2111212522122424424424x x x x x x x x x x y x x x x x x x x +---+=+=+=++≥+⋅=+----， 当且仅当242x x x x -=-时等号成立，解得：23x =，所以121x x y ++的最小值为54. 解法2：由题意，0x >，，0y >，且1x y +=，所以1y x =-，且01x <<，01y <<， 由权方和不等式， 11112221222222x x x x x y x x x x x x-++=+=+=++--- ()2221212125111222422424x x x x x x +=+-=+-≥-=--+-， 当且仅当12242x x =-时等号成立，解得：23x =，所以121x x y ++的最小值为54. 【答案】543.（★★★★）已知01a <<，01b <<，且14ab =，则1111a b ++-的最小值为______. 【解析】解法1：1144ab a b =⇒=，因为01a <<，所以1014b <<，故14b >，又01b <<，所以114b <<，从而 1111414111111111141141141114b b a b b b b b b b bb-++=+=+=+=++---------- ()()214133111141411451145245b b b b b b b b b b b-+-=+=-=-≥=---++-⋅-，当且仅当14b b=，即12b =时等号成立，所以1111a b ++-的最小值为4. 解法2：1144ab a b =⇒=，因为01a <<，所以1014b <<，故14b >，又01b <<，所以114b <<，从而1111414111111111141141141114b b a b b b b b b b bb -++=+=+=+=++---------- ()222121211441444144b b b b+=++≥+=---+-，当且仅当124144b b =--时等号成立，解得：12b =，所以1111a b++-的最小值为4.【答案】44.（★★★★）已知0x y >>，且2x y +≤，则413x y x y++-的最小值为______. 【解析】解法1：设3u x y =+，v x y =-，则0u v >>，且()24u v x y +=+≤，所以414155923444444u v u v v u v u x y x y u v u v u v u v +++=+≥+=++≥+⋅=+-， 当且仅当44u v v u u v+=⎧⎪⎨=⎪⎩时上面两个不等号同时取等，解得：8343u v ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即83343x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，满足题意，所以413x y x y ++-的最小值为94. 解法2：因为0x y >>，所以30x y +>，0x y ->，由权方和不等式，()()22221412193332x y x y x y x y x y x y x y ++=+≥=+++-++-+， 又2x y +≤，所以02x y <+≤，从而()9924x y ≥+，故41934x y x y +≥+-，当且仅当2132x y x y x y ⎧=⎪+-⎨⎪+=⎩时，41934x y x y +=+-，解得：53x =，13y =，所以413x y x y ++-的最小值为94. 【答案】945.（★★★★）已知角x 的终边不在坐标轴上，则2211sin 9cos x x+的最小值为______.【解析】由题意，sin 0x ≠，cos 0x ≠，且()2222222223111131116sin 9cos 9sin cos 9sin cos 9x x x x x x +⎛⎫+=+≥⋅= ⎪+⎝⎭， 当且仅当2231sin cos x x =时等号成立，结合22sin cos 1x x +=可得3sin x =，1cos 2x =±， 所以2211sin 9cos x x +的最小值为169.【答案】1696.（★★★★）已知正实数x 、y 满足21x y +=，则22114x y+的最小值为______.【解析】解法1：设2t x =，则由题意，01t <<，01y <<，且1t y +=， 所以()()222222222222222211112222222284t y t y y y t t y t y t x y t y t y t t y y t y t y+++=+=+=++++≥+⋅⋅， 当且仅当12y t ==时等号成立，所以22114x y +的最小值为8.解法2：由权方和不等式，()()()333222221111118422x y y x x y ++=+≥=+， 当且仅当112x y =时等号成立，结合21x y +=可得14x =，12y =，所以22114x y +的最小值为8. 【答案】8。
权方和不等式专题研究(最终完美版)
内容简介：本文详细介绍了权方和不等式的产生背景并通过大量实例系统展示了权方和不等式在是中学数学（包括奥林匹克数学）中的广泛应用；深刻揭示了其使用上的诸多技巧。
权方和不等式专题研究“权方和不等式”是 80 年代初由湖北杨克昌教授命名的，其实质是H older 不等式的特例。
在初等数学中的地位虽然不算突出，但对于中学数学（包括奥林匹克数学）中的很多与不等式有关的问题而言，权方和不等式却“堪称利器”。
故在此对其做专题研究。
一．权方和不等式的产生背景及其在中学数学（竞赛数学）中的应用n n n引理1：若0,a0且1,则aλλλaλ>>∑=∑≥∏ii i i i i ii=1 i=1 i=1证明：因函数f(x) =ln x在(0,+∞)上是凹函数n由Jensen不等式:对λ0,a0且λ 1>>∑=i i ii=1⎛⎞≥=⎜⎟n n⎛n⎞⎝∑⎠∑⎝∏⎠i=1 i=1 i=1有:ln λaλln a ln aλ(当⎜⎟ii i i i i a=等号成立) i aj又在上单调增f(x) =ln x(0,+∞)n n∑∏故有(等号在i a:λa≥aλa=时取得)ii i i ji=1 i=1引理2：（Holder 不等式）1 1若a>0,b>0(i=1,2⋅⋅⋅⋅⋅⋅n), +=1且p>1i ip q1 1n⎛n⎞p⎛n ⎞q∑∑∑则a b a b≤⎜p⎟⋅⎜q⎟i i i ii=1 i=1 i=1⎝⎠⎝⎠1a 1b a bp q证明：由引理1易知: +≥i i i ip a q bn n 1 1∑∑∑∑p q n p n qi i⎛⎜⎞⎟⋅⎛⎜⎞⎟a bp qi=1 i=1 i i⎝⎠⎝⎠i=1 i=1n∑a bi i1 a a a 1 b b b( p+p+⋅⋅⋅+p) ( p+p+⋅⋅⋅+p) 故 1 i=1 1 2 n 1 2 n≤+=1 1 n np a q b∑∑⎛n⎞p⋅⎛n⎞qp q∑∑a bp q i i⎜⎟⎜⎟i i i=1 i=1⎝⎠⎝⎠i=1 i=111 1 n npnq⎛ ⎞ ⎛⎞∑∑∑此即:a ba b≤ ⎜⎟ ⋅⎜pq⎟i ii i i =1i =1i =1⎝ ⎠ ⎝ ⎠（当 p ba = λ 时取等号）q ii注 1：引理 1 实际上是加权算术平均与几何平均不等式的特例。
高三二轮复习小专题七：权方和不等式
高三二轮复习小专题七：权方和不等式（讲义）一、知识梳理：（一）权方和不等式1. 1212,,,a a R b b R +∈∈，则：22212121212()a a a a b b b b ++≥+，当且仅当1212a a b b =时取等号。
2. 1212,,,,,,,n n a a a R b b b R +∈∈，则：222212121212()n n n n a a a a a a b b b b b b ++++++≥++，当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号。
3. 1212,,,,,,,,0n n a a a R b b b R m ++∈∈>，则： 111112121212()()m m m m n n m m m m n n a a a a a a b b b b b b ++++++++++≥++，当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号。
（二）柯西不等式1. 1212,,,a a R b b R +∈∈，则：2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，当且仅当1212a ab b =时取等号。
2. 1212,,,,,,,n n a a a R b b b R +∈∈，则：222222212121122(...)(...)(...)n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++，当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号。
二、典型例题（一）权方和不等式的应用例1.（1） 01x <<，则411x x +-的最小值________；（2）,,x y z R +∈ ，且1x y z ++=，则149x y z ++的最小值________.练习.（1）,x y R +∈ ，且1x y +=，则4121x y +++的最小值________.（2）,,a b c R +∈ ，且1a b c ++=________.例2.（1）1,1a b >> ，则2211a b b a +--的最小值________.（2）,x y R +∈，且1x y +=，则2218x y +的最小值是__________. 练习：（1）对于任意实数11,2x y >>，不等式222241(21)(1)x y a y a x +≥--，恒成立，则实数a 的最大值是__________.（2）,,a b c R +∈ ，且2221811a b c ++=，求a b c ++的最小值________.例3.已知,,a b c R ∈ ，且222231a b c ++=，则2a b +的最大值________.（二）柯西不等式的应用例4. （1）m R +∈，求9(4)(1)m m ++的最小值________.（2）,(0,1)x y ∈的最大值为 .高三二轮复习小专题七：权方和不等式（作业）1.0,2a b >> ，且3a b +=，则412a b +-的最小值________，此时_____a =.2. ,a b R +∈，且11121a b b +=++，则2a b +最小值是_____________.3. ,x y R +∈，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是__________.4.0,0x y ≥≥，且2x y +≤，则4122x y x y +++的最小值是__________.5. ,x y R ∈，满足22(2)41x y y -+=，则2x y +的最大值是__________.6. 已知,,a b c R ∈ ，且2220,1a b c a b c ++=++=，则a 的最大值________.7. 已知1,,(0,1)4ab a b =∈ ，则1211a b+--的最小值是_____________.8. 设,,,a b m n R ∈ ，且225,5a b ma nb +=+=的最小值________.9.实数,x y 4=，则22+x y 的取值范围为 .10. ,a b R +∈，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值与最小值和为_____________.11. 已知,,,a b c d R ∈ ，且221(1)(2)0a b c d a++-++-=，则22()()a c b d -+-的最小值______________.12.在△ABC 中，角A,B,C 的对应边分别为,,a b c ，已知sin sin tan cos cos A BC A B +=+.（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22+a b 的取值范围.。
基本不等式推权方和不等式
基本不等式推权方和不等式在生活中，大家常常会碰到一些看似简单，但其实暗藏玄机的数学概念。
今天咱们就来聊聊“基本不等式”和“权方和不等式”，这些听上去高大上的名词其实就像是生活中的调味料，给我们的数学思维增添了一点特别的味道。
想象一下，咱们的生活就像一场大餐，数学就是那鲜美的调料，让整道菜更有滋味。
每当我们在这道大餐里加入一点基本不等式，哇哦，瞬间就能让口感大变，真是妙不可言。
说到基本不等式，这玩意儿其实就像我们平常的一个小道理，简单却又很有用。
就像“鸡蛋不能放在一个篮子里”，这个道理说的是，生活中一定要有备无患，不能把所有的希望都寄托在一个地方。
你想啊，如果那个篮子摔了，哎呀，完蛋了，一切都没了。
而基本不等式告诉我们，不同的数值组合有可能会带来意想不到的结果。
比如说，咱们在考试时，如果把精力全放在某一科，结果一不小心，这科没考好，哎，这种感觉就像是喝了凉水，呛得慌。
分散一下，把注意力放在多个科目上，才能更稳妥，最终拿到更好的成绩。
接下来就是权方和不等式了，听名字就感觉有点复杂，但其实说白了，就是教我们如何聪明地安排自己的资源。
想象一下，你有一大堆水果，苹果、香蕉、橙子应有尽有，你想做个水果沙拉，但你要想清楚怎么搭配才能好吃。
这个时候就得用上权方和不等式的智慧了。
就像在选择水果时，要根据每种水果的特性来加权。
如果你单单只放香蕉，味道可就不够丰富。
咱们的生活也是如此，得合理安排时间，才能让每一天都过得精彩。
比如说，学习、娱乐、运动，得搭配得当，才能保持身心的健康。
生活中很多道理其实就是在教我们如何选择，如何平衡。
就像这些不等式，提供给我们一些策略，让我们在面对复杂选择时，能够更加游刃有余。
想象一下，在一个热闹的市场上，各种美食琳琅满目，你得学会挑选出最合你胃口的。
基本不等式和权方和不等式就像是你的指南针，帮助你找到最佳的选择。
数学不是冷冰冰的，它其实是充满温度的，能引导我们走出迷雾，找到更好的方向。
初等数学研究系列——不等式——权方和不等式专题研究
( x + 2y + 3z + 4u + 5v ) = 60 x 2 ( 2 y ) ( 3z ) ( 4u ) ( 5v ) ≥ 简解：w = + + + + 1 2 3 4 1+ 2 + 3 + 4 + 5 5
2 2 2 2 2
当且仅当x = y = z = u = v = 2时w取得最小值60.
正是第42届IMO的原题.
a a 2 + 8bc
+
b b 2 + 8ca
+
c c 2 + 8ab
≥1
以上我们是直接（或通过简单变形）使用权方和不等式证不等式，可谓“简 洁明快” ，实际上凑着使用权方和不等式证明不等式也有“小巧玲珑”之美，请 看： 1 1 1 2 2 2 . 例 10. 已知：x, y, z ∈ R + , x + y + z = 1, 求证： + + ≥ + + 1− x 1− y 1− z 1+ x 1+ y 1+ z
n
1
m
⎛ n ⎞ ai ⎟ ∑ n ai m +1 ⎜ i =1 ⎝ ⎠ ( a > 0, b > 0, m > 0.等号在a = λb 时取得 ). 将上式整理为 ∑ m ≥ i i i i m n b i =1 ⎛ ⎞ i ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ 我们称上式（狭义）权方和不等式（m 称为该不等式的权） 。它的特点是分 子的幂指数比分母高 1 次。灵活的选用（狭义）权方和不等式常常可以起到意想 不到的化简效果。以下我们将从求极值和证明不等式两个方面来展示（狭义）权 方和不等式的“化简魅力” 。 Ⅰ.用于求极值 1 1 例 1.已知x, y ∈ R +且 + = 1, 求x + 2 y的最小值. x y
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内容简介：本文详细介绍了权方和不等式的产生背景并通过大量实例系统展示了权方和不等式在是中学数学（包括奥林匹克数学）中的广泛应用；深刻揭示了其使用上的诸多技巧。
权方和不等式专题研究“权方和不等式”是 80年代初由湖北杨克昌教授命名的，其实质是Holder 不等式的特例。
在初等数学中的地位虽然不算突出，但对于中学数学（包括奥林匹克数学）中的很多与不等式有关的问题而言，权方和不等式却“堪称利器”。
故在此对其做专题研究。
一．权方和不等式的产生背景及其在中学数学（竞赛数学）中的应用引理1：1110,01,i nnni i i i i i i i a a i a λλλλ===>>=≥∑∑∏若且则证明：()ln (0,)f x x =+∞因函数在上是凹函数1:0,0ni i i i Jensen a λλ=>>=∑由不等式对且1a(当 111:ln ln ln i n n ni i i i i i i i a a λλλ===⎛⎞⎛⎞≥=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∏有j i a a =等号成立)()ln (0,)f x x =+∞又在上单调增11:i nni i i i i a a λλ==≥∑∏故有(等号在j i a a =时取得)引理2： （Holder 不等式） 110,0(1,2),11i i a b i n p p q>>=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=>若且 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎞⎛≤⋅⎜⎟⎜⎝⎠⎝∑∑∑则⎞⎟⎠证明：11111111p qi i i i n n p q n n p q p q i i i i i i i i a b a b p qa b a b ====+≥⎛⎞⎛⎞⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑1由引理易知: 11212111111()(111np p p p p p i i i n n n p q n n pq p q i i i i i i i i a ba a ab b b p qa b a b =====++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+)n ≤+=⎛⎞⎛⎞⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑故11111:n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎞⎛≤⋅⎜⎟⎜⎝⎠⎝∑∑∑此即⎞⎟⎠q i b （当p i a λ=时取等号）注1：引理1实际上是加权算术平均与几何平均不等式的特例。
注2：在引理2中令p=q=2即可得到Cauchy 不等式。
下面我们对引理2.实施两步特殊化处理：①令p=m+1 则m>0,原不等式变形为：11111111m m n nn m m m m i i i ii i i a b a b ++++===⎛⎞⎛⎞≤⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑②做变换11,m i m i i m m a a b b ++==iib,将上不等式变形为：1111111m m nnnm m i i i m i i i i a a b b +++===⎛⎞⎛⎞≤⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑将上式整理为11111m n i m ni i m m n i i i i a a b b ++===⎛⎞⎜⎟⎝⎠≥⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑∑∑(0,0,0.i i i i a b m a b λ>>>=等号在时取得).我们称上式（狭义）权方和不等式（m 称为该不等式的权）。
它的特点是分子的幂指数比分母高1次。
灵活的选用（狭义）权方和不等式常常可以起到意想不到的化简效果。
以下我们将从求极值和证明不等式两个方面来展示（狭义）权方和不等式的“化简魅力”。
Ⅰ.用于求极值例1.1,1,2x y R x y x y+∈+=+1已知且求的最小值.((22212132211132x y xy x yx y x ++≥+≥+=++===+=++21简解：1=，故11 当且仅当即例2．222118,,1a b c R a b c a b c +∈++=++已知且，求 ()()3333222211211264112111,42a b c a b c a b c a b c a b c++++≥=++==++====简解： 等号在且即时取得例3． 222223452345x y z u v w x y z u v ++++=++++已知2=30,求的最小值.()()()()22225v ()223451234y z u xw =++++简解：23456012345x y z u v ++++≥=++++2260.x y z u v w =====当且仅当时取得最小值例4．*1,,1,0,n nx y R x y n N x y λλ+∈+=>∈+已知且.求的最小值. ((()(1111111111,,n n n n nn n n nx y xy x y x y x y x yλ++++++=+≥=+++====简解： 联立可解得在例5. ,,0)0sin cos 2m m a b y a b m παα⎛⎞=+>⎜⎟⎝⎠求函数(在，上的最小值. ()()()11122222222222222222222222222122222sin cos sin cos sin cos arctan sin cos m m m m m m m m m m m m mm m m m m a b a b a b y a a b a b ααααααααα++++++b ++++++⎛⎞⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎝⎠⎝⎠⎝⎠=+=+≥=+⎜⎟⎝⎠+⎛⎞==⎜⎟⎝⎠简解： 当且仅当，即取得等号Ⅱ.用于证明不等式例6. 114,,,a b c R a b c a b b c a c∈>>+≥−−−已知且求证： ()2,0,0111142a b c a b b c a b b c a b b c a ca b b c b a c >>∴−>−>++≥=−−−+−−−=−=+简证：由 等号在即时取得.例7．3,,1,111a b c a b c R a b c b c a +4∈++=++≥+++已知且求证：()2222a b c a b c ab a bc b ca c ab bc ca a b c++++≥+++++++简证：左=+)故()()(222223a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++≥++而()()()22311113a b c a b cb c a a b c a b c++4++≥=++++++++ 1.3a b c ===等号在取得例8. 3,,1,111a b c a b c R a b c a b c +4∈++=++≤+++已知且求证：11111a b c +++++简证：左=3-(1()21111111113a b c a b c ++++≥=++++++而 9493311144a b c a b c ++≤−=+++ 故1.3a b c ===等号在取得例5与例6分别揭示了使用狭义权方和的两个典型技巧：一是调整分子分母幂指数差以利套用公式；二是凑分母简化分子以利不等号变向。
注3:*10,,2ni i i a a s n n =>=≥∈∑例5与例6还可以进一步推广为：已知且N 1212311ni n i i a a a a na s n a s a s a s=≤≤+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++∑例9.,,a b R +1∈+≥已知：()333222321a b a b a b ++≥==+≥= 等号在时取得.注4：,,1a b c R +∈+本例向3元的推广：已知≥以上我们是直接（或通过简单变形）使用权方和不等式证不等式，可谓“简洁明快”，实际上凑着使用权方和不等式证明不等式也有“小巧玲珑”之美，请看：例10. 42IMO 正是第届的原题.111222,,,1,.111111x y z R x y z x y z x y +∈++=++≥++z−−−+++已知：求证： ()2111141121x y x y ++≥=−−−−+简证:z114114:111111y z x x z +≥+≥−−+−−+同理，y111222:1111111.3x y z x y x y z ++≥++−−−+++=== 三式累加得 等号在时取得z权方和不等式除了可以直接用，凑着用，还有一个更“神奇”的用法——变换着用。
把看起来与权方和不等式“毫不相关”的问题通过特殊变换与权方和不等式联系起来，再解决之。
例11. 222,,,:()()()0a b c a b a b b c b c c a c a −+−+−≥已知为三角形三边长求证 (),,(,,)则原不等式()()()()()()()()()222x y y z x z y z z x y x z x x y z y ⇔++−+++−+++−≥()()333222222222200.xy yz zx x y z xyz y z x xyz x y z z x y y z x x y zz x y x y z y z x x y zz x yx y zx y z a b c ⇔++−++≥⎛⎞⇔++−−−≥⎜⎟⎝⎠⇔++≥++++++≥=++++====而故原不等式成立且在即时取得等号a x yb y zc z x x y z R +=+=+=+∈简证:做变换换元例12.已知正数满足,,a b c 1abc =，求证：1111121212a b c++≥+++ 简证：做变换,,(,,y z xa b c x y z R z x y)+===∈，则原不等式 1222z x y z y x z y x⇔+++++ 22222222222z x y z x y 2z y x z y x z yz x zx y xy ++=++++++++而 22221222x y z x y z xy yz zx ++≥=+++++()1x y z a b c =====当且仅当即时等号成立.≥例13.111,,1,2.111a b c a b c a b c a b c a b c b c a +++⎛⎞++=++≤++⎜⎟−−−⎝⎠已知正数满足求证：,,,,,x y za b c x y z R x y z x y z x y z+===∈++++++简证：做变换 （）则原不等式222222x y z y z x z x y x y z y z z x x y y z x++++++⇔++≤+++++2222223xz yx z y yz z zx x xy⇔≤++y+++ 22222222222222222222xz yx zy x z y x z y y yz z zx x xy y xz z xy z xy x zx x yz y xz++=++++++++而2 ()()()()22222223123xz yx zy xz yx zy y xz z xy x zx xz yx zy ++++≥≥++++=13x y z a b c =====当且仅当即时等号成立.例14．111,,1 2.a b c a b c++=已知均为大于的实数，且满足≥()()22222222222222222222222222111,,211131112111111111113x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ===++=++++++≥++++=⇔++++++++++=++≥++++++简证：做变换:则原问题转化为：已知正数满足证明: 注意到而 此即()=2222332x y z x y z x y z a b c +++≥++=====： 等号在即时取得注5：例11中采用的变换被称为三角不等式的入门代换，是沟通代数不等式与三角不等式的重要手段。