合比等比性质及习题
(完整版)等比数列的性质练习题
考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【新题导练】1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 【新题导练】7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .考点4 等比数列与其它知识的综合 【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式【新题导练】8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．7.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值；⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．。
九上等比性质与合比性质
03
等比与合比性质的比较
定义上的比较
等比性质
指在等比数列中，任意两项的比 值是常数。
合比性质
指在两个数的比值中，前项与后 项之比等于中间项与后项之比。
应用场景的比较
等比性质
常用于金融、经济、工程等领域中涉 及等比数列的问题，如复利计算、细 胞分裂等。
合比性质
常用于数学、物理、化学等领域中涉 及比例和比例关系的问题，如溶液混 合、电路分析等。
证明代数恒等式
利用等比和合比性质，可以证明各种代数恒 等式，进一步理解代数式的性质和结构。
在几何中的应用
要点一
证明几何定理
等比和合比性质在几何学中常被用于证明定理，如相似三 角形、勾股定理等。
要点二
解决几何问题
通过等比和合比性质，可以简化复杂的几何问题，找到更 有效的解决方案。
在数学竞赛中的应用
详细描述
在数学中，合比性质常用于解决涉及比例的问题，如计算面积、体积等。在分式化简中，利用合比性 质可以简化复杂的分式。在等式证明中，合比性质可以帮助证明等式的正确性。
合比性质的证明方法
总结词
证明合比性质的方法通常包括构造反例 、代数推导和逻辑推理。
VS
详细描述
证明合比性质的一种常见方法是构造反例 ，即通过构造一个反例来证明某个命题不 成立。另一种方法是进行代数推导，通过 代数运算来证明等式的正确性。此外，逻 辑推理也是证明合比性质的重要手段，通 过逻辑推理可以证明两个比的比值相等时 ，它们的数之和的比也相等。
保险费计算
保险公司在计算长期保险 费时，通常会使用等比数 列的性质来计算每年的保 险费。
投资回报率
投资者在评估投资回报率 时，可以利用等比数列的 性质来计算复利回报。
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。
学会运用合比性质进行比例计算。
1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。
1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。
2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。
章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。
学会运用等比性质进行比例计算。
2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。
等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。
2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。
2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。
章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。
3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。
章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。
4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。
4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。
2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。
章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。
中考复习 等比、合比性质综合应用--练习(含答案详解)
等比、合比性质综合应用--经典练习（含答案详解）3y ==C ．2018D ．00<=-=-=abc cxz b z y ，则a ，b ，c 中负数的个数有（ ） B ．2个 C ．3个 D ．4个7.已知三角形的三边长分别为4cm ，5cm ，6cm ，则这三边上的高的比为（ ）A ．4：5：6B ．5：4：6C ．6：5：4D ．15：12：10t bac a c b =+=+=，那么直线t tx x f +=)(一定通过第 象限．t ba ca cb =+=+=则一次函数2)(t tx x f +=的图象必定经过的象限是 ．，则一次函数y=(2-k )x+1一定不经过（ ） C ．第三象限 D ．第四象限2+16=8n ，则关于x 的一次95===f e d c ，++++fd be c aa cb =+=D．y+z=3x为（）A．A＞B＞C B．A＜B＜C C．C＞A＞B D．A＜C＜BD．第一、四象限A．12 B．6 D．3C．（1，2）D．（1，-1）33.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．(2)已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段 a和b的比例中项．求线段c的长．(3)已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，x=2时，y=5．求：①y与x之间的函数关系式；②当x=4时，求y的值．35.已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=1，P 、Q 分别为AD 、BC 上两点，且AP=CQ ，连接AQ 、BP 交于点E ，E F 平行BC 交PQ 于F ，AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根． （1）求m 的值；（2）试用AP 、BQ 表示EF ； （3）若S △PQE =81，求n 的值．参考答案3y ==29421694241263222222222=++++=++++k k k k k k z y x zx yz xyz k c b y k b a x =-=-=,,0=-+-+-=++ka c k cb k b a zy x 故选D ．3.【解析】设k y x B A )2(+=+，则k y x B A )(-=-，联立两式解关于A 、B 的方程，可4.【解析】设甲、乙、丙单独工作分别需x 天、y 天、z 天．由①得， z x y x m +=，11++=+z x y x m ，zx y x m =++=+1111yzxy xz xz ++=yzxy xz xy ++=6.【解析】A 、相似三角形的对应边不相等，故是假命题，故本选项正确；B 、全等三角形也是相似三角形是真命题，故本选项错误；当t=0.5时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、三象限， 当t=-1时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、四象限，∴图象必定经过的象限是一、二象限．故答案为：一、二象限10.【解析】根据已知条件，得出a+b=ck ①，b+c=ak ②，c+a=bk ③，①+②+③，得 2(a+b+c )=k (a+b+c )．(1)当a+b+c≠0，则k=2；(2)当a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，a+c=-b ， ∴k=-1；∵y=(2-k)x+1为一次函数，所以2-k≠0，即k≠2，∴k=-1；∴y=3x+1经过一、二、三象限，一定不过第四象限．故选D∴m=5，n=3，②③ ===f e d c f e d c b 959595===，，95)(95959595=++++=++++=++++f d b f d b f d b f d b f d b e ca1-==abcabc故答案是8或-1．17.【解析】利用排除法解题，A 选项，根据合比性指可知正确；9-=yx19.【解析】由0≠xyz 可得到z y x ，，均不为0，由等比性质d c b a n d b m c a n d b n m d c b a ====±±±±±≠+++=== ，由有)0(① 当0≠++z y x 时，2)(2)()()(=++++=+++++++==+=+=+xy z z y x x y z z y x z y x k x z y y x z z y x ② 当0=++z y x 时，可推出z y x -=+，x z y -=+，y x z -=+所以1-=-=-=-==+=+=+xxy y z z k x z y y x z z y x 所以k 的值为2或-121442-=-=k k k3452=-+=-+k k k b c aD 选项，x z z z z y z x z y 3712757475==+=+==，，，D选项正确 189241332==++++-=++k k k k z y x ，所以10712====z y x k ，，，加可得，bk ak ck c a c b b a ++=+++++即，k c b a c b a )()(2++=++① 当0≠++c b a② 当0=++c b a 时，可推出c b a -=+，a c b -=+，b c a -=+，所以1-=k27.【解析】分情况讨论：直线一定经过一、二、三象限；当a+b+c=0时，即a+b=-c ，则k=-1，此时直线为y=-x-1，即直线必过二、三、四象限． 故直线必过第二、三象限．故选B ．积是4121121=⨯⨯=S 当a+b+c=0，则 b+c=-a ，1-=-=+=aa cb a k ，一次函数为y=-x-1，则函数 y=-x-1的图象与坐标轴围成的面积是211121=⨯⨯=S32.【解析】 ∵k c b a b c a a c b =+=+=+，∴ak=b+c ①；bk=a+c ②，ck=a+b ③，∴①+②+③得，2(a+b+c )=k (a+b+c )，（1）∵k≠0，∴a+b+c=0，∴a+b=-c ，∵1-=-=+=cc c b a k ，∴直线为y=-x-1； （2）当a+b+c≠0时，则k=2，∴直线为y=2x+2，∴直线y=-x-1和y=2x+2必经过点（-1，0）．故答案为：（-1，0）．33.【解析】（1）∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a:b=c:d,∵a=3，b=2，c=6，代入得：d=4，（2）∵线段c 是线段 a 和b 的比例中项，∴c 2=ab ，∵a=4，b=9，代入得：c=6，（3）∵y 1与x 成正比例，设y 1=ax ，（a≠0），∵y 2与x 成反比例，)0(2≠=b x b y )0(≠+=b x b ax y ,把x=1，y=4和x=2，y=5代入得：a=2，b=2,x x y 22+=当x=4时，217=y 34.【解析】首先根据条件k b a c c a b c b a =+=+=+，根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得到直线y=kx+b 中的k 值，再根据经过点（4，0）可求出b 的值，从而得到函数关系式，然后画出函数图象即可求出与两坐标轴所围成的三角形的面积，面积为4或835.【解析】（1）∵AP=QC ，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，又∵AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根， 所以有AP+BQ=m ，AP•BQ=n ，∴AP+BQ=m=1．即m=1．（2）∵EF ∥AP ，∴AQEQ AP EF =， 又∵AP ∥BQ ，∴APBQ AE EQ =，∴BQ AP BQ EQ AE EQ +=+即BQ AP BQ AQ EQ +=，∴BQ AP BQ AP EF +=即：BQAP BQ AP EF +•=． ∵AP+BQ=1，∴EF=AP•BQ ．（3）连接QD ，则EP ∥QD得：S △AQD =21，且S △AEP ：S △AQD =AP 2：AD 2=AP 2：1=AP 2， ∴S △AEP =AP 2•S △AQD =21AP 2，∴S △PQE ：S △AEP =EQ ：AE ，即81：21AP 2=EQ ：AE=BQ ：AP ，学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
合比等比性质及习题
比例的合比性质：如果d cba =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ΛΛ4、若753zy x ==,则z y x z y x -++-=________.5、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 6、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 7、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
8、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：15平行线分线段成比例定理及其推论一. 平行线分线段成比例定理如下图（1），如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=._______,341=+=bb a b a 、则已知______;,9172==+y x y y x 、则若____,3,213=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEEDC B A图（1） 图（2）二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图（2），在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==三. 平行的判定定理：如上图（2），如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
合比性质和等比性质 ppt课件
bd f
bdf b
比例的等比性质.
如 果 a c m ( b d n 0 ) ， 那 么 a c m a
b d n
b d nb
1、已知 x:y:z3:5:7，求 x y z x yz
2、已知
ac e 1 bd f 2
，且 bdf 0 。
ace
求 bd f
1、形状完全相同的两个图形叫做相似图形。
2、两条线段的比指的就是这两条线段的长度的比。
3、在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另 外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段， 简称为成比例线段。
合比性质和等比性质
比例的基本性质是什么样的?
如果
ac bd
，那么 ad=bc
ac 如果 ad=bc，那么 b d
• 你能得到下面的结论吗？
如果
，那么
a
a b
c cd
。
合比性质和等比性质
例1已知：在下图中的ΔABC中
求证：1） 2）
合比性质和等比性质
•
已知
x y 8 y3
，
则x
y
——
， x
y
y
——
；
合比性质和等比性质） 2）
ace,那a么 cea成立 ?为 吗 什 ?
(b,d≠0)
合比性质 和等比性 质
我们把 的两边同时加上1,能得到什么?
比例等 式依然
成立
合比性质和等比性质
1、如果
，将等式两边同时加上1，得
到什么?
2、如果将等式两边同时减去1，你能得到什么 结论？
合比性质：
如果
a b
c d
，那么 a b c d 。
合比性质和等比性质合比性质课件
通过这个课程，学习者可以掌握合比 性质和等比性质的基本概念、性质和 应用。
此外，该课程还注重培养学习者的逻 辑思维和数学素养，为进一步学习其 他数学课程打下坚实的基础。
展望
随着数学理论和应用的不断发 展，合比性质和等比性质的相 关知识也将不断更新和完善。
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定义
合比性质和等比性质的定义不同，合 比性质是指两个比值的和或差与另一 个比值之间存在一定的关系，而等比 性质则是两个比值相等。
性质
应用
合比性质在数学、物理等领域有广泛 应用，如几何、代数等，而等比性质 则主要应用于比例、百分数等问题。
合比性质涉及到两个比值的和或差与 另一个比值之间的关系，而等比性质 则是两个比值相等。
应用场景
等比性质在几何学中有着广泛的应用，如相似三角形、相似多边形的判定和性质等 。
等比性质在函数和数列中也经常出现，如等差数列和等比数列的判定和性质等。
等比性质在解决实际问题中也有应用，如测量、工程设计等领域中经常需要用到等 比性质来计算比例和比例关系。
03 合比性质和等比性质的比 较和联系
比较
练习题
设计一系列与合比性质和等比性 质相关的练习题，难度适中，覆
盖面广。
练习题应包括选择题、填空题、 计算题等多种题型，以便全面考 查学生对合比性质和等比性质的
理解和掌握程度。
对于难度较大的题目，可以给出 提示或解题思路，帮助学生更好 地理解和掌握合比性质和等比性
质。
06 总结和展望
总结
合比性质和等比性质合比性质课件是 一个全面、深入的课程，涵盖了合比 性质和等比性质的相关知识。
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比例的合比性质：如果d c b a =,那么d
d c b b a ±=
±； 比例的等比性质：
如果
d c b a ==…=n m
（b +d +…+n ≠0）,那么
b
a n d
b m
c a =++++++ 【基础练习2】
1、把mn=pq 写成比例式写错的是()
3若
3=y x
，求y
y x +的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若
753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.
8、若65
432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若
f e
d c b a ===2，则
=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若
z y x y z x x z y +=+=+，求z
y x
+的值。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE
AB AC BC
==
3.平行的判定定理：如上图，如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥BC 。
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c
a
b
=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. 专题二、定理及推论与中点有关的问题
d kd
c b kb a ±=
±d
c c
b a a ±=
±
【例3】 （2012年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+的值为（）A.52
B.1
C.32
D.2
【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .
（1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD
的值；
（2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，
且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
求证：AF EF =。
【例6】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， 延长AB 交CE 的延长线于P 。
若2AD DE =，求证:3AP AB =。
专题三、利用平行线转化比例 【例7】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =． 【例8】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对
边AC 、AB 于D 、E ，求证：
1AD AE
DC EB
+= 【例9】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
【例10】 如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.
【例11】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长. 【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相
等，求EF 的长。
E D C
B
A
O
【例12】（山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若AB a AD c BE b
，，,求BF的值。
===。